[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul des premiers termes d'une suite, qu'elle soit définie par une formule explicite ou par une relation de récurrence. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = 3n - 4$. Combien vaut $u_5$ ?
[qcm]
[option]$u_5 = 1$[/option]
[option]$u_5 = 15$[/option]
[option correct="true"]$u_5 = 11$[/option]
[option]$u_5 = 8$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On remplace $n$ par $5$ dans la formule : $u_5 = 3 \times 5 - 4 = 15 - 4 = 11$.[/reponse]
[reponse motif="$u_5 = 1$"]Non.
Le facteur $3$ a été oublié dans le calcul. La formule donne $3 \times n$, pas simplement $n$.[/reponse]
[reponse motif="$u_5 = 15$"]Non.
Attention, la formule comporte aussi le terme $-4$ qui ne doit pas être oublié à la fin du calcul.[/reponse]
[reponse motif="$u_5 = 8$"]Non.
L'indice utilisé est $n = 4$ alors que la question demande $u_5$. Reprendre le calcul avec $n = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer $u_5$, remplacer $n$ par $5$ dans l'expression $3n - 4$, puis effectuer le calcul en respectant les priorités.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $v_n = n^2 - n$. Combien vaut $v_4$ ?
[qcm]
[option]$v_4 = 16$[/option]
[option]$v_4 = 20$[/option]
[option]$v_4 = 0$[/option]
[option correct="true"]$v_4 = 12$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On remplace $n$ par $4$ : $v_4 = 4^2 - 4 = 16 - 4 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$v_4 = 16$"]Non.
Le terme $-n$ a été oublié. Après avoir calculé $4^2 = 16$, il reste à soustraire $n = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$v_4 = 20$"]Non.
Attention au signe : la formule est $n^2 - n$, donc on soustrait $n$. Ici on a additionné au lieu de soustraire.[/reponse]
[reponse motif="$v_4 = 0$"]Non.
Le carré $n^2$ doit être calculé avant la soustraction : $4^2 = 16$, et non $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $n^2 = 4^2 = 16$, puis retrancher $n = 4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_0 = 1$ et, pour tout entier $n$, $w_{n+1} = 2 w_n + 1$. Combien vaut $w_2$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$w_2 = 7$[/option]
[option]$w_2 = 3$[/option]
[option]$w_2 = 6$[/option]
[option]$w_2 = 9$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule de proche en proche :
$w_1 = 2 \times w_0 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3$.
$w_2 = 2 \times w_1 + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7$.[/reponse]
[reponse motif="$w_2 = 3$"]Non.
Le calcul s'est arrêté à $w_1$. La question demande $w_2$ : il reste une étape pour appliquer à nouveau la relation à partir de $w_1$.[/reponse]
[reponse motif="$w_2 = 6$"]Non.
Le « $+1$ » de la relation $w_{n+1} = 2 w_n + 1$ a été oublié au dernier pas. Reprendre le calcul de $w_2$ en pensant à ajouter $1$.[/reponse]
[reponse motif="$w_2 = 9$"]Non.
La relation est $w_{n+1} = 2 w_n + 1$, et non $w_{n+1} = 3 w_n$. Vérifier la formule utilisée à chaque pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer $w_2$ avec une relation de récurrence, on calcule d'abord $w_1$ à partir de $w_0$, puis $w_2$ à partir de $w_1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi les suites suivantes, laquelle est définie de manière explicite ?
[qcm]
[option]$(u_n)$ : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 3$[/option]
[option correct="true"]$(v_n)$ : $v_n = 2n + 5$[/option]
[option]$(w_n)$ : $w_0 = 2$ et $w_{n+1} = 3 w_n$[/option]
[option]$(t_n)$ : $t_0 = 0$ et $t_{n+1} = t_n - 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Une suite est définie de manière explicite lorsqu'on a une formule du type $v_n = f(n)$ permettant de calculer chaque terme directement à partir de son rang. C'est bien le cas de $v_n = 2n + 5$.[/reponse]
[reponse motif="$(u_n)$ : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 3$"]Non.
Cette suite est définie par récurrence : chaque terme se calcule à partir du précédent. Une définition explicite donne le terme directement à partir de son rang $n$.[/reponse]
[reponse motif="$(w_n)$ : $w_0 = 2$ et $w_{n+1} = 3 w_n$"]Non.
La relation $w_{n+1} = 3 w_n$ exprime un terme en fonction du précédent : c'est une définition par récurrence.[/reponse]
[reponse motif="$(t_n)$ : $t_0 = 0$ et $t_{n+1} = t_n - 1$"]Non.
La relation $t_{n+1} = t_n - 1$ est une relation de récurrence. Une formule explicite ne fait pas intervenir le terme précédent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer la suite dont la formule donne $u_n$ directement en fonction de $n$ (sans utiliser un terme précédent) : c'est elle qui est définie de manière explicite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = (-2)^n$. Combien vaut $u_3$ ?
[qcm]
[option]$u_3 = 8$[/option]
[option]$u_3 = -6$[/option]
[option]$u_3 = 6$[/option]
[option correct="true"]$u_3 = -8$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On élève $-2$ à la puissance $3$ : $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times (-2) = -8$.[/reponse]
[reponse motif="$u_3 = 8$"]Non.
La valeur absolue est correcte, mais le signe est faux. Comme $3$ est impair, $(-2)^3$ est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$u_3 = -6$"]Non.
La notation $(-2)^3$ signifie $(-2) \times (-2) \times (-2)$, et non $(-2) \times 3$. Reprendre le calcul comme une puissance.[/reponse]
[reponse motif="$u_3 = 6$"]Non.
Deux erreurs : le signe est ignoré et le calcul fait est $2 \times 3$ au lieu de $(-2)^3$. Une puissance se calcule par multiplications successives.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La notation $(-2)^3$ signifie $(-2) \times (-2) \times (-2)$. Effectuer ce produit et conclure sur le signe d'après la parité de l'exposant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n - 2$. Combien vaut $u_4$ ?
[qcm]
[option]$u_4 = 1$[/option]
[option correct="true"]$u_4 = -3$[/option]
[option]$u_4 = 13$[/option]
[option]$u_4 = -5$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule de proche en proche en soustrayant $2$ à chaque pas :
$u_1 = 3$, $u_2 = 1$, $u_3 = -1$, $u_4 = -3$.[/reponse]
[reponse motif="$u_4 = 1$"]Non.
Le calcul s'est arrêté à $u_2$. Il reste deux étapes pour atteindre $u_4$ : continuer à soustraire $2$.[/reponse]
[reponse motif="$u_4 = 13$"]Non.
La relation est $u_{n+1} = u_n - 2$ : on soustrait $2$ à chaque pas, on n'ajoute pas $2$. Reprendre dans le bon sens.[/reponse]
[reponse motif="$u_4 = -5$"]Non.
Une étape de trop : c'est la valeur de $u_5$. La question demande $u_4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer $u_4$ par récurrence, appliquer la relation $u_{n+1} = u_n - 2$ exactement quatre fois en partant de $u_0 = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = 2n + 1$.

Affirmation : Le premier terme de la suite est $u_0 = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On substitue $n = 0$ dans l'expression :

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de croire que « premier terme » signifie systématiquement $u_1$, alors que la suite est définie à partir de $n = 0$.
$u_0 = 2 \times 0 + 1 = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le premier terme s'obtient en remplaçant $n$ par $0$ : $u_0 = 2 \times 0 + 1 = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = n^2 + n$.

Affirmation : $u_4 = 16$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On remplace $n$ par $4$ :

On a $u_4 = 20$, pas $16$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, l'expression contient deux termes : $n^2$ et $n$. En oubliant le second, on obtient $16$ au lieu de $20$.
$u_4 = 4^2 + 4 = 20$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En substituant $n = 4$ : $u_4 = 4^2 + 4 = 20 \neq 16$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

Affirmation : $u_3 = 15$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule les termes successifs :
$u_1 = u_0 + 4 = 7$
$u_2 = u_1 + 4 = 11$
$u_3 = u_2 + 4 = 15$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de calculer directement $u_3 = u_0 + 4 = 7$, en oubliant qu'une définition par récurrence s'applique à chaque passage d'un rang au suivant.
$u_1 = 7$, $u_2 = 11$, $u_3 = 15$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En appliquant la relation trois fois : $u_1 = 7$, $u_2 = 11$, $u_3 = 15$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

Affirmation : $u_3 = 8$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule les termes successifs :
$u_1 = u_0^2 = 4$
$u_2 = u_1^2 = 16$
$u_3 = u_2^2 = 256$
On obtient $u_3 = 256$, et non $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « mettre au carré » et « multiplier par $2$ ». En élevant chaque terme au carré, les valeurs grandissent très vite.
$u_1 = 4$, $u_2 = 16$, $u_3 = 256$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En appliquant la relation $u_{n+1} = u_n^2$ : $u_1 = 4$, $u_2 = 16$, $u_3 = 256 \neq 8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère deux définitions d'une suite $(u_n)$ sur $\mathbb{N}$ :
- définition explicite : $u_n = 3n + 5$ ;
- définition par récurrence : $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n + 3$.

Affirmation : Ces deux définitions désignent la même suite.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Avec la formule explicite, $u_0 = 3 \times 0 + 5 = 5$, ce qui coïncide avec le premier terme donné.
De plus, $u_{n+1} - u_n = [3(n+1) + 5] - [3n + 5] = 3$, ce qui correspond à la relation de récurrence.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une suite peut être définie de deux manières équivalentes : par son terme général, ou par son premier terme et une relation de récurrence.
Ici, la formule $u_n = 3n + 5$ donne bien $u_0 = 5$ et $u_{n+1} - u_n = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La formule $u_n = 3n + 5$ donne $u_0 = 5$ et $u_{n+1} - u_n = 3$ : les deux descriptions désignent la même suite.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $u_n = \dfrac{1}{n}$.

Affirmation : Le premier terme de la suite est $0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La suite est définie à partir de $n = 1$, donc son premier terme est :

Le premier terme vaut $1$, pas $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège consiste à confondre le premier terme de la suite avec la valeur vers laquelle elle tend. Ici, la suite commence à $n = 1$ : le premier terme est $u_1$.
$u_1 = \dfrac{1}{1} = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La suite est définie à partir de $n = 1$ : le premier terme est $u_1 = 1$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

Affirmation : $u_3 = 6$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule les premiers termes :
$u_1 = 0 \times u_0 = 0$
$u_2 = 1 \times u_1 = 0$
$u_3 = 2 \times u_2 = 0$
$u_3 = 0$, et non $6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre cette suite avec la factorielle en utilisant $n+1$ au lieu de $n$ comme multiplicateur, ce qui donnerait $u_3 = 3! = 6$. Ici le multiplicateur est $n$, donc $u_1 = 0 \times 1 = 0$, et tous les termes suivants sont nuls.
$u_1 = 0 \times 1 = 0$, $u_2 = 1 \times 0 = 0$, $u_3 = 2 \times 0 = 0 \neq 6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $u_1 = 0 \times u_0 = 0$, tous les termes suivants sont nuls : $u_3 = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

Affirmation : $u_{10} = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$u_1 = 2 - \sqrt{u_0} = 2 - 1 = 1$
$u_2 = 2 - \sqrt{u_1} = 2 - 1 = 1$
Dès que $u_n = 1$, tous les termes suivants valent $1$. Donc $u_{10} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas remarquer que $u_0 = 1$ est un point fixe de la relation $u_{n+1} = 2 - \sqrt{u_n}$ : dès le premier calcul, $u_1 = 1$, et la suite reste constante.
$u_1 = 2 - 1 = 1$, puis la suite reste constante égale à $1$. Donc $u_{10} = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $u_1 = 2 - \sqrt{1} = 1$, et la suite est constante égale à $1$ à partir de $u_0$, donc $u_{10} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

Affirmation : $u_3 = 0{,}5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier le $+1$ dans l'indice et de calculer $u_3 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ au lieu de $\dfrac{1}{\sqrt{3+1}}$.
$u_3 = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$. C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On substitue $n = 3$ : $u_3 = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

Affirmation : $u_3 = 5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule les premiers termes :
$u_1 = u_0 + 0 = 1$
$u_2 = u_1 + 1 = 2$
$u_3 = u_2 + 2 = 4$
$u_3 = 4$, et non $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
On applique la relation $u_{n+1} = u_n + n$ en partant de $u_0 = 1$ : à chaque étape, on ajoute l'indice $n$ (et non $n+1$). Le premier ajout vaut donc $0$.
$u_1 = u_0 + 0 = 1$, $u_2 = u_1 + 1 = 2$, $u_3 = u_2 + 2 = 4$. On obtient $u_3 = 4 \neq 5$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En calculant : $u_1 = 1$, $u_2 = 2$, $u_3 = 4$. Le résultat est $4$ et non $5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

Affirmation : $u_3 = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$u_1 = u_0 - 1 = 2$
$u_2 = u_1 - 1 = 1$
$u_3 = u_2 - 1 = 0$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de partir de $u_0$ et de soustraire $3$ d'un coup, ce qui donne bien $0$, mais pour la mauvaise raison — il faut appliquer la relation trois fois successivement.
$u_1 = 2$, $u_2 = 1$, $u_3 = 0$. C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En appliquant la relation trois fois : $u_1 = 2$, $u_2 = 1$, $u_3 = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

Affirmation : $u_2 = \dfrac{5}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$u_1 = \dfrac{u_0}{2} + 1 = \dfrac{4}{2} + 1 = 3$
$u_2 = \dfrac{u_1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{5}{2}$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'appliquer la relation deux fois à partir de $u_0$ sans calculer $u_1$ au préalable, ou de négliger le $+1$ dans la relation.
$u_1 = 3$ et $u_2 = \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{5}{2}$. C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On calcule $u_1 = \dfrac{4}{2} + 1 = 3$, puis $u_2 = \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{5}{2}$.
[/solution]
[/etape]