Résoudre un problème de trigonométrie

[enonce]
Un randonneur se trouve au pied d'une falaise. Il recule de 30 m et mesure un angle d'élévation de 42° entre l'horizontale et le sommet de la falaise.

On cherche à calculer la hauteur de la falaise (on néglige la hauteur du randonneur).

$Schéma de la falaise avec le randonneur, l'angle d'élévation de 42^{\circ} et la distance de 30 m$

[/enonce]

[etape]
Modéliser la situation.

On note $ S $ le sommet de la falaise, $ P $ le pied de la falaise et $ R $ la position du randonneur. Le triangle $ SPR $ est rectangle en $ P $.

Par rapport à l'angle $ \widehat{SRP} = 42^{\circ} $, identifier le côté $ [SP] $ (hauteur de la falaise) :

[qcm]
[option correct="true"]C'est le côté opposé[/option]
[option]C'est le côté adjacent[/option]
[option]C'est l'hypoténuse[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. $ [SP] $ est en face de l'angle de 42°, c'est bien le côté opposé.
[/reponse]

[reponse motif="C'est le côté adjacent"]
Le côté adjacent est celui qui touche l'angle et l'angle droit. Ici, c'est $ [RP] $ (la distance au sol), pas $ [SP] $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
$ [SP] $ est le côté opposé à l'angle de 42° (il est en face). $ [RP] $ est le côté adjacent (il touche l'angle et l'angle droit).
[/reponse]

[solution]
$ [SP] $ est le côté opposé à l'angle $ \widehat{SRP} $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Par rapport à l'angle $ \widehat{SRP} = 42^{\circ} $, identifier le côté $ [RP] $ (distance au sol = 30 m) :

[qcm]
[option correct="true"]C'est le côté adjacent[/option]
[option]C'est le côté opposé[/option]
[option]C'est l'hypoténuse[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. $ [RP] $ touche l'angle de 42° et l'angle droit en $ P $, c'est le côté adjacent.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
$ [RP] $ touche l'angle $ \widehat{SRP} $ et l'angle droit, c'est le côté adjacent.
[/reponse]

[solution]
$ [RP] $ est le côté adjacent à l'angle $ \widehat{SRP} $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Choisir le bon rapport trigonométrique.

On connait le côté adjacent ($ RP = 30 $ m) et on cherche le côté opposé ($ SP $). Quel rapport utiliser ?

[qcm]
[option correct="true"]La tangente[/option]
[option]Le sinus[/option]
[option]Le cosinus[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. La tangente relie le côté opposé et le côté adjacent : $ \tan(\widehat{a}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} $.
[/reponse]

[reponse motif="Le sinus"]
Le sinus fait intervenir l'hypoténuse, qu'on ne connait pas ici. On a le côté adjacent et on cherche le côté opposé : c'est la tangente.
[/reponse]

[reponse motif="Le cosinus"]
Le cosinus fait intervenir le côté adjacent et l'hypoténuse. Or on cherche le côté opposé, pas l'hypoténuse. C'est la tangente qu'il faut utiliser.
[/reponse]

[solution]
La tangente relie le côté opposé et le côté adjacent.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Écrire l'égalité reliant $ SP $, $ RP $ et l'angle de $ 42^{\circ} $, puis calculer $ SP $ arrondi au dixième : [[sp]]

[math id="sp" attendu="27.0"][/math]

[reponse statut="correct"]
Bravo ! $ SP = 30 \times \tan(42^{\circ}) \approx 30 \times 0{,}9004 \approx 27{,}0 $ m.
[/reponse]

[reponse motif="0.9"]
Tu as peut-être calculé seulement $ \tan(42^{\circ}) \approx 0{,}9 $ sans multiplier par 30.
Il faut calculer $ 30 \times \tan(42^{\circ}) $.
[/reponse]

[reponse motif="27"]
C'est la bonne valeur. Au dixième, on écrit $ 27{,}0 $ m.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
A la calculatrice (en mode degré) : $ 30 \times \tan(42^{\circ}) \approx 27{,}0 $.
[/reponse]

[aide essai="2"]
$ \tan(42^{\circ}) = \dfrac{SP}{RP} = \dfrac{SP}{30} $, donc $ SP = 30 \times \tan(42^{\circ}) $.
A la calculatrice (en mode degré), tape : $ 30 \times \tan(42) $.
[/aide]

[aide essai="3"]
$ \tan(42^{\circ}) \approx 0{,}9004 $
$ 30 \times 0{,}9004 \approx 27{,}0 $
[/aide]

[solution]
$ \tan(42^{\circ}) = \dfrac{SP}{30} $, donc $ SP = 30 \times \tan(42^{\circ}) \approx 27{,}0 $ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $ SR $ (distance entre le randonneur et le sommet de la falaise), arrondie au dixième : [[sr]]

[math id="sr" attendu="40.4"][/math]

[reponse statut="correct"]
Bravo ! $ SR^{2} = 27{,}0^{2} + 30^{2} = 729 + 900 = 1629 $, donc $ SR = \sqrt{1629} \approx 40{,}4 $ m.
[/reponse]

[reponse motif="57"]
Tu as peut-être additionné les longueurs ($ 27 + 30 $) au lieu d'appliquer le théorème de Pythagore.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
$ SR = \sqrt{SP^{2} + PR^{2}} = \sqrt{27{,}0^{2} + 30^{2}} $.
Calcule d'abord les carrés, puis la somme, puis la racine.
[/reponse]

[aide essai="2"]
$ SR^{2} = 27{,}0^{2} + 30^{2} = 729 + 900 = 1629 $
$ SR = \sqrt{1629} \approx \ldots $
[/aide]

[aide essai="3"]
$ \sqrt{1629} \approx 40{,}4 $ m.
[/aide]

[solution]
$ SR = \sqrt{27{,}0^{2} + 30^{2}} = \sqrt{1629} \approx 40{,}4 $ m.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux – Trigonométrie

[enonce]
Pour chaque affirmation sur la trigonométrie dans le triangle rectangle, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
Le cosinus est le quotient du côté adjacent par l'hypoténuse.
Comme le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse, ce quotient est inférieur a 1.
Et comme les longueurs sont positives, il est aussi supérieur a 0.
Par exemple, $ \cos(60^{\circ}) = 0{,}5 $ : c'est bien un nombre entre 0 et 1.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
Le cosinus est le rapport du côté adjacent sur l'hypoténuse : $ \cos(\widehat{a}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} $.
L'hypoténuse est toujours le plus grand côté du triangle rectangle, donc le numérateur est plus petit que le dénominateur.
Le quotient est donc bien compris entre 0 et 1.
Tu peux vérifier avec des exemples : $ \cos(30^{\circ}) \approx 0{,}87 $, $ \cos(60^{\circ}) = 0{,}5 $, $ \cos(45^{\circ}) \approx 0{,}71 $.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $ 0 < \cos(\widehat{a}) < 1 $ pour tout angle aigu.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La tangente d'un angle aigu est toujours inférieure à 1.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
La tangente est le quotient du côté opposé par le côté adjacent : $ \tan(\widehat{a}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} $.
Quand le côté opposé est plus grand que le côté adjacent, la tangente dépasse 1.
Par exemple, $ \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \approx 1{,}73 $.
La tangente peut meme devenir tres grande quand l'angle se rapproche de 90°.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
Contrairement au cosinus et au sinus, la tangente n'est pas limitée a 1.
Elle vaut le quotient du côté opposé par le côté adjacent, et rien n'empeche le côté opposé d'etre plus grand.
Par exemple, $ \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \approx 1{,}73 $, et $ \tan(80^{\circ}) \approx 5{,}67 $.
Plus l'angle est proche de 90°, plus la tangente est grande.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La tangente peut dépasser 1 (ex : $ \tan(60^{\circ}) \approx 1{,}73 $).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle $ ABC $ rectangle en $ B $, $ \sin(\widehat{BAC}) = \dfrac{AB}{AC} $.

Triangle ABC rectangle en B avec l'angle BAC marqué

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
Par rapport a l'angle $ \widehat{BAC} $, le côté $ [AB] $ est le côté adjacent (il touche l'angle) et le côté $ [BC] $ est le côté opposé (il est en face de l'angle).
Le sinus utilise le côté opposé sur l'hypoténuse : $ \sin(\widehat{BAC}) = \dfrac{BC}{AC} $.
Le quotient $ \dfrac{AB}{AC} $ correspond en réalité au cosinus de $ \widehat{BAC} $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur vient d'une confusion entre côté adjacent et côté opposé.
Par rapport a l'angle $ \widehat{BAC} $ : le côté $ [AB] $ touche l'angle, c'est le côté adjacent.
Le côté $ [BC] $ est en face de l'angle, c'est le côté opposé.
Le sinus utilise le côté opposé : $ \sin(\widehat{BAC}) = \dfrac{BC}{AC} $.
Le quotient $ \dfrac{AB}{AC} $ est le cosinus, pas le sinus.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $ \sin(\widehat{BAC}) = \dfrac{BC}{AC} $, pas $ \dfrac{AB}{AC} $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le sinus et le cosinus d'un angle n'ont pas d'unité (pas de cm, de m, etc.).

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
Le sinus et le cosinus sont des quotients de deux longueurs : par exemple $ \cos(\widehat{a}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} $.
Que les côtés soient en cm, en m ou en km, les unités sont les memes au numérateur et au dénominateur.
Elles se simplifient et le résultat est un nombre pur, sans unité.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
Le sinus et le cosinus sont des rapports de deux longueurs exprimées dans la meme unité.
Par exemple, $ \cos(\widehat{a}) = \dfrac{3 \text{ cm}}{5 \text{ cm}} = 0{,}6 $ : les cm se simplifient.
Le résultat est un nombre sans unité, quel que soit le systeme de mesure utilisé.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les rapports trigonométriques sont sans unité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour trouver la mesure d'un angle quand on connait son sinus, on utilise la touche $ \sin $ de la calculatrice.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
La touche $ \sin $ de la calculatrice fait le calcul angle vers rapport : elle donne le sinus d'un angle connu.
Pour faire le calcul inverse (rapport vers angle), il faut utiliser la fonction $ \sin^{-1} $ (aussi appelée Arcsin).
Sur la plupart des calculatrices, on y accede avec la touche 2nde ou Shift puis $ \sin $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux opérations.
La touche $ \sin $ transforme un angle en un rapport : par exemple $ \sin(30^{\circ}) = 0{,}5 $.
Ici on veut faire l'inverse : on connait le rapport et on cherche l'angle.
Il faut donc utiliser $ \sin^{-1} $ (Arcsin), accessible via la touche 2nde ou Shift de la calculatrice.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On utilise $ \sin^{-1} $ (Arcsin), pas $ \sin $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $ \tan(\widehat{a}) = \dfrac{\sin(\widehat{a})}{\cos(\widehat{a})} $ pour tout angle aigu $ \widehat{a} $.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
C'est une relation fondamentale de la trigonométrie.
On peut le vérifier a partir des définitions : $ \dfrac{\sin(\widehat{a})}{\cos(\widehat{a})} = \dfrac{\text{opposé}/\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}/\text{hypoténuse}} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \tan(\widehat{a}) $.
Les hypoténuses se simplifient et on retrouve bien la définition de la tangente.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
C'est une propriété importante du cours qui relie les trois rapports trigonométriques.
Pour le vérifier, on remplace par les définitions :
$ \dfrac{\sin(\widehat{a})}{\cos(\widehat{a})} = \dfrac{\text{opposé}/\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}/\text{hypoténuse}} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} $.
On obtient bien la définition de $ \tan(\widehat{a}) $.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est une relation fondamentale de la trigonométrie.
[/solution]
[/etape]

QCM – Rapports trigonométriques

[enonce]
Teste tes connaissances sur les rapports trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) dans un triangle rectangle.
[/enonce]

[etape]
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient :

[qcm]
[option correct="true"]du côté adjacent par l'hypoténuse[/option]
[option]du côté opposé par l'hypoténuse[/option]
[option]du côté opposé par le côté adjacent[/option]
[option]de l'hypoténuse par le côté adjacent[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. $ \cos(\widehat{a}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} $ (le C de CAH dans SOHCAHTOA).
[/reponse]

[reponse motif="du côté opposé par l'hypoténuse"]
C'est la définition du sinus, pas du cosinus. Retenir : SOHCAHTOA.
[/reponse]

[reponse motif="du côté opposé par le côté adjacent"]
C'est la définition de la tangente, pas du cosinus. Retenir : SOHCAHTOA.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Le cosinus est le quotient du côté adjacent par l'hypoténuse : CAH dans SOHCAHTOA.
[/reponse]

[solution]
$ \cos(\widehat{a}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} $ (CAH).
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ ABC $ est un triangle rectangle en $ B $. Quelle expression donne $ \sin(\widehat{BAC}) $ ?

[qcm]
[option correct="true"]$ \dfrac{BC}{AC} $[/option]
[option]$ \dfrac{AB}{AC} $[/option]
[option]$ \dfrac{BC}{AB} $[/option]
[option]$ \dfrac{AC}{BC} $[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Oui. Par rapport à $ \widehat{BAC} $ : $ [BC] $ est le côté opposé et $ [AC] $ est l'hypoténuse. Le sinus est opposé sur hypoténuse.
[/reponse]

[reponse motif="$ \dfrac{AB}{AC} $"]
C'est le cosinus de $ \widehat{BAC} $ (adjacent sur hypoténuse), pas le sinus.
[/reponse]

[reponse motif="$ \dfrac{BC}{AB} $"]
C'est la tangente de $ \widehat{BAC} $ (opposé sur adjacent), pas le sinus.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
$ \sin(\widehat{BAC}) = \dfrac{BC}{AC} $ (côté opposé sur hypoténuse).
[/reponse]

[solution]
$ \sin(\widehat{BAC}) = \dfrac{BC}{AC} $ (opposé / hypoténuse).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours :

[qcm]
[option correct="true"]compris strictement entre 0 et 1[/option]
[option]compris entre 0 et 10[/option]
[option]des nombres entiers[/option]
[option]supérieurs à 1[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. Le côté adjacent (ou opposé) est toujours plus court que l'hypoténuse, donc le quotient est inférieur à 1.
[/reponse]

[reponse motif="supérieurs à 1"]
C'est la tangente qui peut dépasser 1, pas le cosinus ni le sinus. Le numérateur (côté de l'angle droit) est toujours plus petit que le dénominateur (hypoténuse).
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Le cosinus et le sinus sont des quotients dont le numérateur est plus petit que le dénominateur (hypoténuse). Ils sont donc strictement compris entre 0 et 1.
[/reponse]

[solution]
Le cosinus et le sinus sont strictement compris entre 0 et 1 car l'hypoténuse est toujours le plus grand côté.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On connait un angle de 40° et le côté adjacent de 5 cm. Quel rapport utiliser pour trouver le côté opposé ?

[qcm]
[option correct="true"]La tangente[/option]
[option]Le sinus[/option]
[option]Le cosinus[/option]
[option]Le théorème de Pythagore[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Oui. On a le côté adjacent et on cherche le côté opposé : c'est TOA (Tangente = Opposé / Adjacent).
[/reponse]

[reponse motif="Le sinus"]
Le sinus fait intervenir le côté opposé et l'hypoténuse. Ici on n'a pas l'hypoténuse, on a le côté adjacent.
[/reponse]

[reponse motif="Le cosinus"]
Le cosinus fait intervenir le côté adjacent et l'hypoténuse. On a bien le côté adjacent, mais on cherche le côté opposé, pas l'hypoténuse.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
On a le côté adjacent et on cherche le côté opposé. Le rapport qui lie ces deux côtés est la tangente (TOA dans SOHCAHTOA).
[/reponse]

[solution]
La tangente lie le côté opposé et le côté adjacent : $ \tan(40^{\circ}) = \dfrac{\text{opposé}}{5} $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ \cos(60^{\circ}) = 0{,}5 $. Quelle est la valeur de $ \sin(60^{\circ}) $ ?

[qcm]
[option correct="true"]$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $[/option]
[option]$ 0{,}5 $[/option]
[option]$ 1{,}5 $[/option]
[option]$ \sqrt{3} $[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. On utilise $ \cos^{2}(60^{\circ}) + \sin^{2}(60^{\circ}) = 1 $, donc $ \sin^{2}(60^{\circ}) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75 $, et $ \sin(60^{\circ}) = \sqrt{0{,}75} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
[/reponse]

[reponse motif="$ 0{,}5 $"]
Cosinus et sinus d'un même angle n'ont pas la même valeur en général (sauf pour 45°). Il faut utiliser la relation $ \cos^{2} + \sin^{2} = 1 $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
$ \sin^{2}(60^{\circ}) = 1 - \cos^{2}(60^{\circ}) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75 $, donc $ \sin(60^{\circ}) = \sqrt{0{,}75} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87 $.
[/reponse]

[solution]
$ \sin(60^{\circ}) = \sqrt{1 - 0{,}5^{2}} = \sqrt{0{,}75} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ MNP $ est un triangle rectangle en $ N $ tel que $ MN = 3 $ et $ NP = 4 $. Que vaut $ \tan(\widehat{NMP}) $ ?

[qcm]
[option correct="true"]$ \dfrac{4}{3} $[/option]
[option]$ \dfrac{3}{4} $[/option]
[option]$ \dfrac{3}{5} $[/option]
[option]$ \dfrac{4}{5} $[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Oui. Par rapport à $ \widehat{NMP} $ : $ [NP] $ est le côté opposé ($ 4 $) et $ [MN] $ est le côté adjacent ($ 3 $). Donc $ \tan(\widehat{NMP}) = \dfrac{4}{3} $.
[/reponse]

[reponse motif="$ \dfrac{3}{4} $"]
Tu as inversé opposé et adjacent. Par rapport à $ \widehat{NMP} $, le côté opposé est $ [NP] = 4 $ et le côté adjacent est $ [MN] = 3 $.
[/reponse]

[reponse motif="$ \dfrac{3}{5} $"]
C'est le cosinus de $ \widehat{NMP} $ (adjacent / hypoténuse avec $ MP = 5 $), pas la tangente.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
$ \tan(\widehat{NMP}) = \dfrac{NP}{MN} = \dfrac{4}{3} $ (opposé sur adjacent).
[/reponse]

[solution]
$ \tan(\widehat{NMP}) = \dfrac{NP}{MN} = \dfrac{4}{3} $.
[/solution]
[/etape]