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Loi binomiale : gestion de stock d’une boulangerie

Dans une boulangerie, on a observé que chaque client, indépendamment des autres, demande une baguette traditionnelle avec une probabilité de $ 0{,}15 $.

Un samedi matin, le boulanger reçoit $ 50 $ clients. On note $ X $ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients demandant une baguette traditionnelle.

  1. Justifier que $ X $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer l'espérance et l'écart-type de $ X $. Arrondir l'écart-type à $ 10^{-2} $.
  3. Le boulanger a préparé $ 10 $ baguettes traditionnelles ce matin-là. À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité qu'il puisse satisfaire tous les clients demandant ce type de baguette. Arrondir à $ 10^{-3} $.

  4. Le boulanger souhaite déterminer le nombre minimal $ k $ de baguettes traditionnelles à préparer pour que la probabilité de satisfaire tous les clients qui en demandent soit au moins égale à $ 0{,}95 $.

    1. Traduire la condition à respecter par une inégalité portant sur $ p\left(X \leqslant k\right) $.
    2. À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur minimale de $ k $.
  5. Avec ce stock minimal $ k $, quelle est la probabilité que le boulanger soit en rupture (au moins un client non satisfait) ? Arrondir à $ 10^{-3} $.

Corrigé

  1. On répète $ 50 $ fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli à deux issues : « le client demande une baguette traditionnelle » (succès, de probabilité $ p = 0{,}15 $) et « le client n'en demande pas » (échec, de probabilité $ 1 - p = 0{,}85 $). La variable $ X $ compte le nombre de succès.

    Donc $ X $ suit la loi binomiale $ \mathscr B \left(50\ ;\ 0{,}15\right) $.

  2. L'espérance est $ E\left(X\right) = np $ :

    $ E\left(X\right) = 50 \times 0{,}15 $ = $\mathbf{7{,}5}$.

    En moyenne, $ 7{,}5 $ clients sur $ 50 $ demandent une baguette traditionnelle.

    La variance est $ V\left(X\right) = np\left(1 - p\right) $ :

    $ V\left(X\right) = 50 \times 0{,}15 \times 0{,}85 = 6{,}375 $.

    L'écart-type est donc :

    $ \sigma\left(X\right) = \sqrt{6{,}375} \approx $ $\mathbf{2{,}52}$.

  3. Le boulanger satisfait tous les clients si, et seulement si, le nombre de demandes ne dépasse pas le stock disponible, c'est-à-dire $ X \leqslant 10 $.

    À l'aide de la calculatrice (fonction binomFRép ou binomcdf avec $ n = 50 $, $ p = 0{,}15 $, $ k = 10 $) :

    $ p\left(X \leqslant 10\right) \approx $ $\mathbf{0{,}880}$.

    La probabilité que le boulanger satisfasse tous les clients avec un stock de $ 10 $ baguettes est environ $ 0{,}880 $.

    1. Le boulanger satisfait tous les clients si $ X \leqslant k $. La condition s'écrit donc :

      $ p\left(X \leqslant k\right) \geqslant 0{,}95 $.

    2. À la calculatrice, on calcule $ p\left(X \leqslant k\right) $ pour différentes valeurs de $ k $ :

      $k$ $10$ $11$ $12$ $13$
      $p(X\leqslant k)$ $0{,}880$ $0{,}937$ $0{,}970$ $0{,}987$

      La plus petite valeur de $ k $ vérifiant $ p\left(X \leqslant k\right) \geqslant 0{,}95 $ est $\mathbf{k = 12}$.

      Le boulanger doit préparer au minimum $ 12 $ baguettes traditionnelles pour avoir au moins $ 95\% $ de chances de satisfaire tous les clients.

  5. Avec un stock de $ 12 $ baguettes, le boulanger est en rupture si $ X \geqslant 13 $. Or :

    $ p\left(X \geqslant 13\right) = 1 - p\left(X \leqslant 12\right) $

    $ p\left(X \geqslant 13\right) \approx 1 - 0{,}970 \approx $ $\mathbf{0{,}030}$.

    La probabilité de rupture avec ce stock est d'environ $ 3\% $.

→ Pour réviser : Calculer et interpréter l'espérance d'une loi binomiale

Loi binomiale : tirs au but au football

Lors d'une séance d'entraînement, un footballeur professionnel effectue $ 11 $ tirs au but indépendants les uns des autres. La probabilité qu'il marque sur un tir donné est de $ 0{,}7 $.

On note $ X $ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis sur les $ 11 $ tentatives.

  1. Justifier que $ X $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer la probabilité que le joueur marque exactement $ 8 $ tirs au but. Arrondir à $ 10^{-3} $.
  3. Calculer l'espérance et l'écart-type de $ X $. Interpréter l'espérance dans le contexte de l'exercice.
  4. Calculer la probabilité que le joueur marque au moins $ 9 $ tirs au but. Arrondir à $ 10^{-3} $.

Corrigé

  1. On répète $ 11 $ fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli ayant deux issues : « marquer » (succès, de probabilité $ p = 0{,}7 $) et « manquer » (échec, de probabilité $ 1 - p = 0{,}3 $). La variable $ X $ compte le nombre de succès.

    Donc $ X $ suit la loi binomiale $ \mathscr B \left(11\ ;\ 0{,}7\right) $.

  2. D'après la formule de la loi binomiale :

    $ p\left(X = 8\right) = \begin{pmatrix} 11 \\ 8 \end{pmatrix} \times 0{,}7^{8} \times 0{,}3^{3} $

    $ p\left(X = 8\right) = 165 \times 0{,}05764801 \times 0{,}027 $

    $ p\left(X = 8\right) \approx $ $\mathbf{0{,}257}$.

    La probabilité que le joueur marque exactement $ 8 $ tirs est environ $ 0{,}257 $.

  3. L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi $ \mathscr B \left(n\ ;\ p\right) $ est $ E\left(X\right) = np $ :

    $ E\left(X\right) = 11 \times 0{,}7 $ = $\mathbf{7{,}7}$.

    Interprétation : sur un grand nombre de séances de $ 11 $ tirs, le joueur marque en moyenne $ 7{,}7 $ tirs par séance.

    La variance est $ V\left(X\right) = np\left(1 - p\right) $ :

    $ V\left(X\right) = 11 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 2{,}31 $.

    L'écart-type est donc :

    $ \sigma\left(X\right) = \sqrt{2{,}31} \approx $ $\mathbf{1{,}52}$.

  4. On calcule :

    $ p\left(X \geqslant 9\right) = p\left(X = 9\right) + p\left(X = 10\right) + p\left(X = 11\right) $

    $ p\left(X = 9\right) = \begin{pmatrix} 11 \\ 9 \end{pmatrix} \times 0{,}7^{9} \times 0{,}3^{2} = 55 \times 0{,}040353607 \times 0{,}09 \approx 0{,}1998 $

    $ p\left(X = 10\right) = \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} \times 0{,}7^{10} \times 0{,}3^{1} = 11 \times 0{,}0282475 \times 0{,}3 \approx 0{,}0932 $

    $ p\left(X = 11\right) = 0{,}7^{11} \approx 0{,}0198 $

    D'où :

    $ p\left(X \geqslant 9\right) \approx 0{,}1998 + 0{,}0932 + 0{,}0198 \approx $ $\mathbf{0{,}313}$.

    La probabilité que le joueur marque au moins $ 9 $ tirs sur $ 11 $ est environ $ 0{,}313 $.

→ Pour réviser : Calculer et interpréter l'espérance d'une loi binomiale

Vrai/Faux : Pièges classiques sur les lois binomiale et géométrique

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les pièges classiques des lois binomiale et géométrique, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit $\mathcal{B}(n\,;\,p)$, alors $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
L'événement contraire de $\{X \geqslant k\}$ est $\{X < k\}$, c'est-à-dire $\{X \leqslant k - 1\}$, et non $\{X \leqslant k\}$. La formule correcte est $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)$. Attention au décalage d'une unité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : $\{X \leqslant k\}$ inclut $X = k$, alors que le complémentaire de $\{X \geqslant k\}$ est $\{X \leqslant k - 1\}$ (strictement plus petit que $k$). La formule correcte est $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule correcte est $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)$. L'erreur d'un cran sur l'indice est très fréquente.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$, alors $P(X \geqslant 1) = 1 - (0{,}7)^{20}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'événement contraire de $\{X \geqslant 1\}$ est $\{X = 0\}$ (« aucun succès »). On a $P(X = 0) = (1 - p)^{n} = (0{,}7)^{20}$, donc $P(X \geqslant 1) = 1 - (0{,}7)^{20}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le complémentaire de « au moins un succès » est « aucun succès ». Or $P(X = 0) = (1 - p)^{n} = 0{,}7^{20}$. Donc $P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}7^{20}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}7)^{20}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance une pièce équilibrée. Les $4$ premiers lancers ont donné Face.

Affirmation : La probabilité que le $5$e lancer donne Pile est de $0{,}7$, car la pièce est censée se rééquilibrer.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
Les lancers sont indépendants : la probabilité reste $0{,}5$ à chaque lancer, quels que soient les résultats précédents. L'idée d'un « rééquilibrage » est un sophisme classique (le piège du joueur).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège du joueur : croire que les lancers passés influencent les lancers futurs. En réalité, l'indépendance des lancers garantit que $P(\text{Pile}) = 0{,}5$ à chaque lancer, peu importe l'historique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les lancers sont indépendants : la probabilité d'obtenir Pile au $5$e lancer reste $0{,}5$ quoi qu'il se soit passé avant.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}2$.

Affirmation : Sachant que les $5$ premières épreuves ont échoué, la probabilité d'attendre encore au moins $3$ épreuves supplémentaires pour obtenir le premier succès vaut $(0{,}8)^{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est l'absence de mémoire de la loi géométrique : $P_{X > 5}(X > 5 + 3) = P(X > 3) = (1 - p)^{3} = (0{,}8)^{3}$. La loi « oublie » les échecs précédents.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Propriété d'absence de mémoire : la loi géométrique « oublie » le passé. La probabilité d'attendre encore $k$ essais sachant qu'on en a déjà fait $n$ est la même que la probabilité initiale d'attendre $k$ essais. D'où $(1 - p)^{3} = (0{,}8)^{3}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par absence de mémoire : $P_{X > 5}(X > 8) = P(X > 3) = (0{,}8)^{3} = 0{,}512$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}4)$, alors $E(X) = 10 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 2{,}4$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
La formule $np(1 - p)$ est celle de la variance de la loi binomiale, pas de l'espérance. L'espérance vaut simplement $E(X) = np = 10 \times 0{,}4 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion classique entre l'espérance ($np$) et la variance ($np(1 - p)$) de la loi binomiale. L'espérance vaut $E(X) = np = 4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $E(X) = np = 10 \times 0{,}4 = 4$. La valeur $2{,}4 = np(1 - p)$ correspond à la variance.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé équilibré à six faces $12$ fois. Soit $X$ le nombre de fois où l'on obtient un $6$.

Affirmation : En moyenne, on obtient $2$ fois le chiffre $6$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$X$ suit $\mathcal{B}\left(12\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$. Donc $E(X) = np = 12 \times \dfrac{1}{6} = 2$. En moyenne, on attend bien $2$ « $6$ » sur $12$ lancers.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calculer l'espérance : $X$ suit $\mathcal{B}\left(12\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$, donc $E(X) = np = 12 \times \dfrac{1}{6} = 2$. La proportion attendue de « $6$ » est $\dfrac{1}{6}$ des lancers.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $E(X) = np = 12 \times \dfrac{1}{6} = 2$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Calculs avec la loi binomiale

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les calculs avec la loi binomiale, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit $\mathcal{B}(n\,;\,p)$, alors pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$ :

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \, (1 - p)^{n - k}$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement le théorème démontré dans le cours : le coefficient $\binom{n}{k}$ compte les chemins de l'arbre, et $p^{k}(1-p)^{n-k}$ donne la probabilité de chaque chemin.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Cette formule est l'un des résultats fondamentaux du chapitre. Elle s'obtient à partir de l'arbre du schéma de Bernoulli : $\binom{n}{k}$ chemins, chacun de probabilité $p^{k}(1-p)^{n-k}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la formule clé de la loi binomiale, à savoir par cœur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}4)$, alors $P(X = 3) = 0{,}4^{3} \times 0{,}6^{7}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le coefficient binomial $\binom{10}{3} = 120$ a été oublié. La formule correcte est $P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}4^{3} \times 0{,}6^{7}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il manque le coefficient binomial $\binom{10}{3}$ qui compte le nombre de façons de placer les $3$ succès parmi les $10$ épreuves.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il manque le coefficient $\binom{10}{3} = 120$. La bonne formule est $P(X = 3) = 120 \times 0{,}4^{3} \times 0{,}6^{7}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit $\mathcal{B}(8\,;\,0{,}5)$, alors $P(X = 4) = \binom{8}{4} \times 0{,}5^{8}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Avec $p = 0{,}5$, on a aussi $1 - p = 0{,}5$. Donc $0{,}5^{4} \times 0{,}5^{4} = 0{,}5^{4+4} = 0{,}5^{8}$. La formule se simplifie joliment : $P(X = 4) = \binom{8}{4} \times 0{,}5^{8}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand $p = 0{,}5$, on a $p = 1 - p$, donc $p^{k} \times (1-p)^{n-k} = 0{,}5^{n}$. La formule se simplifie effectivement de cette façon.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour $p = 0{,}5$, $p^{k}(1-p)^{n-k} = 0{,}5^{n}$, donc $P(X = 4) = \binom{8}{4} \times 0{,}5^{8} = 70 \times \dfrac{1}{256} \approx 0{,}273$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit $\mathcal{B}(15\,;\,0{,}2)$, alors $E(X) = 0{,}2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
$0{,}2$ est seulement le paramètre $p$. La formule de l'espérance pour la loi binomiale est $E(X) = np$. Ici, $E(X) = 15 \times 0{,}2 = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Ne pas confondre $p$ et $E(X)$ : l'espérance d'une loi binomiale tient compte du nombre $n$ d'épreuves. La formule est $E(X) = np$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $E(X) = np = 15 \times 0{,}2 = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}6)$, alors l'espérance de $X$ vaut $30$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$E(X) = np = 50 \times 0{,}6 = 30$. En moyenne, on attend $30$ succès sur $50$ épreuves quand le succès a une probabilité de $0{,}6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Appliquer la formule $E(X) = np$ : $E(X) = 50 \times 0{,}6 = 30$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $E(X) = np = 50 \times 0{,}6 = 30$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance $4$ fois un dé équilibré à six faces.

Affirmation : La probabilité d'obtenir exactement deux $6$ vaut $\dfrac{2}{4} = 0{,}5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
La proportion d'événements favorables ne se calcule pas avec un quotient « k sur n » dans une loi binomiale. Soit $X$ le nombre de $6$ : $X$ suit $\mathcal{B}\left(4\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$, donc $P(X = 2) = \binom{4}{2} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} = 6 \times \dfrac{25}{1296} \approx 0{,}116$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Erreur classique : le rapport « $\dfrac{k}{n}$ » n'a aucun sens probabiliste. Il faut appliquer la formule $P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $P(X = 2) = \binom{4}{2} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} \approx 0{,}116$, très loin de $0{,}5$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Probabilités cumulées de la loi binomiale

[enonce]
Ce QCM porte sur les probabilités cumulées de la loi binomiale : $P(X \leqslant k)$, $P(X \geqslant k)$ et passage par l'événement contraire. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
$X$ suit $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}4)$. Quelle expression est égale à $P(X \leqslant 3)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$[/option]
[option]$P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$[/option]
[option]$P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$[/option]
[option]$P(X = 3)$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$X \leqslant 3$ correspond à $X \in \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\}$. Comme ces événements sont disjoints, leurs probabilités s'additionnent. La somme va donc de $k = 0$ à $k = 3$ inclus.[/reponse]
[reponse motif="$P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$"]Non.
L'inégalité $X \leqslant 3$ est large : elle inclut la valeur $X = 3$. Cette valeur a été oubliée dans la somme.[/reponse]
[reponse motif="$P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$"]Non.
$X$ peut aussi prendre la valeur $0$ : la somme doit commencer à $k = 0$, pas à $k = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$P(X = 3)$"]Non.
$P(X \leqslant 3)$ est une probabilité cumulée qui inclut toutes les valeurs de $X$ inférieures ou égales à $3$, pas seulement $X = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(X \leqslant k)$ est la somme des probabilités $P(X = j)$ pour $j$ allant de $0$ à $k$ inclus.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. Quelle formule donne $P(X \geqslant 1)$ ?
[qcm]
[option]$P(X = 1)$[/option]
[option]$1 - P(X \leqslant 1)$[/option]
[option correct="true"]$1 - P(X = 0)$[/option]
[option]$P(X = 20)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'événement contraire de $\{X \geqslant 1\}$ (« au moins un succès ») est $\{X = 0\}$ (« aucun succès »). Donc $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0)$.[/reponse]
[reponse motif="$P(X = 1)$"]Non.
$P(X = 1)$ est la probabilité d'avoir exactement un succès, alors que $P(X \geqslant 1)$ inclut aussi $X = 2$, $X = 3$, etc.[/reponse]
[reponse motif="$1 - P(X \leqslant 1)$"]Non.
$1 - P(X \leqslant 1)$ vaut $P(X \geqslant 2)$, pas $P(X \geqslant 1)$. Vérifier soigneusement le complémentaire de l'événement.[/reponse]
[reponse motif="$P(X = 20)$"]Non.
$P(X = 20)$ correspond à « tous les essais sont des succès », un cas très particulier. L'événement « au moins un succès » est beaucoup plus large.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier l'événement contraire : « au moins un succès » s'oppose à « aucun succès ».[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit $\mathcal{B}(15\,;\,0{,}5)$. Comment calculer $P(X \geqslant 8)$ avec la calculatrice (qui ne donne que $P(X \leqslant k)$) ?
[qcm]
[option]$1 - P(X \leqslant 8)$[/option]
[option correct="true"]$1 - P(X \leqslant 7)$[/option]
[option]$P(X \leqslant 8) - P(X \leqslant 7)$[/option]
[option]$P(X \leqslant 8)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
L'événement contraire de $\{X \geqslant 8\}$ est $\{X \leqslant 7\}$ (les valeurs strictement inférieures à $8$). Donc $P(X \geqslant 8) = 1 - P(X \leqslant 7)$.[/reponse]
[reponse motif="$1 - P(X \leqslant 8)$"]Non.
$1 - P(X \leqslant 8) = P(X \geqslant 9)$. La valeur $X = 8$ n'est pas incluse. Décaler l'indice de $1$.[/reponse]
[reponse motif="$P(X \leqslant 8) - P(X \leqslant 7)$"]Non.
Cette différence vaut $P(X = 8)$ (la probabilité d'exactement $8$ succès), pas $P(X \geqslant 8)$.[/reponse]
[reponse motif="$P(X \leqslant 8)$"]Non.
$P(X \leqslant 8)$ correspond aux valeurs allant de $0$ à $8$, c'est-à-dire l'événement contraire de $\{X \geqslant 9\}$. C'est presque l'opposé de ce qu'on cherche.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)$. Bien décaler l'indice.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit $\mathcal{B}(12\,;\,0{,}4)$. Quelle expression vaut $P(3 \leqslant X \leqslant 5)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$P(X \leqslant 5) - P(X \leqslant 2)$[/option]
[option]$P(X \leqslant 5) - P(X \leqslant 3)$[/option]
[option]$P(X \leqslant 5) - P(X \leqslant 4)$[/option]
[option]$P(X \leqslant 5) + P(X \leqslant 2)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\{3 \leqslant X \leqslant 5\}$ correspond à $X \in \{3\,;\,4\,;\,5\}$. On a $P(X \leqslant 5) = P(X \leqslant 2) + P(3 \leqslant X \leqslant 5)$, donc $P(3 \leqslant X \leqslant 5) = P(X \leqslant 5) - P(X \leqslant 2)$.[/reponse]
[reponse motif="$P(X \leqslant 5) - P(X \leqslant 3)$"]Non.
Cette différence donne $P(4 \leqslant X \leqslant 5) = P(X = 4) + P(X = 5)$ : la valeur $X = 3$ a été oubliée. Soustraire $P(X \leqslant 2)$, pas $P(X \leqslant 3)$.[/reponse]
[reponse motif="$P(X \leqslant 5) - P(X \leqslant 4)$"]Non.
Cette différence vaut $P(X = 5)$. On a oublié $X = 3$ et $X = 4$ dans la somme.[/reponse]
[reponse motif="$P(X \leqslant 5) + P(X \leqslant 2)$"]Non.
On doit soustraire (et non additionner) la probabilité cumulée jusqu'à $2$ : on retire les valeurs $X \leqslant 2$ qui ne nous intéressent pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a - 1)$. Ici $a = 3$ et $b = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$. À l'aide de la calculatrice, déterminer $P(X \leqslant 4)$ arrondi à $10^{-3}$ près.
[qcm]
[option]$0{,}200$[/option]
[option]$0{,}650$[/option]
[option correct="true"]$0{,}850$[/option]
[option]$0{,}350$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
À la calculatrice (binomFRép) : $P(X \leqslant 4) = \displaystyle\sum_{k=0}^{4} \binom{10}{k} \times 0{,}3^{k} \times 0{,}7^{10-k} \approx 0{,}850$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}200$"]Non.
$0{,}200 \approx P(X = 4)$ pour $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$. Une probabilité cumulée jusqu'à $4$ est nécessairement plus grande, car elle additionne $5$ termes.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}650$"]Non.
Vérifier la saisie : binomFRép$(10\,;\,0{,}3\,;\,4)$ ou $P(X \leqslant 4)$. Penser à inclure $k = 0$ dans la somme.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}350$"]Non.
$0{,}350 \approx P(X \geqslant 4) = 1 - P(X \leqslant 3)$. C'est l'événement contraire (à un décalage près) qui a été calculé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser binomFRép$(n\,;\,p\,;\,k)$ avec $n = 10$, $p = 0{,}3$ et $k = 4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une population, $30\,\%$ des personnes possèdent un certain trait génétique. On en sélectionne au hasard, avec remise, $25$ personnes et l'on note $X$ le nombre de personnes ayant ce trait. Quelle est la probabilité qu'au moins $10$ personnes le possèdent, à $10^{-3}$ près ?
[qcm]
[option]$0{,}811$[/option]
[option correct="true"]$0{,}189$[/option]
[option]$0{,}025$[/option]
[option]$0{,}500$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$X$ suit $\mathcal{B}(25\,;\,0{,}3)$. On cherche $P(X \geqslant 10) = 1 - P(X \leqslant 9)$. À la calculatrice : $P(X \leqslant 9) \approx 0{,}811$, donc $P(X \geqslant 10) \approx 1 - 0{,}811 = 0{,}189$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}811$"]Non.
$0{,}811 \approx P(X \leqslant 9)$ : c'est la probabilité de moins de $10$ personnes. Le complément $1 - 0{,}811$ donne la probabilité d'au moins $10$ personnes.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}025$"]Non.
$0{,}025 \approx 1 - P(X \leqslant 12)$ ou similaire : décalage d'indice. Bien identifier le seuil $k$ tel que $P(X \geqslant 10) = 1 - P(X \leqslant k)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}500$"]Non.
L'espérance est $E(X) = 25 \times 0{,}3 = 7{,}5$, donc obtenir $10$ personnes ou plus est moins probable que la moyenne. Il ne s'agit pas d'une chance sur deux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(X \geqslant 10) = 1 - P(X \leqslant 9)$. Calculer $P(X \leqslant 9)$ à la calculatrice puis prendre le complément.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Calcul de probabilités avec la loi binomiale

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de $P(X = k)$ avec la loi binomiale : application directe de la formule et utilisation de la calculatrice. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(8\,;\,0{,}3)$. Quelle est la formule donnant $P(X = 3)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\binom{8}{3} \times 0{,}3^{3} \times 0{,}7^{5}$[/option]
[option]$\binom{8}{3} \times 0{,}3^{5} \times 0{,}7^{3}$[/option]
[option]$\binom{8}{3} \times 0{,}3^{3} \times 0{,}7^{3}$[/option]
[option]$0{,}3^{3} \times 0{,}7^{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La formule générale est $P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$. Avec $n = 8$, $p = 0{,}3$ et $k = 3$, on obtient $\binom{8}{3} \times 0{,}3^{3} \times 0{,}7^{8-3} = \binom{8}{3} \times 0{,}3^{3} \times 0{,}7^{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\binom{8}{3} \times 0{,}3^{5} \times 0{,}7^{3}$"]Non.
Les exposants sont inversés : $p$ est élevé à la puissance $k = 3$ (le nombre de succès), et $1 - p$ à la puissance $n - k = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$\binom{8}{3} \times 0{,}3^{3} \times 0{,}7^{3}$"]Non.
La somme des deux exposants doit valoir $n = 8$. Ici, la somme vaut $3 + 3 = 6$, ce qui n'est pas correct.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}3^{3} \times 0{,}7^{5}$"]Non.
Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ a été oublié : il représente le nombre de façons d'obtenir $k$ succès parmi $n$ épreuves.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réviser la formule $P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ et identifier soigneusement $n$, $k$, $p$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit $\mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$. Calculer $P(X = 2)$.
[qcm]
[option]$0{,}25$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$0{,}375$[/option]
[option]$0{,}125$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \times 0{,}5^{2} \times 0{,}5^{2} = 6 \times 0{,}5^{4} = 6 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{6}{16} = 0{,}375$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
$0{,}25 = 0{,}5^{2}$ : seule la partie en puissance a été calculée, sans tenir compte du coefficient binomial $\binom{4}{2} = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
La probabilité d'un succès est $0{,}5$, mais $P(X = 2)$ correspond à exactement $2$ succès sur $4$ essais : c'est un calcul plus complet à effectuer.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}125$"]Non.
$0{,}125 = 0{,}5^{3}$ : exposant erroné. Avec $n = 4$ et $k = 2$, la puissance totale de $0{,}5$ doit valoir $n = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ avec $n = 4$, $k = 2$ et $p = 0{,}5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}2)$. Calculer $P(X = 0)$ à $10^{-3}$ près.
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$0{,}000$[/option]
[option correct="true"]$0{,}328$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$P(X = 0) = \binom{5}{0} \times 0{,}2^{0} \times 0{,}8^{5} = 1 \times 1 \times 0{,}32768 \approx 0{,}328$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$P(X = 0)$ représente la probabilité de n'avoir aucun succès, ce qui n'est pas impossible. Pour $n = 5$ et $p = 0{,}2$, cet événement reste très probable.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$0{,}8^{0} = 1$, mais ici l'exposant est $n - k = 5$, pas $0$. Bien identifier les exposants.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}000$"]Non.
$0{,}2^{5} \approx 0{,}000\,32$, mais ce calcul correspond à $P(X = 5)$ (avoir tous les succès), pas à $P(X = 0)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $P(X = 0)$, appliquer la formule avec $k = 0$ : seul le terme $(1-p)^{n}$ subsiste.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}15)$. À l'aide de la calculatrice, déterminer $P(X = 4)$ arrondi à $10^{-3}$ près.
[qcm]
[option]$0{,}229$[/option]
[option correct="true"]$0{,}182$[/option]
[option]$0{,}150$[/option]
[option]$0{,}375$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
À la calculatrice (binomFdp ou nCr) : $P(X = 4) = \binom{20}{4} \times 0{,}15^{4} \times 0{,}85^{16}$, soit $4845 \times 0{,}000\,506 \times 0{,}074 \approx 0{,}182$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}229$"]Non.
$0{,}229$ correspond à $P(X = 2)$ pour $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}15)$ : décalage sur la valeur de $k$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}150$"]Non.
$0{,}15$ est la valeur du paramètre $p$, pas la probabilité d'avoir exactement $4$ succès. Réutiliser la formule.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}375$"]Non.
$0{,}375$ ne correspond à aucun calcul direct ici. Vérifier la saisie sur la calculatrice : binomFdp$(20\,;\,0{,}15\,;\,4)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Saisir $P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ ou utiliser binomFdp$(n\,;\,p\,;\,k)$ sur la calculatrice.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une machine produit $5\,\%$ de pièces défectueuses. On prélève au hasard, avec remise, $10$ pièces. Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses parmi les $10$ prélevées. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement $2$ pièces défectueuses, à $10^{-3}$ près ?
[qcm]
[option]$0{,}500$[/option]
[option correct="true"]$0{,}075$[/option]
[option]$0{,}001$[/option]
[option]$0{,}946$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
$X$ suit $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}05)$. Donc $P(X = 2) = \binom{10}{2} \times 0{,}05^{2} \times 0{,}95^{8} = 45 \times 0{,}0025 \times 0{,}663 \approx 0{,}075$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}500$"]Non.
La proportion de défectueux est faible ($5\,\%$) et $n$ est petit ($10$). Obtenir exactement $2$ défectueuses est peu probable, certainement pas une chance sur deux.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}001$"]Non.
$0{,}001$ correspond à $0{,}05^{2} \times 0{,}95^{8}$ sans le coefficient binomial $\binom{10}{2} = 45$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}946$"]Non.
$0{,}946$ est une probabilité cumulée du même type, pas la probabilité d'avoir exactement $2$ défectueuses. La question porte sur $P(X = 2)$, pas sur $P(X \leqslant k)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $n = 10$ et $p = 0{,}05$, puis appliquer $P(X = 2) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit $\mathcal{B}(7\,;\,0{,}4)$. Calculer $P(X = 7)$ à $10^{-4}$ près.
[qcm]
[option]$0{,}4000$[/option]
[option]$0{,}7000$[/option]
[option correct="true"]$0{,}0016$[/option]
[option]$0{,}0280$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
$P(X = 7) = \binom{7}{7} \times 0{,}4^{7} \times 0{,}6^{0} = 1 \times 0{,}4^{7} \times 1 \approx 0{,}001\,64$, soit $0{,}0016$ à $10^{-4}$ près.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}4000$"]Non.
$0{,}4$ est la probabilité d'un seul succès. Pour avoir $7$ succès consécutifs, il faut multiplier $0{,}4$ par lui-même $7$ fois.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}7000$"]Non.
$0{,}7$ ne correspond à aucun calcul ici. Le nombre $7$ apparaît dans l'énoncé, mais pas comme une probabilité.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}0280$"]Non.
$0{,}028 \approx 0{,}6^{7}$ correspond à $P(X = 0)$ (probabilité de zéro succès), pas à $P(X = 7)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $k = n$, la formule se simplifie : $P(X = n) = p^{n}$ (tous les essais donnent un succès).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Probabilités – Bac blanc ES/L Sujet 1 – Maths-cours 2018

Un constructeur fabrique des tablettes informatiques. Le coût de production est 250 euros par unité.

Les tablettes sont garanties contre un défaut de fonctionnement de l'écran ou du disque dur.

Cette garantie permet à l'acheteur, en cas de panne, d'effectuer les réparations suivantes aux frais du constructeur :

  • réparation de l'écran (coût pour le constructeur  : 50 euros) ;
  • réparation du disque dur (coût pour le constructeur  : 30 euros).

Une étude statistique a montré que  :

  • 3% des tablettes présentent un défaut de disque dur ;
  • 4% des tablettes présentent un défaut d'écran ;
  • 95% des tablettes ne présentent aucun des deux défauts.

Partie A

  1. Recopier et compléter le tableau ci-après à l'aide des données de l'énoncé.

    $ \ $ Disque dur OK Disque dur défectueux Total
    Écran OK $ \cdots $ $ \cdots $ $ \cdots $
    Écran défectueux $ \cdots $ $ \cdots $ $ \cdots $
    Total $ \cdots $ 3% 100 %
  2. Le prix de revient d'une tablette est égal à son coût de production augmenté du coût de réparation éventuel. On note $ X $ la variable aléatoire correspondant au prix de revient d'une tablette.
    Établir la loi de probabilité de $ X $.
  3. Calculer l'espérance mathématique de $ X $. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
  4. L'entreprise vend chaque tablette 400 euros. Quel sera son bénéfice mensuel moyen si elle vend 750 tablettes par mois ?

Partie B

Un établissement scolaire achète 50 tablettes à ce constructeur.

On suppose que l'on peut assimiler cet achat à un tirage aléatoire de 50 tablettes avec remise, les tirages étant supposés indépendants.

On rappelle que 95% des tablettes ne présentent aucun défaut couvert par la garantie constructeur.

On note $ Y $ la variable aléatoire égale au nombre de tablettes achetées par l'établissement présentant un défaut couvert par la garantie constructeur.

  1. Justifier que $ Y $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Quelle est la probabilité qu'aucune des tablettes achetées par l'établissement ne présente de défaut couvert par la garantie constructeur ?
  3. Quelle est l'espérance mathématique de $ Y $ ? Interpréter ce résultat.

Corrigé

Partie A

  1. On place dans le tableau les données fournies par l'énoncé  :

    • 3% des tablettes présentent un défaut de disque dur ;
    • 4% des tablettes présentent un défaut d'écran ;
    • 95% des tablettes ne présentent aucun des deux défauts.
    $ \ $ Disque dur OK Disque dur défectueux Total
    Écran OK 95% $ \cdots $ $ \cdots $
    Écran défectueux $ \cdots $ $ \cdots $ 4%
    Total $ \cdots $ 3% 100 %

    On complète ensuite les totaux partiels afin que le total global soit égal à 100%  :

    $ \ $ Disque dur OK Disque dur défectueux Total
    Écran OK 95% $ \cdots $ 96%
    Écran défectueux $ \cdots $ $ \cdots $ 4%
    Total 97% 3% 100 %

    Les données restantes peuvent être calculées simplement à partir des totaux  :

    $ \ $ Disque dur OK Disque dur défectueux Total
    Écran OK 95% 1% 96%
    Écran défectueux 2% 2% 4%
    Total 97% 3% 100 %

  2. La variable aléatoire $ X $ peut prendre quatre valeurs distinctes ; le tableau de la question précédente fournit la probabilité de chacune d'elle  :

    • si la tablette ne présente aucun défaut  : $ {X=250} $ (probabilité  : 0,95) ;
    • si la tablette présente uniquement un défaut de disque dur  : $ {X=250+30=280} $ (probabilité  : 0,01) ;
    • si la tablette présente uniquement un défaut d'écran  :$ {X=250+50=300} $ (probabilité  : 0,02) ;
    • si la tablette présente à la fois un défaut de disque dur et un défaut d'écran  : $ {X=250+50+30=330} $ (probabilité  : 0,02).

    On peut regrouper ces résultats dans un tableau  :

    $ x_i $ 250 280 300 330
    $ p(X=x_i) $ 0{,}95 0{,}01 0{,}02 0{,}02

    À retenir

    La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est un tableau qui recense les différentes valeurs $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ prises par X et les probabilités des événements $ {(X=x_1), (X=x_2), \cdots, (X=x_n)} $

  3. L'espérance mathématique de $ X $ est  :

    $ E(X)=250 \times 0{,}95 + 280 \times 0{,}01 + 300 \times 0{,}02 + 330 \times 0{,}02 = 252{,}9 $.

    Remarque

    À retenir

    Si $ X $ est une variable aléatoire qui prend les valeurs $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ avec les probabilités respectives $ p_1, p_2, \cdots, p_n $, l'espérance mathématique de X est  :

    $ E(X)=p_1x_1+p_2x_2+ \cdots +p_nx_n $

  4. D'après la question précédente, le prix de revient moyen d'une tablette est de 252,9 euros.

    Si chaque tablette est vendu 400 euros, le bénéfice moyen par tablette vendue sera de $ 400 - 252{,}9 = 147{,}1 $ euros.

    Pour une vente mensuelle de 750 tablettes, l'entreprise fera un bénéfice mensuel moyen de $ 750 \times 147{,}1 = 110\,325 $ euros.

Partie B

  1. La variable aléatoire $ Y $ suit une loi binomiale de paramètres $ n=50 $ et $ p=0{,}05 $ puisque  :

    • on assimile l'expérience à la répétition de 50 tirages aléatoires identiques et indépendants ;

    • chaque tirage possède deux issues  :

      • succès, correspondant au tirage d'une tablette défectueuse (probabilité $ p=0{,}05 $) ;
      • échec, correspondant au tirage d'une tablette fonctionnant correctement ;
    • la variable aléatoire $ Y $ comptabilise le nombre de succès.

    Remarque

    Bien rédiger

    Pour montrer qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale $ \mathscr{B}(n~;~p) $ de paramètres $ n $ et $ p $, on précise que  :

    • l'expérience aléatoire est la répétition de $ n $ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ;

    • chaque épreuve de Bernoulli possède deux issues  :

      • succès, de probabilité $ p $;
      • échec, de probabilité $ 1 - p $ ;
    • la variable aléatoire $ X $ comptabilise le nombre de succès.

  2. La probabilité qu'aucune des tablettes achetées par l'établissement ne présente de défaut est  :

    $ P(Y=0)=\binom{50}{0} \times 0{,}05^{0} \times 0{,}95^{50}=0{,}95^{50} $

    $ P(Y=0) \approx 0{,}077 $ (arrondi au millième).

    Remarque

    À retenir

    Si la variable aléatoire $ X $ suit une loi binomiale $ \mathscr B \left(n ; p\right) $, pour tout entier naturel $ k $ compris entre $ 0 $ et $ n $, la probabilité que $ X $ prenne la valeur $ k $ est  :

    $ P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\,p^{k}\left(1 - p\right)^{n - k} $

  3. L'espérance mathématique de $ Y $ est  :

    $ E(Y)=np=50 \times 0{,}05=2{,}5 $.

    En moyenne, parmi les 50 tablettes achetées par l'école, 2,5 tablettes présenteront un défaut.

    Remarque

    À retenir

    Pour une variable aléatoire $ X $ qui suit une loi binomiale $ \mathscr B \left(n ; p\right) $, l'espérance mathématique vaut  :

    $ E(X)=np $

Loi binomiale : Utilisation de la calculatrice

La variable aléatoire $ X $ suit la loi binomiale $ \mathscr B\left(20\ ;\ 0{,}6\right) $.

À la calculatrice, déterminer une valeur approchée à $ 10^{ - 3} $ près de :

  1. $ p\left(X=10\right) $
  2. $ p\left(X\leqslant 8\right) $
  3. $ p\left(X < 12\right) $
  4. $ p\left(X > 13\right) $

Corrigé

  1. $ p\left(X=10\right)\approx 0{,}117 $
  2. $ p\left(X\leqslant 8\right)\approx 0{,}057 $
  3. $ p\left(X < 12\right)=p\left(X\leqslant 11\right)\approx 0{,}404 $
  4. $ p\left(X > 13\right)=1 - p\left(X\leqslant 13\right)\approx 1 - 0{,}750=0{,}250 $ (événement contraire)

Loi binomiale : Enquête de satisfaction

[ D'après bac ]

Un fournisseur d'accès internet effectue une enquête de satisfaction sur un panel de 2000 clients.

L'enquête révèle que 75% des clients interrogés se déclarent satisfaits du service fourni.

On choisit au hasard trois clients parmi ceux du panel interrogé durant l'enquête. On admet que ce panel est suffisamment important pour assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.

Déterminer la probabilité qu'exactement un des clients choisis se déclare satisfait du service fourni (on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième).

Corrigé

Soit la variable aléatoire $ X $ qui compte le nombre de clients satisfait parmi les trois choisis.

Par hypothèse donnée dans l'énoncé, le choix de chacun des 3 clients se fait de manière indépendante. La variable $ X $ suit donc une loi binomiale de paramètres $ n=3 $ et $ p=0{,}75 $.

La probabilité demandée est :

$ p\left(X=1\right)=\binom{3}{1}\times \dfrac{75}{100}\times \left(\dfrac{25}{100}\right)^{2}=\dfrac{9}{64}\approx 0{,}14 $ à $ 0{,}01 $ près.