QCM Bilan : Solides et volumes
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : volumes des solides, sections, propriétés de la sphère et agrandissement-réduction. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Le solide ci-dessous est constitué d'un cylindre surmonté d'un cône ayant la même base. Calculer son volume total.
[qcm]
[option]$72\pi$ cm³[/option]
[option]$108\pi$ cm³[/option]
[option correct="true"]$84\pi$ cm³[/option]
[option]$36\pi$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le volume du cylindre est $V_1 = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi$ cm³.
Le volume du cône est $V_2 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi$ cm³.
Le volume total est $V = 72\pi + 12\pi = 84\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$72\pi$ cm³"]Non.
On a oublié d'ajouter le volume du cône. Le solide est composé d'un cylindre et d'un cône : il faut additionner les deux volumes.[/reponse]
[reponse motif="$108\pi$ cm³"]Non.
On a traité l'ensemble comme un unique cylindre de hauteur $12$ cm ($\pi \times 9 \times 12 = 108\pi$). La partie supérieure est un cône, dont le volume est $\dfrac{1}{3} \times \pi r^2 h$.[/reponse]
[reponse motif="$36\pi$ cm³"]Non.
On a traité l'ensemble comme un unique cône de hauteur $12$ cm ($\dfrac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 12 = 36\pi$). La partie inférieure est un cylindre plein.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut décomposer : cylindre ($\pi r^2 h = 72\pi$) + cône ($\dfrac{1}{3}\pi r^2 h = 12\pi$) = $84\pi$ cm³.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Une sphère de centre $O$ et de rayon $13$ cm est coupée par un plan situé à $5$ cm du centre. Calculer le rayon du cercle de section.
[qcm]
[option]$\sqrt{194}$ cm[/option]
[option correct="true"]$12$ cm[/option]
[option]$8$ cm[/option]
[option]$144$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Le triangle $OIM$ est rectangle en $I$. D'après le théorème de Pythagore :
$r^2 = OM^2 - OI^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
Donc $r = \sqrt{144} = 12$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{194}$ cm"]Non.
Il faut soustraire les carrés, pas les additionner. Le segment $[OM]$ est l'hypoténuse ($OM = R = 13$), donc $r^2 = R^2 - d^2$.[/reponse]
[reponse motif="$8$ cm"]Non.
Le rayon de la section ne s'obtient pas par soustraction directe ($13 - 5$). Il faut appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $OIM$.[/reponse]
[reponse motif="$144$ cm"]Non.
On a trouvé $r^2 = 144$ mais il faut prendre la racine carrée pour obtenir le rayon : $r = \sqrt{144} = 12$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le théorème de Pythagore donne $r^2 = 13^2 - 5^2 = 144$, donc $r = 12$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On effectue un agrandissement de rapport $k = 2$ sur une boule de rayon $3$ cm. Quelle est l'aire de la nouvelle sphère ?
[qcm]
[option correct="true"]$144\pi$ cm²[/option]
[option]$72\pi$ cm²[/option]
[option]$288\pi$ cm²[/option]
[option]$36\pi$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le nouveau rayon est $3 \times 2 = 6$ cm.
L'aire de la nouvelle sphère est $\mathscr{A} = 4\pi \times 6^2 = 4 \times 36\pi = 144\pi$ cm².
On peut aussi raisonner par l'ancienne aire $36\pi$, multipliée par $k^2 = 4$ : $36\pi \times 4 = 144\pi$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$72\pi$ cm²"]Non.
Les aires sont multipliées par $k^2 = 4$, pas par $k = 2$. L'aire initiale est $4\pi \times 9 = 36\pi$, et $36\pi \times 4 = 144\pi$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$288\pi$ cm²"]Non.
Le facteur $k^3 = 8$ s'applique aux volumes, pas aux aires. Les aires sont multipliées par $k^2 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$36\pi$ cm²"]Non.
C'est l'aire de la sphère initiale (avant agrandissement). Après agrandissement de rapport $2$, l'aire est multipliée par $k^2 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les aires sont multipliées par $k^2 = 4$. L'aire de la sphère initiale est $4\pi \times 9 = 36\pi$, donc la nouvelle aire est $36\pi \times 4 = 144\pi$ cm².[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère le cône de révolution ci-dessous. Calculer la longueur de la génératrice $[SA]$.
[qcm]
[option]$17$ cm[/option]
[option]$\sqrt{119}$ cm[/option]
[option]$169$ cm[/option]
[option correct="true"]$13$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le triangle $SOA$ est rectangle en $O$. D'après le théorème de Pythagore :
$SA^2 = SO^2 + OA^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
Donc $SA = \sqrt{169} = 13$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$17$ cm"]Non.
On ne peut pas additionner directement les longueurs ($12 + 5 = 17$). Il faut appliquer le théorème de Pythagore.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{119}$ cm"]Non.
Il faut additionner les carrés, pas les soustraire. La génératrice est l'hypoténuse du triangle rectangle $SOA$, donc $g^2 = SO^2 + OA^2$.[/reponse]
[reponse motif="$169$ cm"]Non.
On a trouvé $g^2 = 169$. Il ne faut pas oublier de prendre la racine carrée : $g = \sqrt{169} = 13$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le théorème de Pythagore dans le triangle $SOA$ rectangle en $O$ donne $g^2 = 12^2 + 5^2 = 169$, donc $g = 13$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer le volume de la pyramide ci-dessous à base rectangulaire.
[qcm]
[option]$720$ cm³[/option]
[option correct="true"]$240$ cm³[/option]
[option]$360$ cm³[/option]
[option]$40$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'aire de la base rectangulaire est $\mathscr{B} = 8 \times 6 = 48$ cm².
$V = \dfrac{1}{3} \times 48 \times 15 = \dfrac{720}{3} = 240$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$720$ cm³"]Non.
Il ne faut pas oublier le facteur $\dfrac{1}{3}$ dans la formule du volume d'une pyramide. Le volume est $\dfrac{1}{3} \times \mathscr{B} \times h$.[/reponse]
[reponse motif="$360$ cm³"]Non.
Le coefficient est $\dfrac{1}{3}$ et non $\dfrac{1}{2}$. Revoir la formule du volume d'une pyramide.[/reponse]
[reponse motif="$40$ cm³"]Non.
L'aire de la base rectangulaire est $8 \times 6 = 48$ cm², pas seulement $8$ cm². Il faut bien calculer l'aire complète du rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le volume d'une pyramide est $V = \dfrac{1}{3} \times \mathscr{B} \times h$. La base a pour aire $8 \times 6 = 48$ cm², donc $V = \dfrac{1}{3} \times 48 \times 15 = 240$ cm³.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Deux boules sont semblables. La petite a un volume de $\dfrac{32\pi}{3}$ cm³ et la grande a un rayon triple de celui de la petite. Quel est le volume de la grande boule ?
[qcm]
[option]$32\pi$ cm³[/option]
[option]$96\pi$ cm³[/option]
[option correct="true"]$288\pi$ cm³[/option]
[option]$864\pi$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le rapport d'agrandissement est $k = 3$. Les volumes sont multipliés par $k^3 = 27$.
$V = \dfrac{32\pi}{3} \times 27 = \dfrac{32 \times 27}{3}\pi = 32 \times 9\pi = 288\pi$ cm³.
Vérification : le rayon de la petite boule vérifie $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{32\pi}{3}$, donc $r^3 = 8$ et $r = 2$ cm. La grande a un rayon de $6$ cm et un volume de $\dfrac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$32\pi$ cm³"]Non.
Le volume n'est pas multiplié par $k = 3$ mais par $k^3 = 27$. Tripler le rayon ne triple pas le volume.[/reponse]
[reponse motif="$96\pi$ cm³"]Non.
Le volume n'est pas multiplié par $k^2 = 9$ mais par $k^3 = 27$. Le facteur $k^2$ s'applique aux aires, pas aux volumes.[/reponse]
[reponse motif="$864\pi$ cm³"]Non.
Le volume est multiplié par $k^3 = 27$, pas par $k^4 = 81$. Les volumes sont multipliés par le cube du rapport.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le rapport est $k = 3$. Les volumes sont multipliés par $k^3 = 27$, donc $V = \dfrac{32\pi}{3} \times 27 = 288\pi$ cm³.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
La bille dans le tube
[enonce]
On dispose d'un tube cylindrique de rayon $3$ cm et de hauteur $15$ cm. On place une bille (boule) de rayon $3$ cm au fond du tube, puis on remplit entièrement le tube d'eau.
Calculer le volume d'eau contenu dans le tube, puis déterminer la hauteur d'eau si on retire la bille.
[/enonce]
[etape]
Le volume du tube s'écrit $V_{\text{tube}} = a\pi$ cm³. Calculer $a$ : [[a]]
[math id="a" attendu="135"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$V_{\text{tube}} = \pi \times 3^2 \times 15 = \pi \times 9 \times 15 = 135\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="45"]
Tu as peut-être oublié d'élever le rayon au carré. La formule est $\pi R^2 h$, pas $\pi R h$.[/reponse]
[reponse motif="90"]
Vérifie le calcul $R^2 \times h = 9 \times 15$. Ce n'est pas $90$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
La formule du volume d'un cylindre est $V = \pi \times R^2 \times h$.
Calculer $R^2 \times h$ avec $R = 3$ et $h = 15$.[/reponse]
[aide essai="2"]
$V = \pi \times R^2 \times h$ avec $R = 3$ et $h = 15$.
Calculer $3^2 \times 15$.[/aide]
[aide essai="3"]
$3^2 = 9$.
$9 \times 15 = \ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{tube}} = \pi \times 9 \times 15 = 135\pi$ cm³.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Le volume de la bille s'écrit $V_{\text{bille}} = b\pi$ cm³. Calculer $b$ : []
[math id="b" attendu="36"]
[reponse statut="correct"][b]Bonne réponse !
$V_{\text{bille}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times 27\pi = 36\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="27"]
Tu as calculé $r^3 = 27$, mais il faut encore multiplier par $\dfrac{4}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="108"]
Tu as peut-être calculé $4 \times 27 = 108$, mais il faut diviser par $3$ : le coefficient est $\dfrac{4}{3}$, pas $4$.[/reponse]
[reponse motif="113"]
Vérifie ton calcul. La formule est $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ avec $r = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
La formule du volume d'une boule est $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$.
Calculer $r^3$, multiplier par $4$, puis diviser par $3$.[/reponse]
[aide essai="2"]
$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3$.
Calculer $3^3$, puis multiplier par $\dfrac{4}{3}$.[/aide]
[aide essai="3"]
$3^3 = 27$.
$\dfrac{4 \times 27}{3} = \dfrac{108}{3} = \ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{bille}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = \dfrac{108}{3}\pi = 36\pi$ cm³.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Pour trouver le volume d'eau, quelle opération effectuer ?
[qcm]
[option]Additionner le volume du tube et celui de la bille[/option]
[option correct="true"]Soustraire le volume de la bille du volume du tube[/option]
[option]Diviser le volume du tube par celui de la bille[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La bille occupe de la place dans le tube. L'eau remplit le reste : $V_{\text{eau}} = V_{\text{tube}} - V_{\text{bille}}$.[/reponse]
[reponse motif="Additionner le volume du tube et celui de la bille"]
L'eau ne remplit pas le tube entier : la bille prend de la place. Il faut retirer le volume de la bille.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
L'eau occupe l'espace du tube qui n'est pas pris par la bille. C'est une soustraction de volumes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$V_{\text{eau}} = V_{\text{tube}} - V_{\text{bille}}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Calculer le volume d'eau, arrondi au cm³ : [[veau]]
[math id="veau" attendu="311"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$V_{\text{eau}} = 135\pi - 36\pi = 99\pi \approx 311$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="171"]
Tu as peut-être additionné au lieu de soustraire. Il faut retrancher le volume de la bille.[/reponse]
[reponse motif="99"]
C'est le coefficient devant $\pi$, pas le volume arrondi. Il faut calculer $99 \times \pi$ à la calculatrice.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Calculer $135\pi - 36\pi$, puis évaluer le résultat à la calculatrice.[/reponse]
[aide essai="2"]
$V_{\text{eau}} = 135\pi - 36\pi = (135 - 36)\pi$.
Calculer $135 - 36$, puis multiplier par $\pi$.[/aide]
[aide essai="3"]
$V_{\text{eau}} = 99\pi$.
A la calculatrice : $99 \times \pi \approx \ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{eau}} = 135\pi - 36\pi = 99\pi \approx 311$ cm³.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On retire la bille du tube sans renverser d'eau. L'eau qui était autour de la bille redescend et forme un cylindre d'eau de rayon $3$ cm.
Calculer la hauteur d'eau dans le tube : [[heau]]
[math id="heau" attendu="11"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le volume d'eau est $99\pi$ cm³. Dans un cylindre de rayon $3$ : $99\pi = \pi \times 9 \times h$, donc $h = \dfrac{99}{9} = 11$ cm.
L'eau monte à $11$ cm, bien moins que les $15$ cm du tube plein.[/reponse]
[reponse motif="15"]
Le tube était rempli à $15$ cm avec la bille dedans. Sans la bille, le volume d'eau est plus petit que le volume du tube : l'eau descend.[/reponse]
[reponse motif="33"]
Tu as peut-être divisé par $3$ au lieu de $9$. La formule donne $h = \dfrac{V}{\pi R^2}$, et $R^2 = 9$, pas $R = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Le volume d'eau est $99\pi$. Ce volume remplit un cylindre de rayon $3$ et de hauteur $h$ : $99\pi = \pi \times 3^2 \times h$.
Simplifier par $\pi$ puis isoler $h$.[/reponse]
[aide essai="2"]
$99\pi = \pi \times 9 \times h$.
Diviser les deux côtés par $9\pi$.[/aide]
[aide essai="3"]
$h = \dfrac{99}{9} = \ldots$[/aide]
[solution]
$99\pi = \pi \times 9 \times h$, donc $h = \dfrac{99}{9} = 11$ cm.
[/solution]
[/etape]
Cuboctaèdre
On considère un cube $ ABCDEFGH $ de $ 10 $ cm d'arête. Soient $ I $ le milieu de $ [AB] $, $ J $ celui de $ [BC] $ et $ K $ celui de $ [BF] $.
- Calculer $ IJ $.
- Démontrer que $ IJK $ est un triangle équilatéral, puis calculer son aire.
- Calculer le volume de la pyramide $ BIJK $ ; en déduire, en centimètres, la hauteur issue de $ B $ de cette pyramide.
A partir des 8 sommets du cube, on peut former 8 pyramides, comme cela a été fait à partir du sommet $ B $. Après avoir découpé ces 8 pyramides, on obtient un nouveau solide, appelé cuboctaèdre.
- Soit $ M $ le milieu de $ [AE] $ et $ N $ celui de $ [EF] $. Quelle est la nature du quadrilatère $ MNKI $?
Calculer l'aire de ce quadrilatère.
- Donner une description du cuboctaèdre : nombre et nature des faces, nombre de sommets et d'arêtes.
Si S, A et F sont respectivement le nombre de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre, la formule d'Euler affirme que : S+F=A+2
La formule d'Euler est-elle vérifiée ?
- Dessiner un patron du cuboctaèdre.
- A partir du volume du cube, calculer le volume du cuboctaèdre.
Calculer le rapport entre ces 2 volumes ?
Comme $ I $ et $ J $ sont les milieux de $ [AB] $ et $ [BC] $, on a $ BI = BJ = \dfrac{10}{2} = 5 $ cm. Le triangle $ BIJ $ est rectangle en $ B $, donc d'après le théorème de Pythagore :
$ IJ^2 = BI^2 + BJ^2 = 5^2 + 5^2 = 50, \quad \text{donc} \quad IJ = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\, \text{cm}. $
De la même façon, $ BK = 5 $ cm et les triangles $ BIK $ et $ BJK $ sont rectangles en $ B $ avec des côtés de l'angle droit égaux à $ 5 $ cm. On obtient donc $ IK = JK = 5\sqrt{2} $ cm. Comme $ IJ = JK = KI = 5\sqrt{2} $ cm, le triangle $ IJK $ est équilatéral.
L'aire d'un triangle équilatéral de côté $ a $ vaut $ \dfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 $. Avec $ a = 5\sqrt{2} $ :
$ \mathscr{A}(IJK) = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times (5\sqrt{2})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 50 = 12{,}5\sqrt{3} \approx 21{,}65\, \text{cm}^2. $
On prend pour base le triangle $ BIJ $, rectangle en $ B $, dont l'aire est $ \dfrac{5 \times 5}{2} = 12{,}5\, \text{cm}^2 $. L'arête $ [BK] $, de longueur $ 5 $ cm, est perpendiculaire au plan $ (BIJ) $ et constitue donc la hauteur de la pyramide relative à cette base :
$ V = \dfrac{1}{3} \times \mathscr{A}(BIJ) \times BK = \dfrac{1}{3} \times 12{,}5 \times 5 = \dfrac{62{,}5}{3} \approx 20{,}83\, \text{cm}^3. $
En prenant cette fois pour base le triangle $ IJK $ et en notant $ h $ la hauteur issue de $ B $, le volume s'écrit aussi $ V = \dfrac{1}{3} \times \mathscr{A}(IJK) \times h $. On en déduit :
$ h = \dfrac{3V}{\mathscr{A}(IJK)} = \dfrac{62{,}5}{12{,}5\sqrt{3}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}89\, \text{cm}. $
Les points $ M $, $ N $, $ K $ et $ I $ sont les milieux de quatre arêtes de la face $ ABFE $. Chaque côté du quadrilatère joint deux milieux d'arêtes consécutives : $ MN = NK = KI = IM = 5\sqrt{2} $ cm (mêmes calculs de Pythagore que précédemment). Les quatre côtés sont égaux, et les diagonales $ [MK] $ et $ [NI] $ mesurent toutes deux $ 10 $ cm. Un quadrilatère dont les côtés sont égaux et les diagonales de même longueur est un carré.
Son aire est :
$ \mathscr{A}(MNKI) = (5\sqrt{2})^2 = 50\, \text{cm}^2. $
Le cuboctaèdre possède $ 8 $ faces triangulaires (les sections équilatérales aux $ 8 $ coins) et $ 6 $ faces carrées (au centre de chaque face du cube), soit $ F = 14 $ faces. Il a $ S = 12 $ sommets (les milieux des $ 12 $ arêtes du cube) et $ A = 24 $ arêtes.
Vérifions la formule d'Euler $ S + F = A + 2 $ :
$ S + F = 12 + 14 = 26 \quad \text{et} \quad A + 2 = 24 + 2 = 26. $
La formule d'Euler est bien vérifiée.
Patron :
Le cube a pour volume $ V_{\text{cube}} = 10^3 = 1\,000\, \text{cm}^3 $. On retire les $ 8 $ pyramides identiques à $ BIJK $, chacune de volume $ \dfrac{62{,}5}{3}\, \text{cm}^3 $ :
$ V_{\text{cuboctaèdre}} = 1\,000 - 8 \times \dfrac{62{,}5}{3} = 1\,000 - \dfrac{500}{3} = \dfrac{2\,500}{3} \approx 833{,}33\, \text{cm}^3. $
Le rapport entre le volume du cuboctaèdre et celui du cube est :
$ \dfrac{V_{\text{cuboctaèdre}}}{V_{\text{cube}}} = \dfrac{2\,500/3}{1\,000} = \dfrac{2\,500}{3\,000} = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}83. $
Volumes – Brevet Métropole 2018
Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la coupe du monde de ski.
Ce trophée pèse 9 kg et mesure 46 cm de hauteur.
Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de cristal de sa carrière en 2017 à Pyeongchang en Corée du Sud.
Donner approximativement la latitude et la longitude de ce lieu repéré sur la carte ci-dessous.
On considère que ce globe est composé d'un cylindre en cristal de diamètre 6cm, surmonté d'une boule de cristal. Voir schéma ci -dessous.
Montrer qu'une valeur approchée du volume de la boule de ce trophée est de $ 6~371~\text{cm}^3 $.
- Marie affirme que le volume de la boule de cristal représente environ 90 % du volume total du trophée.
A-t-elle raison ?
Rappels :
Volume d'une boule de rayon $ R $ : $ V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 $
Volume d'un cylindre de rayon $ r $ et de hauteur $ h~: V =\pi r^2h $.
- En lisant la position de Pyeongchang sur la mappemonde, on relève approximativement une latitude de $ 38^{\circ} $ Nord et une longitude de $ 128^{\circ} $ Est.
D'après le schéma, la boule a une hauteur de $ 23 $ cm : son diamètre vaut donc $ 23 $ cm et son rayon $ R = \dfrac{23}{2} = 11{,}5 $ cm.
Le volume de la boule est :
$ V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 11{,}5^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 1\,520{,}875 \approx 6\,371\, \text{cm}^3. $
Une valeur approchée du volume de la boule est bien $ 6\,371\, \text{cm}^3 $.
Le cylindre a pour diamètre $ 6 $ cm, donc pour rayon $ r = 3 $ cm, et pour hauteur $ h = 23 $ cm (d'après le schéma).
Son volume est :
$ V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 23 = 207\pi \approx 650{,}3\, \text{cm}^3. $
Le volume total du trophée est :
$ V_{\text{total}} = V_{\text{boule}} + V_{\text{cylindre}} \approx 6\,371 + 650{,}3 \approx 7\,021{,}3\, \text{cm}^3. $
La proportion du volume de la boule dans le volume total est :
$ \dfrac{V_{\text{boule}}}{V_{\text{total}}} \approx \dfrac{6\,371}{7\,021{,}3} \approx 0{,}907, $
soit environ $ 90{,}7\, \% $.
Cette proportion est proche de $ 90\, \% $ : Marie a raison.
