[enonce]
Ce QCM porte sur les indicateurs de dispersion : étendue, variance et écart-type. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère la série : $12$ ; $8$ ; $15$ ; $4$ ; $20$ ; $11$ ; $7$.
Quelle est l'étendue de cette série ?
[qcm]
[option]$24$[/option]
[option]$20$[/option]
[option]$11$[/option]
[option correct="true"]$16$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
$20 - 4 = 16$[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24 = 20 + 4$. L'étendue s'obtient par une différence entre les valeurs extrêmes, pas par une somme.[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
$20$ est la valeur maximale de la série, pas son étendue. L'étendue compare les deux extrêmes entre eux.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
$11$ est une valeur de la série (la médiane après tri), pas une mesure d'écart. L'étendue dépend uniquement du minimum et du maximum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'étendue est définie comme la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère la série : $1$ ; $3$ ; $5$ ; $7$.
Quelle est la variance de cette série ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$20$[/option]
[option]$\approx 2{,}24$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\bar{x} = \dfrac{1 + 3 + 5 + 7}{4} = 4$.
$V = \dfrac{(1-4)^2 + (3-4)^2 + (5-4)^2 + (7-4)^2}{4} = \dfrac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = \dfrac{20}{4} = 5$[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ est la moyenne de la série, pas sa variance. La variance se calcule à partir des écarts à la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
$20$ est la somme des carrés des écarts à la moyenne. Il ne faut pas oublier de diviser par l'effectif total $N$.[/reponse]
[reponse motif="$\approx 2{,}24$"]Non.
$\approx 2{,}24 = \sqrt{5}$ est l'écart-type $s$, pas la variance $V$. Ne pas confondre : $V = s^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : $V = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}$. Calculer d'abord $\bar{x}$, puis appliquer la formule.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une série statistique a pour variance $V = 36$.
Quel est son écart-type ?
[qcm]
[option]$18$[/option]
[option]$36$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$1296$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par définition, l'écart-type est la racine carrée de la variance :
$s = \sqrt{V} = \sqrt{36} = 6$[/reponse]
[reponse motif="$18$"]Non.
$18 = \dfrac{36}{2}$. Le passage de la variance à l'écart-type ne se fait pas par division par $2$ : c'est une racine carrée.[/reponse]
[reponse motif="$36$"]Non.
$36$ est la variance elle-même. L'écart-type et la variance sont liés par la relation $V = s^2$ : ils ne sont pas égaux.[/reponse]
[reponse motif="$1296$"]Non.
$1296 = 36^2$ revient à élever la variance au carré. Or la relation est $V = s^2$, donc $s = \sqrt{V}$, pas $V^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La variance $V$ et l'écart-type $s$ sont liés par la relation $V = s^2$. Pour obtenir $s$ à partir de $V$, on applique donc la racine carrée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère la série statistique :

Valeur	$2$	$4$	$6$	$8$
Effectif	$1$	$3$	$3$	$1$

Quelle est la variance de cette série ?
[qcm]
[option]$24$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$5$[/option]
[option]$\approx 1{,}73$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
$N = 1 + 3 + 3 + 1 = 8$.
$\bar{x} = \dfrac{1 \times 2 + 3 \times 4 + 3 \times 6 + 1 \times 8}{8} = \dfrac{40}{8} = 5$.
$V = \dfrac{1 \times (2-5)^2 + 3 \times (4-5)^2 + 3 \times (6-5)^2 + 1 \times (8-5)^2}{8} = \dfrac{9 + 3 + 3 + 9}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24$ est la somme pondérée des carrés des écarts. Il faut encore diviser par l'effectif total $N = 8$ pour obtenir la variance.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ est la moyenne $\bar{x}$ de cette série. La moyenne intervient dans le calcul de la variance, mais n'est pas elle-même la variance.[/reponse]
[reponse motif="$\approx 1{,}73$"]Non.
$\approx 1{,}73 = \sqrt{3}$ est l'écart-type correspondant à cette série. La question porte sur la variance $V = s^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord la moyenne $\bar{x}$, puis appliquer $V = \dfrac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$ avec les effectifs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une série statistique a pour moyenne $\bar{x} = 100$ et pour écart-type $s = 5$.
Quel est l'intervalle $[\bar{x} - 2s\,;\,\bar{x} + 2s]$ ?
[qcm]
[option]$[95\,;\,105]$[/option]
[option]$[80\,;\,120]$[/option]
[option correct="true"]$[90\,;\,110]$[/option]
[option]$[98\,;\,102]$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\bar{x} - 2s = 100 - 2 \times 5 = 100 - 10 = 90$.
$\bar{x} + 2s = 100 + 2 \times 5 = 100 + 10 = 110$.
L'intervalle est $[90\,;\,110]$ (il contient environ $95\,\%$ des valeurs pour de nombreuses séries).[/reponse]
[reponse motif="$[95\,;\,105]$"]Non.
$[95\,;\,105]$ correspond à $[\bar{x} - s\,;\,\bar{x} + s]$ : le facteur $2$ devant $s$ a été oublié dans le calcul des bornes.[/reponse]
[reponse motif="$[80\,;\,120]$"]Non.
$[80\,;\,120]$ correspond à $[\bar{x} - 4s\,;\,\bar{x} + 4s]$. Vérifier le coefficient devant $s$ dans l'intervalle demandé.[/reponse]
[reponse motif="$[98\,;\,102]$"]Non.
$[98\,;\,102]$ correspond à $\left[\bar{x} - \dfrac{s}{2}\,;\,\bar{x} + \dfrac{s}{2}\right]$. Le coefficient devant $s$ est $2$, pas $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour obtenir les bornes de l'intervalle, calculer $\bar{x} - 2s$ et $\bar{x} + 2s$ en remplaçant simplement $\bar{x}$ et $s$ par leurs valeurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux séries statistiques $A$ et $B$ ont la même moyenne. Leurs écarts-types valent $s_A = 2$ et $s_B = 5$.
Que peut-on en déduire ?
[qcm]
[option]Les valeurs de $B$ sont plus proches de la moyenne que celles de $A$.[/option]
[option]La moyenne de $B$ est plus grande que celle de $A$.[/option]
[option correct="true"]Les valeurs de $B$ sont plus dispersées autour de la moyenne que celles de $A$.[/option]
[option]Les séries $A$ et $B$ ont la même dispersion.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne.
Ici $s_B > s_A$, donc les valeurs de $B$ sont plus dispersées autour de la moyenne que celles de $A$.[/reponse]
[reponse motif="Les valeurs de $B$ sont plus proches de la moyenne que celles de $A$."]Non.
C'est l'inverse. Un écart-type plus grand signifie que les valeurs s'éloignent davantage de la moyenne, pas qu'elles s'en rapprochent.[/reponse]
[reponse motif="La moyenne de $B$ est plus grande que celle de $A$."]Non.
L'énoncé précise que les deux séries ont la même moyenne. L'écart-type ne compare pas les moyennes, mais la dispersion autour de celles-ci.[/reponse]
[reponse motif="Les séries $A$ et $B$ ont la même dispersion."]Non.
Les deux écarts-types sont différents : $s_A = 2$ et $s_B = 5$. La dispersion ne peut donc pas être identique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'écart-type quantifie la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la variance et l'écart type, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'écart type d'une série statistique est toujours un nombre positif ou nul.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La variance est une somme de carrés pondérés, donc positive ou nulle. L'écart type $s = \sqrt{V}$ l'est aussi.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $V = \dfrac{\sum n_i(x_i - \bar{x})^2}{N}$ est une somme de carrés pondérés, donc $V \geqslant 0$. Et $s = \sqrt{V}$ est également positif ou nul.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition, $V \geqslant 0$ (somme de carrés) et donc $s = \sqrt{V} \geqslant 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Plus l'écart type d'une série est grand, plus ses valeurs sont resserrées autour de la moyenne.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est le contraire : un écart type grand indique que les valeurs sont dispersées autour de la moyenne. Un écart type petit signifie qu'elles sont resserrées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à l'interprétation : l'écart type mesure la dispersion. Plus il est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne. Pour des valeurs resserrées, l'écart type est petit.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Un grand écart type signale au contraire que les valeurs sont dispersées, éloignées de la moyenne.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la série $7\,;\,7\,;\,7\,;\,7\,;\,7$.

Affirmation : La variance et l'écart type de cette série valent tous deux $0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Toutes les valeurs étant identiques à la moyenne $\bar{x} = 7$, chaque écart $(x_i - \bar{x})^2$ vaut $0$, donc $V = 0$ et $s = \sqrt{0} = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut examiner le calcul : la moyenne vaut $7$, et chaque valeur vaut exactement $7$. Tous les écarts $(x_i - \bar{x})$ sont nuls, donc la somme des carrés est nulle.
On obtient $V = 0$ et $s = 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une série constante a toujours une variance et un écart type nuls.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On étudie une série donnant la masse en kilogrammes de sacs de farine.

Affirmation : L'écart type de cette série s'exprime en kilogrammes carrés.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'écart type $s = \sqrt{V}$ s'exprime dans la même unité que les valeurs (ici, le kilogramme). C'est la variance qui s'exprime en kilogrammes carrés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre variance et écart type.
La variance s'exprime en $(\text{unité})^2$ (ici kg²), mais l'écart type s'exprime dans la même unité que les valeurs (ici kg), car on prend la racine carrée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'écart type s'exprime dans la même unité que les valeurs, donc en kilogrammes. C'est la variance qui serait en kg².
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux séries qui ont la même moyenne ont nécessairement le même écart type.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La moyenne et l'écart type sont deux indicateurs indépendants. Par exemple, $4\,;\,5\,;\,6$ et $0\,;\,5\,;\,10$ ont la même moyenne $5$ mais leur dispersion est très différente.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'imaginer que moyenne et dispersion sont liées. En fait, elles mesurent deux choses différentes : la moyenne donne la position, l'écart type donne la dispersion. Deux séries peuvent coïncider sur l'une sans coïncider sur l'autre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La moyenne et l'écart type sont indépendants : deux séries de même moyenne peuvent avoir des écarts types très différents.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une série a pour moyenne $\bar{x} = 50$ et pour écart type $s = 5$.

Affirmation : Pour la plupart des séries, environ $95\,\%$ des valeurs appartiennent à l'intervalle $[40\,;\,60]$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
L'intervalle $[\bar{x} - 2s\,;\,\bar{x} + 2s] = [50 - 10\,;\,50 + 10] = [40\,;\,60]$ contient en général environ $95\,\%$ des valeurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel du cours : pour de nombreuses séries, la proportion de valeurs dans $[\bar{x} - 2s\,;\,\bar{x} + 2s]$ avoisine $95\,\%$.
Ici, $\bar{x} - 2s = 50 - 10 = 40$ et $\bar{x} + 2s = 50 + 10 = 60$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'intervalle $[\bar{x} - 2s\,;\,\bar{x} + 2s] = [40\,;\,60]$ contient environ $95\,\%$ des valeurs pour la plupart des séries.
[/solution]
[/etape]