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Temps de trajet : quartiles et dispersion

[enonce]
Un professeur demande aux $15$ élèves de son groupe combien de minutes ils mettent pour venir au lycée le matin. Les réponses (en minutes), dans l'ordre où elles ont été recueillies, sont :

$18\,;\,22\,;\,12\,;\,8\,;\,30\,;\,14\,;\,10\,;\,25\,;\,15\,;\,20\,;\,11\,;\,17\,;\,13\,;\,24\,;\,16$

On cherche à décrire la dispersion de ces temps de trajet à l'aide des quartiles et de l'écart interquartile.
[/enonce]

[etape]
Dans une série de $N = 15$ valeurs ordonnées, quel est le rang du premier quartile $Q_1$ ?
[qcm]
[option correct="true"]Le rang $4$ : plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{N}{4}$.[/option]
[option]Le rang $3$ : partie entière de $\dfrac{N}{4}$.[/option]
[option]Le rang $5$ : partie entière de $\dfrac{N}{4}$ augmentée de $1$.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\dfrac{N}{4} = \dfrac{15}{4} = 3{,}75$. Le rang de $Q_1$ est le plus petit entier qui lui est supérieur ou égal, soit $4$.[/reponse]
[reponse motif="Le rang $3$ : partie entière de $\dfrac{N}{4}$."]Non.
$\dfrac{15}{4} = 3{,}75$. Avec le rang $3$, seulement $3$ valeurs sur $15$ (soit $20\,\%$) seraient inférieures ou égales à $Q_1$, ce qui n'atteint pas les $25\,\%$ requis.[/reponse]
[reponse motif="Le rang $5$ : partie entière de $\dfrac{N}{4}$ augmentée de $1$."]Non.
On dépasse la proportion visée. Il suffit de prendre le plus petit entier $\geq \dfrac{N}{4}$, sans rajouter $1$ inutilement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le rang cherché est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{N}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Déterminer la valeur de $Q_1$.
[[q1]]
[math id="q1" attendu="12"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Série ordonnée : $8, 10, 11, \mathbf{12}, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 24, 25, 30$.
La valeur de rang $4$ est $12$, donc $Q_1 = 12$ minutes.[/reponse]
[reponse motif="11"]Non.
$11$ est la $3^\text{e}$ valeur de la série ordonnée. Le rang de $Q_1$ a été déterminé à l'étape précédente.[/reponse]
[reponse motif="13"]Non.
$13$ est la $5^\text{e}$ valeur. Tu as probablement pris un rang trop grand.[/reponse]
[reponse motif="8"]Non.
$8$ est la plus petite valeur de la série, pas $Q_1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Ordonner la série, puis lire la valeur occupant le rang trouvé à l'étape précédente.[/reponse]
[aide essai="2"]Ordonner d'abord les $15$ temps dans l'ordre croissant, puis lire celui qui se trouve au rang cherché.[/aide]
[aide essai="3"]Début de la série ordonnée : $8, 10, 11, \ldots$. Quelle est la valeur suivante ?[/aide]
[/math]
[solution]Série ordonnée : $8, 10, 11, \mathbf{12}, 13, \ldots$. $Q_1$ est la $4^\text{e}$ valeur : $Q_1 = 12$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer la valeur de $Q_3$.
[[q3]]
[math id="q3" attendu="22"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\dfrac{3N}{4} = \dfrac{45}{4} = 11{,}25$, le rang de $Q_3$ est donc $12$.
Série ordonnée : $\ldots, 18, 20, 22, 24, 25, 30$. La $12^\text{e}$ valeur est $22$, donc $Q_3 = 22$ minutes.[/reponse]
[reponse motif="20"]Non.
$20$ est la $11^\text{e}$ valeur. Or $\dfrac{3 \times 15}{4} = 11{,}25$ : le rang de $Q_3$ n'est pas $11$.[/reponse]
[reponse motif="24"]Non.
$24$ est la $13^\text{e}$ valeur, un rang trop grand. Reprendre le calcul $\dfrac{3N}{4}$ pour trouver le bon rang.[/reponse]
[reponse motif="30"]Non.
$30$ est la plus grande valeur (utile pour l'étendue), pas $Q_3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Même principe que pour $Q_1$, mais avec $\dfrac{3N}{4}$ à la place de $\dfrac{N}{4}$.[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer $\dfrac{3 \times 15}{4}$, puis prendre le plus petit entier supérieur ou égal à ce résultat.[/aide]
[aide essai="3"]Le rang de $Q_3$ est $12$. Quelle est la $12^\text{e}$ valeur de la série ordonnée ?[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{3 \times 15}{4} = 11{,}25$, rang de $Q_3 = 12$. La $12^\text{e}$ valeur est $22$, donc $Q_3 = 22$.[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire l'écart interquartile.
[[eiq]]
[math id="eiq" attendu="10"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Écart interquartile $= Q_3 - Q_1 = 22 - 12 = 10$ minutes.[/reponse]
[reponse motif="34"]Non.
$34 = 22 + 12$. L'écart interquartile est une différence, pas une somme.[/reponse]
[reponse motif="12"]Non.
$12$ est la valeur de $Q_1$. L'écart interquartile compare $Q_1$ et $Q_3$.[/reponse]
[reponse motif="22"]Non.
$22$ est la valeur de $Q_3$. L'écart interquartile fait intervenir les deux quartiles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'écart interquartile est la différence entre les deux quartiles trouvés.[/reponse]
[aide essai="2"]Reprendre la définition : écart interquartile $= Q_3 - Q_1$.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $22 - 12$.[/aide]
[/math]
[solution]Écart interquartile $= Q_3 - Q_1 = 22 - 12 = 10$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Compléter la phrase : « Au moins [[pct]]$\,\%$ des élèves ont un temps de trajet compris entre $Q_1$ et $Q_3$. »
[select id="pct"]
[option]25[/option]
[option correct="true"]50[/option]
[option]75[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par définition, au moins $50\,\%$ des valeurs de la série se trouvent dans l'intervalle interquartile $[Q_1\,;\,Q_3]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Par construction, $Q_1$ et $Q_3$ encadrent la moitié centrale de la série.[/reponse]
[aide essai="2"]$25\,\%$ des valeurs sont au-dessous de $Q_1$ et $25\,\%$ sont au-dessus de $Q_3$. Qu'en déduire pour l'intervalle $[Q_1\,;\,Q_3]$ ?[/aide]
[aide essai="3"]$100 - 25 - 25 = ?\,\%$ des valeurs appartiennent à l'intervalle $[Q_1\,;\,Q_3]$.[/aide]
[/select]
[/etape]

[etape]
Un autre groupe de $15$ élèves a un écart interquartile de $3$ minutes. Que peut-on en conclure ?
[qcm]
[option]Le second groupe a des temps de trajet plus dispersés que le premier.[/option]
[option]Les deux groupes ont des temps de trajet comparables.[/option]
[option correct="true"]Les temps de trajet du second groupe sont plus homogènes que ceux du premier.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un écart interquartile plus petit ($3$ minutes contre $10$) signifie que la moitié centrale des valeurs est plus resserrée autour de la médiane : le second groupe est plus homogène.[/reponse]
[reponse motif="Le second groupe a des temps de trajet plus dispersés que le premier."]Non.
C'est l'inverse : un écart interquartile plus petit signifie une dispersion plus faible, donc des valeurs plus concentrées.[/reponse]
[reponse motif="Les deux groupes ont des temps de trajet comparables."]Non.
$3$ minutes et $10$ minutes sont très différents : la dispersion n'est pas du tout la même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer les deux écarts interquartiles : plus il est grand, plus la dispersion des valeurs centrales est importante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Salaires d’une PME : effet d’une revalorisation sur les indicateurs

[enonce]
Le responsable des ressources humaines d'une PME a calculé les indicateurs statistiques des salaires mensuels (en euros) de ses employés :

  • Moyenne $\bar{x} = 2\,400$ €
  • Médiane $\text{Med} = 2\,200$ €
  • Étendue $= 1\,600$ €
  • Écart interquartile $= 700$ €

Il envisage une revalorisation : chaque salaire $x$ est remplacé par $y = 1{,}04\,x + 50$ (augmentation de $4\,\%$ puis prime fixe de $50$ €).

L'objectif est de déterminer les nouveaux indicateurs statistiques sans connaître les salaires individuels.
[/enonce]

[etape]
Connaissant uniquement la moyenne $\bar{x}$, comment obtenir la nouvelle moyenne $\bar{y}$ sans recalculer à partir de chaque salaire ?
[qcm]
[option]Il n'est pas possible d'obtenir $\bar{y}$ sans connaître tous les salaires individuels.[/option]
[option correct="true"]Appliquer la formule $\bar{y} = 1{,}04\,\bar{x} + 50$.[/option]
[option]$\bar{y} = \bar{x} + 50$ uniquement : la constante suffit.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est la linéarité de la moyenne : si $y = a\,x + b$, alors $\bar{y} = a\,\bar{x} + b$. La transformation se transmet directement à la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="Il n'est pas possible d'obtenir $\bar{y}$ sans connaître tous les salaires individuels."]Non.
Une propriété du cours permet de s'en passer : la moyenne d'une série transformée par $y = a\,x + b$ s'obtient directement à partir de $\bar{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\bar{y} = \bar{x} + 50$ uniquement : la constante suffit."]Non.
L'augmentation de $4\,\%$ (le coefficient $1{,}04$) multiplie chaque salaire : son effet doit aussi se retrouver sur la moyenne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir la propriété de linéarité de la moyenne pour une transformation affine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer la nouvelle moyenne $\bar{y}$ (en euros).
[[moy]]
[math id="moy" attendu="2546"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\bar{y} = 1{,}04 \times 2\,400 + 50 = 2\,496 + 50 = 2\,546$ €.[/reponse]
[reponse motif="2496"]Non.
Tu as calculé $1{,}04 \times 2\,400$, mais oublié la prime fixe. Les deux composantes de la transformation s'appliquent.[/reponse]
[reponse motif="2450"]Non.
Tu as ajouté $50$ mais oublié le coefficient $1{,}04$. Relire la transformation $y = 1{,}04\,x + 50$.[/reponse]
[reponse motif="2404"]Non.
Tu as ajouté $4$ et $50$. Le $4\,\%$ d'augmentation ne se traduit pas par $+4$ mais par un facteur multiplicatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la propriété de linéarité identifiée à l'étape précédente avec $\bar{x} = 2\,400$.[/reponse]
[aide essai="2"]Remplacer $\bar{x}$ par $2\,400$ dans la formule $\bar{y} = 1{,}04\,\bar{x} + 50$.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer d'abord $1{,}04 \times 2\,400$, puis ajouter $50$.[/aide]
[/math]
[solution]$\bar{y} = 1{,}04 \times 2\,400 + 50 = 2\,496 + 50 = 2\,546$ €.[/solution]
[/etape]

[etape]
La médiane suit-elle la même règle : $\text{Med}' = 1{,}04 \times \text{Med} + 50$ ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui : une transformation affine croissante ($a > 0$) conserve l'ordre des salaires, donc le salarié médian reste le même. Son nouveau salaire est $1{,}04 \times \text{Med} + 50$.[/option]
[option]Non : seule la moyenne admet cette propriété. La médiane doit être recalculée à partir de tous les salaires.[/option]
[option]Non : la médiane est invariante, elle reste $2\,200$ €.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Quand $a > 0$, l'ordre des valeurs est conservé : la valeur située au rang central ne change pas de position, et son nouveau montant est obtenu en appliquant la transformation.[/reponse]
[reponse motif="Non : seule la moyenne admet cette propriété. La médiane doit être recalculée à partir de tous les salaires."]Non.
La médiane dépend de la position dans la série ordonnée. Comme la transformation ne change pas cet ordre, le salarié médian est le même avant et après.[/reponse]
[reponse motif="Non : la médiane est invariante, elle reste $2\,200$ €."]Non.
Si tous les salaires augmentent, la médiane augmente aussi. C'est sa position qui est conservée, pas sa valeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à l'effet d'une transformation affine croissante sur l'ordre de la série.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer la nouvelle médiane $\text{Med}'$ (en euros).
[[med]]
[math id="med" attendu="2338"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\text{Med}' = 1{,}04 \times 2\,200 + 50 = 2\,288 + 50 = 2\,338$ €.[/reponse]
[reponse motif="2288"]Non.
Tu as calculé $1{,}04 \times 2\,200$, mais oublié d'ajouter la prime fixe.[/reponse]
[reponse motif="2250"]Non.
Tu as ajouté $50$ sans appliquer le coefficient $1{,}04$.[/reponse]
[reponse motif="2546"]Non.
$2\,546$ est la nouvelle moyenne, calculée à partir de $\bar{x} = 2\,400$. Ici, il faut partir de la médiane, soit $2\,200$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la transformation à partir de la médiane initiale.[/reponse]
[aide essai="2"]Utiliser la même formule que pour la moyenne, mais avec la médiane initiale ($2\,200$) à la place de $\bar{x}$.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $1{,}04 \times 2\,200$, puis ajouter $50$.[/aide]
[/math]
[solution]$\text{Med}' = 1{,}04 \times 2\,200 + 50 = 2\,338$ €.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer la nouvelle étendue de la série des salaires (en euros).
[[et]]
[math id="et" attendu="1664"]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Si $y_{\max} = 1{,}04\,x_{\max} + 50$ et $y_{\min} = 1{,}04\,x_{\min} + 50$, alors
$y_{\max} - y_{\min} = 1{,}04(x_{\max} - x_{\min}) = 1{,}04 \times 1\,600 = 1\,664$ €.
La constante $+50$ s'ajoute aux deux extrêmes et se simplifie dans la différence.[/reponse]
[reponse motif="1714"]Non.
$1\,714 = 1{,}04 \times 1\,600 + 50$. Or, dans une différence entre le maximum et le minimum, la constante $+50$ apparaît des deux côtés et s'annule.[/reponse]
[reponse motif="1600"]Non.
L'étendue initiale est $1\,600$, mais le coefficient $1{,}04$ multiplie aussi les valeurs extrêmes : l'étendue change donc.[/reponse]
[reponse motif="1650"]Non.
Cela revient à ajouter simplement $50$ à l'étendue initiale. Or le facteur $1{,}04$ intervient aussi, et le $+50$ disparaît dans la différence.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Exprimer l'étendue comme la différence des valeurs extrêmes, puis appliquer la transformation à chacune.[/reponse]
[aide essai="2"]Écrire $y_{\max} - y_{\min}$ en remplaçant chaque terme par $1{,}04\,x + 50$. Observer ce qui se simplifie.[/aide]
[aide essai="3"]Après simplification, la nouvelle étendue vaut $1{,}04$ fois l'étendue initiale.[/aide]
[/math]
[solution]$y_{\max} - y_{\min} = 1{,}04(x_{\max} - x_{\min}) = 1{,}04 \times 1\,600 = 1\,664$ €.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer le nouvel écart interquartile (en euros).
[[eiq]]
[math id="eiq" attendu="728"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$Q_3' - Q_1' = (1{,}04\,Q_3 + 50) - (1{,}04\,Q_1 + 50) = 1{,}04 \times (Q_3 - Q_1) = 1{,}04 \times 700 = 728$ €.
Le raisonnement est identique à celui de l'étendue : la prime fixe disparaît, seul le coefficient subsiste.[/reponse]
[reponse motif="778"]Non.
$778 = 1{,}04 \times 700 + 50$. La constante $+50$ est ajoutée à la fois à $Q_1$ et à $Q_3$ : elle disparaît dans la différence $Q_3 - Q_1$.[/reponse]
[reponse motif="700"]Non.
Le coefficient $1{,}04$ s'applique aussi aux quartiles, donc leur différence change.[/reponse]
[reponse motif="750"]Non.
Tu as ajouté $50$ à l'écart initial sans appliquer le facteur $1{,}04$, et sans tenir compte que le $+50$ disparaît dans une différence.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Même raisonnement que pour l'étendue : exprimer l'écart interquartile comme différence de deux quartiles transformés.[/reponse]
[aide essai="2"]Écrire $Q_3' - Q_1'$ en appliquant $y = 1{,}04\,x + 50$ à chaque quartile, puis simplifier.[/aide]
[aide essai="3"]Après simplification, le nouvel écart interquartile vaut $1{,}04$ fois l'ancien.[/aide]
[/math]
[solution]$Q_3' - Q_1' = 1{,}04 (Q_3 - Q_1) = 1{,}04 \times 700 = 728$ €.[/solution]
[/etape]

QCM : Médiane et quartiles

[enonce]
Ce QCM porte sur la médiane, les quartiles et l'écart interquartile. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère la série : $3$ ; $7$ ; $2$ ; $9$ ; $5$ ; $12$ ; $4$.
Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option]$9$[/option]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On ordonne d'abord la série : $2$ ; $3$ ; $4$ ; $\mathbf{5}$ ; $7$ ; $9$ ; $12$.
$N = 7$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{7+1}{2} = 4$, soit $5$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est la valeur de rang $4$ dans la série non ordonnée. Avant de chercher la médiane, il faut toujours ranger les valeurs dans l'ordre croissant.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ est la valeur de rang $3$ dans la série ordonnée. Attention au rang : pour $N = 7$ impair, la médiane est au rang $\dfrac{N+1}{2}$, pas $\dfrac{N-1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6 = \dfrac{2+3+4+5+7+9+12}{7}$ est la moyenne de la série. La moyenne et la médiane sont deux indicateurs distincts.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut d'abord ordonner la série par ordre croissant, puis prendre la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ quand $N$ est impair.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère la série : $8$ ; $3$ ; $15$ ; $10$ ; $6$ ; $12$ ; $4$ ; $9$.
Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option]$8$[/option]
[option correct="true"]$8{,}5$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]$8{,}375$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Série ordonnée : $3$ ; $4$ ; $6$ ; $\mathbf{8}$ ; $\mathbf{9}$ ; $10$ ; $12$ ; $15$.
$N = 8$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{8}{2} = 4$ et $\dfrac{8}{2} + 1 = 5$.
Médiane $= \dfrac{8 + 9}{2} = 8{,}5$[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ est la valeur de rang $4$ (avant). Quand $N$ est pair, la médiane n'est pas une seule des deux valeurs centrales : il faut faire leur moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est la valeur de rang $5$ (après). Quand $N$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, pas l'une des deux.[/reponse]
[reponse motif="$8{,}375$"]Non.
$8{,}375 = \dfrac{3+4+6+8+9+10+12+15}{8}$ est la moyenne de la série. Ne pas confondre moyenne et médiane.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand $N$ est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le tableau donne le nombre d'enfants par famille dans un quartier :

Nombre d'enfants $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
Effectif $4$ $10$ $8$ $5$ $3$

Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$1{,}5$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'effectif total est $N = 4 + 10 + 8 + 5 + 3 = 30$ (pair). On cherche la moyenne des valeurs aux rangs $\dfrac{30}{2} = 15$ et $16$.
Effectifs cumulés croissants : $4$ ; $14$ ; $\mathbf{22}$ ; $27$ ; $30$.
Les rangs $15$ et $16$ se situent dans la catégorie $2$ (l'ECC saute de $14$ à $22$).
Médiane $= \dfrac{2 + 2}{2} = 2$[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La catégorie $1$ couvre les rangs $5$ à $14$ (ECC $= 14$). Les rangs $15$ et $16$ sont strictement au-delà : il faut poursuivre le cumul.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$"]Non.
La médiane n'est pas la moyenne entre deux valeurs voisines du tableau. Avec des effectifs, on repère dans quelle catégorie tombent les rangs centraux en cumulant les effectifs.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
La catégorie $3$ commence au rang $23$ (ECC précédent $= 22$). Les rangs $15$ et $16$ se trouvent dans la catégorie précédente. Vérifier les ECC.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec $N = 30$, la médiane est la moyenne des $15$e et $16$e valeurs. Les effectifs cumulés croissants ($4$ ; $14$ ; $22$...) permettent de repérer la catégorie correspondante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère la série ordonnée :
$2$ ; $4$ ; $5$ ; $7$ ; $8$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $14$ ; $15$ ; $17$ ; $20$.
Quelle est la valeur du premier quartile $Q_1$ ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$N = 12$. Le rang de $Q_1$ est le plus petit entier $\geqslant \dfrac{N}{4} = 3$ : c'est donc le rang $3$.
La $3$e valeur de la série ordonnée est $5$, donc $Q_1 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3$ est le rang de $Q_1$, pas sa valeur. Une fois le rang déterminé, il faut lire la valeur correspondante dans la série.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ est la valeur de rang $2$. Le rang de $Q_1$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{N}{4}$. Recalculer ce rang.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7$ est la valeur de rang $4$, ce qui correspondrait à $\dfrac{N+1}{4}$ arrondi à l'entier supérieur. La bonne règle utilise $\dfrac{N}{4}$, pas $\dfrac{N+1}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le rang de $Q_1$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{N}{4}$. Il reste à lire la valeur située à ce rang dans la série ordonnée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Voici la répartition des notes à un contrôle :

Note $10$ $11$ $12$ $13$ $14$ $15$
Effectif $3$ $5$ $8$ $6$ $4$ $4$

Quelle est la valeur du troisième quartile $Q_3$ ?
[qcm]
[option]$13$[/option]
[option correct="true"]$14$[/option]
[option]$15$[/option]
[option]$22$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$N = 3 + 5 + 8 + 6 + 4 + 4 = 30$. Rang de $Q_3$ : plus petit entier $\geqslant \dfrac{3N}{4} = 22{,}5$, soit le rang $23$.
Effectifs cumulés croissants : $3$ ; $8$ ; $16$ ; $22$ ; $\mathbf{26}$ ; $30$.
Le rang $23$ se situe dans la catégorie $14$ (l'ECC passe de $22$ à $26$), donc $Q_3 = 14$.[/reponse]
[reponse motif="$13$"]Non.
La catégorie $13$ couvre les rangs $17$ à $22$ (ECC $= 22$). Le rang $23$ est strictement au-delà : il faut poursuivre le cumul d'un cran.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
La catégorie $15$ commence au rang $27$ (ECC précédent $= 26$). Le rang $23$ est en deçà : vérifier attentivement les effectifs cumulés.[/reponse]
[reponse motif="$22$"]Non.
$22$ est proche du rang de $Q_3$ ($3N/4 = 22{,}5$), pas de sa valeur. La valeur s'obtient en lisant la série au rang correspondant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le rang de $Q_3$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{3N}{4}$. Les effectifs cumulés croissants permettent de repérer la catégorie à laquelle ce rang appartient.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère la série ordonnée :
$2$ ; $4$ ; $5$ ; $5$ ; $7$ ; $8$ ; $9$ ; $10$ ; $10$ ; $12$ ; $14$ ; $15$.
Quel est l'écart interquartile de cette série ?
[qcm]
[option]$7{,}5$[/option]
[option]$13$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$15$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$N = 12$. Rang de $Q_1$ : plus petit entier $\geqslant 3$, soit rang $3$ : $Q_1 = 5$.
Rang de $Q_3$ : plus petit entier $\geqslant 9$, soit rang $9$ : $Q_3 = 10$.
Écart interquartile $= Q_3 - Q_1 = 10 - 5 = 5$[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$"]Non.
$7{,}5 = \dfrac{Q_1 + Q_3}{2}$ serait une moyenne des quartiles. L'écart interquartile se calcule avec une différence, pas une moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$13$"]Non.
$13 = 15 - 2$ est l'étendue de la série (max $-$ min). L'écart interquartile utilise $Q_1$ et $Q_3$, pas les valeurs extrêmes.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15 = Q_1 + Q_3$. La définition de l'écart interquartile utilise la différence $Q_3 - Q_1$, pas la somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'écart interquartile est la différence $Q_3 - Q_1$. Il faut d'abord déterminer les deux quartiles en utilisant les rangs $\dfrac{N}{4}$ et $\dfrac{3N}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Médiane et quartiles

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la médiane et les quartiles, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour une série ordonnée de $20$ valeurs, la médiane est la $10^e$ valeur.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Comme $N = 20$ est pair, la médiane est la moyenne des $10^e$ et $11^e$ valeurs, pas la $10^e$ seule.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : quand $N$ est pair, la médiane n'est pas une valeur unique de la série.
On prend la moyenne des valeurs de rang $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$, soit ici la moyenne des $10^e$ et $11^e$ valeurs.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour $N = 20$ (pair), la médiane est la moyenne des $10^e$ et $11^e$ valeurs ordonnées.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la série ordonnée : $3\,;\,5\,;\,7\,;\,8\,;\,10\,;\,12\,;\,14\,;\,16$.

Affirmation : La médiane de cette série vaut $9$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec $N = 8$ (pair), la médiane est la moyenne des $4^e$ et $5^e$ valeurs : $\dfrac{8 + 10}{2} = 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $N = 8$ est pair, donc la médiane est la moyenne des valeurs de rang $4$ et $5$.
La $4^e$ valeur est $8$, la $5^e$ est $10$, donc la médiane vaut $\dfrac{8 + 10}{2} = 9$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La médiane est $\dfrac{8 + 10}{2} = 9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour une série ordonnée de $40$ valeurs, $Q_1$ est la $10^e$ valeur.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On cherche le plus petit rang tel qu'au moins $\dfrac{1}{4} \times 40 = 10$ valeurs soient inférieures ou égales : c'est le rang $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre le rang de $Q_1$ avec $\dfrac{N}{4}$ arrondi. On cherche la plus petite valeur telle qu'au moins $25\,\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales.
Ici $25\,\% \times 40 = 10$ pile, donc $Q_1$ est la $10^e$ valeur.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le rang de $Q_1$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{40}{4} = 10$, donc $Q_1$ est la $10^e$ valeur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On donne $Q_1 = 7$ et $Q_3 = 15$ pour une série.

Affirmation : L'écart interquartile de la série vaut $11$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'écart interquartile est la différence $Q_3 - Q_1 = 15 - 7 = 8$, et non la moyenne des deux quartiles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'avoir calculé $\dfrac{7 + 15}{2} = 11$, ce qui correspond au milieu de l'intervalle interquartile, pas à son écart.
L'écart interquartile est la différence $Q_3 - Q_1 = 15 - 7 = 8$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'écart interquartile vaut $Q_3 - Q_1 = 15 - 7 = 8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'intervalle interquartile $[Q_1\,;\,Q_3]$ contient exactement $50\,\%$ des valeurs de la série.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le cours indique qu'au moins $50\,\%$ des valeurs appartiennent à cet intervalle : la proportion peut être supérieure à $50\,\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel précis du cours : au moins $50\,\%$ des valeurs sont dans $[Q_1\,;\,Q_3]$. Selon les effectifs, la proportion réelle peut dépasser $50\,\%$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'intervalle interquartile contient au moins $50\,\%$ des valeurs, pas exactement.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Ajouter une valeur très élevée à une série peut laisser la médiane presque inchangée, alors que la moyenne est fortement modifiée.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
La médiane dépend seulement du rang central : une valeur extrême ne déplace ce rang que d'une position. La moyenne, elle, intègre la valeur elle-même et peut être tirée vers le haut.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut comparer les deux indicateurs : la médiane est robuste (elle ne regarde que la position), la moyenne est sensible (elle intègre chaque valeur).
Une seule valeur extrême a donc un impact fort sur la moyenne, mais souvent faible sur la médiane.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne qui les intègre pleinement.
[/solution]
[/etape]

Statistiques : Regroupement en classes

Le tableau ci-dessous (source INSEE) présente la répartition par âge de la population française métropolitaine au $ 1^\text{er} $ janvier 2018 (L'âge révolu est l'âge de la personne à son dernier anniversaire).

À cette date, la doyenne des français était âgée de 113 ans.

Âge révolu Effectifs Effectifs cumulés croissants
0 691 165 691 165
1 710 534 1 401 699
2 728 579 2 130 278
3 749 270 2 879 548
4 763 228 3 642 776
5 782 484 4 425 260
6 792 558 5 217 818
7 813 001 6 030 819
8 808 393 6 839 212
9 813 680 7 652 892
10 807 548 8 460 440
11 822 302 9 282 742
12 802 674 10 085 416
13 800 480 10 885 896
14 796 320 11 682 216
15 800 560 12 482 776
16 816 021 13 298 797
17 828 193 14 126 990
18 785 471 14 912 461
19 775 524 15 687 985
20 750 885 16 438 870
21 751 084 17 189 954
22 734 838 17 924 792
23 705 808 18 630 600
24 698 780 19 329 380
25 732 693 20 062 073
26 742 199 20 804 272
27 758 458 21 562 730
28 763 258 22 325 988
29 774 435 23 100 423
30 778 738 23 879 161
31 793 507 24 672 668
32 794 025 25 466 693
33 789 604 26 256 297
34 781 093 27 037 390
Âge révolu Effectifs Effectifs cumulés croissants
35 829 365 27 866 755
36 837 426 28 704 181
37 849 108 29 553 289
38 804 184 30 357 473
39 788 264 31 145 737
40 794 640 31 940 377
41 773 344 32 713 721
42 793 019 33 506 740
43 836 502 34 343 242
44 885 498 35 228 740
45 903 921 36 132 661
46 897 885 37 030 546
47 881 680 37 912 226
48 868 783 38 781 009
49 860 664 39 641 673
50 856 564 40 498 237
51 873 805 41 372 042
52 875 149 42 247 191
53 884 018 43 131 209
54 874 390 44 005 599
55 842 410 44 848 009
56 844 453 45 692 462
57 840 074 46 532 536
58 833 430 47 365 966
59 813 824 48 179 790
60 809 540 48 989 330
61 801 271 49 790 601
62 790 864 50 581 465
63 788 149 51 369 614
64 769 877 52 139 491
65 780 203 52 919 694
66 760 764 53 680 458
67 788 609 54 469 067
68 771 267 55 240 334
69 763 386 56 003 720
Âge révolu Effectifs Effectifs cumulés croissants
70 746 205 56 749 925
71 703 078 57 453 003
72 526 166 57 979 169
73 510 477 58 489 646
74 493 523 58 983 169
75 452 195 59 435 364
76 399 640 59 835 004
77 410 887 60 245 891
78 424 148 60 670 039
79 410 734 61 080 773
80 394 185 61 474 958
81 385 845 61 860 803
82 365 057 62 225 860
83 356 869 62 582 729
84 327 225 62 909 954
85 319 458 63 229 412
86 290 749 63 520 161
87 268 489 63 788 650
88 227 255 64 015 905
89 201 758 64 217 663
90 171 893 64 389 556
91 147 011 64 536 567
92 123 524 64 660 091
93 98 697 64 758 788
94 78 283 64 837 071
95 61 359 64 898 430
96 46 186 64 944 616
97 34 225 64 978 841
98 14 599 64 993 440
99 8 401 65 001 841
100 5 174 65 007 015
101 3 135 65 010 150
102 2 297 65 012 447
103 2 281 65 014 728
104 1 208 65 015 936
105 ou plus 2 160 65 018 096
Total 65 018 096  
Tableau A

Partie A

  1. Quel sont le mode et l'étendue de cette série statistique ?
  2. Calculer le pourcentage de personnes mineures (c'est à dire ayant un âge révolu inférieur ou égal à 17 ans) en métropole au $ 1^\text{er} $ janvier 2018.
  3. Déterminer la médiane ainsi que les premier et troisième quartiles de cette série.
  4. Représenter cette série par un diagramme en boîte.

Partie B

Le tableau A comporte trop de lignes pour être facilement exploitable.

On décide donc de regrouper ces résultats en classes d'amplitude 10 ans (à l'exception de la dernière).

On obtient alors le tableau suivant :

Classes d'âge [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[ [50 ; 60[ [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90[ [90 ; 100[ [100 ; 114[
Effectifs 7 652 892 8 035 093 7 412 438 8 045 314 8 495 936 8 538 117 7 823 930 5 077 053 3 136 890 784 178 16 255
E.C.C 7 652 892 15 687 985 23 100 423 31 145 737 39 641 673 48 179 790 56 003 720 61 080 773 64 217 663 65 001 841 65 018 096
Tableau B
  1. Expliquer comment, à partir du tableau A, on a obtenu le tableau B.
  2. Calculer la moyenne de cette série en utilisant le tableau B.
  3. Tracer le graphique des effectifs cumulés croissants en choisissant une échelle appropriée.
  4. À l'aide du graphique de la question précédente, déterminer des valeurs approchées à l'unité près de la médiane et des premier et troisième quartiles.

    Comparer ce résultat à celui de la question 3. de la partie A.

Corrigé

Partie A

  1. Mode et étendue :
    Le mode est la valeur du caractère dont l'effectif est le plus grand.
    D'après le tableau A, l'effectif maximal est $ 903\,921 $, ce qui correspond à l'âge de 45 ans.

    $\mathbf{\text{Mode} = 45 \text{ ans}}$

    L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale du caractère.
    Ici, la doyenne a 113 ans et la valeur minimale est 0 an.

    $\mathbf{\text{Étendue} = 113 - 0 = 113 \text{ ans}}$

  2. Pourcentage de personnes mineures :
    Une personne est mineure si son âge révolu est inférieur ou égal à 17 ans.
    D'après la colonne des effectifs cumulés croissants (ECC), l'effectif total des personnes ayant un âge inférieur ou égal à 17 ans est $ 14\,126\,990 $.
    L'effectif total de la population est $ N = 65\,018\,096 $.
    Le pourcentage $ p $ est donc :

    $\mathbf{p = \dfrac{14\,126\,990}{65\,018\,096} \times 100 \approx 21{,}7\%}$

  3. Médiane et quartiles :
    L'effectif total est $ N = 65\,018\,096 $.

    Médiane :
    On cherche la plus petite valeur pour laquelle l'ECC est supérieur ou égal à $ \dfrac{N}{2} = 32\,509\,048 $.
    D'après le tableau A :

    • Pour l'âge 40, l'ECC est $ 31\,940\,377 $.
    • Pour l'âge 41, l'ECC est $ 32\,713\,721 $.

    La médiane est donc $ M = 41 $ ans.

    Premier quartile :
    On cherche la plus petite valeur pour laquelle l'ECC est supérieur ou égal à $ \dfrac{N}{4} = 16\,254\,524 $.

    • Pour l'âge 19, l'ECC est $ 15\,687\,985 $.
    • Pour l'âge 20, l'ECC est $ 16\,438\,870 $.

    Le premier quartile est donc $ Q_1 = 20 $ ans.

    Troisième quartile :
    On cherche la plus petite valeur pour laquelle l'ECC est supérieur ou égal à $ \dfrac{3N}{4} = 48\,763\,572 $.

    • Pour l'âge 59, l'ECC est $ 48\,179\,790 $.
    • Pour l'âge 60, l'ECC est $ 48\,989\,330 $.

    Le troisième quartile est donc $ Q_3 = 60 $ ans.

  4. Diagramme en boîte :
    Le diagramme en boîte est construit sur un axe gradué avec les valeurs suivantes :

    • Minimum : $ 0 $
    • Premier quartile $ Q_1 $ : $ 20 $
    • Médiane $ M $ : $ 41 $
    • Troisième quartile $ Q_3 $ : $ 60 $
    • Maximum : $ 113 $
    Diagramme en boîte de la répartition par âge

Partie B

  1. Explication du regroupement :
    Le tableau B est obtenu en regroupant les effectifs par classes d'âge.
    Par exemple, pour la classe $ [0 ; 10[ $, on additionne les effectifs des âges révolus de 0 à 9 ans inclus.
    L'effectif cumulé croissant à l'âge 9 ans dans le tableau A est $ 7\,652\,892 $, ce qui correspond bien à l'effectif de la classe $ [0 ; 10[ $.

  2. Calcul de la moyenne :
    Pour calculer la moyenne à partir d'un regroupement en classes, on utilise le centre de chaque classe.

    Classes [0;10[ [10;20[ [20;30[ [30;40[ [40;50[ [50;60[ [60;70[ [70;80[ [80;90[ [90;100[ [100;114[
    Centres 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 107

    La moyenne $ \bar{x} $ est :

    $ \bar{x} = \dfrac{7\,652\,892 \times 5 + 8\,035\,093 \times 15 + \dots + 16\,255 \times 107}{65\,018\,096} = \dfrac{2\,709\,807\,620}{65\,018\,096} $

    Après calcul :

    $\mathbf{\bar{x} \approx 41{,}7 \text{ ans}}$

  3. Graphique des ECC :
    On place les points dont l'abscisse est la borne supérieure de chaque classe et l'ordonnée l'ECC correspondant :
    $ (10 ; 7\,652\,892) $, $ (20 ; 15\,687\,985) $, $ (30 ; 23\,100\,423) $, etc.
    On relie ces points par des segments pour obtenir le polygone des effectifs cumulés croissants.

    Polygone des effectifs cumulés croissants

  4. Détermination graphique et comparaison :
    Par lecture graphique sur le polygone des ECC :

    • Pour la médiane ($ y = 32\,509\,048 $), on trouve $ M \approx 42 $.
    • Pour $ Q_1 $ ($ y = 16\,254\,524 $), on trouve $ Q_1 \approx 21 $.
    • Pour $ Q_3 $ ($ y = 48\,763\,572 $), on trouve $ Q_3 \approx 61 $.

    Comparaison :
    Les valeurs obtenues avec le regroupement en classes ($ Q_1 \approx 21 $, $ M \approx 42 $, $ Q_3 \approx 61 $) sont très proches des valeurs exactes calculées en partie A ($ Q_1 = 20 $, $ M = 41 $, $ Q_3 = 60 $).
    Le regroupement en classes fournit donc une bonne approximation de la réalité statistique tout en simplifiant la lecture des données.

Pour réviser : Déterminer la médiane d'une série statistique

Courbe des fréquences cumulées croissantes

Les tailles des élèves d'une classe de Seconde ont été recensées dans le tableau ci-dessous :

Tailles (en cm) [150 ; 155[ [155 ; 160[ [160 ; 165[ [165 ; 170[ [170 ; 175[ [175 ; 180[ [180 ; 185[
Effectifs 3 4 6 7 5 3 2
  1. Donner l'étendue et la classe modale de cette série statistique.
  2. Combien d'élèves mesurent entre 1,55m et 1,70m.
  3. Construire le tableau des fréquences et des fréquences cumulées croissantes (en % et arrondies à 1% près).
  4. Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes.
  5. À l'aide du graphique précédent, déterminer la médiane et les premier et troisième quartile de cette série statistique.
  6. Donner une approximation du pourcentage d'élèves mesurant entre 1,58m et 1,68m.

Corrigé

  1. Donner l'étendue et la classe modale de cette série statistique. L'étendue d'une série est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite de cette série. Ici :

    E = 185 - 150 = 35.

    Lorsque toutes les classes ont la même amplitude, la classe modale correspond à la classe ayant le plus grand effectif. Dans cet exercice, la classe modale est donc [165 ; 170[ (effectif 7).
  2. Combien d'élèves mesurent entre 1,55m et 1,70m. Le nombre d'élèves mesurant entre 1,55m et 1,70m s'obtient en additionnant les effectifs des classes [155 ; 160[, [160 ; 165[ et [165 ; 170[. 4+6+7=17.

    Il y a 17 élèves qui mesurent entre 1,55m et 1,70m.

  3. Construire le tableau des fréquences et des fréquences cumulées croissantes (en % et arrondies à 1% près). Les fréquences s'obtiennent en divisant les effectifs par l'effectif total et en multipliant ce résultat par 100 si on souhaite présenter ce résultat sous forme d'un pourcentage.

    L'effectif total est :

    N = 3 + 4 + 6 + 7 + 5 + 3 + 2 = 30

    La fréquence de la classe [150 ; 155[ est donc $\dfrac{3}{30} = 0{,}1 = 10\%$. En procédant de façon similaire pour toutes les classes on obtient le tableau des fréquences suivant :

    Tailles (en cm) [150;155[ [155;160[ [160;165[ [165;170[ [170;175[ [175;180[ [180;185[
    Effectifs 3 4 6 7 5 3 2
    Fréquences (en $ \% $) 10 13 20 23 17 10 7

    La fréquence cumulée croissante (fcc) associée à une valeur est la somme des fréquences des valeurs inférieures ou égales. Par exemple, la fcc associée à la classe [165;170[ correspond aux 20 premiers élèves sur 30, soit $\dfrac{20}{30} \times 100 \approx 67$ % (arrondi à 1 % près). On obtient alors le tableau ci-dessous :

    Tailles (en cm) [150;155[ [155;160[ [160;165[ [165;170[ [170;175[ [175;180[ [180;185[
    Effectifs 3 4 6 7 5 3 2
    Fréquences (en $ \% $) 10 13 20 23 17 10 7
    FCC (en $ \% $) 10 23 43 67 83 93 100

  4. Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes. Sur le tableau précédent on voit que :

    • Il n'y a aucun élève qui mesure moins de 150 cm donc on place le point de coordonnées (150 ; 0)
    • 10% des élèves mesurent moins de 155 cm donc on place le point de coordonnées (155 ; 10)
    • 23% des élèves mesurent moins de 160 cm donc on place le point de coordonnées (160 ; 23)
    • etc.

    Pour des raisons de commodité, on gradue l'axe des abscisses en partant de 150.

    On obtient le graphique suivant :

    Courbe des fréquences cumulées croissantes des tailles

  5. À l'aide du graphique précédent, déterminer la médiane et les premier et troisième quartile de cette série statistique. La médiane (Méd) correspond à la valeur dont la fréquence cumulée croissante est égale à 50% (puisque par définition de la médiane, 50% des élèves mesurent moins de la médiane).

    Le premier quartile (Q1) correspond à la valeur dont la fréquence cumulée croissante est égale à 25%.

    Le troisième quartile (Q3) correspond à la valeur dont la fréquence cumulée croissante est égale à 75%.

    Lecture graphique de la médiane et des quartiles

    Le graphique ci-dessus donne approximativement :Méd = 166 ; Q1=160 ; Q3=172.

  6. Donner une approximation du pourcentage d'élèves mesurant entre 1,58m et 1,68m.

    Lecture graphique des fréquences cumulées entre 158 et 168 cm

    À l'aide du graphique on voit que :

    • environ 57% des élèves mesurent moins de 1,68m
    • environ 18% des élèves mesurent moins de 1,58

    Le pourcentage d'élèves mesurant entre 1,58m et 1,68m est donc d'environ 57% - 18% = 39%

Statistiques : Salaire médian – quartiles

La grille des salaires des employés d'une PME est données par le tableau ci-dessous :

Catégorie Ouvrier simple Ouvrier qualifié Cadre moyen Cadre supérieur Dirigeant
Effectif 40 19 12 8 1
Salaire en euros 950 1300 1700 3500 8000
  1. Quel est l'effectif total de l'entreprise ? Calculer le salaire moyen.
  2. Quel est le salaire médian pour cette entreprise.
  3. Quels sont les premier et troisième quartiles ?

Corrigé

  1. L'effectif total est :
    $ N = 40 + 19 + 12 + 8 + 1 = 80 $
    Le salaire moyen s'obtient en faisant la moyenne pondérée des salaires :
    $ m = \dfrac{40 \times 950 + 19 \times 1300 + 12 \times 1700 + 8 \times 3500 + 1 \times 8000}{80} = 1488{,}75 $
    Le salaire moyen est donc de $1488{,}75$ euros.
  2. L'effectif étant pair, le salaire médian est la moyenne des salaires de l'employé de rang $\dfrac{N}{2}$ et de l'employé de rang $\dfrac{N}{2} + 1$.
    Il s'agit ici des 40e et 41e employés. Le 40e employé est un ouvrier simple et le 41e est un ouvrier qualifié.
    Le salaire médian est donc :
    $ M = \dfrac{950 + 1300}{2} = 1125 $ euros
  3. Pour déterminer les quartiles, on divise l'effectif total par $4$ : $80 \div 4 = 20$.
    Le premier quartile est le salaire du 20e employé, donc $Q_1 = 950$ euros.
    Le troisième quartile est le salaire du 60e employé (cadre moyen), donc $Q_3 = 1700$ euros.