[enonce]
Dans un lycée, les $240$ élèves de Seconde doivent tous suivre exactement une option au choix entre Latin et Chinois. L'administration a récolté les informations suivantes :

• $150$ élèves sont des filles.
• $90$ élèves suivent l'option Latin.
• $60$ filles suivent l'option Latin.

On choisit un élève au hasard parmi ces $240$ élèves.
L'objectif est de déterminer plusieurs probabilités liées au genre et à l'option choisie.
[/enonce]

[etape]
Pour organiser ces données dans un tableau à double entrée, il faut choisir ce qui figure en lignes et en colonnes. Laquelle des propositions suivantes convient ?

[qcm]
[option correct="true"]Croiser le genre (filles / garçons) avec l'option (Latin / Chinois)[/option]
[option]Placer les données numériques $150$, $90$, $60$ en lignes et en colonnes[/option]
[option]Mettre une seule ligne « filles » et une seule colonne « Latin »[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un tableau à double entrée croise deux caractères : ici le genre et l'option. Les cases donnent les effectifs d'intersection.[/reponse]
[reponse motif="Placer les données numériques $150$, $90$, $60$ en lignes et en colonnes"]Un tableau à double entrée n'a pas pour entrées des nombres, mais les modalités de deux caractères (ici genre et option).[/reponse]
[reponse motif="Mettre une seule ligne « filles » et une seule colonne « Latin »"]Avec une seule ligne et une seule colonne, on n'obtient pas un tableau qui croise deux caractères. Il faut les deux modalités pour chaque caractère.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Un tableau à double entrée croise les modalités de deux caractères. Quels sont les deux caractères étudiés ici ?[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Pour dénombrer les élèves selon le genre et l'option, on croise ces deux caractères dans un tableau à double entrée (par exemple : genre en lignes, option en colonnes).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Combien de garçons suivent l'option Latin ?

[[gl]]

[math id="gl" attendu="30"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Il y a $90$ élèves de Latin au total, dont $60$ filles. Donc $90 - 60 = 30$ garçons suivent Latin.[/reponse]
[reponse motif="60"]$60$ est le nombre de filles faisant Latin, pas le nombre de garçons faisant Latin.[/reponse]
[reponse motif="90"]$90$ est le nombre total d'élèves faisant Latin. Il faut séparer filles et garçons.[/reponse]
[reponse motif="150"]$150$ est le nombre de filles, pas de garçons. Revenir aux données sur l'option Latin.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les élèves faisant Latin se partagent en filles et garçons. On connaît le total et la part des filles.[/reponse]
[aide essai="2"]Utiliser le total de la colonne (ou ligne) « Latin » et la donnée sur les filles faisant Latin.[/aide]
[aide essai="3"]Nombre de garçons Latin = (total Latin) − (filles Latin).[/aide]
[/math]

[solution]
Il y a $90$ élèves qui suivent Latin au total, dont $60$ filles. Le nombre de garçons faisant Latin est donc $90 - 60 = 30$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Combien d'élèves suivent l'option Chinois au total ?

[[tc]]

[math id="tc" attendu="150"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Chaque élève suit exactement une des deux options. Comme il y a $240$ élèves et $90$ en Latin, il en reste $240 - 90 = 150$ en Chinois.[/reponse]
[reponse motif="90"]$90$ est le nombre d'élèves faisant Latin. Les deux options se partagent tous les élèves.[/reponse]
[reponse motif="60"]$60$ est le nombre de filles faisant Latin, pas le total Chinois.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Tous les élèves suivent soit Latin, soit Chinois (jamais les deux, jamais aucune).[/reponse]
[aide essai="2"]La somme des effectifs de Latin et de Chinois donne le total des élèves.[/aide]
[aide essai="3"]Nombre d'élèves en Chinois = $240 - 90$.[/aide]
[/math]

[solution]
Chaque élève choisit une seule des deux options, donc l'effectif de Chinois est $240 - 90 = 150$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Combien de filles suivent l'option Chinois ?

[[fc]]

[math id="fc" attendu="90"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Sur $150$ filles, $60$ suivent Latin, donc $150 - 60 = 90$ filles suivent Chinois.[/reponse]
[reponse motif="60"]$60$ est le nombre de filles faisant Latin, pas Chinois.[/reponse]
[reponse motif="150"]$150$ est le nombre total de filles, dont une partie fait Latin. Il faut retrancher cette part.[/reponse]
[reponse motif="30"]$30$ est le nombre de garçons faisant Latin, calculé à l'étape précédente. Ce n'est pas la donnée à utiliser ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les filles se partagent entre Latin et Chinois. On connaît le total des filles et la part des filles en Latin.[/reponse]
[aide essai="2"]Partir du nombre total de filles et retrancher celles qui font Latin.[/aide]
[aide essai="3"]Nombre de filles Chinois = (total filles) − (filles Latin).[/aide]
[/math]

[solution]
Le tableau complet s'écrit :

Sur $150$ filles, $60$ suivent Latin, donc $150 - 60 = 90$ suivent Chinois.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité que l'élève choisi soit une fille et suive l'option Chinois. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

[[pfc]]

[math id="pfc" attendu="3/8" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Il y a $90$ filles faisant Chinois sur $240$ élèves, d'où $p(F \cap C) = \dfrac{90}{240} = \dfrac{3}{8}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction n'est pas sous forme irréductible. Simplifier en divisant numérateur et dénominateur par leur PGCD.[/reponse]
[reponse motif="90/240"]Le calcul est correct, mais la fraction doit être simplifiée. Chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="9/24"]La simplification n'est pas complète. $9$ et $24$ ont encore un diviseur commun.[/reponse]
[reponse motif="60/240"]$60$ correspond aux filles faisant Latin, pas Chinois. Reprendre la case du tableau correspondant à « fille et Chinois ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Dans un univers équiprobable, la probabilité d'un événement est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.[/reponse]
[aide essai="2"]Le nombre de cas favorables est dans la case « fille et Chinois » du tableau ; le nombre de cas possibles est l'effectif total.[/aide]
[aide essai="3"]$p(F \cap C) = \dfrac{\text{filles Chinois}}{\text{total élèves}} = \dfrac{90}{240}$, à simplifier.[/aide]
[/math]

[solution]
$p(F \cap C) = \dfrac{90}{240} = \dfrac{3}{8}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité que l'élève choisi soit une fille ou suive l'option Latin. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

[[pfl]]

[math id="pfl" attendu="3/4" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec la formule du crible :
$p(F \cup L) = \dfrac{150}{240} + \dfrac{90}{240} - \dfrac{60}{240} = \dfrac{180}{240} = \dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est correct, mais la fraction doit être simplifiée complètement.[/reponse]
[reponse motif="180/240"]Le résultat numérique est bon, mais il faut simplifier la fraction jusqu'à sa forme irréductible.[/reponse]
[reponse motif="1"]Attention, $p(F) + p(L) = \dfrac{150+90}{240} = 1$ compte deux fois les filles qui font Latin. Il faut retrancher l'intersection.[/reponse]
[reponse motif="3/8"]$\dfrac{3}{8}$ correspond à l'intersection $F \cap C$, pas à l'union $F \cup L$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'union $F \cup L$ se calcule à partir de $p(F)$, $p(L)$ et $p(F \cap L)$.[/reponse]
[aide essai="2"]Appliquer la formule reliant $p(F \cup L)$ à $p(F)$, $p(L)$ et $p(F \cap L)$.[/aide]
[aide essai="3"]$p(F \cup L) = \dfrac{150}{240} + \dfrac{90}{240} - \dfrac{60}{240}$, puis simplifier.[/aide]
[/math]

[solution]
$p(F \cup L) = p(F) + p(L) - p(F \cap L) = \dfrac{150}{240} + \dfrac{90}{240} - \dfrac{60}{240} = \dfrac{180}{240} = \dfrac{3}{4}$.
Les trois quarts des élèves sont des filles ou suivent Latin (ou les deux).
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de probabilités à partir d'un tableau à double entrée. Dans un lycée de $200$ élèves, un tableau répartit les élèves selon leur option artistique (théâtre ou musique) et leur sexe :

On tire un élève au hasard. On note $F$ l'événement « être une fille » et $T$ l'événement « faire du théâtre ». Pour chaque question, choisissez la bonne réponse.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la probabilité que l'élève tiré soit une fille ?
[qcm]
[option]$0{,}45$[/option]
[option correct="true"]$0{,}55$[/option]
[option]$0{,}2$[/option]
[option]$0{,}35$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Il y a $110$ filles parmi les $200$ élèves. Donc $p(F) = \dfrac{110}{200} = 0{,}55$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}45$"]Non.
Cette valeur correspond à la proportion de garçons ($\dfrac{90}{200}$), pas de filles. Relire la ligne totale des filles.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2$"]Non.
Cette valeur correspond à la proportion de filles faisant théâtre ($\dfrac{40}{200}$). La question ne demande pas cette intersection.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}35$"]Non.
Cette valeur correspond à la proportion de filles faisant musique ($\dfrac{70}{200}$). Additionner théâtre et musique pour obtenir le total des filles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser le total de la ligne « Filles » divisé par l'effectif total du tableau.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la probabilité que l'élève tiré fasse du théâtre ?
[qcm]
[option]$0{,}55$[/option]
[option]$0{,}25$[/option]
[option correct="true"]$0{,}45$[/option]
[option]$0{,}2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La colonne « Théâtre » totalise $40 + 50 = 90$ élèves. Donc $p(T) = \dfrac{90}{200} = 0{,}45$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}55$"]Non.
Cette valeur correspond à la musique ($\dfrac{110}{200}$) : on a lu la mauvaise colonne. Reprendre la colonne « Théâtre ».[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
Il s'agit de la part des garçons faisant théâtre ($\dfrac{50}{200}$). Il faut totaliser filles et garçons pour avoir l'ensemble des élèves faisant théâtre.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2$"]Non.
Il s'agit des filles faisant théâtre ($\dfrac{40}{200}$), pas de tous les élèves faisant théâtre. Ajouter les garçons faisant théâtre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser le total de la colonne « Théâtre » divisé par l'effectif total du tableau.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la probabilité $p(F \cap T)$, c'est-à-dire que l'élève soit une fille et fasse du théâtre ?
[qcm]
[option]$0{,}55$[/option]
[option]$0{,}45$[/option]
[option correct="true"]$0{,}2$[/option]
[option]$0{,}8$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'intersection se lit directement dans la case « Filles / Théâtre » : il y a $40$ élèves correspondants. Donc $p(F \cap T) = \dfrac{40}{200} = 0{,}2$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}55$"]Non.
Cette valeur correspond à la probabilité d'être une fille ($p(F)$) : on ne tient pas compte de la condition « faire théâtre ». L'intersection demande les deux conditions à la fois.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}45$"]Non.
Cette valeur correspond à $p(T)$ : on n'a pas tenu compte de la condition « fille ». L'intersection se lit dans la case croisant les deux critères.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}8$"]Non.
Il s'agit de l'union $p(F \cup T)$, pas de l'intersection. L'intersection est toujours plus petite que l'union.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'intersection $F \cap T$ se lit dans la case du tableau croisant « Filles » et « Théâtre ».[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la probabilité que l'élève tiré ne fasse pas de théâtre ?
[qcm]
[option]$0{,}45$[/option]
[option correct="true"]$0{,}55$[/option]
[option]$0{,}2$[/option]
[option]$0{,}35$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
« Ne pas faire théâtre », c'est faire musique. On peut calculer $p(\overline{T}) = 1 - p(T) = 1 - 0{,}45 = 0{,}55$, ou lire directement $\dfrac{110}{200}$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}45$"]Non.
Il s'agit de $p(T)$, la probabilité de faire théâtre — l'inverse de ce qu'on cherche. Appliquer la formule $p(\overline{T}) = 1 - p(T)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2$"]Non.
Cette valeur est liée à l'intersection $p(F \cap T)$, pas au contraire de $T$. Penser à la relation $p(\overline{T}) = 1 - p(T)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}35$"]Non.
Il s'agit uniquement des filles faisant musique. L'événement « ne pas faire théâtre » inclut aussi les garçons qui ne font pas théâtre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser $p(\overline{T}) = 1 - p(T)$ ou lire directement la colonne musique.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la probabilité $p(F \cup T)$, c'est-à-dire être une fille ou faire du théâtre ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$0{,}2$[/option]
[option correct="true"]$0{,}8$[/option]
[option]$0{,}25$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
D'après la formule du crible : $p(F \cup T) = p(F) + p(T) - p(F \cap T) = 0{,}55 + 0{,}45 - 0{,}2 = 0{,}8$. On peut aussi dénombrer directement : $40 + 70 + 50 = 160$ élèves, soit $\dfrac{160}{200} = 0{,}8$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Il manque la soustraction de l'intersection. Sans retrancher $p(F \cap T)$, on compte deux fois les filles faisant théâtre.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2$"]Non.
Il s'agit de l'intersection $F \cap T$, pas de l'union. Le « ou » correspond à une union : il faut ajouter les deux parts.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
Ce résultat ne correspond à aucune lecture directe du tableau. Appliquer la formule du crible avec les valeurs déjà calculées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $p(F \cup T) = p(F) + p(T) - p(F \cap T)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la probabilité que l'élève soit une fille ou fasse musique ?
[qcm]
[option]$1{,}1$[/option]
[option]$0{,}35$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$0{,}75$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On note $M$ l'événement « faire musique ». Alors $p(F) = 0{,}55$, $p(M) = 0{,}55$ et $p(F \cap M) = \dfrac{70}{200} = 0{,}35$. La formule du crible donne $p(F \cup M) = 0{,}55 + 0{,}55 - 0{,}35 = 0{,}75$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}1$"]Non.
Une probabilité ne peut pas dépasser $1$. Il manque la soustraction de l'intersection $p(F \cap M)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}35$"]Non.
Il s'agit de l'intersection « fille et musique ». La question porte sur l'union « fille ou musique », qui est plus grande.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
Ce résultat ne correspond pas au calcul attendu. Appliquer la formule du crible en lisant $p(F)$, $p(M)$ et $p(F \cap M)$ dans le tableau.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire $p(F)$, $p(M)$ et $p(F \cap M)$ dans le tableau, puis appliquer la formule $p(F \cup M) = p(F) + p(M) - p(F \cap M)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Dans un lycée de 200 élèves, on a relevé la répartition selon le sexe et le port éventuel de lunettes :

On choisit un élève au hasard et on note $L$ l'événement « l'élève porte des lunettes » et $F$ l'événement « l'élève est une fille ».

Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $p(F) = \dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Il y a 120 filles parmi 200 élèves :

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On lit le total de la ligne « Filles » (120) divisé par l'effectif total (200).
On a $\dfrac{120}{200} = \dfrac{3}{5}$ après simplification par 40.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{120}{200} = \dfrac{3}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $p(L \cap F) = \dfrac{40}{120}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'effectif favorable est bien 40 (filles avec lunettes), mais le dénominateur doit être l'effectif total de l'univers, soit 200.

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au dénominateur : on choisit un élève parmi tous les élèves du lycée, donc on divise par 200.
La valeur correcte est $\dfrac{40}{200} = \dfrac{1}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le dénominateur doit être l'effectif total 200, pas 120 : $p(L \cap F) = \dfrac{40}{200} = \dfrac{1}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $p(L \cup F) = \dfrac{3}{4}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On applique la formule du crible : $p(L \cup F) = p(L) + p(F) - p(L \cap F)$.
$p(L \cup F) = \dfrac{70}{200} + \dfrac{120}{200} - \dfrac{40}{200} = \dfrac{150}{200} = \dfrac{3}{4}$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : utiliser la formule $p(L \cup F) = p(L) + p(F) - p(L \cap F)$.
Avec $p(L) = \dfrac{70}{200}$, $p(F) = \dfrac{120}{200}$, $p(L \cap F) = \dfrac{40}{200}$, on obtient $\dfrac{70 + 120 - 40}{200} = \dfrac{150}{200} = \dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $p(L \cup F) = \dfrac{70 + 120 - 40}{200} = \dfrac{150}{200} = \dfrac{3}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La probabilité qu'un élève choisi au hasard ne porte pas de lunettes est $\dfrac{70}{200}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le nombre 70 correspond aux élèves qui portent des lunettes, pas à ceux qui n'en portent pas.
Le total de la colonne « Ne porte pas de lunettes » est 130, donc $p(\overline{L}) = \dfrac{130}{200} = \dfrac{13}{20}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux colonnes : 70 est le nombre d'élèves avec lunettes.
Le total de ceux qui n'en portent pas est 130, donc $p(\overline{L}) = \dfrac{130}{200} = \dfrac{13}{20}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $p(\overline{L}) = \dfrac{130}{200} = \dfrac{13}{20}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les événements $L$ et $F$ ne sont pas incompatibles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a $L \cap F \neq \varnothing$ car 40 filles portent des lunettes.
Puisqu'une issue réalise les deux événements simultanément, ils ne sont pas incompatibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : deux événements sont incompatibles lorsque $A \cap B = \varnothing$.
Or la case « Filles $\times$ Porte des lunettes » contient 40 élèves, donc $L \cap F$ n'est pas vide : les événements ne sont pas incompatibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Il y a 40 élèves dans $L \cap F$, donc l'intersection est non vide et les événements ne sont pas incompatibles.
[/solution]
[/etape]