QCM Bilan : Suites arithmétiques et géométriques

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : reconnaissance, raison, calcul de termes, somme et modélisation par des suites. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = 2 \times 3^n$. C'est :
[qcm]
[option]une suite arithmétique de raison $3$[/option]
[option correct="true"]une suite géométrique de raison $3$[/option]
[option]une suite géométrique de raison $2$[/option]
[option]ni une suite arithmétique ni une suite géométrique[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule $u_n = 2 \times 3^n$ est de la forme $a \times b^n$ avec $a = 2$ et $b = 3$. La suite est donc géométrique, de raison $q = b = 3$ et de premier terme $u_0 = a = 2$.[/reponse]
[reponse motif="une suite arithmétique de raison $3$"]Non.
L'indice $n$ apparaît en exposant (et non additionné). Une suite arithmétique a pour formule $a n + b$, où $n$ est multiplié, pas mis en exposant.[/reponse]
[reponse motif="une suite géométrique de raison $2$"]Non.
La nature est correcte, mais la valeur $2$ est le premier terme $u_0$, pas la raison. La raison est la base de la puissance, ici $3$.[/reponse]
[reponse motif="ni une suite arithmétique ni une suite géométrique"]Non.
La forme $a \times b^n$ est exactement la formule explicite d'une suite géométrique de raison $b$ et de premier terme $a$. La suite est donc bien géométrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître la forme $u_n = a \times b^n$ : c'est la signature d'une suite géométrique de raison $b$ et de premier terme $a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r = 5$ telle que $u_2 = 7$. Combien vaut $u_{10}$ ?
[qcm]
[option]$u_{10} = 50$[/option]
[option]$u_{10} = 42$[/option]
[option correct="true"]$u_{10} = 47$[/option]
[option]$u_{10} = 57$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise la formule $u_n = u_k + (n - k) \times r$ avec $n = 10$ et $k = 2$ :
$u_{10} = u_2 + (10 - 2) \times 5 = 7 + 8 \times 5 = 7 + 40 = 47$.[/reponse]
[reponse motif="$u_{10} = 50$"]Non.
Le terme $u_2 = 7$ a été oublié. La formule fait apparaître $u_k + (n - k) \times r$, avec $u_k$ comme point de départ.[/reponse]
[reponse motif="$u_{10} = 42$"]Non.
Le facteur multiplicatif $r = 5$ a été appliqué $7$ fois ($7 \times 5 = 35$, puis $35 + 7 = 42$) au lieu de $8$ fois. Le nombre de pas entre $u_2$ et $u_{10}$ est $10 - 2 = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$u_{10} = 57$"]Non.
La formule a été appliquée comme si $u_2 = u_0$ : on a calculé $u_0 + 10 r = 7 + 50 = 57$. Or $u_2 \neq u_0$ : il faut faire $8$ pas, pas $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour passer de $u_2$ à $u_{10}$, on effectue $10 - 2 = 8$ pas de raison $r$. Appliquer la formule $u_{10} = u_2 + (10 - 2) \times r$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ strictement positive, telle que $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et $u_2 = 8$. Combien vaut $q$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$q = 4$[/option]
[option]$q = 2$[/option]
[option]$q = 8$[/option]
[option]$q = 16$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On utilise $u_2 = u_0 \times q^2$, soit $8 = \dfrac{1}{2} \times q^2$.
On en déduit $q^2 = 8 \times 2 = 16$, et puisque $q > 0$, on prend la racine carrée positive : $q = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 2$"]Non.
La valeur de $q^2$ a été confondue avec celle de $q$ : on a obtenu $q^2 = 4$ alors que le calcul correct donne $q^2 = 16$. Reprendre l'équation $\dfrac{1}{2} \times q^2 = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 8$"]Non.
La valeur $8$ correspond au terme $u_2$, pas à la raison. Pour trouver $q$, il faut résoudre $u_2 = u_0 \times q^2$ et isoler $q$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 16$"]Non.
La valeur $16$ est en réalité $q^2$ (et non $q$). Il faut encore prendre la racine carrée pour obtenir la raison.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire la relation $u_2 = u_0 \times q^2$, isoler $q^2$, puis prendre la racine carrée positive.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un capital initial est placé à intérêts composés au taux annuel de $4 \%$. La suite $(C_n)$ des capitaux successifs (au bout de $n$ années) est :
[qcm]
[option]arithmétique de raison $4$[/option]
[option]arithmétique de raison $1{,}04$[/option]
[option]géométrique de raison $4$[/option]
[option correct="true"]géométrique de raison $1{,}04$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Augmenter de $4 \%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04$. La relation est donc $C_{n+1} = 1{,}04 \times C_n$ : c'est une suite géométrique de raison $1{,}04$.[/reponse]
[reponse motif="arithmétique de raison $4$"]Non.
Une augmentation en pourcentage correspond à une multiplication, pas à une addition d'une constante. La suite n'est donc pas arithmétique.[/reponse]
[reponse motif="arithmétique de raison $1{,}04$"]Non.
La valeur $1{,}04$ est bien le coefficient multiplicateur, mais une suite arithmétique correspond à une addition répétée. Une augmentation en pourcentage est une multiplication : la suite est géométrique.[/reponse]
[reponse motif="géométrique de raison $4$"]Non.
La nature géométrique est correcte. Mais la raison n'est pas $4$ : augmenter de $4 \%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04$, pas par $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une évolution à taux constant se modélise par une suite géométrique. Le coefficient multiplicateur d'une augmentation de $t \%$ vaut $1 + \dfrac{t}{100}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 5$ et $u_{20} = 65$. Combien vaut la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{20}$ ?
[qcm]
[option]$S = 700$[/option]
[option correct="true"]$S = 735$[/option]
[option]$S = 1470$[/option]
[option]$S = 350$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme contient $21$ termes (de l'indice $0$ à l'indice $20$).
On applique : $S = 21 \times \dfrac{u_0 + u_{20}}{2} = 21 \times \dfrac{5 + 65}{2} = 21 \times 35 = 735$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 700$"]Non.
Le nombre de termes a été pris égal à $20$, mais en partant de l'indice $0$ jusqu'à $20$ il y en a $21$. Toujours penser à ajouter $1$ à la différence des indices.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1470$"]Non.
La division par $2$ a été oubliée. La formule complète est : nombre de termes $\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 350$"]Non.
Cela correspond à $10 \times 35$, comme si l'on avait $10$ termes. Recompter : avec les indices $0$, $1$, …, $20$, il y a $21$ termes au total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter le nombre de termes (en partant de l'indice $0$), puis appliquer la formule de la somme arithmétique : nombre de termes $\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_3 = 24$ et $u_6 = 192$. Combien vaut sa raison $q$ (positive) ?
[qcm]
[option]$q = 8$[/option]
[option]$q = 4$[/option]
[option correct="true"]$q = 2$[/option]
[option]$q = 24$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On utilise $u_6 = u_3 \times q^{6 - 3} = u_3 \times q^3$, soit $192 = 24 \times q^3$.
Donc $q^3 = \dfrac{192}{24} = 8$, et puisque $q$ est positive, $q = \sqrt[3]{8} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 8$"]Non.
La valeur $8$ est le rapport brut $\dfrac{u_6}{u_3} = q^3$, et non la raison elle-même. Il reste à prendre la racine cubique : $q = \sqrt[3]{8} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 4$"]Non.
La racine cubique a été remplacée par une racine carrée : $\sqrt{16} = 4$ aurait correspondu à un exposant $2$, mais ici l'exposant est $6 - 3 = 3$. La bonne opération est $q = \sqrt[3]{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 24$"]Non.
La valeur $24$ correspond au terme $u_3$, pas à la raison. La raison se trouve en utilisant $u_n = u_k \times q^{n - k}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la relation $u_6 = u_3 \times q^{6 - 3}$, isoler $q^3$, puis prendre la racine cubique en tenant compte du signe imposé.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Suites géométriques

[enonce]
Ce QCM porte sur les suites géométriques : reconnaissance, identification de la raison et du premier terme, calcul d'un terme et sens de variation. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1} = 3 u_n$. C'est une suite :
[qcm]
[option]arithmétique de raison $2$[/option]
[option correct="true"]géométrique de raison $3$[/option]
[option]géométrique de raison $2$[/option]
[option]arithmétique de raison $3$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La relation $u_{n+1} = 3 u_n$ est de la forme $u_{n+1} = q \times u_n$ avec $q = 3$ : c'est une suite géométrique de raison $3$.[/reponse]
[reponse motif="arithmétique de raison $2$"]Non.
La nature est confondue. Une suite est arithmétique quand on ajoute une constante, alors qu'ici on multiplie par $3$. De plus, $2$ est le premier terme, pas la raison.[/reponse]
[reponse motif="géométrique de raison $2$"]Non.
La nature est correcte, mais la valeur $2$ est le premier terme $u_0$, pas la raison. La raison est le facteur multiplicatif qui apparaît à chaque pas : ici $3$.[/reponse]
[reponse motif="arithmétique de raison $3$"]Non.
La relation $u_{n+1} = 3 u_n$ n'est pas une addition mais une multiplication. Une suite arithmétique a une relation de la forme $u_{n+1} = u_n + r$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier la forme : $u_{n+1} = q \times u_n$ correspond à une suite géométrique de raison $q$, et $u_{n+1} = u_n + r$ à une suite arithmétique de raison $r$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $v_0 = 5$. Combien vaut $v_4$ ?
[qcm]
[option]$v_4 = 40$[/option]
[option]$v_4 = 16$[/option]
[option]$v_4 = 13$[/option]
[option correct="true"]$v_4 = 80$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique la formule $v_n = v_0 \times q^n$ : $v_4 = 5 \times 2^4 = 5 \times 16 = 80$.[/reponse]
[reponse motif="$v_4 = 40$"]Non.
Cela correspond à $5 \times 2^3 = 40$, donc à $v_3$ et non à $v_4$. L'exposant doit être $n = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$v_4 = 16$"]Non.
La valeur $16$ correspond à $2^4$ seulement : le premier terme $v_0 = 5$ a été oublié. La formule complète est $v_0 \times q^n$.[/reponse]
[reponse motif="$v_4 = 13$"]Non.
La formule appliquée est arithmétique ($v_0 + n \times r = 5 + 8 = 13$), pas géométrique. Pour une suite géométrique, on multiplie par la raison à chaque pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $v_n = v_0 \times q^n$ avec $v_0 = 5$, $q = 2$ et $n = 4$ : calculer $2^4$ puis multiplier par $5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = 7 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$. C'est une suite géométrique :
[qcm]
[option]de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $u_0 = \dfrac{1}{3}$[/option]
[option]de raison $7$ et de premier terme $u_0 = \dfrac{1}{3}$[/option]
[option correct="true"]de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $u_0 = 7$[/option]
[option]de raison $7$ et de premier terme $u_0 = 7$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La formule $u_n = 7 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ est de la forme $u_n = a \times b^n$ avec $a = 7$ et $b = \dfrac{1}{3}$. C'est donc une suite géométrique de raison $q = b = \dfrac{1}{3}$ et de premier terme $u_0 = a = 7$.[/reponse]
[reponse motif="de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $u_0 = \dfrac{1}{3}$"]Non.
La raison est correcte, mais pour le premier terme calculer $u_0 = 7 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^0 = 7 \times 1 = 7$ (rappel : tout nombre à la puissance $0$ vaut $1$).[/reponse]
[reponse motif="de raison $7$ et de premier terme $u_0 = \dfrac{1}{3}$"]Non.
Les rôles sont inversés. Dans la forme $a \times b^n$, c'est $b$ (la base de la puissance) qui joue le rôle de raison et $a$ celui de premier terme.[/reponse]
[reponse motif="de raison $7$ et de premier terme $u_0 = 7$"]Non.
Le premier terme est correct, mais la raison est la base $\dfrac{1}{3}$ de la puissance, pas le facteur multiplicatif $7$ devant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître la forme $u_n = a \times b^n$ : la raison est $b$ (la base de la puissance) et le premier terme est $a$ (le facteur devant).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme strictement positif. On sait que $u_3 = 16$ et $u_5 = 64$. Combien vaut $q$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$q = 2$[/option]
[option]$q = 4$[/option]
[option]$q = -2$[/option]
[option]$q = 16$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On utilise la formule $u_n = u_k \times q^{n - k}$ avec $n = 5$ et $k = 3$ :
$u_5 = u_3 \times q^{5 - 3} = u_3 \times q^2$, soit $64 = 16 \times q^2$.
Donc $q^2 = \dfrac{64}{16} = 4$, et puisque le premier terme est positif et que tous les termes le sont également, $q$ est positif : $q = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 4$"]Non.
La valeur $4$ est le rapport brut $\dfrac{u_5}{u_3} = q^2$, et non la raison elle-même. Il reste à prendre la racine carrée pour obtenir $q$.[/reponse]
[reponse motif="$q = -2$"]Non.
$(-2)^2 = 4$, donc $q = -2$ est solution algébrique de $q^2 = 4$. Mais avec un premier terme strictement positif, tous les termes sont positifs, ce qui impose $q > 0$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 16$"]Non.
La valeur $16$ est le terme $u_3$, pas la raison. La raison se trouve en utilisant la formule $u_n = u_k \times q^{n - k}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la relation $u_5 = u_3 \times q^{5 - 3} = u_3 \times q^2$, isoler $q^2$, puis prendre la racine carrée en tenant compte du signe imposé par l'énoncé.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelle valeur de la raison $q$ une suite géométrique de premier terme strictement positif est-elle strictement décroissante ?
[qcm]
[option]$q > 1$[/option]
[option]$q = 1$[/option]
[option correct="true"]$0 < q < 1$[/option]
[option]$q < 0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Avec un premier terme positif, multiplier par un nombre compris strictement entre $0$ et $1$ diminue la valeur à chaque pas. La suite est alors strictement décroissante (et reste positive).[/reponse]
[reponse motif="$q > 1$"]Non.
Multiplier par un nombre supérieur à $1$ augmente la valeur (à partir d'un terme positif). La suite est alors strictement croissante, pas décroissante.[/reponse]
[reponse motif="$q = 1$"]Non.
Si $q = 1$, on a $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$ : la suite est constante, donc ni croissante ni décroissante au sens strict.[/reponse]
[reponse motif="$q < 0$"]Non.
Avec $q < 0$ et un premier terme positif, les termes alternent entre valeurs positives et négatives. La suite n'est alors ni croissante ni décroissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour qu'une suite géométrique à termes positifs décroisse strictement, le facteur multiplicatif doit être strictement compris entre $0$ et $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$ et de premier terme $u_0 = 64$. Combien vaut $u_6$ ?
[qcm]
[option]$u_6 = 2$[/option]
[option]$u_6 = 32$[/option]
[option]$u_6 = \dfrac{1}{64}$[/option]
[option correct="true"]$u_6 = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On applique la formule $u_n = u_0 \times q^n$ : $u_6 = 64 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = 64 \times \dfrac{1}{64} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$u_6 = 2$"]Non.
Le calcul $\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$ donne $\dfrac{1}{64}$ et non $\dfrac{1}{32}$. Reprendre l'élévation à la puissance $6$.[/reponse]
[reponse motif="$u_6 = 32$"]Non.
La valeur $32$ correspond à $u_1 = 64 \times \dfrac{1}{2}$, donc à un seul pas. La question demande $u_6$ : il faut élever $\dfrac{1}{2}$ à la puissance $6$.[/reponse]
[reponse motif="$u_6 = \dfrac{1}{64}$"]Non.
La valeur $\dfrac{1}{64}$ est seulement $\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$ : le premier terme $u_0 = 64$ a été oublié. La formule complète est $u_n = u_0 \times q^n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $u_n = u_0 \times q^n$ avec $u_0 = 64$, $q = \dfrac{1}{2}$ et $n = 6$ : calculer $\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$ puis multiplier par $64$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Suites géométriques — approfondissement

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les suites géométriques, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q = 1$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite constante.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $q = 1$, alors $u_{n+1} = 1 \times u_n = u_n$ : tous les termes sont égaux à $u_0$. La suite est constante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $u_{n+1} = q \times u_n$. Lorsque $q = 1$, cette relation donne $u_{n+1} = u_n$ : la suite ne varie pas.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $q = 1$, on a $u_{n+1} = u_n$ : la suite est constante, égale à $u_0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique à termes strictement positifs.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est toujours croissante.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le sens de variation dépend de la raison $q$ :
- si $q > 1$, la suite est croissante ;
- si $0 < q < 1$, la suite est décroissante.

Contre-exemple : avec $u_0 = 8$ et $q = \dfrac{1}{2}$, on obtient $8; 4; 2; 1; \dots$ — tous positifs mais décroissants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « termes positifs » et « suite croissante ». Une suite géométrique positive décroît dès que $0 < q < 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une suite géométrique positive peut décroître lorsque $0 < q < 1$ (exemple : $u_0 = 8$, $q = \dfrac{1}{2}$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est une suite géométrique telle que $u_2 = 18$ et $u_4 = 162$.

Affirmation : La raison de la suite peut valoir $q = -3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On a $u_4 = u_2 \times q^2$, donc :

$q^2 = \dfrac{u_4}{u_2} = \dfrac{162}{18} = 9$

Donc $q = 3$ ou $q = -3$ : la raison peut effectivement valoir $-3$.
Vérification avec $q = -3$ : $u_3 = u_2 \times q = -54$ puis $u_4 = u_3 \times q = 162$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand on déduit la raison d'un carré ($q^2 = 9$), il ne faut pas oublier la racine négative. $q = -3$ convient aussi : $u_4 = 18 \times (-3)^2 = 18 \times 9 = 162$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. De $u_4 = u_2 q^2$, on tire $q^2 = 9$, donc $q = 3$ ou $q = -3$. Les deux valeurs sont possibles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = 2^n + 1$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite géométrique.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule les premiers termes : $u_0 = 2$, $u_1 = 3$, $u_2 = 5$, $u_3 = 9$.
Les rapports successifs $\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{5}{3}$ ne sont pas égaux : le rapport n'est pas constant, la suite n'est pas géométrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : la présence de $2^n$ fait penser à une suite géométrique. Mais l'ajout de $+1$ casse la proportionnalité entre termes consécutifs.
Rapports : $\dfrac{3}{2} \neq \dfrac{5}{3}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les rapports $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ne sont pas constants (exemple : $\dfrac{3}{2} \neq \dfrac{5}{3}$). La suite n'est pas géométrique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q = -2$.

Affirmation : Les termes d'indice pair de la suite sont tous strictement positifs.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a $u_n = 1 \times (-2)^n = (-2)^n$.
Si $n$ est pair, $(-2)^n = 2^n > 0$. Les termes d'indice pair sont donc positifs.
Vérification : $u_0 = 1$, $u_2 = 4$, $u_4 = 16$, etc.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $(-2)^n$ est positif si $n$ est pair, négatif si $n$ est impair.
$u_0 = 1$, $u_2 = 4$, $u_4 = 16$...[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $u_n = (-2)^n$ et $n$ pair, on a $(-2)^n = 2^n > 0$ : tous les termes d'indice pair sont strictement positifs.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est une somme géométrique de raison $q = 2$, comportant $6$ termes (de $2^0$ à $2^5$) :

$\sum_{k=0}^{5} 2^k = \dfrac{1 - 2^6}{1 - 2} = \dfrac{1 - 64}{-1} = 63$

La somme vaut $63$, pas $62$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une erreur fréquente est de calculer trop vite sans vérifier. On peut additionner à la main : $1+2+4+8+16+32 = 63$.
La formule géométrique confirme : $\dfrac{1-2^6}{1-2} = 63$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La somme $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$, et non $62$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Suites — modélisation et cas subtils

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse. Attention, certaines situations demandent un raisonnement attentif !
[/enonce]

[etape]
On considère une grandeur qui augmente chaque année de $20\%$. On note $u_n$ sa valeur au bout de $n$ années, avec $u_0$ la valeur initiale.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 1{,}2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une augmentation de $20\%$ correspond à une multiplication par $1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}2$ :

$u_{n+1} = u_n \times 1{,}2$

La suite est bien géométrique de raison $1{,}2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une augmentation de $t\%$ se traduit par une multiplication par $1 + \dfrac{t}{100}$. Ici, le coefficient multiplicateur est $1{,}2$, appliqué chaque année : c'est une suite géométrique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Augmenter de $20\%$ revient à multiplier par $1{,}2$ : $u_{n+1} = 1{,}2 \times u_n$ définit une suite géométrique de raison $1{,}2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un prix subit une augmentation de $10\%$, puis une diminution de $10\%$.

Affirmation : Après ces deux évolutions, le prix revient à sa valeur initiale.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Augmenter de $10\%$ revient à multiplier par $1{,}1$, diminuer de $10\%$ revient à multiplier par $0{,}9$. Le coefficient global est :

$1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$

Le prix final vaut $99\%$ du prix initial : il y a une perte de $1\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique : les pourcentages ne s'additionnent pas. Augmenter puis diminuer du même pourcentage revient à multiplier par $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$, donc une diminution globale de $1\%$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient global est $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$ : le prix final vaut $99\%$ du prix initial, pas $100\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On place $1\,000$ € sur un compte à intérêts composés au taux annuel de $3\%$. On note $C_n$ le capital au bout de $n$ années.

Affirmation : Pour tout entier naturel $n$, $C_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$ (ajout des intérêts de $3\%$ au capital existant) :

$C_{n+1} = C_n \times 1{,}03$

Avec $C_0 = 1\,000$, on a donc $C_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour des intérêts composés, le capital croît de façon géométrique (multiplication par $1{,}03$ chaque année), pas de façon arithmétique. Le terme général est $C_n = C_0 \times q^n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec un taux de $3\%$ appliqué chaque année, $C_{n+1} = 1{,}03 \times C_n$, d'où $C_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = -10$ et de raison $r = 3$.

Affirmation : Tous les termes de la suite sont strictement négatifs.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $u_n = -10 + 3n$. Cherchons quand $u_n \geqslant 0$ :

$-10 + 3n \geqslant 0 \iff n \geqslant \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33$

Dès $n = 4$, $u_4 = -10 + 12 = 2 > 0$. Les termes ne sont donc pas tous négatifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une suite arithmétique de raison positive augmente indéfiniment : même si le premier terme est négatif, elle finit par devenir positive.
$u_4 = -10 + 4 \times 3 = 2 > 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La raison $r = 3$ fait croître la suite indéfiniment : dès $n = 4$, $u_4 = 2 > 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = 3 \times 2^n + 5$.

Affirmation : La suite $(v_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Calcul des premiers termes : $v_0 = 8$, $v_1 = 11$, $v_2 = 17$, $v_3 = 29$.
- Différences : $3$, $6$, $12$ — non constantes, donc pas arithmétique.
- Rapports : $\dfrac{11}{8}$, $\dfrac{17}{11}$ — non égaux, donc pas géométrique.

La suite n'est donc ni l'une, ni l'autre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La présence de $2^n$ et d'une constante rend la suite « mixte » : ni la différence $v_{n+1} - v_n$, ni le rapport $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ ne sont constants.
$v_0 = 8$, $v_1 = 11$, $v_2 = 17$ : différences $3, 6$ ; rapports $\dfrac{11}{8}, \dfrac{17}{11}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Différences $(3; 6; 12; \dots)$ non constantes, rapports $\left(\dfrac{11}{8}; \dfrac{17}{11}; \dots\right)$ non constants : la suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une population de poissons est modélisée par la relation suivante : chaque année, elle augmente de $5\%$ puis on relâche $5$ poissons supplémentaires. On note $P_n$ la population au bout de $n$ années.

Affirmation : La suite $(P_n)$ est une suite arithmétique.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La relation de récurrence est :

$P_{n+1} = 1{,}05 \times P_n + 5$

La différence $P_{n+1} - P_n = 0{,}05 \times P_n + 5$ dépend de $P_n$ : elle n'est pas constante, donc la suite n'est pas arithmétique.
Par ailleurs, le rapport $\dfrac{P_{n+1}}{P_n} = 1{,}05 + \dfrac{5}{P_n}$ n'est pas non plus constant : la suite n'est pas géométrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : ce n'est pas parce que la population augmente chaque année que la suite est arithmétique. Une suite arithmétique exige une augmentation constante, pas une combinaison de multiplication et d'addition.
$P_{n+1} = 1{,}05 P_n + 5$ : ni arithmétique, ni géométrique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La relation $P_{n+1} = 1{,}05 P_n + 5$ combine multiplication et addition : la différence $P_{n+1} - P_n$ n'est pas constante, la suite n'est pas arithmétique.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Suites géométriques

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
$(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q = -1$.

Affirmation : $u_5 = -1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

$u_5 = u_0 \times q^5 = 1 \times (-1)^5 = -1$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser que $(-1)^5 = 1$ en oubliant que la puissance d'un nombre négatif avec un exposant impair reste négative.
$u_5 = u_0 \times q^5 = 1 \times (-1)^5 = -1$. C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $u_5 = 1 \times (-1)^5 = -1$, car $5$ est impair.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 4$ et de raison $q = \dfrac{1}{2}$.

Affirmation : $u_3 = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

$u_3 = u_0 \times q^3 = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de calculer $u_3 = u_0 \times q \times 3$ (multiplier par $3q$) au lieu d'appliquer la formule $u_n = u_0 \times q^n$.
$u_3 = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$. C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En appliquant $u_n = u_0 \times q^n$ : $u_3 = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est la suite géométrique telle que $u_0 = 3$ et $u_2 = 24$.

Affirmation : La raison de la suite $(u_n)$ est $2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si la raison était $2$, on aurait $u_2 = u_0 \times q^2 = 3 \times 4 = 12 \neq 24$.
La vraie raison est $q = \sqrt{\dfrac{u_2}{u_0}} = \sqrt{\dfrac{24}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de calculer $q = \dfrac{u_2}{u_0} = \dfrac{24}{3} = 8$ puis de confondre ce quotient avec $q^2$, ou de prendre directement $q = 8$ sans extraire la racine carrée.
Si $q=2$ alors $u_2 = 3 \times 2^2 = 12 \neq 24$. La raison est $2\sqrt{2}$, pas $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $u_2 = u_0 q^2$, donc $q^2 = \dfrac{24}{3} = 8$, d'où $q = 2\sqrt{2} \neq 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $a$ un nombre réel et $(u_n)$ la suite définie par $u_n = 2a^n$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite géométrique.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1} = 2a^{n+1} = 2a^n \times a = u_n \times a$

Le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = a$ est constant, donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $a$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser que le facteur $2$ devant $a^n$ empêche la suite d'être géométrique, alors qu'il s'annule dans le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2a^{n+1}}{2a^n} = a$.
$u_{n+1} = u_n \times a$, le rapport est constant. $(u_n)$ est bien géométrique de raison $a$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2a^{n+1}}{2a^n} = a$ est constant, donc la suite est géométrique de raison $a$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{256} = \dfrac{255}{128}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Il s'agit d'une somme géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$, avec $\dfrac{1}{256} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^8$ donc $n = 8$ :

$1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{256} = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^9}{1 - \dfrac{1}{2}} = 2 \times \dfrac{511}{512} = \dfrac{511}{256}$

Le résultat est $\dfrac{511}{256}$, et non $\dfrac{255}{128}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de compter $8$ termes (de $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0$ à $\left(\dfrac{1}{2}\right)^7$) au lieu de $9$ termes (jusqu'à $\left(\dfrac{1}{2}\right)^8 = \dfrac{1}{256}$), ce qui donne $\dfrac{255}{128}$ — mais il y a bien $9$ termes ici.
La somme vaut $\dfrac{1 - (1/2)^9}{1 - 1/2} = 2 \times \dfrac{511}{512} = \dfrac{511}{256} \neq \dfrac{255}{128}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La somme comporte $9$ termes (de $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0$ à $\left(\dfrac{1}{2}\right)^8$), ce qui donne $\dfrac{1-(1/2)^9}{1-1/2} = \dfrac{511}{256}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q = 3$.

Affirmation : $u_0 + u_1 + u_2 + u_3 = 40$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique la formule de la somme géométrique avec $q = 3$ et $n = 3$ :

$u_0 + u_1 + u_2 + u_3 = \dfrac{1 - 3^4}{1 - 3} = \dfrac{1 - 81}{-2} = \dfrac{-80}{-2} = 40$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'utiliser $n = 3$ dans la formule $\dfrac{1-q^n}{1-q}$ (ce qui donne $\dfrac{1-27}{-2} = 13$) en oubliant que la somme de $4$ termes ($u_0$ à $u_3$) requiert l'exposant $4$.
$\dfrac{1 - 3^4}{1 - 3} = \dfrac{-80}{-2} = 40$. C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme de $4$ termes vaut $\dfrac{1-3^4}{1-3} = \dfrac{-80}{-2} = 40$.
[/solution]
[/etape]

Suites – Contrôle continu 1ère – 2020 – Sujet zéro

En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20 % de son intensité lumineuse. L'intensité lumineuse est exprimée en candela ( cd ).

On utilise une lampe torche qui émet un rayon d'intensité lumineuse réglée à 400 cd.

On superpose $ n $ plaques de verre identiques ( $ n $ étant un entier naturel ) et on désire mesurer l'intensité lumineuse $ I_{ n } $ du rayon à la sortie de la $ n $-ième plaque.

On note $ I_{ 0 }=400 $ l'intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques ( intensité lumineuse initiale ). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite $ ( I_{ n } ). $

Montrer par un calcul que $ I_{ 1 }=320. $
1. Pour tout entier naturel $ n $ , exprimer $ I_{ n+1 } $ en fonction de $ I_{ n }. $
2. En déduire la nature de la suite $ ( I_{ n } ). $ Préciser sa raison et son premier terme.
3. Pour tout entier naturel $ n $ , exprimer $ I_{ n } $ en fonction de $ n. $
On souhaite déterminer le nombre minimal $ n $ de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70 % de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.

Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante :
```
def nombrePlaques(J):
	I=400
	n=0
	while I > J:
		I = 0.8*I
		n = n+1
	return n
```
1. Préciser, en justifiant, le nombre J de sorte que l'appel nombrePlaques(J) renvoie le nombre de plaques à superposer.
2. Le tableau suivant donne des valeurs de $ I_{ n }. $ Combien de plaques doit-on superposer ?
  
  $ n $ 0 1 2 3 4 5 6 7
  
  $ I_{ n } $ 400 320 256 204,8 163,84 131,07 104,85 83,886

Corrigé

Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 20 % est :

$ CM=1 - \dfrac{20}{100}=0,8 $

L'intensité lumineuse $ I_{ 1 } $ à la sortie de la première plaque est donc :

$ I_{ 1 }=0,8 \times I_{ 0 }=0,8 \times 400=320 $

Remarque :On aurait également pu calculer la diminution de l'intensité lumineuse qui est égale à $ \dfrac{20}{100} \times 400=80 $, puis la nouvelle intensité $ I_{ 1 }=400 - 80=320 $ . Mais il est préférable de s'habituer à utiliser le coefficient multiplicateur qui facilite les calculs lors d'augmentation ou de diminution en pourcentage.
1. De même, le raisonnement précédent indique que, pour tout entier naturel $ n $ :
  $ I_{ n+1 }=0,8 \times I_{ n }. $
2. La formule précédente prouve que la suite $ ( I_{ n } ) $ est une suite géométrique de raison $ q=0,8 $ ; son premier terme est $ I_{ 0 }=400. $
3. D'après le cours, le n-ième terme d'une suite géométrique de premier terme $ u_{ 0 } $ et de raison $ q $ est donné par la formule :
  
  $ u_{ n }=u_{ 0 } \times q{}^{ n } $
  
  On obtient ici :
  
  $ I_{ n }=I_{ 0 } \times q{}^{ n }=400 \times 0,8{}^{ n } $
1. L'appel à la fonction Python nombrePlaques( ) avec l'argument J renvoie le nombre minimal de plaques à superposer afin que l'intensité lumineuse du rayon à la sortie de la n-ième plaque soit inférieure ou égale à J.
  
  Puisque l'on veut que le rayon initial perde au moins 70 % de son intensité lumineuse, il faut que l'intensité lumineuse à la sortie de la n-ième plaque soit inférieure à 30 % de $ I_{ 0 } $ c'est-à-dire inférieure à $ \dfrac{ 30 }{ 100 } \times 400=120. $
  
  Il faut donc choisir le nombre J = 120, pour obtenir, en sortie de la fonction nombrePlaques( ), le nombre de plaques à superposer.
2. Le tableau montre qu'il faut choisir 6 plaques pour obtenir une intensité lumineuse inférieure ou égale à 120 cd.

Suites arithmétiques et géométriques

Pour son appartement, Alexandre paye, tous les mois, un loyer brut et des charges locatives. On appelle loyer net, la somme du loyer brut et des charges locatives.

En 2016, le loyer brut était de 450 euros (mensuel) et les charges de 60 euros (mensuel).

Au premier janvier de chaque année, le loyer brut mensuel augmente de 1,5 % et les charges locatives mensuelles augmentent de 1€.

On note :

$ b_n $ : le total des loyers bruts (en euros) pour l'année 2016 + $ n $
$ c_n $ : le total des charges (en euros) pour l'année 2016 + $ n $
$ l_n $ : le total des loyers nets (en euros) pour l'année 2016 + $ n $.

Calculer $ b_0 $ et $ c_0 $.

En déduire que $ l_0=6120 $.
Calculer $ b_1, c_1 $ et $ l_1 $ puis $ b_2, c_2 $ et $ l_2 $.
Exprimer $ b_{n+1} $ en fonction de $ b_n $, puis $ c_{n+1} $ en fonction de $ c_n $.
Pour chacune des suites $ (b_n), (c_n) $ et $ (l_n) $ indiquer s'il s'agit d'une suite arithmétique, d'une suite géométrique ou d'une suite qui n'est ni arithmétique ni géométrique.
Exprimer $ b_n, c_n $ puis $ l_n $ en fonction de $ n $.
Quel sera le total des loyers nets payés par Alexandre au cours des dix premières années (de 2016 à 2025) ?

Corrigé

En 2016, Alexandre paiera 450 euros de loyer brut tous les mois donc le total en euros sera :

$ b_0=12 \times 450=5400 $

De même, le total en euros des charges locatives pour 2016 sera :

$ c_0=12 \times 60=720 $

Le total des loyers nets s'obtiendra en faisant la somme des loyers bruts et des charges locatives :

$ l_0=b_0+c_0=5400+720=6120 $
Augmenter un montant de $ 1{,}5 $ % revient à multiplier ce montant par $ 1{,}015 $.

Le montant des loyers bruts mensuels en 2017 sera donc de $ 450 \times 1{,}015 = 456{,}75 $ euros et le total annuel des loyers bruts :

$ b_1=450 \times 1{,}015 \times 12 = 5481 $

On remarque que pour obtenir $ b_1 $ il suffit de multiplier $ b_0 $ par $ 1{,}015 $.

En 2017, Alexandre paiera $ 1 $ euro de charges supplémentaires tous les mois. Sur l'année, il paiera donc $ 12 $ euros de charges de plus qu'en 2016.

Le total des charges locatives en euros pour l'année 2017 sera donc :

$ c_1=c_0+12=720+12=732 $

Le total des loyers nets pour 2017 sera :

$ l_1=b_1+c_1=5481+732=6213 $

Un raisonnement analogue permet de calculer les montants des loyers et des charges en 2018 :

$ b_2=b_1 \times 1{,}015=5563{,}215 $ (ou $ 5563{,}22 $ arrondi au centime)

$ c_2=c_1+12=732+12=744 $

$ l_2=b_2+c_2=6307{,}215 $ (ou $ 6307{,}22 $ arrondi au centime)
Les loyers bruts de l'année de rang $ n+1 $ s'obtiennent en multipliant les loyers bruts de l'année de rang $ n $ par $ 1{,}015 $. On a donc :

$ b_{n+1}=1{,}015 \times b_n $

Les charges de l'année de rang $ n+1 $ s'obtiennent en ajoutant $ 12 $ aux charges de l'année de rang $ n $. Par conséquent :

$ c_{n+1}=c_n+12 $
D'après les questions précédentes :

$ (b_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ b_0=5400 $ et de raison $ 1{,}015 $.

$ (c_n) $ est une suite arithmétique de premier terme $ c_0=720 $ et de raison $ 12 $.

Montrons que la suite $ (l_n) $ n'est ni arithmétique ni géométrique :

$ l_1 - l_0=6213 - 6120=93 $

$ l_2 - l_1=6307,215 - 6213=94{,}215 $

La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante donc la suite $ (l_n) $ n'est pas arithmétique.

$ \dfrac{l_1}{l_0} = \dfrac{6213}{6120} \approx 1{,}01520 $ (à $ 10^{^ - 5} $ près)

$ \dfrac{l_2}{l_1} = \dfrac{6307{,}215}{6213} \approx 1{,}01516 $ (à $ 10^{^ - 5} $ près)

Le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant donc la suite $ (l_n) $ n'est pas géométrique.
La suite $ (b_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ b_0=5400 $ et de raison $ q=1{,}015 $, par conséquent :

$ b_n=b_0 \times q^n=5400 \times 1{,}015^n $

La suite $ (c_n) $ est une suite arithmétique de premier terme $ c_0=720 $ et de raison $ r=12 $, donc :

$ c_n=c_0 + n r=720 + 12n $

$ l_n $ est la somme de $ b_n $ et $ c_n $ :

$ l_n=5400 \times 1{,}015^n+720+12n $
Le total des loyers bruts lors des 10 premières années est :

$ B=b_0+b_1+ \cdots +b_9 $

$ \phantom{B}=5400+5400 \times 1,015 + \cdots +5400 \times 1,015^9 $

$ \phantom{B}=5400(1+1,015 + \cdots +1,015^9) $

donc d'après la formule $ 1+q+q^2+\cdots+q^n= \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $ :

$ B=5400 \times \dfrac{1 - 1{,}015^{10}}{1 - 1{,}015} $

$ \phantom{B} \approx 57794{,}70 $ (au centime près)

Le total des charges locatives lors des 10 premières années est :

$ C=c_0+c_1+ \cdots +c_9 $

$ C=720+ 720+12 \times 1+ 720+12 \times 2 + \cdots +720+12 \times 9 $

On regroupe les termes égaux à $ 720 $ ; il y en a $ 10 $, donc :

$ C=720\times 10+12 \times 1+12 \times 2 + \cdots +12 \times 9 $

$ \phantom{C}=7200+12 (1+2+\cdots +9) $

On applique la formule $ 1+2+\cdots +n= \dfrac{n(n+1)}{2} $ :

$ C=7200+12\times \dfrac{9\times 10}{2} = 7740 $

Le total des loyers nets que paiera Alexandre au cours des 10 premières années est donc :

$ L=B+C=57794{,}70+7740=65534{,}70 $

Le total des loyers nets payés par Alexandre lors des 10 premières années sera donc de $ 65534{,}70 $ euros.

Utilisation d’une suite annexe

On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par :

$ u_{0}=1 $ et pour tout entier $ n $ , $ u_{n+1}= \dfrac{1}{2} u_{n} - 1 $.

Calculer $ u_{1} $ et $ u_{2} $. La suite $ \left(u_{n}\right) $ est-elle arithmétique ? géométrique ?
On pose $ v_{n}=u_{n}+2 $.
1. Exprimer $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_{n} $. Quelle est la nature de la suite $ \left(v_{n}\right) $ ?
2. Exprimer $ v_{n} $ en fonction de $ n $.
3. En déduire $ u_{n} $ en fonction de $ n $.

Corrigé

Calculons les premiers termes à l'aide de la relation de récurrence :

$ u_{1}=\dfrac{1}{2}u_{0} - 1= - \dfrac{1}{2} $

$ u_{2}=\dfrac{1}{2}u_{1} - 1= - \dfrac{5}{4} $

La suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
1. $ v_{n+1}=u_{n+1}+2 $ (définition de la suite $ v_{n} $)
  
  $ v_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n} - 1+2=\dfrac{1}{2}u_{n}+1 $ (car $ u_{n+1}= \dfrac{1}{2} u_{n} - 1 $)
  
  $ v_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+2\right)=\dfrac{1}{2}v_{n} $
  
  $ \left(v_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{2} $.
  
  Son premier terme est $ v_{0}=u_{0}+2=3 $.
2. $ v_{n}=v_{0}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} $ = $\mathbf{3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}$
3. $ u_{n}=v_{n} - 2 $ = $\mathbf{3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} - 2}$

Intérêts composés

Un capital $ C_{0} $ de $ 500 $€ est placé à intérêts composés au taux de $ 4\% $ par an (cela signifie que chaque année le capital augmente de $ 4\% $ par rapport à l'année précédente)

On note $ C_{n} $ le capital obtenu après $ n $ années.

Calculer $ C_{1} $ et $ C_{2} $
Calculer $ C_{n+1} $ en fonction de $ C_{n} $. Quelle est la nature de la suite $ \left(C_{n}\right) $?
Exprimer $ C_{n} $ en fonction de $ n $.
Quel est le capital obtenu au bout de 5 ans ?

Corrigé

Le coefficient multiplicateur correspondant au taux de $ 4\% $ est

$ CM=1+\dfrac{4}{100}=1{,}04 $

On a donc :

$ C_{1}=1,04\times C_{0}=1{,}04\times 500=520 $

$ C_{2}=1,04\times C_{1}=1{,}04\times 520=540{,}8 $
$ C_{n+1}=1{,}04\times C_{n} $

$ C_{n} $ est une suite géométrique de premier terme $ C_{0}=500 $ et de raison $ 1{,}04 $.
On applique la formule donnant le $ n $-ième terme d'une suite géométrique.

$ C_{n}=C_{0}\times q^{n}=500\times 1{,}04^{n} $
$ C_{5}=500\times 1{,}04^{5}\approx 608{,}33 $

Le capital obtenu au bout de 5 ans est de $ 608{,}33 $ euros.

[Bac] Intérêts composés

(D'après bac ES/L Pondichéry 2013)

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.

On note $ C_{n} $ le capital du client au 1er janvier de l'année $ 2000+n $, où $ n $ est un entier naturel.

Calculer $ C_{1} $ et $ C_{2} $. Arrondir les résultats au centime d'euro.
Exprimer $ C_{n+1} $ en fonction de $ C_{n} $. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $ n $, on a la relation :

$ C_{n}=3000 \times 1{,}025^{n}. $

On donne l'algorithme suivant :

Entrée	Saisir un nombre $ S $ supérieur à 3000
Traitement	Affecter à $ n $ la valeur $ 0 $.
	Affecter à $ U $ la valeur 3000
	Tant que $ U\leqslant S $
	$ \quad \quad n $ prend la valeur $ n+1 $
	$ \quad \quad U $ prend la valeur $ U \times 1{,}025 $
	Fin tant que
Sortie	Afficher le nombre $ 2000+n $

Pour la valeur $ S=3300 $ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant (les résultats seront arrondis à l'unité) :

Valeur de $ n $	$ 0 $	$ 1 $	$ 2 $	$ 3 $	$ 4 $
Valeur de $ U $	$ 3000 $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $
Condition $ U\leqslant S $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $

En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $ S $ saisie est 3300.
Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $ S $ supérieur à 3000.

Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5000 euros. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.

Corrigé

$ C_{1}=\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times C_{0}=1{,}025\times 3000=3075 $

$ C_{2}=1{,}025\times C_{1}=1{,}025\times 3075=3151{,}88 $ à $ 0,01 $ près.
Pour tout entier naturel $ n $ :

$ C_{n+1}=1{,}025\times C_{n} $

La suite $ \left(C_{n}\right) $ est une suite géométrique de premier terme $ C_{0}=3000 $ et de raison $ q=1{,}025 $.

$ C_{n}=C_{0}\times q^{n}=3000\times 1{,}025^{n} $

On complète le tableau en calculant $ U $ de proche en proche avec $ U \leftarrow U \times 1{,}025 $, et en testant la condition $ U\leqslant 3300 $ à chaque étape :

Valeur de $ n $	$ 0 $	$ 1 $	$ 2 $	$ 3 $	$ 4 $
Valeur de $ U $	$ 3000 $	$ 3075 $	$ 3151{,}88 $	$ 3230{,}67 $	$ 3311{,}44 $
Condition $ U\leqslant 3300 $	vrai	vrai	vrai	vrai	faux

La boucle s'arrête pour $ n=4 $ et le programme se termine après avoir affiché la valeur $\mathbf{2004}$.
L'algorithme affiche la première année au cours de laquelle le capital devient strictement supérieur à $ S $.

Le capital au 1er janvier 2013, correspond à $ C_{13} $.

$ C_{13}=3000\times 1{,}025^{13}\approx 4135{,}53 $

Le capital au 1er janvier 2013 est donc d'environ $ 4135{,}53 $ euros, ce qui est inférieur à $ 5000 $ euros : le capital n'est pas suffisant.

$ n $	0	1	2	3	4	5	6	7
$ I_{ n } $	400	320	256	204,8	163,84	131,07	104,85	83,886