Arbre pondéré : deux fournisseurs

[enonce]
Une usine reçoit des pièces de deux fournisseurs.

Le fournisseur A livre 60 % des pièces. Parmi celles-ci, 5 % sont défectueuses.
Le fournisseur B livre le reste. Parmi celles-ci, 8 % sont défectueuses.

On prend une pièce au hasard dans le stock.
Calculer la probabilité que cette pièce soit défectueuse.

Arbre pondéré : fournisseur puis état de la pièce

[/enonce]

[etape]
Le fournisseur A livre 60 % des pièces. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard provienne du fournisseur B ?

[[pb]]

[math id="pb" attendu="0.4"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le fournisseur B livre le reste, soit $1 - 0{,}6 = 0{,}4$.[/reponse]
[reponse motif="0.6"]Attention, $0{,}6$ est la probabilité du fournisseur A. Le fournisseur B livre le reste des pièces.[/reponse]
[reponse motif="40"]Le raisonnement est bon, mais il faut exprimer la probabilité sous forme décimale, pas en pourcentage.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les deux fournisseurs livrent la totalité des pièces. Si A en livre 60 %, combien en livre B ?[/reponse]
[aide essai="2"]La somme des probabilités des deux fournisseurs est égale à 1.[/aide]
[aide essai="3"]$p(\text{B}) = 1 - p(\text{A}) = 1 - 0{,}6$.[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\text{B}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité qu'une pièce provienne du fournisseur A et soit défectueuse.

[[pad]]

[math id="pad" attendu="0.03"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On multiplie les probabilités le long du chemin A puis Défectueuse :

$p(\text{A et Déf.}) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03$

[/reponse]
[reponse motif="0.05"]$0{,}05$ est la probabilité d'être défectueuse sachant que la pièce vient de A. Pour le chemin complet, il faut multiplier par $p(\text{A})$.[/reponse]
[reponse motif="0.65"]On ne doit pas additionner les probabilités le long d'un chemin, mais les multiplier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités des branches successives.[/reponse]
[aide essai="2"]La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées sur les branches.[/aide]
[aide essai="3"]$p(\text{A et Déf.}) = 0{,}6 \times 0{,}05 = \ldots$[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\text{A et Déf.}) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité qu'une pièce provienne du fournisseur B et soit défectueuse.

[[pbd]]

[math id="pbd" attendu="0.032"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On multiplie les probabilités le long du chemin B puis Défectueuse :

$p(\text{B et Déf.}) = 0{,}4 \times 0{,}08 = 0{,}032$

[/reponse]
[reponse motif="0.08"]$0{,}08$ est la probabilité d'être défectueuse sachant que la pièce vient de B. Il faut multiplier par $p(\text{B}) = 0{,}4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même méthode que pour le chemin précédent : multiplier les probabilités le long du chemin B puis Défectueuse.[/reponse]
[aide essai="2"]$p(\text{B et Déf.}) = p(\text{B}) \times p(\text{Déf. sachant B})$.[/aide]
[aide essai="3"]$p(\text{B et Déf.}) = 0{,}4 \times 0{,}08 = \ldots$[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\text{B et Déf.}) = 0{,}4 \times 0{,}08 = 0{,}032$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Deux chemins de l'arbre conduisent à « Défectueuse ». Comment obtenir la probabilité totale qu'une pièce soit défectueuse ?

[qcm]
[option]On multiplie les probabilités des deux chemins[/option]
[option correct="true"]On additionne les probabilités des deux chemins[/option]
[option]On prend la plus grande des deux probabilités[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Quand plusieurs chemins conduisent au même événement, on additionne les probabilités de chaque chemin.[/reponse]
[reponse motif="On multiplie les probabilités des deux chemins"]La multiplication sert à calculer la probabilité d'un seul chemin. Pour combiner deux chemins indépendants menant au même événement, on additionne.[/reponse]
[reponse motif="On prend la plus grande des deux probabilités"]Il faut tenir compte des deux chemins, pas seulement du plus probable.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Quand un même événement peut être atteint par plusieurs chemins, on additionne les probabilités de chaque chemin.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Quand plusieurs chemins conduisent au même événement, on additionne les probabilités de chaque chemin.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.

[[ptot]]

[math id="ptot" attendu="0.062"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On additionne les probabilités des deux chemins menant à « Défectueuse » :

$p(\text{Déf.}) = 0{,}03 + 0{,}032 = 0{,}062$

[/reponse]
[reponse motif="0.13"]$0{,}13 = 0{,}05 + 0{,}08$ : on ne peut pas additionner les probabilités conditionnelles sans les pondérer par les probabilités des premières branches.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Il faut additionner les résultats des deux chemins calculés précédemment.[/reponse]
[aide essai="2"]$p(\text{Déf.}) = p(\text{A et Déf.}) + p(\text{B et Déf.})$[/aide]
[aide essai="3"]$p(\text{Déf.}) = 0{,}03 + 0{,}032 = \ldots$[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\text{Déf.}) = 0{,}03 + 0{,}032 = 0{,}062$.
La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse est $0{,}062$, soit $6{,}2$ %.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Arbre pondéré

[enonce]
Avant un contrôle, Amine révise avec une probabilité de $\dfrac{3}{4}$.
S'il a révisé, il réussit le contrôle avec une probabilité de $\dfrac{4}{5}$.
S'il n'a pas révisé, il réussit avec une probabilité de $\dfrac{1}{3}$.

Arbre pondéré : révision et contrôle d'Amine

Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La probabilité qu'Amine ait révisé et réussi le contrôle est $\dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On suit le chemin Révisé puis Réussi et on multiplie les probabilités :

$p(\text{Révisé et Réussi}) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités des branches successives :
$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le chemin Révisé-Réussi donne $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{3}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La probabilité qu'Amine réussisse le contrôle est $\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{17}{15}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On ne peut pas additionner directement les probabilités conditionnelles. De plus, $\dfrac{17}{15} > 1$, ce qui est impossible pour une probabilité.
Il faut d'abord calculer la probabilité de chaque chemin menant à « Réussi », puis additionner :
$p(\text{Réussi}) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{36}{60} + \dfrac{5}{60} = \dfrac{41}{60}$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le résultat $\dfrac{17}{15}$ est supérieur à 1, ce qui est impossible pour une probabilité. On ne peut pas additionner les probabilités conditionnelles sans les pondérer.
Il faut calculer chaque chemin : $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{41}{60}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il faut pondérer chaque probabilité conditionnelle par la probabilité de la première branche. On obtient $p(\text{Réussi}) = \dfrac{41}{60}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La probabilité qu'Amine n'ait pas révisé et ait échoué est $\dfrac{2}{3}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\dfrac{2}{3}$ est la probabilité d'échouer sachant qu'Amine n'a pas révisé. Pour obtenir la probabilité du chemin complet, il faut multiplier par la probabilité de ne pas avoir révisé :

$p(\text{Pas révisé et Échoué}) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre la probabilité inscrite sur une branche avec la probabilité du chemin complet. La valeur $\dfrac{2}{3}$ n'est que la probabilité de la seconde branche.
Le chemin complet donne : $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La probabilité du chemin est $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}$, pas $\dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La somme des probabilités des quatre chemins de cet arbre est égale à 1.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les quatre chemins et leurs probabilités sont :
$p(\text{R. et Réussi}) = \dfrac{3}{5}$, $p(\text{R. et Échoué}) = \dfrac{3}{20}$, $p(\text{P.R. et Réussi}) = \dfrac{1}{12}$, $p(\text{P.R. et Échoué}) = \dfrac{1}{6}$.
En mettant au même dénominateur : $\dfrac{36}{60} + \dfrac{9}{60} + \dfrac{5}{60} + \dfrac{10}{60} = \dfrac{60}{60} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans tout arbre pondéré, la somme des probabilités de tous les chemins est toujours égale à 1, car les chemins représentent l'ensemble de toutes les issues possibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités de tous les chemins vaut toujours 1.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La probabilité qu'Amine échoue au contrôle est $\dfrac{19}{60}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
« Échouer » est le contraire de « Réussir ». On a calculé $p(\text{Réussi}) = \dfrac{41}{60}$, donc :

$p(\text{Échoué}) = 1 - \dfrac{41}{60} = \dfrac{19}{60}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On peut utiliser l'événement contraire. Comme $p(\text{Réussi}) = \dfrac{41}{60}$ (somme des deux chemins menant à « Réussi »), on obtient $p(\text{Échoué}) = 1 - \dfrac{41}{60} = \dfrac{19}{60}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par l'événement contraire : $p(\text{Échoué}) = 1 - \dfrac{41}{60} = \dfrac{19}{60}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'événement contraire de « Amine a révisé et réussi » est « Amine n'a pas révisé et a échoué ».

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le contraire de « Révisé et Réussi » est « tout sauf Révisé et Réussi », ce qui inclut trois chemins : Révisé-Échoué, Pas révisé-Réussi et Pas révisé-Échoué.
Ce n'est pas uniquement « Pas révisé et Échoué ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le contraire d'un événement regroupe toutes les issues qui ne le réalisent pas. Le contraire de « Révisé et Réussi » inclut les trois autres chemins de l'arbre, pas seulement « Pas révisé et Échoué ».[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le contraire de « Révisé et Réussi » inclut les trois autres chemins de l'arbre, pas uniquement « Pas révisé et Échoué ».
[/solution]
[/etape]

QCM : Arbre pondéré

[enonce]
Ce QCM porte sur les arbres pondérés et les expériences à deux épreuves. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On lance une pièce de monnaie équilibrée, puis on tire une boule dans une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules vertes, indiscernables au toucher. L'expérience est représentée par l'arbre pondéré suivant.

Quelle est la probabilité d'obtenir Pile puis une boule rouge ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On suit le chemin Pile $\rightarrow$ Rouge et on multiplie les probabilités le long des branches :

$p(\text{Pile puis Rouge}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{10}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{5}$"]Non.
$\dfrac{3}{5}$ est la probabilité de tirer une boule rouge sachant qu'on a déjà obtenu Pile. Pour obtenir la probabilité du chemin complet, il faut multiplier par la probabilité d'obtenir Pile.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir Pile à la première épreuve. Il faut encore tenir compte de la deuxième épreuve en multipliant par la probabilité de tirer une boule rouge.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{5}$"]Non.
$\dfrac{2}{5}$ correspond au chemin menant à une boule verte, pas rouge. Il faut suivre le chemin Pile puis Rouge et multiplier les probabilités correspondantes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long des branches successives.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Chaque matin, il pleut avec une probabilité de $\dfrac{2}{5}$ et il fait beau avec une probabilité de $\dfrac{3}{5}$.
S'il pleut, Léa prend le bus (probabilité $\dfrac{3}{4}$) ou le vélo (probabilité $\dfrac{1}{4}$).
S'il fait beau, elle prend le bus (probabilité $\dfrac{1}{3}$) ou le vélo (probabilité $\dfrac{2}{3}$).

Quelle est la probabilité que Léa prenne le vélo un jour de pluie ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On suit le chemin Pluie $\rightarrow$ Vélo et on multiplie les probabilités :

$p(\text{Pluie et Vélo}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
$\dfrac{1}{4}$ est la probabilité de prendre le vélo sachant qu'il pleut. Pour obtenir la probabilité de « Pluie et Vélo », il faut multiplier par la probabilité qu'il pleuve.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
$\dfrac{2}{3}$ est la probabilité de prendre le vélo s'il fait beau, pas s'il pleut. Attention à bien suivre la bonne branche de l'arbre.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{5}$"]Non.
$\dfrac{2}{5}$ est la probabilité qu'il pleuve. Le chemin « Pluie et Vélo » nécessite de multiplier cette probabilité par celle de prendre le vélo quand il pleut.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut suivre le chemin Pluie $\rightarrow$ Vélo dans l'arbre et multiplier les probabilités des deux branches successives.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend l'arbre pondéré de la question précédente (météo et transport de Léa). Quelle est la probabilité que Léa prenne le vélo (quel que soit le temps) ?

[qcm]
[option]$\dfrac{1}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{11}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Deux chemins conduisent à « Vélo » : Pluie-Vélo et Beau-Vélo. On calcule chaque probabilité puis on additionne :
$p(\text{Pluie et Vélo}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{10}$
$p(\text{Beau et Vélo}) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{5}$

$p(\text{Vélo}) = \dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{4}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{10}$"]Non.
$\dfrac{1}{10}$ ne correspond qu'au chemin Pluie-Vélo. Il existe un autre chemin menant à « Vélo » : Beau-Vélo. Il faut additionner les probabilités des deux chemins.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
$\dfrac{2}{3}$ est la probabilité de prendre le vélo sachant qu'il fait beau. Pour obtenir la probabilité totale de prendre le vélo, il faut considérer les deux chemins possibles dans l'arbre.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{11}{12}$"]Non.
Il ne faut pas additionner les probabilités conditionnelles $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$. Chaque probabilité doit d'abord être pondérée par la probabilité de la première branche (multiplier), puis on additionne les résultats.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand plusieurs chemins conduisent au même événement, on multiplie les probabilités le long de chaque chemin, puis on additionne les résultats.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un arbre pondéré, la première épreuve a deux issues : Rouge (de probabilité $\dfrac{2}{5}$) et Vert. Depuis Rouge, on peut obtenir Gagné (probabilité $\dfrac{3}{4}$) ou Perdu.
Quelle est la probabilité inscrite sur la branche « Perdu » issue de « Rouge » ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est toujours égale à 1. Depuis « Rouge » :

$p(\text{Perdu}) = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{4}$"]Non.
$\dfrac{3}{4}$ est la probabilité de « Gagné », pas de « Perdu ». La somme des branches issues d'un même noeud vaut 1, donc $p(\text{Perdu}) = 1 - \dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Les deux issues « Gagné » et « Perdu » ne sont pas forcément équiprobables. Comme $p(\text{Gagné}) = \dfrac{3}{4}$, on utilise la règle de la somme égale à 1 pour trouver la probabilité manquante.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{5}$"]Non.
$\dfrac{3}{5}$ est la probabilité de « Vert » à la première épreuve ($1 - \dfrac{2}{5}$). Pour trouver la probabilité de « Perdu » depuis « Rouge », il faut utiliser la somme des branches issues du noeud « Rouge ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est toujours égale à 1.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On complète l'arbre de la question précédente. L'arbre complet est le suivant :

Quelle est la probabilité de gagner ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Deux chemins mènent à « Gagné » :
$p(\text{Rouge et Gagné}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$
$p(\text{Vert et Gagné}) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{10}$

$p(\text{Gagné}) = \dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{10}$"]Non.
$\dfrac{3}{10}$ ne correspond qu'au chemin Rouge-Gagné. Il existe aussi le chemin Vert-Gagné. Il faut additionner les probabilités des deux chemins.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{4}$"]Non.
$\dfrac{3}{4}$ est la probabilité de gagner sachant qu'on a tiré Rouge. Pour la probabilité totale de gagner, il faut pondérer par la probabilité de chaque première branche, puis additionner.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2}$ est la probabilité de gagner sachant qu'on a tiré Vert. Ce n'est pas la probabilité totale de gagner : il faut considérer les deux chemins possibles dans l'arbre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer la probabilité totale de « Gagné », il faut multiplier les probabilités le long de chaque chemin menant à « Gagné », puis additionner les résultats.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend l'arbre de la question précédente. Quelle est la probabilité de perdre ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{10}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
« Perdre » est l'événement contraire de « Gagner ». Comme $p(\text{Gagné}) = \dfrac{3}{5}$ :

$p(\text{Perdu}) = 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$

On peut aussi vérifier : $p(\text{Rouge et Perdu}) + p(\text{Vert et Perdu}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{5}$"]Non.
$\dfrac{3}{5}$ est la probabilité de gagner, pas de perdre. « Perdre » est l'événement contraire de « Gagner ». Il faut retrancher de 1.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
$\dfrac{1}{4}$ est la probabilité de perdre sachant qu'on a tiré Rouge. Ce n'est pas la probabilité totale de perdre : il faut aussi prendre en compte le chemin Vert-Perdu.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{10}$"]Non.
$\dfrac{3}{10}$ correspond au chemin Vert-Perdu uniquement ($\dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{2}$). Il faut aussi ajouter la probabilité du chemin Rouge-Perdu.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On peut utiliser l'événement contraire : $p(\text{Perdu}) = 1 - p(\text{Gagné})$. Ou bien calculer directement en additionnant les probabilités des chemins Rouge-Perdu et Vert-Perdu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Expérience à deux épreuves – Roue et urne

Une roue de loterie est partagée en trois secteurs :

le secteur « Gagné » occupe un quart de la roue ;
le secteur « Perdu » occupe la moitié de la roue ;
le secteur « Rejoue » occupe le reste de la roue.

Règle du jeu : le joueur fait tourner la roue une première fois.

S'il obtient « Gagné », il remporte un lot.
S'il obtient « Perdu », il ne gagne rien.
S'il obtient « Rejoue », il fait tourner la roue une seconde fois. Lors de ce second tour, s'il obtient « Gagné », il remporte un lot ; sinon il ne gagne rien.

Déterminer la probabilité d'obtenir « Rejoue » au premier tour.
Construire l'arbre pondéré représentant cette expérience. On précisera les probabilités sur chaque branche.
Calculer la probabilité de gagner un lot dès le premier tour de roue.
Calculer la probabilité de gagner un lot au second tour (c'est-à-dire d'obtenir « Rejoue » puis « Gagné »).
En déduire la probabilité totale de gagner un lot au cours du jeu.
Calculer la probabilité de ne gagner aucun lot. Vérifier le résultat à l'aide de l'événement contraire.

Corrigé

Le secteur « Gagné » occupe $\dfrac{1}{4}$ de la roue et le secteur « Perdu » occupe $\dfrac{1}{2}$ de la roue.
Le secteur « Rejoue » occupe le reste :
$ p(\text{Rejoue}) = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4} = $$\mathbf{\dfrac{1}{4}}$
Au premier tour, les issues et leurs probabilités sont :
$p(\text{Gagné}) = \dfrac{1}{4}$, $p(\text{Perdu}) = \dfrac{1}{2}$, $p(\text{Rejoue}) = \dfrac{1}{4}$.
Si le joueur obtient « Rejoue », il relance la roue avec les mêmes probabilités pour chaque secteur.

Vérification : à chaque noeud, la somme des probabilités vaut bien 1.
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = 1$ pour le premier tour, et $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = 1$ pour le second tour.
Le joueur gagne dès le premier tour s'il obtient « Gagné » directement :

$ p(\text{Gagné au 1er tour}) = $$\mathbf{\dfrac{1}{4}}$
Le joueur gagne au second tour s'il obtient le chemin « Rejoue » puis « Gagné ». On multiplie les probabilités le long de ce chemin :

$ p(\text{Rejoue puis Gagné}) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = $$\mathbf{\dfrac{1}{16}}$
L'événement « gagner un lot » est réalisé par deux chemins : « Gagné au 1er tour » ou « Rejoue puis Gagné ». Ces deux chemins sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire en même temps), on additionne donc leurs probabilités :
$ p(\text{gagner}) = p(\text{Gagné au 1er tour}) + p(\text{Rejoue puis Gagné}) $
$ p(\text{gagner}) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{4}{16} + \dfrac{1}{16} = $$\mathbf{\dfrac{5}{16}}$
Méthode 1 — par les chemins :
L'événement « ne gagner aucun lot » est réalisé par trois chemins :
- « Perdu » (au 1er tour) : $p = \dfrac{1}{2}$
- « Rejoue puis Perdu » : $p = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$
- « Rejoue puis Rejoue » : $p = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}$
$ p(\text{ne pas gagner}) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{8}{16} + \dfrac{2}{16} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{11}{16} $

Méthode 2 — par l'événement contraire :
L'événement contraire de « ne gagner aucun lot » est « gagner un lot ». On a :
$ p(\text{ne pas gagner}) = 1 - p(\text{gagner}) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{16}{16} - \dfrac{5}{16} = $$\mathbf{\dfrac{11}{16}}$
Les deux méthodes donnent bien le même résultat : $\dfrac{11}{16}$.

Pour réviser : Construire un arbre pondéré pour une expérience à deux épreuves