Fonctions affines – Tarifs de deux carreleurs – Brevet Polynésie septembre 2025
On veut poser du carrelage sur le sol intérieur d'une maison.
Le carreleur A fait payer 80 € par m².
Le carreleur B fait payer 60 € par m² auxquels il faut ajouter 970 € pour la mise en place du chantier.
- Montrer que pour une surface dont l'aire est de 20 m², le prix est de 1 600 € avec le carreleur A et de 2 170 € avec le carreleur B.
- Calculer le prix à payer pour une surface dont l'aire est 60 m² avec le carreleur A, puis avec le carreleur B.
On désigne par $ x $ l'aire de la surface à carreler exprimée en m².
- On appelle $ f $ la fonction qui à l'aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur A. On admet que $ f $ est définie par $ f(x) = 80x $.
- On appelle $ g $ la fonction qui à l'aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur B. On admet que $ g $ est définie par $ g(x) = 60x + 970 $.
- Quelle est l'image de 70 par la fonction $ f $ ?
- Quel est l'antécédent de 2 400 par la fonction $ f $ ?
- Sur le graphique fourni en annexe, on a tracé la représentation graphique de la fonction $ g $.
Tracer la représentation graphique de la fonction $ f $ sur ce même graphique.
- En utilisant le graphique fourni en annexe, estimer l'aire maximale en m² que l'on peut carreler avec un budget de 2 800 € si l'on choisit le carreleur B.
- Calculer l'aire en m² pour laquelle on paie exactement le même prix avec le carreleur A et le carreleur B.
Annexe
Carreleur A : $ 80 \times 20 = 1\,600 $ €. Le prix est bien de 1 600 €.
Carreleur B : $ 60 \times 20 + 970 = 1\,200 + 970 = 2\,170 $ €. Le prix est bien de 2 170 €.
Pour une surface de 60 m² :
Carreleur A : $ 80 \times 60 = 4\,800 $ €.
Carreleur B : $ 60 \times 60 + 970 = 3\,600 + 970 = 4\,570 $ €.
Pour 60 m², on paie 4 800 € avec le carreleur A et 4 570 € avec le carreleur B.
L'image de 70 par $ f $ est $ f(70) = 80 \times 70 = 5\,600 $.
$ f(70) = 5\,600 $
On cherche $ x $ tel que $ f(x) = 2\,400 $, c'est-à-dire $ 80x = 2\,400 $, d'où $ x = \dfrac{2\,400}{80} = 30 $.
L'antécédent de 2 400 par $ f $ est 30.
La fonction $ f $ est linéaire : sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Pour la tracer, il suffit de placer un second point, par exemple $ (60\,;\,4\,800) $ d'après la question 2, et de joindre ce point à l'origine.
On lit l'antécédent de 2 800 € par la fonction $ g $ : on repère 2 800 sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu'à la droite représentant $ g $, puis verticalement jusqu'à l'axe des abscisses.
On lit graphiquement environ 30 m².
Remarque
On peut vérifier par le calcul : $ g(x) = 2\,800 \;\Leftrightarrow\; 60x + 970 = 2\,800 \;\Leftrightarrow\; 60x = 1\,830 \;\Leftrightarrow\; x = 30{,}5 $ m², ce qui est cohérent avec la lecture graphique.
On cherche l'aire $ x $ pour laquelle $ f(x) = g(x) $ :
$ 80x = 60x + 970 $
$ 80x - 60x = 970 $
$ 20x = 970 $
$ x = \dfrac{970}{20} = 48{,}5 $.
Pour une aire de 48,5 m², les deux carreleurs facturent le même prix.
(On peut vérifier : $ f(48{,}5) = 80 \times 48{,}5 = 3\,880 $ € et $ g(48{,}5) = 60 \times 48{,}5 + 970 = 2\,910 + 970 = 3\,880 $ €.)
Vrai/Faux : Fonctions affines — lectures graphiques et calculs
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les fonctions affines, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : La fonction $f$ définie par $f(x) = 5$ est une fonction linéaire.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction $f(x) = 5$ est une fonction affine avec $a = 0$ et $b = 5$. Ce n'est pas une fonction linéaire car une fonction linéaire est de la forme $f(x) = ax$ (avec $b = 0$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, il ne faut pas confondre fonction affine et fonction linéaire. La fonction $f(x) = 5$ s'écrit $f(x) = 0 \times x + 5$ : c'est bien une fonction affine (avec $a = 0$), mais pas une fonction linéaire.
Une fonction linéaire est de la forme $f(x) = ax$, c'est-à-dire avec $b = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction $f(x) = 5$ est une fonction constante, cas particulier de fonction affine (avec $a = 0$), mais ce n'est pas une fonction linéaire.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère la droite ci-dessous, représentation graphique d'une fonction affine $f$.
Affirmation : L'antécédent de $0$ par la fonction $f$ est $1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Sur le graphique, la droite coupe l'axe des abscisses au point $(1 ; 0)$, ce qui signifie que $f(1) = 0$.
Le nombre $1$ est bien l'antécédent de $0$ par $f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'antécédent de $0$ est le nombre $x$ tel que $f(x) = 0$. Graphiquement, c'est l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses.
Ici, la droite passe par le point $(1 ; 0)$, donc $f(1) = 0$ : l'antécédent de $0$ est bien $1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le graphique montre que $f(1) = 0$, donc $1$ est l'antécédent de $0$ par $f$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = -x + 5$.
Affirmation : La droite représentant $f$ coupe l'axe des abscisses au point $(5 ; 0)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La droite coupe l'axe des abscisses quand $f(x) = 0$, soit $-x + 5 = 0$, d'où $x = 5$.
Le point d'intersection est bien $(5 ; 0)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de confondre l'intersection avec l'axe des abscisses et l'ordonnée à l'origine. L'ordonnée à l'origine est $b = 5$, ce qui donne le point $(0 ; 5)$ sur l'axe des ordonnées.
Pour l'axe des abscisses, on résout $f(x) = 0$ : $-x + 5 = 0$, soit $x = 5$. Le point est $(5 ; 0)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En résolvant $f(x) = 0$, on obtient $x = 5$, donc la droite coupe l'axe des abscisses en $(5 ; 0)$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère la droite ci-dessous, représentation graphique d'une fonction affine $g$.
Affirmation : Le coefficient directeur de cette droite est $2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le coefficient directeur se calcule avec deux points : $a = \dfrac{3 - 1}{4 - 0} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$.
La valeur $2$ correspond à la différence des ordonnées seule, sans diviser par la différence des abscisses.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne suffit pas de calculer la différence des ordonnées. Le coefficient directeur est le rapport entre la variation des ordonnées et la variation des abscisses :
$a = \dfrac{3 - 1}{4 - 0} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$
Le coefficient directeur est $0{,}5$ et non $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient directeur est $a = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$. La valeur $2$ est la variation des ordonnées, pas le coefficient directeur.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On sait que $f$ est une fonction affine telle que $f(2) = 7$ et $f(5) = 1$.
Affirmation : Le coefficient directeur de $f$ vaut $-2$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On applique la formule : $a = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{1 - 7}{3} = \dfrac{-6}{3} = -2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour calculer le coefficient directeur, on utilise la formule $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.
Ici : $a = \dfrac{1 - 7}{5 - 2} = \dfrac{-6}{3} = -2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En appliquant la formule du coefficient directeur : $a = \dfrac{1 - 7}{5 - 2} = -2$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère les deux droites ci-dessous, représentations graphiques des fonctions affines $f$ et $g$.
Affirmation : Les droites représentant $f$ et $g$ se coupent au point de coordonnées $(3 ; 2)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
En lisant graphiquement, les deux droites se coupent au point $(2 ; 3)$ et non $(3 ; 2)$.
On peut le vérifier : les droites sont $f(x) = x + 1$ et $g(x) = -x + 5$. En résolvant $x + 1 = -x + 5$, on obtient $2x = 4$, soit $x = 2$, et $f(2) = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas inverser l'abscisse et l'ordonnée du point d'intersection. Sur le graphique, le point d'intersection a pour abscisse $2$ et pour ordonnée $3$ : ses coordonnées sont $(2 ; 3)$, pas $(3 ; 2)$.
On vérifie : $f(x) = x + 1$ et $g(x) = -x + 5$ donnent $x + 1 = -x + 5$, soit $x = 2$ et $y = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les droites se coupent en $(2 ; 3)$ et non $(3 ; 2)$. Les coordonnées ont été inversées.
[/solution]
[/etape]
Comparer deux fonctions affines
[enonce]
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :
$f(x) = 3x - 4$ et $g(x) = -x + 8$.
On souhaite déterminer pour quelles valeurs de $x$ les deux fonctions sont égales, puis comparer leurs valeurs.
[/enonce]
[etape]
Quelle équation faut-il résoudre pour trouver le point d'intersection des deux droites ?
[qcm]
[option correct="true"]$3x - 4 = -x + 8$[/option]
[option]$3x - 4 = 0$[/option]
[option]$-x + 8 = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les deux droites se coupent lorsque $f(x) = g(x)$, c'est-à-dire quand les deux expressions donnent la même valeur.[/reponse]
[reponse motif="$3x - 4 = 0$"]Non.
Résoudre $f(x) = 0$ donnerait l'abscisse de l'intersection de la droite de $f$ avec l'axe des abscisses, pas avec la droite de $g$.[/reponse]
[reponse motif="$-x + 8 = 0$"]Non.
Résoudre $g(x) = 0$ donnerait l'abscisse de l'intersection de la droite de $g$ avec l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver le point commun aux deux droites, il faut chercher la valeur de $x$ pour laquelle $f(x)$ et $g(x)$ sont égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Résoudre l'équation $3x - 4 = -x + 8$.
$x = $ [[sol]]
[math id="sol" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$3x - 4 = -x + 8$
$3x + x = 8 + 4$
$4x = 12$
$x = 3$[/reponse]
[reponse motif="1"]Non.
Vérification : $f(1) = 3 - 4 = -1$ et $g(1) = -1 + 8 = 7$. Les valeurs ne sont pas égales.[/reponse]
[reponse motif="12"]Non.
$12$ est le résultat de $8 + 4$, mais il reste à diviser par le coefficient de $x$.[/reponse]
[reponse motif="-3"]Attention aux signes.
Quand on passe $-x$ à gauche, il devient $+x$. On obtient $4x = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Regrouper les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.[/reponse]
[aide essai="2"]Ajouter $x$ aux deux membres : $3x + x - 4 = 8$. Puis ajouter $4$ aux deux membres.[/aide]
[aide essai="3"]$4x = 12$. Diviser par $4$.[/aide]
[/math]
[solution]$3x - 4 = -x + 8 \Leftrightarrow 4x = 12 \Leftrightarrow x = 3$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Calculer l'ordonnée du point d'intersection (la valeur commune de $f$ et $g$ en $x = 3$).
$f(3) = $ [[yinter]]
[math id="yinter" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(3) = 3 \times 3 - 4 = 9 - 4 = 5$.
Vérification : $g(3) = -3 + 8 = 5$, on retrouve bien la même valeur.
Le point d'intersection est $(3~;~5)$.[/reponse]
[reponse motif="8"]Non.
$f(3) = 3 \times 3 - 4 = 9 - 4$, pas $3 + 4 + 1$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Non.
$f(3) = 3 \times 3 - 4 = 9 - 4 \neq 3$. Recalculer.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f(3) = 3 \times 3 - 4$.[/reponse]
[aide essai="2"]$f(3) = 3 \times 3 - 4$. Calculer étape par étape.[/aide]
[aide essai="3"]$9 - 4 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$f(3) = 9 - 4 = 5$ et $g(3) = -3 + 8 = 5$. Le point d'intersection est $(3~;~5)$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Pour $x = 0$, quelle fonction a la plus grande valeur ?
[qcm]
[option]$f(0) > g(0)$[/option]
[option correct="true"]$f(0) < g(0)$[/option]
[option]$f(0) = g(0)$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(0) = -4$ et $g(0) = 8$.
Comme $-4 < 8$, on a bien $f(0) < g(0)$ : avant le point d'intersection ($x < 3$), la droite de $g$ est au-dessus de celle de $f$.[/reponse]
[reponse motif="$f(0) > g(0)$"]Non.
Calculer : $f(0) = 3 \times 0 - 4 = -4$ et $g(0) = -0 + 8 = 8$. Comparer $-4$ et $8$.[/reponse]
[reponse motif="$f(0) = g(0)$"]Non.
Les deux droites ne sont égales que pour $x = 3$ (le point d'intersection).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f(0)$ et $g(0)$ puis comparer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Pour $x = 5$, quelle fonction a la plus grande valeur ?
[qcm]
[option correct="true"]$f(5) > g(5)$[/option]
[option]$f(5) < g(5)$[/option]
[option]$f(5) = g(5)$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(5) = 3 \times 5 - 4 = 11$ et $g(5) = -5 + 8 = 3$.
Comme $11 > 3$, on a $f(5) > g(5)$ : après le point d'intersection ($x > 3$), la droite de $f$ est au-dessus de celle de $g$.[/reponse]
[reponse motif="$f(5) < g(5)$"]Non.
Calculer : $f(5) = 15 - 4 = 11$ et $g(5) = -5 + 8 = 3$. Comparer $11$ et $3$.[/reponse]
[reponse motif="$f(5) = g(5)$"]Non.
Les deux droites ne sont égales que pour $x = 3$. Or $5 \neq 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f(5)$ et $g(5)$ puis comparer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Compléter : $f(x) \geqslant g(x)$ lorsque $x$ [[comp]] $3$.
[select id="comp"]
[option correct="true"]$\geqslant$[/option]
[option]$\leqslant$[/option]
[option]$=$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(x) \geqslant g(x)$ pour $x \geqslant 3$.
En effet, $f$ est croissante ($a = 3 > 0$) et $g$ est décroissante ($a = -1 < 0$). Après leur intersection en $x = 3$, $f$ prend des valeurs de plus en plus grandes et $g$ de plus en plus petites.[/reponse]
[reponse motif="$\leqslant$"]Non.
On a vu que pour $x = 5 > 3$, $f(5) > g(5)$. Donc $f$ est au-dessus de $g$ quand $x$ est supérieur à $3$.[/reponse]
[reponse motif="$=$"]Non.
$f(x) = g(x)$ uniquement en $x = 3$ (le point d'intersection), mais l'inégalité $f(x) \geqslant g(x)$ est satisfaite sur tout un intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les résultats des étapes précédentes montrent que $f$ est au-dessus de $g$ après $x = 3$.[/reponse]
[aide essai="2"]Pour $x = 0 < 3$ : $f < g$. Pour $x = 5 > 3$ : $f > g$. Conclure pour l'ensemble des $x$.[/aide]
[aide essai="3"]Après le point d'intersection, la droite qui monte le plus vite prend le dessus.[/aide]
[/select]
[solution]$f(x) \geqslant g(x)$ pour $x \geqslant 3$.
Avant $x = 3$, $g$ est au-dessus de $f$. Après $x = 3$, $f$ est au-dessus de $g$.[/solution]
[/etape]
Problème de tarifs et fonctions affines
[enonce]
Une salle de sport propose deux formules d'abonnement mensuel :
- Formule A : $20$ € d'abonnement fixe + $6$ € par heure d'utilisation.
- Formule B : $50$ € d'abonnement fixe + $2$ € par heure d'utilisation.
On note $x$ le nombre d'heures d'utilisation dans le mois, $f(x)$ le coût total de la Formule A et $g(x)$ le coût total de la Formule B.
[/enonce]
[etape]
Exprimer $f(x)$ (coût de la Formule A) en fonction de $x$.
$f(x) = $ [[fa]]
[math id="fa" attendu="6x+20"]
[reponse statut="correct"]Correct !
La Formule A coûte $20$ € fixes + $6$ € par heure, donc $f(x) = 6x + 20$.
C'est une fonction affine de coefficient directeur $6$ et d'ordonnée à l'origine $20$.[/reponse]
[reponse motif="20x+6"]Attention à ne pas inverser le prix par heure et l'abonnement.
Le coût par heure ($6$ €) multiplie $x$, l'abonnement ($20$ €) est la constante.[/reponse]
[reponse motif="6x"]Il manque l'abonnement fixe.
Même sans utiliser la salle ($x = 0$), on paie $20$ €.[/reponse]
[reponse motif="26x"]Non.
On n'additionne pas $20$ et $6$ puis on multiplie par $x$. Les $20$ € sont un coût fixe, indépendant du nombre d'heures.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le coût total = coût fixe + coût variable. Ici : $20 + 6 \times x$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le coût est composé de deux parties : un fixe ($20$ €) et un variable ($6$ € $\times$ nombre d'heures).[/aide]
[aide essai="3"]$f(x) = 6 \times x + 20$.[/aide]
[/math]
[solution]$f(x) = 6x + 20$ (coefficient directeur $6$, ordonnée à l'origine $20$).[/solution]
[/etape]
[etape]
Exprimer $g(x)$ (coût de la Formule B) en fonction de $x$.
$g(x) = $ [[fb]]
[math id="fb" attendu="2x+50"]
[reponse statut="correct"]Correct !
La Formule B coûte $50$ € fixes + $2$ € par heure, donc $g(x) = 2x + 50$.[/reponse]
[reponse motif="50x+2"]Attention à ne pas inverser.
Le coût par heure ($2$ €) multiplie $x$, l'abonnement ($50$ €) est la constante.[/reponse]
[reponse motif="2x"]Il manque l'abonnement fixe de $50$ €.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Même raisonnement que pour la Formule A : coût fixe + coût variable × nombre d'heures.[/reponse]
[aide essai="2"]$g(x) = \text{coût par heure} \times x + \text{abonnement fixe}$.[/aide]
[aide essai="3"]$g(x) = 2x + 50$.[/aide]
[/math]
[solution]$g(x) = 2x + 50$ (coefficient directeur $2$, ordonnée à l'origine $50$).[/solution]
[/etape]
[etape]
Pour combien d'heures les deux formules coûtent-elles le même prix ?
$x = $ [[egal]] heures
[math id="egal" attendu="7.5"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$6x + 20 = 2x + 50$
$4x = 30$
$x = 7{,}5$
Les deux formules sont équivalentes pour $7{,}5$ heures d'utilisation.[/reponse]
[reponse motif="30"]Non.
$30$ est le résultat de $50 - 20$, mais il reste à diviser par $4$.[/reponse]
[reponse motif="4"]Non.
$4$ est le coefficient obtenu en regroupant les termes en $x$, pas la solution.[/reponse]
[reponse motif="15"]Non.
Vérifier la résolution : $6x + 20 = 2x + 50$ donne $4x = 30$, donc $x = 30 \div 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $f(x) = g(x)$, c'est-à-dire $6x + 20 = 2x + 50$.[/reponse]
[aide essai="2"]$6x + 20 = 2x + 50 \Leftrightarrow 6x - 2x = 50 - 20 \Leftrightarrow 4x = 30$.[/aide]
[aide essai="3"]$4x = 30$, donc $x = \dfrac{30}{4}$. Simplifier.[/aide]
[/math]
[solution]$6x + 20 = 2x + 50 \Leftrightarrow 4x = 30 \Leftrightarrow x = 7{,}5$ heures.[/solution]
[/etape]
[etape]
Quel est le coût commun des deux formules pour $7{,}5$ heures ?
Coût = [[cout]] €
[math id="cout" attendu="65"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(7{,}5) = 6 \times 7{,}5 + 20 = 45 + 20 = 65$ €.
Vérification : $g(7{,}5) = 2 \times 7{,}5 + 50 = 15 + 50 = 65$ €, on retrouve bien le même coût.[/reponse]
[reponse motif="45"]Non.
$45$ est le coût variable de la Formule A ($6 \times 7{,}5$), mais il faut ajouter l'abonnement fixe de $20$ €.[/reponse]
[reponse motif="50"]Non.
$50$ est l'abonnement de la Formule B seul. Il faut aussi ajouter le coût horaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f(7{,}5) = 6 \times 7{,}5 + 20$.[/reponse]
[aide essai="2"]$f(7{,}5) = 6 \times 7{,}5 + 20$. Calculer $6 \times 7{,}5$ d'abord.[/aide]
[aide essai="3"]$6 \times 7{,}5 = 45$, puis $45 + 20 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$f(7{,}5) = 45 + 20 = 65$ € et $g(7{,}5) = 15 + 50 = 65$ €.[/solution]
[/etape]
[etape]
Pour $4$ heures d'utilisation, quelle formule est la moins chère ?
[qcm]
[option correct="true"]La Formule A[/option]
[option]La Formule B[/option]
[option]Les deux sont égales[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(4) = 6 \times 4 + 20 = 44$ € et $g(4) = 2 \times 4 + 50 = 58$ €.
Pour peu d'heures ($x < 7{,}5$), la Formule A est plus avantageuse car son abonnement fixe est moins élevé.[/reponse]
[reponse motif="La Formule B"]Non.
Calculer : $f(4) = 44$ € et $g(4) = 58$ €. La Formule A coûte moins cher.[/reponse]
[reponse motif="Les deux sont égales"]Non.
Les formules ne sont égales que pour $x = 7{,}5$ heures, or $4 \neq 7{,}5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer le coût de chaque formule pour $4$ heures et comparer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Pour $12$ heures d'utilisation, quelle formule est la moins chère ?
[qcm]
[option]La Formule A[/option]
[option correct="true"]La Formule B[/option]
[option]Les deux sont égales[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(12) = 6 \times 12 + 20 = 92$ € et $g(12) = 2 \times 12 + 50 = 74$ €.
Pour beaucoup d'heures ($x > 7{,}5$), la Formule B est plus avantageuse car son coût horaire est plus faible.[/reponse]
[reponse motif="La Formule A"]Non.
Calculer : $f(12) = 92$ € et $g(12) = 74$ €. La Formule B coûte moins cher.[/reponse]
[reponse motif="Les deux sont égales"]Non.
Les formules ne sont égales que pour $x = 7{,}5$ heures.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer le coût de chaque formule pour $12$ heures et comparer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
Randonnée en montagne
Un sentier de montagne relie un parking à un refuge situé à 16 km du parking.
Léa part du parking à 8 h et monte vers le refuge à la vitesse constante de 3 km/h.
Thomas part du refuge à 8 h et descend vers le parking à la vitesse constante de 5 km/h.
On note $ t $ le temps écoulé, en heures, depuis 8 h.
- Justifier que la distance, en km, de Léa au parking est donnée par $ f(t) = 3t $.
- Montrer que la distance, en km, de Thomas au parking est donnée par $ g(t) = -5t + 16 $.
- Quelle est la nature des fonctions $ f $ et $ g $ ? Préciser pour chacune le coefficient directeur et, le cas échéant, l'ordonnée à l'origine.
- Représenter graphiquement les fonctions $ f $ et $ g $ dans un même repère pour $ t \in [0\,;\,5] $.
On prendra 2 cm pour 1 heure en abscisse et 1 cm pour 2 km en ordonnée.
- Déterminer graphiquement l'heure à laquelle Léa et Thomas se croisent ainsi que leur distance au parking à cet instant.
- Retrouver ces résultats par le calcul.
- Léa part du parking (km 0) et marche à vitesse constante de 3 km/h. Après $ t $ heures de marche, elle a parcouru $ 3 \times t = 3t $ km.
Sa distance au parking est donc $\mathbf{f(t) = 3t}$.
- Thomas part du refuge situé à 16 km du parking. Après $ t $ heures, il a parcouru $ 5t $ km en direction du parking.
Sa distance au parking est donc :
$ g(t) = 16 - 5t $
On obtient bien $\mathbf{g(t) = -5t + 16}$.
- La fonction $ f : t \longmapsto 3t $ est de la forme $ t \longmapsto at $ avec $ a = 3 $. C'est une fonction linéaire (donc aussi affine), de coefficient directeur $ a = 3 $.
La fonction $ g : t \longmapsto -5t + 16 $ est de la forme $ t \longmapsto at + b $ avec $ a = -5 $ et $ b = 16 $. C'est une fonction affine de coefficient directeur $ a = -5 $ et d'ordonnée à l'origine $ b = 16 $.
Pour tracer la droite de $ f $, on calcule deux images :
$ f(0) = 0 $ et $ f(4) = 12 $. La droite passe par les points $ (0\,;\,0) $ et $ (4\,;\,12) $.
Pour tracer la droite de $ g $, on calcule deux images :
$ g(0) = 16 $ et $ g(3) = 1 $. La droite passe par les points $ (0\,;\,16) $ et $ (3\,;\,1) $.
Représentations graphiques de $ f $ (en bleu) et $ g $ (en rouge)
- Graphiquement, les deux droites se coupent au point de coordonnées $ (2\,;\,6) $.
Léa et Thomas se croisent à 10 h (soit 2 h après 8 h), à 6 km du parking.
- On résout l'équation $ f(t) = g(t) $ :
$ 3t = -5t + 16 $
$ 3t + 5t = 16 $
$ 8t = 16 $
$ t = \dfrac{16}{8} $
$ t = 2 $
On calcule la distance : $ f(2) = 3 \times 2 = 6 $ km.
Léa et Thomas se croisent bien 2 heures après 8 h, soit à 10 h, à 6 km du parking.
QCM Bilan : Fonctions affines
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : calcul d'images et d'antécédents, lecture graphique, sens de variation et intersection de droites. Choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Soit $f(x) = -2x + 5$. Calculer $f(-3)$.
[qcm]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$11$[/option]
[option]$-11$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f(-3) = -2 \times (-3) + 5 = 6 + 5 = 11$.
Le produit de deux nombres négatifs est positif : $-2 \times (-3) = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Tu as probablement calculé $-2 \times 3 + 5 = -6 + 5 = -1$. Attention : $x = -3$, donc $-2 \times (-3) = +6$ (produit de deux négatifs).[/reponse]
[reponse motif="$-11$"]Non.
Vérifie la règle des signes. $-2 \times (-3)$ est positif, pas négatif. Reprends le calcul.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Vérifie ton calcul. Reprends chaque étape : d'abord $-2 \times (-3)$, puis ajoute $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $x$ par $-3$ dans $-2x + 5$ en appliquant la règle des signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère les deux droites représentées ci-dessous.
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection $I$ des droites $f$ et $g$ ?
[qcm]
[option]$(3 ; 2)$[/option]
[option]$(2 ; 7)$[/option]
[option correct="true"]$(2 ; 3)$[/option]
[option]$(1 ; 5)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On lit sur le graphique que les deux droites se coupent au point $I(2 ; 3)$.
Vérification : $f(2) = 2 + 1 = 3$ et $g(2) = -2 \times 2 + 7 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$(3 ; 2)$"]Non.
Tu as inversé l'abscisse et l'ordonnée. Rappel : un point se note $(x ; y)$, l'abscisse en premier.[/reponse]
[reponse motif="$(2 ; 7)$"]Non.
L'abscisse $x = 2$ est correcte, mais $7$ est l'ordonnée à l'origine de $g$, pas l'ordonnée du point d'intersection. Lis l'ordonnée de $I$ sur l'axe vertical.[/reponse]
[reponse motif="$(1 ; 5)$"]Non.
Relis les coordonnées du point d'intersection sur le graphique. Repère l'abscisse (axe horizontal) puis l'ordonnée (axe vertical).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lis les coordonnées du point d'intersection sur le graphique : abscisse sur l'axe horizontal, ordonnée sur l'axe vertical.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Le coefficient directeur d'une fonction affine $f$ est $-3$ et la droite passe par le point $A(2 ; -1)$. Quelle est l'ordonnée à l'origine de $f$ ?
[qcm]
[option]$-7$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-5$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a $f(x) = -3x + b$ et $f(2) = -1$ :
$-3 \times 2 + b = -1$
$-6 + b = -1$
$b = -1 + 6 = 5$[/reponse]
[reponse motif="$-7$"]Non.
Vérifie le signe dans ton calcul. Tu as peut-être ajouté $-6$ et $-1$ au lieu de résoudre $-6 + b = -1$, c'est-à-dire $b = -1 + 6$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
$-1$ est l'ordonnée du point $A$, pas l'ordonnée à l'origine. L'ordonnée à l'origine est la valeur de $b$ dans $f(x) = -3x + b$.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Attention au signe. Dans $-6 + b = -1$, on obtient $b = -1 - (-6) = -1 + 6$. Vérifie le passage du $-6$ de l'autre côté.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écris $f(2) = -3 \times 2 + b = -1$ et isole $b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est strictement croissante ?
[qcm]
[option]$f(x) = -5x + 2$[/option]
[option]$g(x) = 7$[/option]
[option]$h(x) = -x + 10$[/option]
[option correct="true"]$k(x) = \dfrac{1}{3}x - 4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le coefficient directeur de $k$ est $a = \dfrac{1}{3} > 0$, donc $k$ est strictement croissante.
Les autres fonctions ont un coefficient directeur négatif ($f$, $h$) ou nul ($g$).[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = -5x + 2$"]Non.
Le coefficient directeur de $f$ est $a = -5 < 0$. Une fonction affine est croissante lorsque son coefficient directeur est positif.[/reponse]
[reponse motif="$g(x) = 7$"]Non.
$g(x) = 7$ est une fonction constante ($a = 0$). Elle n'est ni croissante ni décroissante.[/reponse]
[reponse motif="$h(x) = -x + 10$"]Non.
Le coefficient directeur de $h$ est $a = -1 < 0$, donc $h$ est décroissante. N'oublie pas que $-x$ signifie $(-1) \times x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une fonction affine est strictement croissante lorsque son coefficient directeur $a$ est strictement positif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère les fonctions $f(x) = 3x - 2$ et $g(x) = x + 4$. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $f(x) = g(x)$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$-3$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout $3x - 2 = x + 4$ :
$3x - x = 4 + 2$
$2x = 6$
$x = 3$
Les deux droites se coupent en $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Vérifie en remplaçant : $f(1) = 1$ et $g(1) = 5$, ces valeurs ne sont pas égales. Reprends la résolution de $3x - 2 = x + 4$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Attention au signe. Reprends la résolution pas à pas en regroupant les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Vérifie en remplaçant : $f(2) = 4$ et $g(2) = 6$. Reprends la résolution de $3x - 2 = x + 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résous l'équation $3x - 2 = x + 4$ en regroupant les termes en $x$ d'un côté.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Deux entreprises proposent les tarifs suivants pour la location d'un vélo :
- Entreprise A : $10$ euros d'abonnement puis $2$ euros par heure.
- Entreprise B : pas d'abonnement, $5$ euros par heure.
Soit $x$ le nombre d'heures de location. On note $f(x) = 2x + 10$ le coût chez A et $g(x) = 5x$ le coût chez B. À partir de combien d'heures l'entreprise A est-elle moins chère ?
[qcm]
[option]$2$ heures[/option]
[option]$3$ heures[/option]
[option correct="true"]$4$ heures[/option]
[option]$5$ heures[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On cherche quand $f(x) < g(x)$, c'est-à-dire $2x + 10 < 5x$ :
$10 < 3x$, soit $x > \dfrac{10}{3} \approx 3{,}3$.
Pour $3$ heures : $f(3) = 16$ euros et $g(3) = 15$ euros (A plus cher).
Pour $4$ heures : $f(4) = 18$ euros et $g(4) = 20$ euros (A moins cher).
L'entreprise A est moins chère à partir de $4$ heures.[/reponse]
[reponse motif="$2$ heures"]Non.
Vérifie en calculant les deux tarifs pour $2$ heures : $f(2) = 14$ euros et $g(2) = 10$ euros. L'entreprise A n'est pas encore moins chère.[/reponse]
[reponse motif="$3$ heures"]Non.
Pour $3$ heures : $f(3) = 16$ euros et $g(3) = 15$ euros. L'entreprise A est encore un peu plus chère. Essaie avec une heure de plus.[/reponse]
[reponse motif="$5$ heures"]Non.
L'entreprise A devient moins chère avant $5$ heures. Compare les tarifs heure par heure pour trouver le moment exact du basculement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compare les coûts $f(x) = 2x + 10$ et $g(x) = 5x$ pour différentes valeurs de $x$, ou résous l'inéquation $2x + 10 < 5x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
Comparaison de tarifs
Sylvie souhaite s'inscrire à un club d'aquagym pour une année.
Le club propose trois formules tarifaires différentes :
- Formule « à la séance » : 12 € la séance
- Formule « carte » : 90 € par carte de 10 séances
- Formule « abonnement » : cotisation de 50 € puis 5 € par séance.
Montrer que le coût total pour 8 séances est :
- 96 € avec la formule « à la séance »
- 90 € avec la formule « carte »
- 90 € avec la formule « abonnement ».
- Sylvie souhaite participer à 30 séances sur l'année. Quelle formule est la plus avantageuse ?
- Angélique s'inscrit également à ce club mais elle ne sait pas à l'avance à combien de séances elle va participer.
Elle souhaite cependant comparer les formules « à la séance » et « abonnement ».
Soit $ x $ le nombre de séances auxquelles Angélique participera.
Exprimer en fonction de $ x $ le coût total si elle choisit la formule « à la séance » puis le coût total si elle choisit la formule « abonnement ».
- À partir de combien de séances la formule « abonnement » est-elle plus avantageuse que la formule « à la séance » ?
- On note $ f $ la fonction qui à $ x $ associe $ 12x $ et $ g $ la fonction qui a $ x $ associe $ 5x +50 $.
La fonction $ f $ est-elle une linéaire ? affine ?
Mêmes questions pour la fonction $ g $.
- Représenter les fonctions $ f $ et $ g $ dans un repère orthogonal en prenant pour unités 1 cm en abscisses et 1 mm en ordonnées.
Retrouver le résultat de la question 5 à l'aide de ce graphique.
Calculons le coût total pour 8 séances :
- Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera 12 euros par séance donc au total :
$ 8\times 12=96 $ euros.
- Avec la formule « carte », Sylvie devra acheter une carte qui lui coûtera $ 90 $ euros (et il lui restera deux séances inutilisées).
- Avec la formule « abonnement », Sylvie paiera une cotisation de 50 euros puis 5 euros par séance soit au total :
$ 50+8\times 5=50+40=90 $ euros.
Le calcul est similaire pour 30 séances :
- Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera au total :
$ 30\times 12=360 $ euros.
- Avec la formule « carte », Sylvie devra acheter trois cartes qui lui coûteront $ 3\times 90=270 $ euros.
- Avec la formule « abonnement », Sylvie paiera au total :
$ 50+30\times 5=50+150=200 $ euros.
Pour 30 séances, la formule « abonnement » est la plus avantageuse.
Pour $ x $ séances :
- Avec la formule « à la séance » : Angélique paiera au total :
$ 12\times x=12x $ euros.
- Avec la formule « abonnement », Angélique paiera au total :
$ 50+x\times 5=50+5x $ euros.
- La formule « abonnement » est plus avantageuse que la formule « à la séance » dès lors que :
$ 50+5x \lt 12x $
On soustrait $ 5x $ à chaque membre de l'inéquation :
$ 50 \lt 7x $
On divise chaque membre par 7 :
$ \dfrac{50}{7} \lt x $
Comme $ \dfrac{50}{7} \approx 7{,}1 $, la formule « abonnement » sera plus intéressante à partir de 8 séances.
- La fonction $ f $ est : $ x \longmapsto 12x $.
Elle est de la forme :$ x \longmapsto ax $ ; c'est donc une fonction linéaire et également une fonction affine (puisque les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières).
La fonction $ g $ est : $ x \longmapsto 5x +50 $.
Elle est de la forme :$ x \longmapsto ax+b $ mais n'est pas de la forme : $ x \longmapsto ax $; c'est donc une fonction affine mais non linéaire.
La fonction $ f $ est linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Il suffit d'un second point pour tracer cette droite ; par exemple le point de coordonnées $ (1;12) $ puisque $ f(1)=12 $.
La fonction $ g $ est affine et non linéaire. Sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine. Il suffit de deux points pour tracer cette droite ; par exemple les points de coordonnées $ (0;50) $ et $ (1;55) $ puisque $ g(0)=50 $ et $ g(1)=55 $.
On obtient le graphique suivant :
La fonction $ f $ représente le coût de la formule « à la séance » et la fonction $ g $ représente le coût de la formule « abonnement ». La droite de $ f $ passe par l'origine : c'est une fonction linéaire. La droite de $ g $ ne passe pas par l'origine : c'est une fonction affine non linéaire. On retrouve bien graphiquement les résultats de la question 5. De plus, les deux droites se croisent pour $ x = 8 $ séances environ, ce qui confirme le résultat de la question 4.
Fonctions linéaires et affines (Brevet 2010)
(D'après Brevet Pondichéry 2010)
Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique.
- Offre A : 1,20€ par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site.
- Offre B : 0,50€ par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35€.
- Calculer, pour chaque offre, le prix pour 30 morceaux téléchargés par an.
- Exprimer, en fonction du nombre $ x $ de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre A.
- Exprimer, en fonction du nombre $ x $ de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre B
Soit $ f $ et $ g $ les deux fonctions définies par : $ f : x\mapsto 1{,}2x $ et $ g : x\mapsto 0{,}5x+35. $
- L'affirmation ci-dessous est-elle correcte ? Expliquer pourquoi. « $ f $ et $ g $ sont toutes les deux des fonctions linéaires ».
- Représenter sur la feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal les représentations graphiques des fonctions $ f $ et $ g $. On prendra 1 cm pour 10 morceaux en abscisse et 1 cm pour 10€ en ordonnée
- Déterminer le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes.
- Déterminer l'offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l'année.
- Si on dépense 80€, combien de morceaux peut-on télécharger avec l'offre B ?
Pour 30 morceaux :
- Offre A : $ 1{,}20 \times 30 = 36 $.
Le prix est de 36 €.
- Offre B : $ 0{,}50 \times 30 + 35 = 15 + 35 = 50 $.
Le prix est de 50 €.
Expressions des fonctions :
Le prix avec l'offre A est proportionnel au nombre de morceaux téléchargés.
Pour $ x $ morceaux, le prix est donné par :
$ f(x) = 1{,}2x $
Le prix avec l'offre B comprend un abonnement fixe de 35 € plus 0,50 € par morceau.
Pour $ x $ morceaux, le prix est donné par :
$ g(x) = 0{,}5x + 35 $
Étude des fonctions :
- La fonction $ f $ est de la forme $ ax $ avec $ a=1{,}2 $.
C'est donc une fonction linéaire.
La fonction $ g $ est de la forme $ ax+b $ avec $ a=0{,}5 $ et $ b=35 $.
C'est une fonction affine.
Elle n'est pas linéaire car $ b \neq 0 $.
L'affirmation est donc fausse.
Représentation graphique :
Pour $ f $ (fonction linéaire), la représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
On calcule un deuxième point pour le tracé.
Pour $ x=50 $, $ f(50) = 1{,}2 \times 50 = 60 $.
La droite passe par les points $ (0;0) $ et $ (50; 60) $.
Pour $ g $ (fonction affine), la représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine.
L'ordonnée à l'origine est 35, donc elle passe par $ (0; 35) $.
On calcule un deuxième point.
Pour $ x=50 $, $ g(50) = 0{,}5 \times 50 + 35 = 60 $.
La droite passe par les points $ (0; 35) $ et $ (50; 60) $.
On cherche le nombre de morceaux $ x $ pour lequel les prix sont identiques, c'est-à-dire $ f(x) = g(x) $.
On résout l'équation :
$ 1{,}2x = 0{,}5x + 35 $
$ 1{,}2x - 0{,}5x = 35 $
$ 0{,}7x = 35 $
$ x = \dfrac{35}{0{,}7} = 50 $
Les prix sont donc les mêmes pour 50 morceaux.
On compare les prix pour 60 morceaux téléchargés.
Offre A : $ f(60) = 1{,}2 \times 60 = 72 $. Le coût est de 72 €.
Offre B : $ g(60) = 0{,}5 \times 60 + 35 = 30 + 35 = 65 $. Le coût est de 65 €.
65 < 72, donc l'offre B est la plus avantageuse pour 60 morceaux.
On cherche combien de morceaux on peut télécharger avec 80 € selon l'offre B.
On résout l'équation $ g(x) = 80 $ :
$ 0{,}5x + 35 = 80 $
$ 0{,}5x = 80 - 35 $
$ 0{,}5x = 45 $
$ x = \dfrac{45}{0{,}5} $
$ x = 90 $
Avec 80 €, on peut télécharger 90 morceaux avec l'offre B.
