[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le conjugué et le module d'un nombre complexe, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout nombre complexe $z$, on a $\overline{\overline{z}} = z$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si $z = a + ib$, alors $\overline{z} = a - ib$ et $\overline{\overline{z}} = a - (-ib) = a + ib = z$. Le conjugué est une involution : appliqué deux fois, il redonne le complexe initial.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le conjugué change le signe de la partie imaginaire. Si on l'applique une seconde fois, ce signe redevient positif : on retrouve $z$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La conjugaison est une involution : $\overline{\overline{z}} = z$ pour tout $z \in \mathbb{C}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout nombre complexe $z$, $|z|^{2} = z^{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
$|z|^{2}$ est un réel positif (ou nul), tandis que $z^{2}$ est un complexe quelconque. Par exemple pour $z = i$ : $|z|^{2} = 1$ alors que $z^{2} = -1$. La bonne identité est $|z|^{2} = z \overline{z}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut faire intervenir le conjugué : $|z|^{2} = z \times \overline{z}$, et non $z \times z$. Le résultat correct est toujours un réel positif, alors que $z^{2}$ peut être négatif ou non réel.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La bonne identité est $|z|^{2} = z \overline{z}$, qui donne un réel positif.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $|zz'| = |z| \times |z'|$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est une propriété fondamentale du module : il est multiplicatif. On l'établit en utilisant $|z|^{2} = z \overline{z}$ et $\overline{zz'} = \overline{z}\,\overline{z'}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le module est compatible avec la multiplication. $|zz'| = |z| \times |z'|$, et de même $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ (pour $z' \neq 0$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le module d'un produit est égal au produit des modules.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $|z + z'| = |z| + |z'|$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a uniquement l'inégalité triangulaire : $|z + z'| \leqslant |z| + |z'|$, l'égalité n'étant atteinte qu'à des conditions particulières (vecteurs colinéaires de même sens). Par exemple pour $z = 1$ et $z' = -1$ : $|z + z'| = 0$ alors que $|z| + |z'| = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut bien distinguer le cas du produit (où il y a égalité multiplicative) et celui de la somme (où il n'y a qu'une inégalité). En géométrie, c'est l'inégalité triangulaire entre les longueurs des côtés d'un triangle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On a seulement l'inégalité triangulaire $|z + z'| \leqslant |z| + |z'|$, pas l'égalité en général.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le module du nombre complexe $z = -3 + 4i$ vaut $5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$|z| = \sqrt{(-3)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Le module ne dépend que des carrés des parties réelle et imaginaire, donc le signe de $-3$ n'intervient pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est peut-être d'avoir voulu tenir compte du signe négatif de la partie réelle. Le module élève au carré, ce qui efface ce signe : $(-3)^{2} = 9$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $|-3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $|z| = 1$, alors $z = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$|z| = 1$ signifie que le point image de $z$ est sur le cercle unité, il y a donc une infinité de solutions ($i$, $-1$, $-i$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$…). Seul un de ces points est égal à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confondre $|z| = 1$ avec $z = 1$ revient à oublier qu'un module est une distance : tout point situé à distance $1$ de l'origine convient, ce qui forme un cercle entier.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $|z| = 1$ caractérise les points du cercle unité, qui contient une infinité de complexes différents de $1$ (par exemple $i$, $-1$, $-i$).
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le conjugué et le module d'un nombre complexe : calcul direct, propriétés essentielles et relations entre les deux notions. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Le conjugué de $z = -2 + 7i$ est :
[qcm]
[option]$2 - 7i$[/option]
[option]$2 + 7i$[/option]
[option correct="true"]$-2 - 7i$[/option]
[option]$-7 - 2i$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le conjugué de $z = a + ib$ est $\overline{z} = a - ib$ : on change uniquement le signe de la partie imaginaire.
Ici $\overline{z} = -2 - 7i$.[/reponse]
[reponse motif="$2 - 7i$"]Non.
On a changé le signe des deux parties. Le conjugué ne modifie que le signe de la partie imaginaire, pas celui de la partie réelle.[/reponse]
[reponse motif="$2 + 7i$"]Non.
On a changé le signe de la partie réelle, alors que c'est la partie imaginaire qui doit être opposée.[/reponse]
[reponse motif="$-7 - 2i$"]Non.
Les rôles de partie réelle et de partie imaginaire ne se permutent pas. Le conjugué garde la même partie réelle et oppose la partie imaginaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule à retenir : si $z = a + ib$ alors $\overline{z} = a - ib$. Seule la partie imaginaire change de signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le module de $z = 3 - 4i$ vaut :
[qcm]
[option]$\sqrt{7}$[/option]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour $z = a + ib$, le module est $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
$|z| = \sqrt{3^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{7}$"]Non.
On a oublié de mettre $a$ et $b$ au carré. Le module est $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$, pas $\sqrt{a + b}$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
On a additionné les valeurs absolues : $|3| + |-4| = 7$. Mais le module fait intervenir la racine carrée d'une somme de carrés, pas une simple somme.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Un module est toujours positif ou nul (c'est une distance). De plus on a soustrait au lieu d'additionner les carrés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ avec attention : carrés d'abord, somme ensuite, puis racine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le module de $z = 2i$ vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$2i$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$\sqrt{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$z = 2i$ s'écrit $0 + 2i$, donc $a = 0$ et $b = 2$.
$|z| = \sqrt{0^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
On a négligé la partie imaginaire. Pour $z = 2i$, on a $b = 2$ qui n'est pas nul ; il intervient sous la racine au carré.[/reponse]
[reponse motif="$2i$"]Non.
Un module est un nombre réel positif : il ne contient jamais de $i$. On donne juste la valeur du coefficient, sans le facteur $i$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}$"]Non.
Vérifier le calcul de la racine : $\sqrt{0 + 2^{2}} = \sqrt{4}$, pas $\sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un imaginaire pur $z = ib$, le module se réduit à $|z| = |b|$. Ici $|2i| = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour tout nombre complexe $z$, le produit $z \times \overline{z}$ est égal à :
[qcm]
[option]$z^{2}$[/option]
[option correct="true"]$|z|^{2}$[/option]
[option]$|z|$[/option]
[option]$\overline{z}^{\,2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec $z = a + ib$ : $z \times \overline{z} = (a + ib)(a - ib) = a^{2} - (ib)^{2} = a^{2} + b^{2} = |z|^{2}$.
C'est l'identité fondamentale qui relie produit et module.[/reponse]
[reponse motif="$z^{2}$"]Non.
$z^{2}$ et $z \overline{z}$ sont en général très différents. Par exemple pour $z = i$ : $z^{2} = -1$ alors que $z \overline{z} = i \times (-i) = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$|z|$"]Non.
Le produit $z \overline{z}$ donne $a^{2} + b^{2}$, ce qui est le carré du module et non le module lui-même. Penser à l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$\overline{z}^{\,2}$"]Non.
$\overline{z}^{\,2}$ est le carré du conjugué, alors que $z \overline{z}$ multiplie $z$ par son conjugué. Le résultat est un réel positif, ce qui n'est pas le cas de $\overline{z}^{\,2}$ en général.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer le produit $(a + ib)(a - ib)$ avec l'identité remarquable et utiliser $i^{2} = -1$. On obtient $a^{2} + b^{2} = |z|^{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $z$ un complexe non nul. L'inverse $\dfrac{1}{z}$ s'écrit aussi :
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{\overline{z}}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}$[/option]
[option]$\dfrac{\overline{z}}{|z|}$[/option]
[option]$\overline{z}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué :
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{z \overline{z}} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}$.
Cette formule donne directement la forme algébrique de $\dfrac{1}{z}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\overline{z}}$"]Non.
$\dfrac{1}{\overline{z}}$ n'est pas égal à $\dfrac{1}{z}$ (sauf si $z$ est réel). Le passage au conjugué change l'expression.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\overline{z}}{|z|}$"]Non.
Au dénominateur, il faut bien le carré du module (qui correspond à $z \overline{z}$), et non le module lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$\overline{z}$"]Non.
$\overline{z}$ n'est l'inverse de $z$ que dans le cas particulier où $|z| = 1$. En général, il faut diviser par $|z|^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La technique : multiplier $\dfrac{1}{z}$ par $\dfrac{\overline{z}}{\overline{z}}$ pour rendre le dénominateur réel. Au dénominateur apparaît alors $z \overline{z} = |z|^{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $z = 1 + i$. Le module de $z^{2}$ vaut :
[qcm]
[option]$\sqrt{2}$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$2i$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On utilise la propriété $|z^{n}| = |z|^{n}$ : $|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$, donc $|z^{2}| = (\sqrt{2})^{2} = 2$.
On peut aussi calculer directement : $z^{2} = (1+i)^{2} = 2i$, donc $|z^{2}| = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}$"]Non.
$\sqrt{2}$ est la valeur de $|z|$, pas de $|z^{2}|$. Or $|z^{2}| = |z|^{2}$ : il faut élever au carré.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
On a appliqué deux fois l'élévation au carré. La propriété est $|z^{2}| = |z|^{2}$ et non $|z^{2}| = |z|^{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$2i$"]Non.
$2i$ est la valeur de $z^{2}$ (et non de son module). Le module est un réel positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la puissance d'un complexe : $|z^{n}| = |z|^{n}$. Calculer d'abord $|z|$, puis élever à la puissance demandée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]