Solides et volumes – Glaçons et verres à cocktail – Brevet Amérique du Sud 2025

Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes.

Remarque

Rappels

Volume du cylindre = Aire de la base × Hauteur du cylindre
Aire du disque = $ \pi \times \text{(rayon)}^2 $
$ 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL} $

Pour un anniversaire, on veut préparer des cocktails de jus de fruits.

Partie 1 : Étude des glaçons

Document : photo du moule à glaçons utilisé et caractéristiques des glaçons.

Vue de dessus d'un moule à glaçons rectangulaire comportant 20 alvéoles disposées en 4 rangées de 5 alvéoles ; à côté, un glaçon en perspective indiquant longueur 5 cm, largeur 2,5 cm, hauteur 1,5 cm

Chaque glaçon a la forme d'un pavé droit :

de longueur 5 cm ;
de largeur 2,5 cm ;
de hauteur 1,5 cm.

On possède 12 moules à glaçons de ce type. Combien peut-on faire de glaçons en même temps ?
Montrer que le volume d'un glaçon est d'environ 19 mL.
5 litres d'eau sont-ils suffisants pour remplir ces 12 moules à glaçons ?

Partie 2 : Le service

On souhaite servir le cocktail dans des verres cylindriques.

Verre cylindrique de hauteur 15 cm et de diamètre 5 cm avec un repère noté h indiquant la hauteur de remplissage à 25 cL

Montrer que le verre a un volume total d'environ 295 mL.
Pour verser précisément 25 cL de cocktail, on utilise des verres avec un repère indiquant une contenance de 25 cL.
1. On a préparé 30 litres de cocktail. Combien peut-on remplir de verres contenant 25 cL de cocktail ?
2. En versant 25 cL de cocktail dans le verre, à quelle hauteur $ h $ du verre, le liquide arrive-t-il ? Arrondir au dixième.

Corrigé

Partie 1 : Étude des glaçons

D'après la photo, chaque moule contient 4 rangées de 5 alvéoles, soit $ 4 \times 5 = 20 $ glaçons.

Avec 12 moules : $ 12 \times 20 = 240 $.

On peut donc faire 240 glaçons en même temps.
Le volume d'un pavé droit est égal au produit de ses trois dimensions :

$ V_{\text{glaçon}} = 5 \times 2{,}5 \times 1{,}5 = 18{,}75 \text{ cm}^3 $

Comme $ 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL} $, on a $ V_{\text{glaçon}} \approx 19 \text{ mL} $.

Le volume d'un glaçon vaut bien environ 19 mL.
On calcule le volume total nécessaire pour remplir les 240 glaçons (en utilisant la valeur exacte 18,75 mL pour ne pas accumuler d'erreurs d'arrondi) :

$ V_{\text{total}} = 240 \times 18{,}75 = 4\,500 \text{ mL} = 4{,}5 \text{ L} $

Comme $ 4{,}5 \text{ L} < 5 \text{ L} $, 5 litres d'eau sont effectivement suffisants pour remplir les 12 moules à glaçons.

Partie 2 : Le service

Le verre est un cylindre de diamètre 5 cm, donc de rayon $ R = 2{,}5 $ cm, et de hauteur $ H = 15 $ cm.

$ V_{\text{verre}} = \pi \times R^2 \times H = \pi \times 2{,}5^2 \times 15 = \pi \times 6{,}25 \times 15 = 93{,}75\pi $

$ V_{\text{verre}} \approx 294{,}52 \text{ cm}^3 \approx 295 \text{ mL} $

Le verre a bien un volume total d'environ 295 mL.
1. On convertit 30 L en cL : $ 30 \text{ L} = 3\,000 \text{ cL} $.
  
  $ \dfrac{3\,000}{25} = 120 $.
  
  On peut donc remplir 120 verres de 25 cL avec les 30 litres de cocktail.
2. On cherche la hauteur $ h $ telle que le volume contenu dans le verre vaille 25 cL = 250 mL = 250 cm³.
  
  Le volume de cocktail à hauteur $ h $ s'écrit $ \pi \times R^2 \times h = 6{,}25\pi \times h $.
  
  On résout :
  
  $ 6{,}25\pi \times h = 250 $
  
  $ h = \dfrac{250}{6{,}25\pi} = \dfrac{40}{\pi} $
  
  $ h \approx 12{,}73 $ cm
  
  Le liquide arrive donc à une hauteur d'environ 12,7 cm dans le verre.

QCM Bilan : Solides et volumes

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : volumes des solides, sections, propriétés de la sphère et agrandissement-réduction. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Le solide ci-dessous est constitué d'un cylindre surmonté d'un cône ayant la même base. Calculer son volume total.

Cylindre de rayon 3 cm et hauteur 8 cm surmonté d'un cône de hauteur 4 cm

[qcm]
[option]$72\pi$ cm³[/option]
[option]$108\pi$ cm³[/option]
[option correct="true"]$84\pi$ cm³[/option]
[option]$36\pi$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le volume du cylindre est $V_1 = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi$ cm³.
Le volume du cône est $V_2 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi$ cm³.
Le volume total est $V = 72\pi + 12\pi = 84\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$72\pi$ cm³"]Non.
On a oublié d'ajouter le volume du cône. Le solide est composé d'un cylindre et d'un cône : il faut additionner les deux volumes.[/reponse]
[reponse motif="$108\pi$ cm³"]Non.
On a traité l'ensemble comme un unique cylindre de hauteur $12$ cm ($\pi \times 9 \times 12 = 108\pi$). La partie supérieure est un cône, dont le volume est $\dfrac{1}{3} \times \pi r^2 h$.[/reponse]
[reponse motif="$36\pi$ cm³"]Non.
On a traité l'ensemble comme un unique cône de hauteur $12$ cm ($\dfrac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 12 = 36\pi$). La partie inférieure est un cylindre plein.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut décomposer : cylindre ($\pi r^2 h = 72\pi$) + cône ($\dfrac{1}{3}\pi r^2 h = 12\pi$) = $84\pi$ cm³.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une sphère de centre $O$ et de rayon $13$ cm est coupée par un plan situé à $5$ cm du centre. Calculer le rayon du cercle de section.

Sphère de rayon 13 coupée par un plan à 5 cm du centre, triangle OIM

[qcm]
[option]$\sqrt{194}$ cm[/option]
[option correct="true"]$12$ cm[/option]
[option]$8$ cm[/option]
[option]$144$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Le triangle $OIM$ est rectangle en $I$. D'après le théorème de Pythagore :
$r^2 = OM^2 - OI^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
Donc $r = \sqrt{144} = 12$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{194}$ cm"]Non.
Il faut soustraire les carrés, pas les additionner. Le segment $[OM]$ est l'hypoténuse ($OM = R = 13$), donc $r^2 = R^2 - d^2$.[/reponse]
[reponse motif="$8$ cm"]Non.
Le rayon de la section ne s'obtient pas par soustraction directe ($13 - 5$). Il faut appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $OIM$.[/reponse]
[reponse motif="$144$ cm"]Non.
On a trouvé $r^2 = 144$ mais il faut prendre la racine carrée pour obtenir le rayon : $r = \sqrt{144} = 12$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le théorème de Pythagore donne $r^2 = 13^2 - 5^2 = 144$, donc $r = 12$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On effectue un agrandissement de rapport $k = 2$ sur une boule de rayon $3$ cm. Quelle est l'aire de la nouvelle sphère ?

[qcm]
[option correct="true"]$144\pi$ cm²[/option]
[option]$72\pi$ cm²[/option]
[option]$288\pi$ cm²[/option]
[option]$36\pi$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le nouveau rayon est $3 \times 2 = 6$ cm.
L'aire de la nouvelle sphère est $\mathscr{A} = 4\pi \times 6^2 = 4 \times 36\pi = 144\pi$ cm².
On peut aussi raisonner par l'ancienne aire $36\pi$, multipliée par $k^2 = 4$ : $36\pi \times 4 = 144\pi$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$72\pi$ cm²"]Non.
Les aires sont multipliées par $k^2 = 4$, pas par $k = 2$. L'aire initiale est $4\pi \times 9 = 36\pi$, et $36\pi \times 4 = 144\pi$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$288\pi$ cm²"]Non.
Le facteur $k^3 = 8$ s'applique aux volumes, pas aux aires. Les aires sont multipliées par $k^2 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$36\pi$ cm²"]Non.
C'est l'aire de la sphère initiale (avant agrandissement). Après agrandissement de rapport $2$, l'aire est multipliée par $k^2 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les aires sont multipliées par $k^2 = 4$. L'aire de la sphère initiale est $4\pi \times 9 = 36\pi$, donc la nouvelle aire est $36\pi \times 4 = 144\pi$ cm².[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère le cône de révolution ci-dessous. Calculer la longueur de la génératrice $[SA]$.

Cône de révolution de rayon 5 cm et de hauteur 12 cm avec génératrice SA

[qcm]
[option]$17$ cm[/option]
[option]$\sqrt{119}$ cm[/option]
[option]$169$ cm[/option]
[option correct="true"]$13$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le triangle $SOA$ est rectangle en $O$. D'après le théorème de Pythagore :
$SA^2 = SO^2 + OA^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
Donc $SA = \sqrt{169} = 13$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$17$ cm"]Non.
On ne peut pas additionner directement les longueurs ($12 + 5 = 17$). Il faut appliquer le théorème de Pythagore.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{119}$ cm"]Non.
Il faut additionner les carrés, pas les soustraire. La génératrice est l'hypoténuse du triangle rectangle $SOA$, donc $g^2 = SO^2 + OA^2$.[/reponse]
[reponse motif="$169$ cm"]Non.
On a trouvé $g^2 = 169$. Il ne faut pas oublier de prendre la racine carrée : $g = \sqrt{169} = 13$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le théorème de Pythagore dans le triangle $SOA$ rectangle en $O$ donne $g^2 = 12^2 + 5^2 = 169$, donc $g = 13$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume de la pyramide ci-dessous à base rectangulaire.

Pyramide à base rectangulaire de dimensions 8 cm par 6 cm et de hauteur 15 cm

[qcm]
[option]$720$ cm³[/option]
[option correct="true"]$240$ cm³[/option]
[option]$360$ cm³[/option]
[option]$40$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'aire de la base rectangulaire est $\mathscr{B} = 8 \times 6 = 48$ cm².
$V = \dfrac{1}{3} \times 48 \times 15 = \dfrac{720}{3} = 240$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$720$ cm³"]Non.
Il ne faut pas oublier le facteur $\dfrac{1}{3}$ dans la formule du volume d'une pyramide. Le volume est $\dfrac{1}{3} \times \mathscr{B} \times h$.[/reponse]
[reponse motif="$360$ cm³"]Non.
Le coefficient est $\dfrac{1}{3}$ et non $\dfrac{1}{2}$. Revoir la formule du volume d'une pyramide.[/reponse]
[reponse motif="$40$ cm³"]Non.
L'aire de la base rectangulaire est $8 \times 6 = 48$ cm², pas seulement $8$ cm². Il faut bien calculer l'aire complète du rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le volume d'une pyramide est $V = \dfrac{1}{3} \times \mathscr{B} \times h$. La base a pour aire $8 \times 6 = 48$ cm², donc $V = \dfrac{1}{3} \times 48 \times 15 = 240$ cm³.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux boules sont semblables. La petite a un volume de $\dfrac{32\pi}{3}$ cm³ et la grande a un rayon triple de celui de la petite. Quel est le volume de la grande boule ?

[qcm]
[option]$32\pi$ cm³[/option]
[option]$96\pi$ cm³[/option]
[option correct="true"]$288\pi$ cm³[/option]
[option]$864\pi$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le rapport d'agrandissement est $k = 3$. Les volumes sont multipliés par $k^3 = 27$.
$V = \dfrac{32\pi}{3} \times 27 = \dfrac{32 \times 27}{3}\pi = 32 \times 9\pi = 288\pi$ cm³.
Vérification : le rayon de la petite boule vérifie $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{32\pi}{3}$, donc $r^3 = 8$ et $r = 2$ cm. La grande a un rayon de $6$ cm et un volume de $\dfrac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$32\pi$ cm³"]Non.
Le volume n'est pas multiplié par $k = 3$ mais par $k^3 = 27$. Tripler le rayon ne triple pas le volume.[/reponse]
[reponse motif="$96\pi$ cm³"]Non.
Le volume n'est pas multiplié par $k^2 = 9$ mais par $k^3 = 27$. Le facteur $k^2$ s'applique aux aires, pas aux volumes.[/reponse]
[reponse motif="$864\pi$ cm³"]Non.
Le volume est multiplié par $k^3 = 27$, pas par $k^4 = 81$. Les volumes sont multipliés par le cube du rapport.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le rapport est $k = 3$. Les volumes sont multipliés par $k^3 = 27$, donc $V = \dfrac{32\pi}{3} \times 27 = 288\pi$ cm³.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Sections de solides et sphère

[enonce]
Ce QCM porte sur les sections de solides et les propriétés de la sphère. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Un plan coupe une sphère en passant par son centre. Quelle est la nature de la section obtenue ?

[qcm]
[option]Un cercle de rayon inférieur à celui de la sphère[/option]
[option correct="true"]Un grand cercle de même rayon que la sphère[/option]
[option]Un disque de même rayon que la sphère[/option]
[option]Une ellipse[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Lorsqu'un plan passe par le centre de la sphère, la section est un grand cercle, c'est-à-dire un cercle de même centre et de même rayon que la sphère.[/reponse]
[reponse motif="Un cercle de rayon inférieur à celui de la sphère"]Non.
Un cercle de rayon plus petit est obtenu quand le plan ne passe pas par le centre. Ici le plan passe par le centre, donc la section a le même rayon que la sphère.[/reponse]
[reponse motif="Un disque de même rayon que la sphère"]Pas tout à fait.
La section d'une sphère (surface) par un plan est un cercle, pas un disque. Le disque correspondrait à la section d'une boule (solide plein).[/reponse]
[reponse motif="Une ellipse"]Non.
La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle, jamais une ellipse. L'ellipse apparaît dans la section d'un cylindre par un plan oblique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La section d'une sphère par un plan passant par le centre est un grand cercle : un cercle de même rayon que la sphère.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une sphère de centre $O$ et de rayon $5$ cm est coupée par un plan situé à $3$ cm du centre. Calculer le rayon $r$ du cercle de section.

Sphère de rayon 5 coupée par un plan à 3 cm du centre, formant un triangle rectangle OIM

[qcm]
[option correct="true"]$4$ cm[/option]
[option]$\sqrt{34}$ cm[/option]
[option]$2$ cm[/option]
[option]$16$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le triangle $OIM$ est rectangle en $I$. D'après le théorème de Pythagore :
$OM^2 = OI^2 + IM^2$
$5^2 = 3^2 + r^2$
$25 = 9 + r^2$
$r^2 = 16$, donc $r = 4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{34}$ cm"]Non.
Il faut soustraire les carrés, pas les additionner. Le rayon de la sphère est l'hypoténuse du triangle rectangle $OIM$, donc $r^2 = R^2 - d^2$.[/reponse]
[reponse motif="$2$ cm"]Non.
Le rayon de la section ne s'obtient pas en soustrayant directement les longueurs ($5 - 3$). Il faut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle $OIM$.[/reponse]
[reponse motif="$16$ cm"]Non.
Il ne faut pas oublier de prendre la racine carrée. On trouve $r^2 = 16$, donc $r = \sqrt{16} = 4$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $OIM$ rectangle en $I$ : $r^2 = R^2 - d^2 = 25 - 9 = 16$, donc $r = 4$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On coupe un cube par un plan parallèle à l'une de ses faces. Quelle est la nature de la section ?

Cube coupé par un plan parallèle à une face, section en gris

[qcm]
[option]Un rectangle[/option]
[option]Un losange[/option]
[option correct="true"]Un carré de mêmes dimensions que la face[/option]
[option]Un hexagone régulier[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La section d'un cube par un plan parallèle à une face est un carré de mêmes dimensions que cette face. Chaque côté de la section est parallèle et égal au côté correspondant de la face.[/reponse]
[reponse motif="Un rectangle"]Pas tout à fait.
Un carré est bien un rectangle particulier, mais la réponse la plus précise est qu'il s'agit d'un carré. Un cube ayant toutes ses faces carrées, la section parallèle à une face est aussi un carré.[/reponse]
[reponse motif="Un losange"]Non.
Un losange a quatre côtés égaux mais pas forcément quatre angles droits. Ici, la section a quatre côtés égaux et quatre angles droits : c'est un carré.[/reponse]
[reponse motif="Un hexagone régulier"]Non.
On obtient un hexagone lorsqu'on coupe un cube par un plan diagonal passant par les milieux de six arêtes. Ici, le plan est parallèle à une face, donc la section est un carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La section d'un cube par un plan parallèle à l'une de ses faces est un carré identique à cette face.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer l'aire de la sphère de rayon $5$ cm.

[qcm]
[option]$25\pi$ cm²[/option]
[option correct="true"]$100\pi$ cm²[/option]
[option]$\dfrac{500\pi}{3}$ cm²[/option]
[option]$20\pi$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'aire d'une sphère est $\mathscr{A} = 4\pi r^2$.
$\mathscr{A} = 4 \times \pi \times 5^2 = 4 \times 25\pi = 100\pi$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$25\pi$ cm²"]Non.
La valeur $\pi r^2 = 25\pi$ est l'aire d'un disque de rayon $5$, pas l'aire de la sphère. L'aire de la sphère est quatre fois plus grande.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{500\pi}{3}$ cm²"]Non.
La formule $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ donne le volume de la boule, pas l'aire de la sphère. L'aire est $\mathscr{A} = 4\pi r^2$.[/reponse]
[reponse motif="$20\pi$ cm²"]Non.
Le rayon doit être élevé au carré dans la formule. L'aire de la sphère est $4\pi r^2 = 4\pi \times 25$, pas $4\pi \times 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'aire d'une sphère de rayon $r$ est $\mathscr{A} = 4\pi r^2$. Avec $r = 5$ : $\mathscr{A} = 100\pi$ cm².[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On coupe le cône de révolution ci-dessous par un plan parallèle à la base, à mi-hauteur depuis le sommet. Quel est le rayon du cercle de section ?

Cône de rayon 8 cm coupé à mi-hauteur par un plan parallèle à la base

[qcm]
[option]$2$ cm[/option]
[option correct="true"]$4$ cm[/option]
[option]$8$ cm[/option]
[option]$\dfrac{8}{\sqrt{2}}$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La section est une réduction de la base. À mi-hauteur depuis le sommet, le rapport est $k = \dfrac{1}{2}$.
Le rayon de la section est $8 \times \dfrac{1}{2} = 4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$2$ cm"]Non.
Le rapport de réduction $k = \dfrac{1}{2}$ s'applique directement aux longueurs. Le rayon de la section est $8 \times \dfrac{1}{2} = 4$ cm, et non $8 \times \dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$8$ cm"]Non.
La section par un plan parallèle à la base est une réduction de cette base. Le rayon est plus petit que celui de la base, sauf si le plan passe par la base elle-même.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{8}{\sqrt{2}}$ cm"]Non.
Le rapport de réduction est $\dfrac{1}{2}$, pas $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Les longueurs sont directement proportionnelles à la distance au sommet.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La section d'un cône par un plan parallèle à la base situé à mi-hauteur est un cercle de rayon moitié : $r = 8 \times \dfrac{1}{2} = 4$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une sphère de centre $O$ et de rayon $10$ cm est coupée par un plan situé à $8$ cm du centre. Calculer le rayon du cercle de section.

Sphère de rayon 10 coupée par un plan à 8 cm du centre, triangle rectangle OIM

[qcm]
[option]$\sqrt{164}$ cm[/option]
[option]$2$ cm[/option]
[option]$36$ cm[/option]
[option correct="true"]$6$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le triangle $OIM$ est rectangle en $I$. D'après le théorème de Pythagore :
$r^2 = OM^2 - OI^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
Donc $r = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{164}$ cm"]Non.
Il faut soustraire les carrés, pas les additionner. Le rayon de la sphère ($OM = 10$) est l'hypoténuse, donc $r^2 = 10^2 - 8^2$.[/reponse]
[reponse motif="$2$ cm"]Non.
Le rayon de la section ne s'obtient pas par soustraction directe ($10 - 8 = 2$). Il faut appliquer le théorème de Pythagore.[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm"]Non.
On trouve $r^2 = 36$, mais il ne faut pas oublier de prendre la racine carrée pour obtenir $r = \sqrt{36} = 6$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On utilise le théorème de Pythagore : $r^2 = R^2 - d^2 = 100 - 64 = 36$, donc $r = 6$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Volumes des solides

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul des volumes des solides usuels : cylindre, pyramide, cône et boule. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Calculer le volume du cylindre de révolution ci-dessous.

Cylindre de révolution de rayon 4 cm et de hauteur 5 cm

[qcm]
[option]$20\pi$ cm³[/option]
[option correct="true"]$80\pi$ cm³[/option]
[option]$\dfrac{80\pi}{3}$ cm³[/option]
[option]$320\pi$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le volume d'un cylindre est $V = \pi \times r^2 \times h$.
$V = \pi \times 4^2 \times 5 = \pi \times 16 \times 5 = 80\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$20\pi$ cm³"]Non.
Le rayon doit être élevé au carré dans la formule. Il faut calculer $\pi \times r^2 \times h$, et non $\pi \times r \times h$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{80\pi}{3}$ cm³"]Non.
La formule avec le facteur $\dfrac{1}{3}$ est celle du cône, pas du cylindre. Le volume d'un cylindre est $V = \pi r^2 h$ (sans diviser par 3).[/reponse]
[reponse motif="$320\pi$ cm³"]Non.
Attention à ne pas confondre le rayon et le diamètre. Ici le rayon vaut $4$ cm, pas $8$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le volume d'un cylindre est $V = \pi \times r^2 \times h$. Il faut bien mettre le rayon au carré et ne pas confondre avec la formule du cône.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume de la boule de rayon $3$ cm représentée ci-dessous.

[qcm]
[option]$12\pi$ cm³[/option]
[option]$108\pi$ cm³[/option]
[option correct="true"]$36\pi$ cm³[/option]
[option]$27\pi$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Le volume d'une boule est $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$.
$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times 27\pi = \dfrac{108\pi}{3} = 36\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$12\pi$ cm³"]Non.
Le rayon doit être élevé au cube, pas au carré. Il faut calculer $r^3 = 27$, et non $r^2 = 9$.[/reponse]
[reponse motif="$108\pi$ cm³"]Non.
Il ne faut pas oublier de diviser par $3$. La formule complète est $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, pas $4\pi r^3$.[/reponse]
[reponse motif="$27\pi$ cm³"]Non.
Le coefficient devant $\pi r^3$ est $\dfrac{4}{3}$ et non $1$. La formule du volume de la boule est $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le volume d'une boule de rayon $r$ est $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$. Ici $r = 3$, donc $V = \dfrac{4}{3} \times 27\pi = 36\pi$ cm³.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume de la pyramide à base carrée ci-dessous.

Pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 10 cm

[qcm]
[option]$360$ cm³[/option]
[option]$180$ cm³[/option]
[option]$20$ cm³[/option]
[option correct="true"]$120$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le volume d'une pyramide est $V = \dfrac{1}{3} \times \mathscr{B} \times h$.
L'aire de la base carrée est $\mathscr{B} = 6^2 = 36$ cm².
$V = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 10 = \dfrac{360}{3} = 120$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$360$ cm³"]Non.
Il ne faut pas oublier le facteur $\dfrac{1}{3}$ dans la formule du volume d'une pyramide. Le volume n'est pas $\mathscr{B} \times h$ mais $\dfrac{1}{3} \times \mathscr{B} \times h$.[/reponse]
[reponse motif="$180$ cm³"]Non.
Le coefficient est $\dfrac{1}{3}$ et non $\dfrac{1}{2}$. Revoir la formule du volume d'une pyramide.[/reponse]
[reponse motif="$20$ cm³"]Non.
L'aire de la base n'est pas $6$ mais $6^2 = 36$ cm². La base est un carré, il faut calculer l'aire du carré avant d'appliquer la formule.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le volume d'une pyramide est $V = \dfrac{1}{3} \times \mathscr{B} \times h$ avec $\mathscr{B}$ l'aire de la base. Ici $\mathscr{B} = 6^2 = 36$ cm².[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume du cône de révolution ci-dessous.

Cône de révolution de rayon 6 cm et de hauteur 10 cm

[qcm]
[option]$20\pi$ cm³[/option]
[option correct="true"]$120\pi$ cm³[/option]
[option]$360\pi$ cm³[/option]
[option]$480\pi$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le volume d'un cône est $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$.
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 10 = \dfrac{1}{3} \times 360\pi = 120\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$20\pi$ cm³"]Non.
Le rayon doit être élevé au carré. Il faut calculer $r^2 = 36$, et non utiliser $r = 6$ directement.[/reponse]
[reponse motif="$360\pi$ cm³"]Non.
Il ne faut pas oublier le facteur $\dfrac{1}{3}$. Le volume d'un cône n'est pas $\pi r^2 h$ mais $\dfrac{1}{3} \times \pi r^2 h$.[/reponse]
[reponse motif="$480\pi$ cm³"]Non.
Attention à ne pas confondre rayon et diamètre. Le rayon du cône est $6$ cm, pas $12$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le volume d'un cône est $V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^2 h$. Il faut bien mettre le rayon au carré et ne pas oublier le facteur $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère le cylindre ci-dessous dont le diamètre mesure $10$ cm. Calculer son volume.

Cylindre de diamètre 10 cm et de hauteur 7 cm

[qcm]
[option correct="true"]$175\pi$ cm³[/option]
[option]$700\pi$ cm³[/option]
[option]$70\pi$ cm³[/option]
[option]$\dfrac{175\pi}{3}$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le diamètre est $10$ cm, donc le rayon est $r = 5$ cm.
$V = \pi \times 5^2 \times 7 = \pi \times 25 \times 7 = 175\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$700\pi$ cm³"]Non.
On a utilisé le diamètre au lieu du rayon. Quand l'énoncé donne le diamètre, il faut d'abord diviser par $2$ pour obtenir le rayon.[/reponse]
[reponse motif="$70\pi$ cm³"]Non.
Le rayon doit être élevé au carré dans la formule. De plus, il faut utiliser le rayon ($5$ cm) et non le diamètre ($10$ cm).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{175\pi}{3}$ cm³"]Non.
Le facteur $\dfrac{1}{3}$ concerne le cône, pas le cylindre. Le volume d'un cylindre est $V = \pi r^2 h$ sans division par $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le diamètre est $10$ cm donc le rayon est $5$ cm. Le volume du cylindre est $V = \pi r^2 h = \pi \times 25 \times 7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère une boule de diamètre $12$ cm. Calculer son volume.

[qcm]
[option]$48\pi$ cm³[/option]
[option]$864\pi$ cm³[/option]
[option]$2304\pi$ cm³[/option]
[option correct="true"]$288\pi$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le diamètre est $12$ cm, donc le rayon est $r = 6$ cm.
$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3} \times 216\pi = \dfrac{864\pi}{3} = 288\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$48\pi$ cm³"]Non.
Le rayon doit être élevé au cube, pas au carré. Il faut calculer $r^3 = 216$, et non $r^2 = 36$.[/reponse]
[reponse motif="$864\pi$ cm³"]Non.
Il ne faut pas oublier de diviser par $3$ dans la formule. Le volume est $\dfrac{4}{3}\pi r^3$, pas $4\pi r^3$.[/reponse]
[reponse motif="$2304\pi$ cm³"]Non.
Attention, le diamètre est $12$ cm mais le rayon est $6$ cm. Il faut d'abord diviser le diamètre par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le diamètre vaut $12$ cm donc le rayon est $6$ cm. Le volume est $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3} \times 216\pi = 288\pi$ cm³.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Agrandissement-réduction et solides

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les solides et l'agrandissement-réduction, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère un cube de côté $a$ et un cube dont toutes les dimensions sont doublées (côté $2a$).

Deux cubes côte à côte : un petit cube de côté a et un grand cube de côté 2a

Affirmation : Le volume du grand cube est $4$ fois celui du petit cube.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Les longueurs sont multipliées par $k = 2$. Les volumes sont multipliés par $k^3 = 2^3 = 8$, pas par $4$.
Le volume du grand cube est $8$ fois celui du petit cube.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de confondre l'effet sur les aires et l'effet sur les volumes. Les aires sont multipliées par $k^2 = 4$, mais les volumes sont multipliés par $k^3 = 8$.
Ici, $V_{\text{grand}} = (2a)^3 = 8a^3 = 8 \times V_{\text{petit}}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Doubler les dimensions multiplie le volume par $2^3 = 8$, pas par $4$ (qui est $2^2$, le coefficient des aires).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on triple le rayon d'une sphère, son aire est multipliée par $9$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le rapport d'agrandissement est $k = 3$. Les aires sont multipliées par $k^2 = 3^2 = 9$.
On peut le vérifier : $\mathscr{A}_1 = 4\pi r^2$ et $\mathscr{A}_2 = 4\pi (3r)^2 = 4\pi \times 9r^2 = 9 \times \mathscr{A}_1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Lors d'un agrandissement de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$. Ici $k = 3$, donc les aires sont bien multipliées par $3^2 = 9$.
Attention : ce sont les volumes qui seraient multipliés par $k^3 = 27$, pas les aires.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Tripler le rayon (rapport $k = 3$) multiplie les aires par $k^2 = 9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère une pyramide $SABCD$ à base carrée de côté $6$ cm et de hauteur $10$ cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, situé à mi-hauteur.

Pyramide SABCD à base carrée coupée à mi-hauteur par un plan parallèle à la base, montrant la section carrée

Affirmation : L'aire de la section est égale à la moitié de l'aire de la base.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le plan est à mi-hauteur, donc le rapport de réduction est $k = \dfrac{1}{2}$. Les longueurs de la section sont multipliées par $\dfrac{1}{2}$ et les aires par $k^2 = \dfrac{1}{4}$.
L'aire de la section vaut $\dfrac{1}{4} \times 36 = 9$ cm², soit le quart de l'aire de la base.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre le rapport de réduction des longueurs ($k = \dfrac{1}{2}$) et celui des aires ($k^2 = \dfrac{1}{4}$).
Le côté de la section mesure $6 \times \dfrac{1}{2} = 3$ cm, donc son aire est $3^2 = 9$ cm² : c'est le quart (pas la moitié) de $36$ cm².[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'aire de la section est le quart de l'aire de la base ($k^2 = \dfrac{1}{4}$), pas la moitié.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un cône de révolution de rayon $6$ cm et de hauteur $3$ cm, et une boule de rayon $3$ cm.

Un cône de rayon 6 cm et hauteur 3 cm à côté d'une boule de rayon 3 cm

Affirmation : Ces deux solides ont le même volume.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 3 = \dfrac{1}{3} \times 108\pi = 36\pi$ cm³.
$V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times 27\pi = 36\pi$ cm³.
Les deux volumes sont bien égaux à $36\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut calculer chaque volume séparément.
Le cône : $\dfrac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 3 = 36\pi$.
La boule : $\dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi$.
Les deux valent bien $36\pi$ cm³.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $V_{\text{cône}} = 36\pi$ cm³ et $V_{\text{boule}} = 36\pi$ cm³ : les volumes sont égaux.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si le volume d'un solide est multiplié par $27$ lors d'un agrandissement, alors ses longueurs sont multipliées par $9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Si les volumes sont multipliés par $27$, alors $k^3 = 27$, ce qui donne $k = \sqrt[3]{27} = 3$.
Les longueurs sont multipliées par $3$, pas par $9$.
Le nombre $9 = 3^2$ serait le coefficient multiplicateur des aires, pas des longueurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : si le rapport d'agrandissement est $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$. Ici $k^3 = 27$, donc $k = 3$.
Le nombre $9$ correspondrait à $k^2$, c'est-à-dire au coefficient des aires. Les longueurs, elles, sont multipliées par $k = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $k^3 = 27$ alors $k = 3$ : les longueurs sont multipliées par $3$ (et les aires par $9$).
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Volumes et aires des solides

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les volumes et aires des solides, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère un cône de révolution et un cylindre ayant la même base et la même hauteur.

Un cône et un cylindre de même base circulaire et de même hauteur placés côte à côte

Affirmation : Le volume du cône est la moitié de celui du cylindre.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Le volume du cône n'est pas la moitié mais le tiers de celui du cylindre de même base et même hauteur.
$V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi R^2 \times h$ et $V_{\text{cylindre}} = \pi R^2 \times h$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, le coefficient qui relie le volume du cône à celui du cylindre n'est pas $\dfrac{1}{2}$ mais $\dfrac{1}{3}$.
Le volume du cône est le tiers (pas la moitié) de celui du cylindre de même base et même hauteur.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le volume du cône est le tiers (et non la moitié) de celui du cylindre de même base et même hauteur : $V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times V_{\text{cylindre}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On coupe une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ par un plan passant par $O$.

Sphère de centre O coupée par un plan passant par son centre, montrant le grand cercle de section

Affirmation : La section obtenue est un cercle de même rayon $R$ que la sphère.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Lorsqu'un plan passe par le centre de la sphère, la section est un grand cercle, c'est-à-dire un cercle de même centre $O$ et de même rayon $R$ que la sphère.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle. Quand le plan passe par le centre, ce cercle a le plus grand rayon possible : c'est un grand cercle, de même rayon $R$ que la sphère.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La section d'une sphère par un plan passant par son centre est un grand cercle de rayon $R$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'aire d'une sphère de rayon $3$ cm est $9\pi$ cm².

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$9\pi$ est l'aire du disque de rayon $3$ cm ($\pi r^2 = \pi \times 9$), pas celle de la sphère.
L'aire de la sphère est $4\pi r^2 = 4 \times \pi \times 9 = 36\pi$ cm².[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre l'aire du disque ($\pi r^2$) et l'aire de la sphère ($4\pi r^2$).
Ici : $\mathscr{A} = 4 \times \pi \times 3^2 = 36\pi$ cm², soit quatre fois l'aire du disque de même rayon.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'aire de la sphère de rayon $3$ cm est $4\pi \times 9 = 36\pi$ cm², pas $9\pi$ cm².
[/solution]
[/etape]

[etape]

Boule de diamètre 6 cm avec le diamètre et le rayon indiqués

Affirmation : Le volume de cette boule de diamètre $6$ cm est $36\pi$ cm³.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le diamètre est $6$ cm, donc le rayon est $r = 3$ cm.
$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times 27\pi = \dfrac{108\pi}{3} = 36\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de confondre rayon et diamètre. Le diamètre vaut $6$ cm, donc le rayon est $r = 3$ cm.
$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{108\pi}{3} = 36\pi$ cm³.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec un rayon de $3$ cm, $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On coupe un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe.

Cylindre de révolution coupé par un plan perpendiculaire à son axe, montrant la section circulaire

Affirmation : La section obtenue est un rectangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle (de même rayon que la base).
C'est la section par un plan parallèle à l'axe qui donne un rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre coupe le cylindre selon un cercle, pas un rectangle.
Le rectangle apparaît quand le plan de coupe est parallèle à l'axe du cylindre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle de même rayon que la base, pas un rectangle.
[/solution]
[/etape]

Boule dans une boîte cubique

[enonce]
On place une boule de diamètre $10$ cm dans une boîte cubique d'arête $10$ cm. La boule touche les six faces de la boîte.

Boule de diamètre 10 cm inscrite dans un cube d'arête 10 cm

Calculer le taux de remplissage de la boîte (pourcentage du volume occupé par la boule), puis étudier ce qui se passe si on remplace la grosse boule par $8$ petites boules.
[/enonce]

[etape]
Calculer le volume de la boîte cubique : [[vcube]]
[math id="vcube" attendu="1000"]
[reponse statut="correct"]Exact !
$V_{\text{cube}} = 10^3 = 1\,000$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="100"]
C'est l'aire d'une face ($10^2 = 100$), pas le volume. Pour un cube, le volume est $c^3$.[/reponse]
[reponse motif="30"]
Tu as peut-être calculé le périmètre d'une face. Le volume d'un cube d'arête $c$ est $c^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Le volume d'un cube d'arête $c$ est $V = c^3$. Ici $c = 10$.[/reponse]
[aide essai="2"]
$V = c^3 = 10^3$.[/aide]
[aide essai="3"]
$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = \ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{cube}} = 10^3 = 1\,000$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume de la boule, arrondi au cm³ : [[vboule]]
[math id="vboule" attendu="524"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le rayon est $r = \dfrac{10}{2} = 5$ cm.
$V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 5^3 = \dfrac{500\pi}{3} \approx 524$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="4189"]
Tu as probablement utilisé $r = 10$ (le diamètre) au lieu de $r = 5$ (le rayon). Le diamètre est $10$ cm, donc le rayon est $5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="523"]
Presque ! Vérifie l'arrondi : $\dfrac{500\pi}{3} = 523{,}6\ldots$, qui s'arrondit à $524$.[/reponse]
[reponse motif="500"]
Tu as peut-être oublié de diviser par $3$. La formule est $\dfrac{4}{3}\pi r^3$, pas $4\pi r^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Attention : l'énoncé donne le diamètre ($10$ cm), pas le rayon. Calculer d'abord $r$, puis appliquer $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.[/reponse]
[aide essai="2"]
Le rayon est $r = 5$ cm.
$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 5^3$.
Calculer $5^3$, multiplier par $4$, diviser par $3$, puis multiplier par $\pi$.[/aide]
[aide essai="3"]
$5^3 = 125$.
$\dfrac{4 \times 125}{3} = \dfrac{500}{3} \approx 166{,}7$.
$166{,}7 \times \pi \approx \ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 125 = \dfrac{500\pi}{3} \approx 524$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le taux de remplissage (pourcentage du volume de la boîte occupé par la boule), arrondi à l'unité : [[taux]]
[math id="taux" attendu="52"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\dfrac{524}{1\,000} \times 100 \approx 52$ %.
La boule n'occupe qu'environ la moitié du volume de la boîte.[/reponse]
[reponse motif="48"]
Tu as peut-être calculé le pourcentage d'espace vide (ce qui reste), pas le pourcentage occupé par la boule.[/reponse]
[reponse motif="5"]
Tu as divisé par $1\,000$ mais oublié de multiplier par $100$ pour obtenir un pourcentage.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Le taux de remplissage est $\dfrac{V_{\text{boule}}}{V_{\text{cube}}} \times 100$.[/reponse]
[aide essai="2"]
Taux $= \dfrac{524}{1\,000} \times 100$.[/aide]
[aide essai="3"]
$\dfrac{524}{1\,000} = 0{,}524$.
$0{,}524 \times 100 = \ldots$[/aide]
[solution]
Taux $= \dfrac{524}{1\,000} \times 100 \approx 52$ %.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On remplace la grosse boule par $8$ petites boules identiques de diamètre $5$ cm (elles tiennent dans la boîte en se plaçant dans les $8$ coins, $2$ par direction).
Chaque petite boule est une réduction de la grosse. Quel est le rapport $k$ de cette réduction ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le diamètre passe de $10$ à $5$ cm : toutes les longueurs sont divisées par $2$, donc $k = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{8}$"]
$\dfrac{1}{8}$ serait le rapport des volumes, pas des longueurs. Le rapport de réduction compare les longueurs : $\dfrac{5}{10}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]
$\dfrac{1}{4}$ serait le rapport des aires, pas des longueurs. Le rapport de réduction compare les longueurs : $\dfrac{5}{10}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Le rapport de réduction est le quotient des longueurs homologues : $k = \dfrac{5}{10}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$k = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume d'une petite boule, arrondi au cm³ : [[vpetite]]
[math id="vpetite" attendu="65"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$V_{\text{petite}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 2{,}5^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 15{,}625 = \dfrac{62{,}5\pi}{3} \approx 65$ cm³.
On peut aussi utiliser $k^3$ : $V_{\text{petite}} = 524 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{524}{8} \approx 65$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="262"]
Tu as peut-être divisé le volume de la grosse boule par $2$ au lieu de par $8$. Les volumes sont multipliés par $k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="131"]
Tu as peut-être divisé par $4$ ($k^2$). Pour les volumes, c'est $k^3 = \dfrac{1}{8}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Le rayon d'une petite boule est $2{,}5$ cm. Appliquer la formule $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, ou bien diviser le volume de la grosse boule par $8$.[/reponse]
[aide essai="2"]
Le volume d'une petite boule est celui de la grosse multiplié par $k^3 = \dfrac{1}{8}$.
$V_{\text{petite}} = \dfrac{524}{8}$.[/aide]
[aide essai="3"]
$\dfrac{524}{8} = 65{,}5$.
Arrondi au cm³ : $\ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{petite}} = \dfrac{4}{3}\pi \times 2{,}5^3 \approx 65$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Il y a $8$ petites boules dans la boîte. Le taux de remplissage avec les $8$ petites boules est-il différent de celui avec la grosse boule ?
[qcm]
[option]Il est plus grand (les petites boules remplissent mieux)[/option]
[option]Il est plus petit (les petites boules laissent plus de vide)[/option]
[option correct="true"]Il est identique[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le volume total des $8$ petites boules est $8 \times 65 \approx 524$ cm³, exactement le même que celui de la grosse boule.
En effet : chaque petite boule a un volume $\dfrac{1}{8}$ de la grosse (car $k^3 = \dfrac{1}{8}$), et il y en a $8$. Donc $8 \times \dfrac{1}{8} = 1$ : le volume total est inchangé, et le taux de remplissage reste d'environ $52$ %.[/reponse]
[reponse motif="Il est plus grand (les petites boules remplissent mieux)"]
C'est une intuition fréquente, mais elle est fausse ici. Calculer le volume total des $8$ petites boules : $8 \times 65$.[/reponse]
[reponse motif="Il est plus petit (les petites boules laissent plus de vide)"]
Pas tout à fait. Calculer le volume total : $8 \times 65$. Comparer avec le volume de la grosse boule.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Calculer $8 \times V_{\text{petite}}$ et comparer avec $V_{\text{grosse}}$. Le lien avec $k^3$ explique le résultat.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$8 \times V_{\text{petite}} = 8 \times \dfrac{V_{\text{grosse}}}{8} = V_{\text{grosse}}$.
Le taux de remplissage est identique : environ $52$ %.
[/solution]
[/etape]

La bille dans le tube

[enonce]
On dispose d'un tube cylindrique de rayon $3$ cm et de hauteur $15$ cm. On place une bille (boule) de rayon $3$ cm au fond du tube, puis on remplit entièrement le tube d'eau.

Tube cylindrique de rayon 3 cm et hauteur 15 cm contenant une bille de rayon 3 cm au fond

Calculer le volume d'eau contenu dans le tube, puis déterminer la hauteur d'eau si on retire la bille.
[/enonce]

[etape]
Le volume du tube s'écrit $V_{\text{tube}} = a\pi$ cm³. Calculer $a$ : [[a]]
[math id="a" attendu="135"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$V_{\text{tube}} = \pi \times 3^2 \times 15 = \pi \times 9 \times 15 = 135\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="45"]
Tu as peut-être oublié d'élever le rayon au carré. La formule est $\pi R^2 h$, pas $\pi R h$.[/reponse]
[reponse motif="90"]
Vérifie le calcul $R^2 \times h = 9 \times 15$. Ce n'est pas $90$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
La formule du volume d'un cylindre est $V = \pi \times R^2 \times h$.
Calculer $R^2 \times h$ avec $R = 3$ et $h = 15$.[/reponse]
[aide essai="2"]
$V = \pi \times R^2 \times h$ avec $R = 3$ et $h = 15$.
Calculer $3^2 \times 15$.[/aide]
[aide essai="3"]
$3^2 = 9$.
$9 \times 15 = \ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{tube}} = \pi \times 9 \times 15 = 135\pi$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le volume de la bille s'écrit $V_{\text{bille}} = b\pi$ cm³. Calculer $b$ : []
[math id="b" attendu="36"]
[reponse statut="correct"][b]Bonne réponse !
$V_{\text{bille}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times 27\pi = 36\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="27"]
Tu as calculé $r^3 = 27$, mais il faut encore multiplier par $\dfrac{4}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="108"]
Tu as peut-être calculé $4 \times 27 = 108$, mais il faut diviser par $3$ : le coefficient est $\dfrac{4}{3}$, pas $4$.[/reponse]
[reponse motif="113"]
Vérifie ton calcul. La formule est $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ avec $r = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
La formule du volume d'une boule est $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$.
Calculer $r^3$, multiplier par $4$, puis diviser par $3$.[/reponse]
[aide essai="2"]
$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3$.
Calculer $3^3$, puis multiplier par $\dfrac{4}{3}$.[/aide]
[aide essai="3"]
$3^3 = 27$.
$\dfrac{4 \times 27}{3} = \dfrac{108}{3} = \ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{bille}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = \dfrac{108}{3}\pi = 36\pi$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour trouver le volume d'eau, quelle opération effectuer ?
[qcm]
[option]Additionner le volume du tube et celui de la bille[/option]
[option correct="true"]Soustraire le volume de la bille du volume du tube[/option]
[option]Diviser le volume du tube par celui de la bille[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La bille occupe de la place dans le tube. L'eau remplit le reste : $V_{\text{eau}} = V_{\text{tube}} - V_{\text{bille}}$.[/reponse]
[reponse motif="Additionner le volume du tube et celui de la bille"]
L'eau ne remplit pas le tube entier : la bille prend de la place. Il faut retirer le volume de la bille.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
L'eau occupe l'espace du tube qui n'est pas pris par la bille. C'est une soustraction de volumes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$V_{\text{eau}} = V_{\text{tube}} - V_{\text{bille}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume d'eau, arrondi au cm³ : [[veau]]
[math id="veau" attendu="311"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$V_{\text{eau}} = 135\pi - 36\pi = 99\pi \approx 311$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="171"]
Tu as peut-être additionné au lieu de soustraire. Il faut retrancher le volume de la bille.[/reponse]
[reponse motif="99"]
C'est le coefficient devant $\pi$, pas le volume arrondi. Il faut calculer $99 \times \pi$ à la calculatrice.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Calculer $135\pi - 36\pi$, puis évaluer le résultat à la calculatrice.[/reponse]
[aide essai="2"]
$V_{\text{eau}} = 135\pi - 36\pi = (135 - 36)\pi$.
Calculer $135 - 36$, puis multiplier par $\pi$.[/aide]
[aide essai="3"]
$V_{\text{eau}} = 99\pi$.
A la calculatrice : $99 \times \pi \approx \ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{eau}} = 135\pi - 36\pi = 99\pi \approx 311$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On retire la bille du tube sans renverser d'eau. L'eau qui était autour de la bille redescend et forme un cylindre d'eau de rayon $3$ cm.
Calculer la hauteur d'eau dans le tube : [[heau]]
[math id="heau" attendu="11"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le volume d'eau est $99\pi$ cm³. Dans un cylindre de rayon $3$ : $99\pi = \pi \times 9 \times h$, donc $h = \dfrac{99}{9} = 11$ cm.
L'eau monte à $11$ cm, bien moins que les $15$ cm du tube plein.[/reponse]
[reponse motif="15"]
Le tube était rempli à $15$ cm avec la bille dedans. Sans la bille, le volume d'eau est plus petit que le volume du tube : l'eau descend.[/reponse]
[reponse motif="33"]
Tu as peut-être divisé par $3$ au lieu de $9$. La formule donne $h = \dfrac{V}{\pi R^2}$, et $R^2 = 9$, pas $R = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Le volume d'eau est $99\pi$. Ce volume remplit un cylindre de rayon $3$ et de hauteur $h$ : $99\pi = \pi \times 3^2 \times h$.
Simplifier par $\pi$ puis isoler $h$.[/reponse]
[aide essai="2"]
$99\pi = \pi \times 9 \times h$.
Diviser les deux côtés par $9\pi$.[/aide]
[aide essai="3"]
$h = \dfrac{99}{9} = \ldots$[/aide]
[solution]
$99\pi = \pi \times 9 \times h$, donc $h = \dfrac{99}{9} = 11$ cm.
[/solution]
[/etape]

Volume d’un verre conique

[enonce]
Un verre a la forme d'un cône de révolution renversé (pointe vers le bas). Le diamètre de l'ouverture est de $10$ cm et la génératrice (bord du verre) mesure $13$ cm. L'épaisseur du verre est négligeable.

Verre conique renversé avec diamètre 10 cm en haut et génératrice 13 cm sur le côté

Calculer le volume de ce verre, puis déterminer le volume de liquide lorsqu'on le remplit à mi-hauteur.
[/enonce]

[etape]
Le triangle $SOB$ est rectangle en $O$, avec $SB = 13$ cm (génératrice) et $OB = 5$ cm (rayon). Calculer la hauteur $h = SO$ du verre : [[h]]
[math id="h" attendu="12"]
[reponse statut="correct"]Exact !
$SO^2 = SB^2 - OB^2 = 169 - 25 = 144$, donc $SO = \sqrt{144} = 12$ cm.[/reponse]
[reponse motif="169"]
C'est la valeur de $SB^2$, pas de $SO$. Il faut soustraire $OB^2$ avant de prendre la racine.[/reponse]
[reponse motif="144"]
C'est la valeur de $SO^2$, pas de $SO$. Il reste à prendre la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Dans le triangle rectangle $SOB$ : $SB^2 = SO^2 + OB^2$. Isoler $SO^2$ puis prendre la racine carrée.[/reponse]
[aide essai="2"]
$SB^2 = SO^2 + OB^2$, donc $SO^2 = SB^2 - OB^2$.[/aide]
[aide essai="3"]
$SO^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
Il reste à calculer $\sqrt{144}$.[/aide]
[solution]
$SO = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume du verre. Le volume s'écrit $V = a\pi$ cm³.
Donner la valeur de $a$ : [[a]]
[math id="a" attendu="100"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 = \dfrac{1}{3} \times 300\pi = 100\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="300"]
Tu as oublié le facteur $\dfrac{1}{3}$ devant la formule du cône. Le volume d'un cône est le tiers de celui du cylindre de même base et même hauteur.[/reponse]
[reponse motif="25"]
Tu as calculé $R^2 = 25$, mais il faut encore multiplier par $h$ et diviser par $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Appliquer la formule avec $R = 5$ et $h = 12$ : calculer $R^2$, multiplier par $h$, puis diviser par $3$.[/reponse]
[aide essai="2"]
Le volume d'un cône s'écrit $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h$, avec ici $R = 5$ et $h = 12$.
Calculer d'abord $5^2 \times 12$, puis diviser par $3$.[/aide]
[aide essai="3"]
$5^2 \times 12 = 25 \times 12 = 300$.
$\dfrac{300}{3} = \ldots$[/aide]
[solution]
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12 = \dfrac{300\pi}{3} = 100\pi$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Convertir le volume du verre en centilitres. Donner l'arrondi au dixième : [[cl]]
Rappel : $1$ cL $= 10$ cm³.
[math id="cl" attendu="31.4"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$100\pi \approx 314{,}2$ cm³, soit $\dfrac{314{,}2}{10} \approx 31{,}4$ cL.[/reponse]
[reponse motif="314.2"]
C'est le volume en cm³, pas en centilitres. Pour convertir, diviser par $10$.[/reponse]
[reponse motif="314"]
C'est le volume arrondi en cm³. Pour passer en centilitres, diviser par $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Calculer d'abord $100\pi$ à la calculatrice, puis diviser par $10$ pour convertir en cL.[/reponse]
[aide essai="2"]
$100\pi \approx 314{,}2$ cm³.
Pour convertir en cL, diviser par $10$.[/aide]
[aide essai="3"]
$\dfrac{314{,}2}{10} = \ldots$ cL.[/aide]
[solution]
$V = 100\pi \approx 314{,}2$ cm³ $= 31{,}4$ cL.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On remplit le verre exactement à mi-hauteur (soit $6$ cm de liquide à partir de la pointe). Le liquide forme un petit cône de hauteur $6$ cm.
Quel est le rapport de réduction entre le petit cône de liquide et le grand cône (le verre entier) ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La hauteur du liquide est $6$ cm, celle du verre est $12$ cm. Le rapport de réduction est $k = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.
Toutes les longueurs du petit cône sont la moitié de celles du grand.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]
Le rapport $\dfrac{1}{4}$ correspondrait à un remplissage au quart de la hauteur. Ici, on remplit à mi-hauteur : le rapport est le quotient des deux hauteurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Le rapport de réduction est le quotient de la hauteur du liquide par la hauteur du verre.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$k = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Lors d'une réduction de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$.
Calculer le volume de liquide à mi-hauteur. Le résultat s'écrit $V = b\pi$ cm³.
Donner la valeur de $b$ : []
[math id="b" attendu="12.5"]
[reponse statut="correct"][b]Bonne réponse !
$V_{\text{liquide}} = 100\pi \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 100\pi \times \dfrac{1}{8} = 12{,}5\pi$ cm³.
Le verre rempli à mi-hauteur ne contient que $\dfrac{1}{8}$ de sa capacité totale, soit environ $39{,}3$ cm³ ($\approx 3{,}9$ cL).[/reponse]
[reponse motif="50"]
Tu as multiplié par $\dfrac{1}{2}$ au lieu de $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$. Les volumes ne sont pas multipliés par $k$ mais par $k^3$.[/reponse]
[reponse motif="25"]
Tu as peut-être multiplié par $k^2$ au lieu de $k^3$. L'exposant $2$ s'applique aux aires, pas aux volumes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Multiplier le volume total ($100\pi$) par $k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$. Calculer d'abord $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$.[/reponse]
[aide essai="2"]
$k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$.
Le volume du liquide est $100\pi \times \dfrac{1}{8}$.[/aide]
[aide essai="3"]
$100 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{100}{8} = \ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{liquide}} = 100\pi \times \dfrac{1}{8} = 12{,}5\pi$ cm³, soit environ $3{,}9$ cL : le verre est loin d'être à moitié plein !
[/solution]
[/etape]

Cube et volume d’un tétraèdre

Calculer le volume du tétraèdre $ ABCF $ en fonction de $ c $.

Corrigé

Le volume du tétraèdre est :
$ V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr B\times h $
où $ h $ est la hauteur du tétraèdre et $ \mathscr B $ l'aire de la base $ BCF $.

Or $ h=c $ et $ BCF $ est un triangle rectangle isocèle en $ C $ dont l'aire est égale à la moitié de l'aire du carré $ BCGF $. Par conséquent, $ \mathscr B=\dfrac{1}{2}\times c^{2} $ et :
$ V=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times c^{2}\times c=\dfrac{1}{6}\times c^{3}. $