Vrai/Faux : Conditionnement et inversion

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les probabilités conditionnelles et la distinction entre $p_A(B)$ et $p_B(A)$, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements dont les probabilités sont données par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & A & \overline{A} & \textbf{Total} \\ \hline B & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}7 \\ \hline \overline{B} & 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}3 \\ \hline \textbf{Total} & 0{,}5 & 0{,}5 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : $p_A(B) = 0{,}6$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
D'après le tableau, $p(A \cap B) = 0{,}3$ et $p(A) = 0{,}5$, donc :

$p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)} = \dfrac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de diviser par $p(B) = 0{,}7$ (qui donne $p_B(A)$) au lieu de $p(A) = 0{,}5$.
On lit $p(A \cap B) = 0{,}3$ et $p(A) = 0{,}5$, donc $p_A(B) = \dfrac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $p(A \cap B) = 0{,}3$ et $p(A) = 0{,}5$, donc $p_A(B) = \dfrac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements tels que :

$p(A) = 0{,}2 \qquad p(B) = 0{,}8 \qquad p(A \cap B) = 0{,}1$

Affirmation : On a toujours $p_A(B) = p_B(A)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le conditionnement n'est pas commutatif. Ici :

$p_A(B) = \dfrac{0{,}1}{0{,}2} = 0{,}5 \qquad p_B(A) = \dfrac{0{,}1}{0{,}8} = 0{,}125$

Les deux valeurs sont bien différentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, $p_A(B)$ et $p_B(A)$ ne sont pas symétriques : ils ont le même numérateur $p(A \cap B)$, mais des dénominateurs différents.
Avec ces données, $p_A(B) = \dfrac{0{,}1}{0{,}2} = 0{,}5$ alors que $p_B(A) = \dfrac{0{,}1}{0{,}8} = 0{,}125$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En général $p_A(B) \neq p_B(A)$ : ici $p_A(B) = 0{,}5$ tandis que $p_B(A) = 0{,}125$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'arbre de probabilités ci-dessous, construit en commençant par l'événement $A$ :

Arbre de probabilités avec p(A) = 0,4 et p_A(B) = 0,7

Affirmation : La valeur $0{,}7$ portée sur la branche $B$ issue de $A$ est égale à $p_B(A)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Sur cet arbre, $A$ est au premier niveau et $B$ au second : la branche notée $0{,}7$ donne $p_A(B)$, c'est-à-dire la probabilité de $B$ sachant $A$. Pour obtenir $p_B(A)$, il faudrait inverser le conditionnement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre l'ordre des conditions : sur un arbre, le second niveau donne la probabilité du second événement sachant le premier.
Comme l'arbre commence par $A$, la branche $B$ issue de $A$ correspond à $p_A(B) = 0{,}7$, et non à $p_B(A)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Sur l'arbre, l'ordre des niveaux est imposé : la branche $0{,}7$ donne $p_A(B)$, pas $p_B(A)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements tels que :

$p(A) = 0{,}5 \qquad p(B) = 0{,}5 \qquad p(A \cap B) = 0{,}3$

Affirmation : Avec ces données, on a $p_A(B) = p_B(A)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Quand $p(A) = p(B)$, les deux probabilités conditionnelles ont le même dénominateur :

$p_A(B) = \dfrac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6 \qquad p_B(A) = \dfrac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : on a en général $p_A(B) \neq p_B(A)$, mais l'égalité peut avoir lieu dans des cas particuliers.
Ici, $p(A) = p(B) = 0{,}5$, donc les deux quotients $\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}$ et $\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}$ ont le même dénominateur et valent tous les deux $\dfrac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $p(A) = p(B)$, on a $p_A(B) = p_B(A) = \dfrac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements tels que :

$p(A) = 0{,}3 \qquad p(B) = 0{,}6 \qquad p_A(B) = 0{,}4$

Affirmation : $p_B(A) = 0{,}2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On utilise $p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B) = 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12$, puis :

$p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}6} = 0{,}2$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de croire que $p_B(A) = p_A(B) = 0{,}4$, alors que les deux probabilités sont reliées par une relation faisant intervenir $p(A)$ et $p(B)$.
On calcule d'abord $p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B) = 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12$, puis $p_B(A) = \dfrac{0{,}12}{0{,}6} = 0{,}2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $p(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12$, donc $p_B(A) = \dfrac{0{,}12}{0{,}6} = 0{,}2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans une population, on note $M$ l'événement « être malade » et $T$ l'événement « avoir un test positif ». On dispose des données :

$p(M) = 0{,}02 \qquad p(T) = 0{,}07 \qquad p_M(T) = 0{,}95$

Affirmation : $p_T(M) = 0{,}95$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Très bien !
On a $p(M \cap T) = p(M) \times p_M(T) = 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019$, donc :

$p_T(M) = \dfrac{p(M \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0{,}019}{0{,}07} \approx 0{,}271$

La probabilité d'être malade sachant que le test est positif est très différente de la probabilité d'avoir un test positif sachant que l'on est malade.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre la fiabilité du test $p_M(T)$ (test positif sachant malade) et $p_T(M)$ (malade sachant test positif) : ces deux probabilités sont en général très différentes lorsque la maladie est rare.
On a $p(M \cap T) = 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019$, donc $p_T(M) = \dfrac{0{,}019}{0{,}07} \approx 0{,}271$, valeur bien éloignée de $0{,}95$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On calcule $p(M \cap T) = 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019$, puis $p_T(M) = \dfrac{0{,}019}{0{,}07} \approx 0{,}271$, valeur bien différente de $0{,}95$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Probabilité conditionnelle

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul direct d'une probabilité conditionnelle à partir de la définition $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$. Quelle est la définition de la probabilité de $B$ sachant $A$, notée $p_A(B)$ ?
[qcm]
[option]$p_A(B)=p(A)\times p(B)$[/option]
[option]$p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$[/option]
[option correct="true"]$p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$[/option]
[option]$p_A(B)=p(A\cap B)-p(A)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ se calcule en divisant la probabilité de l'intersection $A\cap B$ par celle de l'événement réalisé, c'est-à-dire $p(A)$.[/reponse]
[reponse motif="$p_A(B)=p(A)\times p(B)$"]Non.
Cette égalité ne caractérise pas la probabilité conditionnelle : elle exprime l'indépendance de $A$ et $B$, et n'est vraie que dans ce cas particulier.[/reponse]
[reponse motif="$p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$"]Non.
Attention au dénominateur : pour une probabilité sachant $A$, on divise par la probabilité de l'événement déjà réalisé, pas par celle de l'autre.[/reponse]
[reponse motif="$p_A(B)=p(A\cap B)-p(A)$"]Non.
Une probabilité conditionnelle n'est jamais une différence : elle s'obtient toujours par un quotient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La définition est $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$ : on divise la probabilité de l'intersection par celle de l'événement déjà réalisé.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On donne $p(A)=0{,}4$ et $p(A\cap B)=0{,}1$. Que vaut $p_A(B)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}25$[/option]
[option]$0{,}04$[/option]
[option]$0{,}3$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique la formule : $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}04$"]Non.
Le résultat $0{,}04$ correspond au produit $p(A)\times p(A\cap B)=0{,}4\times 0{,}1$, qui n'a aucune signification ici. Une probabilité conditionnelle s'obtient par un quotient, pas par un produit.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}3$"]Non.
La valeur $0{,}3$ est la différence $p(A)-p(A\cap B)$, ce qui n'est pas la définition d'une probabilité conditionnelle. Revenir à la formule sous forme de quotient.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
Vérifier le calcul du quotient $\dfrac{0{,}1}{0{,}4}$ : il ne s'agit pas de $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}$, on obtient $0{,}25$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une classe de $200$ élèves, $80$ pratiquent un sport en club. Parmi ces $80$ sportifs, $30$ jouent d'un instrument de musique. On choisit un élève au hasard. On note $S$ : « l'élève pratique un sport en club » et $M$ : « l'élève joue d'un instrument ». Que vaut $p_S(M)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{30}{200}=0{,}15$[/option]
[option]$\dfrac{80}{200}=0{,}4$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{30}{80}=0{,}375$[/option]
[option]$\dfrac{80}{30}\approx 2{,}67$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On cherche la proportion d'élèves jouant d'un instrument parmi les sportifs. Il y a $80$ sportifs et $30$ d'entre eux jouent d'un instrument, donc $p_S(M)=\dfrac{30}{80}=0{,}375$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{30}{200}=0{,}15$"]Non.
Cette valeur est $p(S\cap M)$, c'est-à-dire la proportion d'élèves qui sont à la fois sportifs et musiciens parmi toute la classe. Pour une probabilité sachant $S$, il faut se restreindre aux sportifs.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{80}{200}=0{,}4$"]Non.
Cette valeur est $p(S)$, la probabilité d'être sportif. Elle ne tient pas compte de la condition « jouer d'un instrument ».[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{80}{30}\approx 2{,}67$"]Non.
Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ : un quotient supérieur à $1$ ne peut pas convenir. Vérifier le sens du rapport.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sachant que l'élève est sportif, on se place dans le groupe des $80$ sportifs. Parmi eux, $30$ jouent d'un instrument, d'où $p_S(M)=\dfrac{30}{80}=0{,}375$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On donne $p(A)=0{,}6$, $p(B)=0{,}4$ et $p(A\cap B)=0{,}24$. Que vaut $p_B(A)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}4$[/option]
[option correct="true"]$0{,}6$[/option]
[option]$0{,}24$[/option]
[option]$0{,}1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On applique la formule avec le bon dénominateur : $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{0{,}24}{0{,}4}=0{,}6$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}4$"]Non.
Cette valeur correspond à $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}=\dfrac{0{,}24}{0{,}6}$. Or on cherche ici $p_B(A)$, pas $p_A(B)$ : ces deux probabilités conditionnelles ne sont pas symétriques.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}24$"]Non.
La valeur $0{,}24$ est $p(A\cap B)$, le numérateur de la formule. Il manque la division par le dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}1$"]Non.
Vérifier la formule : on divise la probabilité de l'intersection par la probabilité de l'événement conditionnant (celui qui apparaît en indice).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comme on conditionne par $B$, on divise par $p(B)$ : $p_B(A)=\dfrac{0{,}24}{0{,}4}=0{,}6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On donne $p(A)=\dfrac{3}{5}$ et $p(A\cap B)=\dfrac{1}{4}$. Que vaut $p_A(B)$ sous forme de fraction simplifiée ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{20}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{15}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{5}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On applique la formule : $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}=\dfrac{\,\dfrac{1}{4}\,}{\,\dfrac{3}{5}\,}=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{12}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{20}$"]Non.
Ce résultat correspond au produit $p(A)\times p(A\cap B)=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{4}$. Or la définition demande un quotient, pas un produit.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{15}$"]Non.
Attention à l'ordre du quotient : on divise $p(A\cap B)$ par $p(A)$, donc la fraction du numérateur multiplie l'inverse de la fraction du dénominateur. Ici, les rôles ont été inversés.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{5}$"]Non.
Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ : une fraction strictement supérieure à $1$ ne peut donc pas convenir. Vérifier le sens du quotient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\dfrac{1/4}{3/5}=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{12}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On donne $p(A)=0{,}5$ et $p_A(B)=0{,}3$. Que vaut $p(A\cap B)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}8$[/option]
[option]$0{,}6$[/option]
[option]$0{,}2$[/option]
[option correct="true"]$0{,}15$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
En partant de la définition $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$, on isole $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)=0{,}5\times 0{,}3=0{,}15$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}8$"]Non.
La valeur $0{,}8$ est la somme $p(A)+p_A(B)=0{,}5+0{,}3$. Or l'intersection ne s'obtient pas par addition. Revenir à la formule reliant $p(A\cap B)$, $p(A)$ et $p_A(B)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}6$"]Non.
La valeur $0{,}6$ correspond au quotient $\dfrac{p_A(B)}{p(A)}=\dfrac{0{,}3}{0{,}5}$. Le sens du quotient n'est pas correct : il faut isoler $p(A\cap B)$ dans la formule de définition.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2$"]Non.
La valeur $0{,}2$ est la différence $p(A)-p_A(B)=0{,}5-0{,}3$. Une probabilité d'intersection ne s'obtient pas par soustraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À partir de $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$, on déduit $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)=0{,}5\times 0{,}3=0{,}15$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Probabilités – Bac ES/L Métropole Réunion 2016

Un téléphone portable contient en mémoire 3200 chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae ... dont certaines sont interprétées en français.

Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.

Une des fonctionnalités du téléphone permet d'écouter de la musique en mode « lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l'ensemble du répertoire.

Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture.

On note :

$ R $ l'évènement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock »
$ F $ l'évènement : « la chanson écoutée est interprétée en français »

Calculer $ p(R) $, la probabilité de l'évènement $ R $.
35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français ; traduire cette donnée en utilisant les évènements $ R $ et $ F $.
Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français.
Parmi toutes les chansons enregistrées 38,5 % sont interprétées en français.

Montrer que $ p\left(F \cap \overline R\right) = 0{,}28 $.
En déduire $ p_{\overline R}(F) $ et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat.

Corrigé

On est dans une situation d'équiprobabilité.
Il y a 960 chansons de catégorie rock sur un total de 3200 chansons.

$ p(R) = \dfrac{960}{3200} = 0{,}3 $
L'énoncé indique que 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français.
Il s'agit d'une probabilité conditionnelle : la probabilité que la chanson soit en français sachant qu'elle est de catégorie rock est 0,35.

$ p_R(F) = 0{,}35 $
On cherche $ p(R \cap F) $.
D'après la formule des probabilités conditionnelles :
$ p(R \cap F) = p(R) \times p_R(F) $
$ p(R \cap F) = 0{,}3 \times 0{,}35 $

$ p(R \cap F) = 0{,}105 $
On sait que 38,5 % de toutes les chansons sont en français, donc $ p(F) = 0{,}385 $.
Les évènements $ R $ et $ \overline{R} $ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales :
$ p(F) = p(R \cap F) + p(\overline{R} \cap F) $
Soit :
$ 0{,}385 = 0{,}105 + p(F \cap \overline{R}) $
$ p(F \cap \overline{R}) = 0{,}385 - 0{,}105 $

$ p(F \cap \overline{R}) = 0{,}28 $
On cherche $ p_{\overline{R}}(F) $.
Par définition :
$ p_{\overline{R}}(F) = \dfrac{p(F \cap \overline{R})}{p(\overline{R})} $
On a $ p(\overline{R}) = 1 - p(R) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7 $.
$ p_{\overline{R}}(F) = \dfrac{0{,}28}{0{,}7} $

$ p_{\overline{R}}(F) = 0{,}4 $

Cela signifie que parmi les chansons qui ne sont pas de la catégorie rock, 40 % sont interprétées en français.

Loi binomiale – Bac ES Centres étrangers 2009

Un collectionneur de pièces de monnaie a observé que ses pièces peuvent présenter au maximum deux défauts notés $ a $ et $ b $. Il prélève au hasard une pièce dans sa collection.

On note $ A $ l'évènement : « Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défaut $ a $ ».

On note $ B $ l'évènement : « Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défaut $ b $ ».

On note $ \overline{A} $ et $ \overline{B} $ les évènements contraires respectifs de $ A $ et $ B $.

On donne les probabilités suivantes : $ p\left(A\right)= 0,2 $ ; $ p\left(B\right)=0,1 $ et $ p\left(A \cup B\right)= 0,25 $. Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au centième.

Première partie

Démontrer que la probabilité de l'évènement : « une pièce prélevée au hasard dans la collection présente les deux défauts » est égale à 0,05.
Les évènements $ A $ et $ B $ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
Démontrer que la probabilité de l'évènement « une pièce prélevée au hasard dans la collection ne présente aucun des deux défauts » est égale à 0,75.
Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent le défaut $ b $. Calculer la probabilité que cette pièce présente également le défaut $ a $.
Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui ne présentent pas le défaut $ b $. Calculer la probabilité que cette pièce présente le défaut $ a $.

Deuxième partie

On prélève au hasard trois pièces dans la collection et on suppose que le nombre de pièces de la collection est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants.

Calculer la probabilité qu'une seule des trois pièces soit sans défaut.
Calculer la probabilité qu'au moins une des trois pièces soit sans défaut.

Corrigé

Première partie

La probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la collection présente les deux défauts est :

$ p(A \cap B) = p(A) + p(B) - p(A \cup B) = 0,2 + 0,1 - 0,25 = 0,05 $
Si les évènements $ A $ et $ B $ étaient indépendants, on devrait avoir :

$ p(A \cap B) = p(A) \times p(B) = 0,2 \times 0,1 = 0,02 $

Ce résultat est contradictoire avec la valeur de $ 0,05 $ trouvée ci-dessus. Donc $ A $ et $ B $ ne sont pas des évènements indépendants.
La probabilité qu'une pièce ne présente aucun des deux défauts est :

$ p(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - p(A \cup B) = 1 - 0,25 = 0,75 $
Il s'agit de calculer la probabilité de l'évènement $ A $ sachant que l'évènement $ B $ est réalisé, c'est à dire :

$ p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0,05}{0,1} = 0,5 $
Il s'agit de calculer la probabilité de l'évènement $ A $ sachant que l'évènement $ B $ n'est pas réalisé, c'est à dire :

$ p_{\overline{B}}(A) = \dfrac{p(A \cap \overline{B})}{p(\overline{B})} = \dfrac{p(A) - p(A \cap B)}{1 - p(B)} = \dfrac{0,2 - 0,05}{1 - 0,1} = \dfrac{0,15}{0,9} \approx 0,17 $

Deuxième partie

Les $ n $ prélèvements étant indépendants, $ X $ suit la loi binomiale de paramètres $ n = 3 $ et $ p = p(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0,75 $.
La probabilité d'obtenir $ k $ pièces sans défaut est :

$ p(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \quad (0 \le k \le 3) $

ce qui donne :

$ p(X = k) = \binom{3}{k} 0,75^k (1 - 0,75)^{3-k} $

$ p(X = 1) = \binom{3}{1} \times 0,75 \times 0,25^2 = 0,14 $ (arrondi au centième).
L'évènement contraire est « zéro pièce sans défaut », c'est à dire $ X = 0 $. Alors, la probabilité cherchée est :
$ 1 - p(X = 0) = 1 - \binom{3}{0} \times 0,75^0 \times 0,25^3 = 1 - 0,25^3 \approx 0,98 $ (arrondi au centième).

Loi de probabilité – Bac ES Liban 2009

Un magasin de vêtements démarqués a reçu un lot important de chemisiers en coton. Le propriétaire du magasin constate que les chemisiers peuvent présenter deux types de défauts : un défaut de coloris ou un bouton manquant. Il note aussi que :

4% de ces chemisiers présentent un défaut de coloris,
3% des chemisiers ont un bouton manquant,
2% des chemisiers ont à la fois un défaut de coloris et un bouton manquant.

Une cliente prend au hasard un chemisier dans le lot. On considère les évènements suivants :

B : « le chemisier a un bouton manquant »
C : « le chemisier présente un défaut de coloris »

Calculer la probabilité des évènements suivants :

D : « cette cliente prend un chemisier ayant au moins un défaut »,

E : « cette cliente prend un chemisier ayant un seul défaut »,

F : « cette cliente prend un chemisier sans défaut ».
On sait que le chemisier qui intéresse la cliente présente un défaut de coloris. Quelle est la probabilité qu'il manque un bouton à ce chemisier ?
Une autre cliente prend au hasard deux chemisiers dans le lot. Ces choix peuvent être assimilés à un tirage au hasard avec remise dans le lot de chemisiers.

Quelle est la probabilité que sur les deux chemisiers choisis, un seul ait un bouton manquant ?
Le propriétaire du magasin vend un chemisier sans défaut 40 euros, il fait une remise de 20% si le chemisier a un seul défaut, et de 50% s'il a les deux défauts.
1. Établir la loi de probabilité du prix de vente en euros, noté $ X $, d'un chemisier.
2. Quel chiffre d'affaires le propriétaire peut-il espérer faire sur la vente de cent chemisiers ?

Corrigé

D'après l'énoncé : $ p(C) = 0,04 $, $ p(B) = 0,03 $, $ p(B \cap C) = 0,02 $.
- L'événement $ D $ « le chemisier a au moins un défaut » correspond à $ B \cup C $.
  
  $ p(D) = p(B \cup C) = p(B) + p(C) - p(B \cap C) = 0,03 + 0,04 - 0,02 = 0,05 $
- L'événement $ E $ « le chemisier a un seul défaut » correspond à $ (B \cup C) \setminus (B \cap C) $.
  
  $ p(E) = p(D) - p(B \cap C) = 0,05 - 0,02 = 0,03 $
- L'événement $ F $ « le chemisier n'a aucun défaut » est le contraire de $ D $.
  
  $ p(F) = 1 - p(D) = 1 - 0,05 = 0,95 $
On cherche la probabilité qu'un chemisier ait un bouton manquant sachant qu'il a un défaut de coloris, soit $ p_C(B) $ :

$ p_C(B) = \dfrac{p(B \cap C)}{p(C)} = \dfrac{0,02}{0,04} = 0,5 $
Soit $ Y $ la variable aléatoire égale au nombre de chemisiers ayant un bouton manquant parmi les deux choisis. $ Y $ suit la loi binomiale $ \mathcal{B}(2\,;\,0,03) $.

La probabilité qu'un seul des deux chemisiers ait un bouton manquant est :

$ p(Y = 1) = \binom{2}{1} \times 0,03 \times 0,97 = 2 \times 0,0291 = 0,0582 $
1. Les valeurs prises par $ X $ correspondent aux trois situations :
  - 40 € : chemisier sans défaut, avec probabilité $ p(F) = 0,95 $.
  - $ 40 \times 0,8 = 32 $ € : chemisier avec un seul défaut, avec probabilité $ p(E) = 0,03 $.
  - $ 40 \times 0,5 = 20 $ € : chemisier avec deux défauts, avec probabilité $ p(B \cap C) = 0,02 $.
  Loi de probabilité de $ X $ :
  
  $ x_i $ (en €) 40 32 20
  
  $ p(X = x_i) $ 0,95 0,03 0,02
2. L'espérance de $ X $ est :
  
  $ E(X) = 40 \times 0,95 + 32 \times 0,03 + 20 \times 0,02 = 38 + 0,96 + 0,4 = 39,36 $ €
  
  Pour cent chemisiers, le chiffre d'affaires espéré est de $ 100 \times 39,36 = 3\,936 $ €.

Probabilités Loi binomiale – Bac ES Pondichéry 2009

Partie A

Cette première partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes trois réponses sont proposées, une seule de ces réponses convient.

Sur votre copie, noter le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une seule réponse est acceptée.

Barème : Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total donne un nombre négatif, la note attribuée à cette partie sera ramenée à zéro.

Rappel de notations : $ p\left(A\right) $ désigne la probabilité de A, $ p_{B}\left(A\right) $ désigne la probabilité conditionnelle de A sachant B, $ p\left(A \cup B\right) $ signifie la probabilité de « A ou B » et $ p\left(A \cap B\right) $ signifie la probabilité de « A et B ».

On lance un dé cubique équilibré. Les faces sont numérotées de 1 à 6.

La probabilité d'obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est
$ \dfrac{1}{6} $
$ \dfrac{1}{3} $
$ \dfrac{1}{2} $
Soient A et B deux événements tels que $ p\left(A\right)=0,2 $ , $ p\left(B\right)=0,3 $ et $ p\left(A \cap B\right)=0,1 $ ; alors
$ p\left(A \cup B\right)=0,4 $
$ p\left(A \cup B\right)=0,5 $
$ p\left(A \cup B\right)=0,6 $
Soient A et B deux événements indépendants de probabilité non nulle, alors on a obligatoirement :
$ p\left(A \cap B\right)=0 $
$ p_{A}\left(B\right)=p_{B}\left(A\right) $
$ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right) \times p\left(B\right) $
Une expérience aléatoire a trois issues possibles : 2 ; 3 et $ a $ (où $ a $ est un réel).

On sait que $ p\left(2\right)=\dfrac{1}{2} $ , $ p\left(3\right)=\dfrac{1}{3} $ et $ p\left(a\right)=\dfrac{1}{6} $.

On sait de plus que l'espérance mathématique associée est nulle. On a alors
$ a= - 12 $
$ a=6 $
$ a= - 5 $

Partie B

Dans cette partie toutes les réponses seront justifiées.

Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que lors d'un lancer sa probabilité de marquer un panier est égale à 0,6.

Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatre lancers sont indépendants les uns des autres.
1. Montrer que la probabilité que Julien ne marque aucun panier est égale à 0,0256.
2. Calculer la probabilité que Julien marque au moins un panier.
Combien de fois Julien doit-il lancer le ballon au minimum pour que la probabilité qu'il marque au moins un panier soit supérieure à 0,999 ? Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Corrigé

Partie A

La probabilité d'obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est
$ \dfrac{1}{3} $

L'univers contient 6 éventualités dont 2 sont favorables : « 3 » et « 6 ». Donc :

$ p=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $
Soient A et B deux événements tels que $ p\left(A\right)=0,2 $ , $ p\left(B\right)=0,3 $ et $ p\left(A \cap B\right)=0,1 $ ; alors
$ p\left(A \cup B\right)=0,4 $

En effet :

$ p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right) - p\left(A \cap B\right)=0,3+0,2 - 0,1=0,4 $
Soient A et B deux événements indépendants de probabilité non nulle, alors on a obligatoirement :
$ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right) \times p\left(B\right) $

(Voir le cours)
Une expérience aléatoire a trois issues possibles : 2 ; 3 et $ a $ (où $ a $ est un réel).

On sait que $ p\left(2\right)=\dfrac{1}{2} $ , $ p\left(3\right)=\dfrac{1}{3} $ et $ p\left(a\right)=\dfrac{1}{6} $.

On sait de plus que l'espérance mathématique associée est nulle. On a alors
$ a= - 12 $

En effet :

$ E\left(X\right)=2\times p\left(2\right)+3\times p\left(3\right)+a\times p\left(a\right)=2+\dfrac{a}{6} $

$ E\left(X\right)=0 \Leftrightarrow a= - 12 $

Partie B

1. Soit X la variable aléatoire donnant nombre de paniers marqués par Julien.
  
  $ X $ suit une loi binomiale de paramètres $ p=0,6 $ et $ n=4 $.
  
  La probabilité que Julien ne marque aucun panier vaut :
  
  $ p\left(X=0\right)=\left(1 - p\right)^{4}=0,4^{4}=0,0256 $
2. L'évènement « Julien marque au moins un panier » est l'évènement contraire de « Julien ne marque aucun panier ». Sa probabilité est :
  
  $ p=1 - 0,0256=0,9744 $
Si Julien lance $ n $ fois le ballon, la probabilité pour qu'il marque au moins un panier est :

$ p_{n}=1 - 0,4^{n} $

$ p_{n}\geqslant 0,999 \Leftrightarrow 1 - 0,4^{n}\geqslant 0,999 \Leftrightarrow 0,4^{n} \leqslant 0,001 $

La fonction $ \ln $ étant croissante sur $ \left]0;+\infty \right[ $ :

$ 0,4^{n} \leqslant 0,001 \Leftrightarrow \ln\left(0,4^{n}\right) \leqslant \ln\left(0,001\right) \Leftrightarrow n \ln\left(0,4\right) \leqslant \ln\left(0,001\right) $

Comme $ 0,4 < 1 $, $ \ln\left(0,4\right) < 0 $ donc :

$ n \ln\left(0,4\right) \leqslant \ln\left(0,001\right) \Leftrightarrow n \geqslant \dfrac{\ln\left(0,001\right)}{\ln\left(0,4\right)} $

$ \dfrac{\ln\left(0,001\right)}{\ln\left(0,4\right)} \approx 7,5 $

Il faudra donc au minimum 8 lancers pour que la probabilité que Julien marque au moins un panier soit supérieure à 0,999.

Probabilités conditionnelles – Arbre pondéré

La médiathèque d'une université possède des DVD de deux provenances, les DVD reçus en dotation et les DVD achetés.

Par ailleurs, on distingue les DVD qui sont de production européenne et les autres.

On choisit au hasard un de ces DVD.

On note :

$ D $ l'événement « le DVD a été reçu en dotation » et $ \overline{D} $ l'événement contraire,
$ U $ l'événement « le DVD est de production européenne » et $ \overline{U} $ l'événement contraire.

On modélise cette situation aléatoire par l'arbre incomplet suivant dans lequel figurent quelques probabilités :

par exemple, la probabilité que le DVD ait été reçu en dotation est $ p\left(D\right)=0{,}25 $.

On donne, de plus, la probabilité de l'événement $ U $ : $ p\left(U\right)=0{,}7625 $. Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A :

1. Donner la probabilité de $ U $ sachant $ D $.
2. Calculer p($ \overline{D} $).
1. Calculer la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne (donner la valeur exacte).
2. Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est égale à $ 0{,}6 $.
Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu'il soit de production européenne.

Partie B :

On choisit trois DVD au hasard. On admet que le nombre de DVD est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à trois tirages successifs indépendants avec remise. On rappelle que la probabilité de choisir un DVD reçu en dotation est égale à $ 0{,}25 $.

Déterminer la probabilité de l'événement : « exactement deux des trois DVD choisis ont été reçus en dotation ». (Donner la valeur décimale arrondie au millième).

Corrigé

Partie A :

1. Le résultat figure sur l'arbre (branche reliant $ D $ à $ U $)
  
  $ p_{D}\left(U\right)=0{,}65 $
2. $ p\left(\overline{D}\right)=1 - p\left(D\right)=1 - 0{,}25=0{,}75 $
1. La probabilité pour que le DVD choisi ait été reçu en dotation est égale à $ p\left(D \cap U\right) $ :
  
  $ p\left(D \cap U\right)=p_{D}\left(U\right) \times p\left(D\right)=0{,}65 \times 0{,}25=0{,}1625 $
2. On recherche $ p\left(U \cap \overline{D}\right) $. Or on sait que (voir cours) :
  
  $ p\left(U\right)=p\left(U \cap \overline{D}\right)+p\left(U \cap D\right) $
  
  Par conséquent :
  
  $ p\left(U \cap \overline{D}\right)=p\left(U\right) - p\left(U \cap D\right)=0{,}7625 - 0{,}1625=0{,}6 $
La probabilité recherchée est : $ p_{\overline{D}}\left(U\right) $

$ p_{\overline{D}}\left(U\right)=\dfrac{p\left(\overline{D} \cap U\right)}{p\left(\overline{D}\right)}=\dfrac{0{,}6}{0{,}75}=0{,}8 $

Partie B :

Soit $ X $ le nombre de DVD reçus en dotation parmi les 3 choisis.

$ X $ suit une loi binomiale $ \mathscr B\left(3; 0{,}25\right) $.

La probabilité recherchée est égale à :

$ p(X=2)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times 0{,}25^{2}\times \left(1 - 0{,}25\right)^{1}\approx 0{,}141 $ (valeur approchée arrondie au millième)

Pour réviser : Construire un arbre pondéré et calculer une intersection

$ x_i $ (en €)	40	32	20
$ p(X = x_i) $	0,95	0,03	0,02