Décomposition en facteurs premiers et partage

Un fleuriste dispose de $ 756 $ roses et de $ 1260 $ tulipes. Il souhaite réaliser des bouquets tous identiques, contenant chacun le même nombre de roses et le même nombre de tulipes, en utilisant toutes les fleurs sans en perdre aucune. Il veut réaliser le plus grand nombre possible de bouquets.

Partie A — Décomposition en facteurs premiers

Décomposer $ 756 $ en produit de facteurs premiers.
Décomposer $ 1260 $ en produit de facteurs premiers.
En déduire le PGCD de $ 756 $ et $ 1260 $.

Partie B — Résolution du problème

Quel est le nombre maximal de bouquets que le fleuriste peut réaliser ? Justifier.
Combien chaque bouquet contiendra-t-il de roses ? De tulipes ?
Le fleuriste reçoit en supplément $ 504 $ marguerites, qu'il veut également répartir équitablement dans ses bouquets (toujours sans en perdre). Est-ce possible ? Justifier en utilisant la décomposition en facteurs premiers de $ 504 $.

Corrigé

Partie A

On décompose $ 756 $ par divisions successives :

$ 756 = 2 \times 378 = 2 \times 2 \times 189 = 2^2 \times 189 $

$ 189 = 3 \times 63 = 3 \times 3 \times 21 = 3 \times 3 \times 3 \times 7 = 3^3 \times 7 $

Donc $\mathbf{756 = 2^2 \times 3^3 \times 7}$.
On décompose $ 1260 $ :

$ 1260 = 2 \times 630 = 2 \times 2 \times 315 = 2^2 \times 315 $

$ 315 = 3 \times 105 = 3 \times 3 \times 35 = 3^2 \times 5 \times 7 $

Donc $\mathbf{1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7}$.
Pour trouver le PGCD, on prend chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant :
- Facteur $ 2 $ : exposant $ \min(2, 2) = 2 $
- Facteur $ 3 $ : exposant $ \min(3, 2) = 2 $
- Facteur $ 5 $ : présent uniquement dans $ 1260 $, on ne le prend pas
- Facteur $ 7 $ : exposant $ \min(1, 1) = 1 $
$ \text{PGCD}(756 ; 1260) = 2^2 \times 3^2 \times 7 = 4 \times 9 \times 7 = \mathbf{252} $

Partie B

Le nombre de bouquets doit diviser à la fois $ 756 $ (nombre de roses) et $ 1260 $ (nombre de tulipes), car chaque bouquet contient le même nombre de fleurs de chaque type.

Le plus grand nombre qui divise les deux est le PGCD.

Le fleuriste peut donc réaliser au maximum $ 252 $ bouquets.
Chaque bouquet contient :
- $ \dfrac{756}{252} = 3 $ roses
- $ \dfrac{1260}{252} = 5 $ tulipes
Chaque bouquet contient $ 3 $ roses et $ 5 $ tulipes.
On décompose $ 504 $ en facteurs premiers :

$ 504 = 2 \times 252 = 2 \times 2^2 \times 3^2 \times 7 = 2^3 \times 3^2 \times 7 $

Donc $\mathbf{504 = 2^3 \times 3^2 \times 7}$.

Pour répartir équitablement les $ 504 $ marguerites dans les $ 252 $ bouquets, il faut que $ 252 $ divise $ 504 $.

On vérifie : $ \dfrac{504}{252} = 2 $.

C'est bien un entier, donc oui, c'est possible : chaque bouquet contiendra $ 2 $ marguerites en plus des $ 3 $ roses et $ 5 $ tulipes.

On peut aussi le vérifier avec les décompositions : $ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7 $ et $ 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7 $. Chaque facteur premier de $ 252 $ apparaît dans $ 504 $ avec un exposant supérieur ou égal, donc $ 252 $ divise bien $ 504 $.

Pour réviser : Calculer le PGCD par décomposition en facteurs premiers

QCM Bilan : Division euclidienne, PGCD et PPCM

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : division euclidienne, décomposition en facteurs premiers, PGCD et PPCM. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est le reste de la division euclidienne de $247$ par $15$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$12$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$15 \times 16 = 240$ et $247 - 240 = 7$.
On a donc $247 = 15 \times 16 + 7$, avec $0 \leqslant 7 < 15$ : le reste est bien $7$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Si le reste était $5$, on aurait $247 = 15 \times q + 5$ pour un certain $q$, soit $242 = 15 \times q$.
Or $242 \div 15 = 16{,}13\ldots$ : $q$ n'est pas entier. Le reste est $7$ (car $247 = 15 \times 16 + 7$).[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
L'erreur fréquente est de confondre le quotient et le reste.
$247 = 15 \times 16 + 7$ : le quotient est $16$ et le reste est $7$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$15 \times 16 = 240$ et $247 - 240 = 7$, pas $2$.
Le reste de la division de $247$ par $15$ est $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$15 \times 16 = 240$ et $247 - 240 = 7$.
La division euclidienne s'écrit $247 = 15 \times 16 + 7$ : le reste est $7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Laquelle de ces écritures est la décomposition correcte de $126$ en produit de facteurs premiers ?
[qcm]
[option]$126 = 2 \times 63$[/option]
[option correct="true"]$126 = 2 \times 3^2 \times 7$[/option]
[option]$126 = 2^2 \times 3 \times 7$[/option]
[option]$126 = 2 \times 3 \times 21$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$126 = 2 \times 63 = 2 \times 9 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$.
Vérification : $2 \times 9 \times 7 = 126$ et tous les facteurs ($2$, $3$, $7$) sont bien des nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$126 = 2 \times 63$"]Non.
$63 = 9 \times 7 = 3^2 \times 7$ n'est pas un nombre premier.
Il faut continuer à décomposer : $126 = 2 \times 63 = 2 \times 3^2 \times 7$.[/reponse]
[reponse motif="$126 = 2^2 \times 3 \times 7$"]Non.
$2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7 = 84 \neq 126$.
La décomposition correcte de $126$ est $2 \times 3^2 \times 7 = 2 \times 9 \times 7 = 126$.[/reponse]
[reponse motif="$126 = 2 \times 3 \times 21$"]Non.
$21 = 3 \times 7$ n'est pas un nombre premier.
La décomposition doit s'arrêter uniquement sur des facteurs premiers : $126 = 2 \times 3^2 \times 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposons $126$ étape par étape : $126 = 2 \times 63 = 2 \times 9 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$.
Tous les facteurs $2$, $3$ et $7$ sont des nombres premiers.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur de $PGCD(180, 108)$ ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option]$18$[/option]
[option correct="true"]$36$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ et $108 = 2^2 \times 3^3$.
Les facteurs communs sont $2^2$ et $3^2$, donc $PGCD(180, 108) = 2^2 \times 3^2 = 36$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ divise bien $180$ et $108$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun.
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ et $108 = 2^2 \times 3^3$ : $PGCD(180, 108) = 2^2 \times 3^2 = 36$.[/reponse]
[reponse motif="$18$"]Non.
$18$ est un diviseur commun de $180$ et $108$, mais pas le plus grand.
$PGCD(180, 108) = 36$ : on a $180 \div 36 = 5$ et $108 \div 36 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ divise bien $180$ et $108$, mais il existe un diviseur commun plus grand.
$PGCD(180, 108) = 36$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ et $108 = 2^2 \times 3^3$.
Les facteurs premiers communs sont $2^2$ et $3^2$, donc $PGCD(180, 108) = 2^2 \times 3^2 = 36$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux équipes médicales interviennent dans un village. La première passe toutes les $14$ jours, la seconde toutes les $21$ jours. Elles interviennent ensemble le $1^{er}$ mars. Au bout de combien de jours interviendront-elles à nouveau ensemble pour la première fois ?
[qcm]
[option]$35$ jours[/option]
[option correct="true"]$42$ jours[/option]
[option]$28$ jours[/option]
[option]$63$ jours[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$14 = 2 \times 7$ et $21 = 3 \times 7$.
$PPCM(14, 21) = 2 \times 3 \times 7 = 42$ jours.
La prochaine coïncidence aura lieu $42$ jours après le $1^{er}$ mars.[/reponse]
[reponse motif="$35$ jours"]Non.
$35 \div 14 = 2{,}5$, qui n'est pas un entier : la première équipe n'intervient pas au bout de $35$ jours.
$PPCM(14, 21) = 42$ jours : c'est la bonne réponse.[/reponse]
[reponse motif="$28$ jours"]Non.
$28 \div 21 = 1{,}33\ldots$, qui n'est pas un entier : la seconde équipe n'intervient pas au bout de $28$ jours.
$PPCM(14, 21) = 42$ jours.[/reponse]
[reponse motif="$63$ jours"]Non.
$63$ est un multiple de $21$ ($63 = 21 \times 3$), mais pas de $14$ : $63 \div 14 = 4{,}5$ n'est pas un entier.
Ce n'est donc pas un multiple commun aux deux. La bonne réponse est $PPCM(14, 21) = 42$ jours.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On cherche $PPCM(14, 21)$.
$14 = 2 \times 7$, $21 = 3 \times 7$ : $PPCM = 2 \times 3 \times 7 = 42$ jours.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fraction $\dfrac{252}{180}$ écrite sous forme irréductible est :
[qcm]
[option]$\dfrac{14}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{63}{45}$[/option]
[option]$\dfrac{21}{15}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ et $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.
$PGCD(252, 180) = 2^2 \times 3^2 = 36$.
$\dfrac{252}{180} = \dfrac{252 \div 36}{180 \div 36} = \dfrac{7}{5}$ et $PGCD(7, 5) = 1$ : la fraction est irréductible.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{14}{10}$"]Non.
$\dfrac{14}{10}$ s'obtient en divisant par $18$, mais ce n'est pas encore irréductible : $PGCD(14, 10) = 2$.
Il faut diviser par le PGCD en entier : $PGCD(252, 180) = 36$, ce qui donne $\dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{63}{45}$"]Non.
$\dfrac{63}{45}$ s'obtient en divisant par $4$, mais ce n'est pas encore irréductible : $PGCD(63, 45) = 9$.
$PGCD(252, 180) = 36$ : la fraction irréductible est $\dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{21}{15}$"]Non.
$\dfrac{21}{15}$ s'obtient en divisant par $12$, mais $PGCD(21, 15) = 3 \neq 1$ : la fraction n'est pas encore irréductible.
$PGCD(252, 180) = 36$ : la fraction irréductible est $\dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ et $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ : les facteurs communs sont $2^2$ et $3^2$, donc $PGCD(252, 180) = 2^2 \times 3^2 = 36$.
$\dfrac{252}{180} = \dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $a = 2^3 \times 3 \times 5$ et $b = 2^2 \times 3^2 \times 7$. Quelle est la valeur de $PGCD(a, b)$ ?
[qcm]
[option]$2^3 \times 3^2$[/option]
[option correct="true"]$2^2 \times 3$[/option]
[option]$2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$[/option]
[option]$2 \times 3$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour trouver le PGCD, on garde chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant.
$2$ apparaît dans les deux : $\min(3, 2) = 2$, on prend $2^2$.
$3$ apparaît dans les deux : $\min(1, 2) = 1$, on prend $3$.
$5$ et $7$ ne sont pas communs.
Donc $PGCD(a, b) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$2^3 \times 3^2$"]Non.
Pour le PGCD, on prend le plus petit exposant de chaque facteur commun, pas le plus grand.
$\min(3, 2) = 2$ pour le facteur $2$ et $\min(1, 2) = 1$ pour le facteur $3$, donc $PGCD(a, b) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$"]Non.
$2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$ serait le PPCM (on prend le plus grand exposant de chaque facteur), pas le PGCD.
Pour le PGCD, on ne garde que les facteurs communs avec le plus petit exposant : $2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 3$"]Non.
$2 \times 3 = 6$ est bien un diviseur commun, mais ce n'est pas le plus grand.
Il faut prendre l'exposant minimum de chaque facteur commun : $\min(3, 2) = 2$ pour le $2$, donc $PGCD(a, b) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver le PGCD à partir des décompositions, on garde chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant.
$2^{\min(3,2)} \times 3^{\min(1,2)} = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Problèmes de partage avec le PGCD

[enonce]
Dans ce QCM, chaque question met en jeu le PGCD dans des situations de partage ou de simplification. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Un fleuriste dispose de $72$ roses et de $48$ tulipes. Il veut former le plus grand nombre possible de bouquets identiques, en utilisant toutes les fleurs (sans mélanger les espèces). Combien peut-il former de bouquets ?
[qcm]
[option]$6$[/option]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$24$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le nombre maximum de bouquets identiques est $PGCD(72, 48)$.
$72 = 2^3 \times 3^2$ et $48 = 2^4 \times 3$, donc $PGCD(72, 48) = 2^3 \times 3 = 24$.
Chaque bouquet contiendra $72 \div 24 = 3$ roses et $48 \div 24 = 2$ tulipes.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ divise bien $72$ et $48$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun.
$PGCD(72, 48) = 24$ : on peut former $24$ bouquets, chacun avec $3$ roses et $2$ tulipes.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ est un diviseur commun de $72$ et $48$, mais pas le plus grand.
$PGCD(72, 48) = 24$ : on peut faire davantage que $12$ bouquets.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ divise bien $72$ ($72 \div 8 = 9$) et $48$ ($48 \div 8 = 6$), mais $8$ n'est pas le plus grand diviseur commun.
$PGCD(72, 48) = 24$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le nombre maximum de bouquets est le $PGCD(72, 48)$.
$72 = 2^3 \times 3^2$ et $48 = 2^4 \times 3$ : on prend chaque facteur commun avec le plus petit exposant, donc $PGCD(72, 48) = 2^3 \times 3 = 24$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur de $PGCD(120, 84)$ ?
[qcm]
[option]$6$[/option]
[option correct="true"]$12$[/option]
[option]$24$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.
Les facteurs premiers communs sont $2^2$ et $3$, donc $PGCD(120, 84) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ divise bien $120$ et $84$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun.
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ : $PGCD(120, 84) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24$ ne divise pas $84$ exactement : $84 \div 24 = 3{,}5$, qui n'est pas un entier.
$PGCD(120, 84) = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ est bien un diviseur commun de $120$ et $84$, mais ce n'est pas le plus grand.
$PGCD(120, 84) = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.
Les facteurs premiers communs sont $2^2$ et $3$, donc $PGCD(120, 84) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une institutrice répartit $90$ stylos rouges et $60$ stylos bleus en trousses identiques. Elle veut le plus grand nombre possible de trousses et utilise tous les stylos. Combien y a-t-il de stylos en tout dans chaque trousse ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$10$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$90 = 2 \times 3^2 \times 5$ et $60 = 2^2 \times 3 \times 5$, donc $PGCD(90, 60) = 2 \times 3 \times 5 = 30$.
On peut former $30$ trousses : chacune contient $90 \div 30 = 3$ stylos rouges et $60 \div 30 = 2$ stylos bleus, soit $3 + 2 = 5$ stylos au total.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3$ est le nombre de stylos rouges par trousse, pas le total.
Chaque trousse contient $3$ stylos rouges et $60 \div 30 = 2$ stylos bleus, soit $5$ stylos en tout.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
L'erreur fréquente est de diviser le total ($90 + 60 = 150$) par le nombre de trousses sans calculer le bon PGCD.
$PGCD(90, 60) = 30$ trousses, et chaque trousse contient $3 + 2 = 5$ stylos.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
En réalité, $6$ n'est pas le nombre de stylos par trousse : chaque trousse contient $3+2=5$ stylos (3 rouges et 2 bleus).
La bonne réponse est $5$ ($3$ rouges $+ 2$ bleus).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$PGCD(90, 60) = 30$ : on peut former $30$ trousses.
Chacune contient $90 \div 30 = 3$ stylos rouges et $60 \div 30 = 2$ stylos bleus, soit $5$ stylos au total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$PGCD(a, b) = 1$ signifie que :
[qcm]
[option]$a$ et $b$ sont tous les deux des nombres premiers[/option]
[option correct="true"]$a$ et $b$ sont premiers entre eux[/option]
[option]$a = b$[/option]
[option]$a \times b = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Lorsque $PGCD(a, b) = 1$, on dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Cela signifie qu'ils n'ont aucun diviseur commun autre que $1$, mais ni $a$ ni $b$ n'est forcément un nombre premier.
Exemple : $PGCD(8, 9) = 1$ mais $8$ et $9$ ne sont pas premiers.[/reponse]
[reponse motif="$a$ et $b$ sont tous les deux des nombres premiers"]Non.
Cette confusion est fréquente : $PGCD(a, b) = 1$ signifie que $a$ et $b$ sont premiers entre eux, pas que chacun est un nombre premier.
Exemple : $PGCD(8, 9) = 1$, or $8$ et $9$ ne sont pas des nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$a = b$"]Non.
Si $a = b$, alors $PGCD(a, b) = a = b$, qui vaut $1$ uniquement si $a = b = 1$.
$PGCD(a, b) = 1$ signifie que $a$ et $b$ sont premiers entre eux (sans diviseur commun autre que $1$).[/reponse]
[reponse motif="$a \times b = 1$"]Non.
$a \times b = 1$ impliquerait que $a = b = 1$ pour des entiers positifs.
$PGCD(a, b) = 1$ signifie seulement que $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun supérieur à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$PGCD(a, b) = 1$ signifie que $a$ et $b$ sont premiers entre eux : ils n'ont aucun diviseur commun autre que $1$.
Exemple : $PGCD(8, 9) = 1$ mais ni $8$ ni $9$ n'est un nombre premier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On veut écrire la fraction $\dfrac{126}{90}$ sous forme irréductible. Quel est son numérateur après simplification ?
[qcm]
[option]$9$[/option]
[option]$14$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$63$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$126 = 2 \times 3^2 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$.
Les facteurs communs sont $2$ et $3^2$, donc $PGCD(126, 90) = 2 \times 3^2 = 18$.
$\dfrac{126}{90} = \dfrac{126 \div 18}{90 \div 18} = \dfrac{7}{5}$ : le numérateur est $7$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
L'erreur fréquente est de diviser uniquement par $2$ ou par $9$ sans calculer le vrai PGCD.
$PGCD(126, 90) = 18$, donc $\dfrac{126}{90} = \dfrac{7}{5}$ : le numérateur est $7$.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
Si vous avez divisé par $9$, vous obtenez $\dfrac{14}{10}$, mais cette fraction n'est pas encore irréductible ($PGCD(14, 10) = 2$).
$PGCD(126, 90) = 18$ : $\dfrac{126}{90} = \dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$63$"]Non.
Si vous avez divisé par $2$, vous obtenez $\dfrac{63}{45}$, mais cette fraction n'est pas encore irréductible ($PGCD(63, 45) = 9$).
Il faut diviser par le PGCD en entier : $PGCD(126, 90) = 18$, ce qui donne $\dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$126 = 2 \times 3^2 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$ : les facteurs communs sont $2$ et $3^2$, donc $PGCD(126, 90) = 2 \times 3^2 = 18$.
$\dfrac{126}{90} = \dfrac{7}{5}$ : le numérateur est $7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une directrice répartit $84$ filles et $56$ garçons en groupes mixtes identiques, en utilisant tous les élèves. Elle veut le maximum de groupes possible. Combien peut-elle former de groupes ?
[qcm]
[option]$7$[/option]
[option]$14$[/option]
[option correct="true"]$28$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le nombre maximum de groupes est $PGCD(84, 56)$.
$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $56 = 2^3 \times 7$, donc $PGCD(84, 56) = 2^2 \times 7 = 28$.
Chaque groupe comprendra $84 \div 28 = 3$ filles et $56 \div 28 = 2$ garçons.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7$ divise bien $84$ et $56$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun.
$PGCD(84, 56) = 28$ : on peut former $28$ groupes, chacun avec $3$ filles et $2$ garçons.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
$14$ est un diviseur commun de $84$ et $56$ ($84 = 14 \times 6$, $56 = 14 \times 4$), mais il n'est pas le plus grand.
$PGCD(84, 56) = 28$ : on peut former $28$ groupes.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ divise bien $84$ ($84 \div 4 = 21$) et $56$ ($56 \div 4 = 14$), mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun.
$PGCD(84, 56) = 28$ : on peut former $28$ groupes, bien plus que $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le nombre maximum de groupes est le $PGCD(84, 56)$.
$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $56 = 2^3 \times 7$ : les facteurs communs sont $2^2$ et $7$, donc $PGCD(84, 56) = 2^2 \times 7 = 28$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Bouquets de fleurs : calculer un PGCD

[enonce]
Une fleuriste dispose de $60$ roses et $84$ tulipes.
Elle veut réaliser le maximum de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.
Chaque bouquet doit contenir le même nombre de roses et le même nombre de tulipes.

Suivez les étapes pour résoudre ce problème.
[/enonce]

[etape]
Pour trouver le nombre maximum de bouquets identiques, quelle valeur faut-il calculer ?
[qcm]
[option correct="true"]$PGCD(60 ; 84)$[/option]
[option]$60 + 84$[/option]
[option]$60 \times 84$[/option]
[option]$84 - 60$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le nombre de bouquets doit diviser à la fois $60$ et $84$ sans reste : c'est un diviseur commun.
Pour avoir le maximum de bouquets, on cherche le plus grand de ces diviseurs communs, c'est-à-dire le $PGCD$.[/reponse]
[reponse motif="$60 + 84$"]Non.
Additionner les deux quantités ne permet pas de trouver le nombre de bouquets possibles.[/reponse]
[reponse motif="$60 \times 84$"]Non.
Multiplier les deux quantités n'a pas de sens ici.[/reponse]
[reponse motif="$84 - 60$"]Non.
La différence entre les deux quantités ne donne pas le nombre de bouquets.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le nombre de bouquets doit diviser exactement chaque quantité.
Pour avoir le plus grand nombre de bouquets possible, on calcule le PGCD.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Commençons par décomposer $60$ en produit de facteurs premiers.

On a $60 = 2^2 \times 3 \times$ [[a]]. Quel est le facteur premier manquant ?
[input id="a" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$60 = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 15 = 60$ : on retombe bien sur $60$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On a déjà $2^2 \times 3 = 12$ dans la décomposition. Quel facteur premier manque-t-il pour obtenir $60$ ?
Indice : $60 \div 12 = ?$[/reponse]
[aide essai="2"]Rappel : $60 \div 4 = 15$ et $15 = 3 \times \ldots$[/aide]
[/input]
[solution]Le facteur manquant est $5$ : on a $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Décomposons maintenant $84$ en produit de facteurs premiers.

On a $84 = 2^2 \times$ [[b1]] $\times 7$. Quel est le facteur premier manquant ?
[input id="b1" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$84 = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 21 = 84$ : on retombe bien sur $84$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On a déjà $2^2 \times 7 = 28$ dans la décomposition. Quel facteur premier manque-t-il pour obtenir $84$ ?
Indice : $84 \div 28 = ?$[/reponse]
[aide essai="2"]Rappel : $84 \div 4 = 21$ et $21 = \ldots \times 7$[/aide]
[/input]
[solution]Le facteur manquant est $3$ : on a $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a obtenu : $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.

Pour calculer le $PGCD$ à partir des décompositions en facteurs premiers, quelle est la bonne méthode ?
[qcm]
[option correct="true"]Pour chaque facteur premier commun aux deux décompositions, on retient le plus petit exposant, puis on multiplie les résultats.[/option]
[option]Pour chaque facteur premier commun aux deux décompositions, on retient le plus grand exposant, puis on multiplie les résultats.[/option]
[option]On retient les facteurs premiers communs aux deux décompositions sans tenir compte des exposants, puis on les multiplie.[/option]
[option]On retient tous les facteurs premiers présents dans au moins une des deux décompositions, avec leur plus grand exposant, puis on les multiplie.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est bien la méthode pour le $PGCD$ : on prend chaque facteur commun avec le plus petit de ses exposants.
Par exemple, $2$ apparaît avec l'exposant $2$ dans les deux décompositions, et $3$ avec l'exposant $1$ : on retient donc $2^2$ et $3^1$.[/reponse]
[reponse motif="Pour chaque facteur premier commun aux deux décompositions, on retient le plus grand exposant, puis on multiplie les résultats."]Non.
Retenir le plus grand exposant donne le $PPCM$ (plus petit commun multiple), pas le $PGCD$.
Pour le $PGCD$, on retient le plus petit exposant.[/reponse]
[reponse motif="On retient les facteurs premiers communs aux deux décompositions sans tenir compte des exposants, puis on les multiplie."]Non.
Il ne faut pas oublier les exposants !
Ici, $2$ apparaît avec l'exposant $2$ dans les deux décompositions : on retient $2^2 = 4$, pas seulement $2$.[/reponse]
[reponse motif="On retient tous les facteurs premiers présents dans au moins une des deux décompositions, avec leur plus grand exposant, puis on les multiplie."]Non.
Cette méthode donne le $PPCM$ (plus petit commun multiple), pas le $PGCD$.
Pour le $PGCD$, on ne retient que les facteurs communs aux deux décompositions, avec le plus petit exposant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer le $PGCD$, on identifie les facteurs premiers présents dans les deux décompositions, et on retient chacun avec le plus petit de ses exposants.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On a $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.
Les facteurs premiers communs sont $2^2$ et $3$.

Calculez $PGCD(60 ; 84) = $ [[pgcd]].
[input id="pgcd" attendu="12"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$PGCD(60 ; 84) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.
La fleuriste peut donc réaliser au maximum 12 bouquets.[/reponse]
[reponse motif="4"]Vous avez calculé $2^2 = 4$, mais il faut aussi multiplier par le facteur $3$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Vous avez trouvé la contribution de $3$, mais il faut aussi multiplier par $2^2 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les facteurs communs sont $2^2$ et $3^1$. Multipliez-les pour obtenir le PGCD.[/reponse]
[aide essai="2"]Multiplier les facteurs communs : $2^2 \times 3 = ?$[/aide]
[/input]
[solution]$PGCD(60 ; 84) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.[/solution]
[/etape]

[etape]
La fleuriste peut donc réaliser $12$ bouquets. Quelle est la composition de chaque bouquet ?
[qcm]
[option correct="true"]$5$ roses et $7$ tulipes[/option]
[option]$12$ roses et $12$ tulipes[/option]
[option]$7$ roses et $5$ tulipes[/option]
[option]$5$ roses et $84$ tulipes[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Chaque bouquet contient $60 \div 12 = 5$ roses et $84 \div 12 = 7$ tulipes.
Vérification : $12 \times 5 = 60$ roses et $12 \times 7 = 84$ tulipes, c'est bien le compte[/reponse]
[reponse motif="$12$ roses et $12$ tulipes"]Non.
Le nombre $12$ est le nombre de bouquets, pas la quantité de fleurs dans chaque bouquet.
Pour trouver la composition, il faut diviser chaque quantité par $12$ : $60 \div 12 = ?$ et $84 \div 12 = ?$[/reponse]
[reponse motif="$7$ roses et $5$ tulipes"]Non.
Attention à ne pas inverser les fleurs.
Il y a $60$ roses et $84$ tulipes : recalculer $60 \div 12$ et $84 \div 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver la composition de chaque bouquet, on divise chaque quantité par le PGCD :
$60 \div 12 = ?$ roses et $84 \div 12 = ?$ tulipes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : PGCD et fractions irréductibles

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $PGCD(15 ; 35) = PGCD(35 ; 15)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'ordre des deux nombres n'a pas d'importance : les diviseurs communs à $15$ et $35$ sont les mêmes que ceux de $35$ et $15$.
On vérifie : $15 = 3 \times 5$ et $35 = 5 \times 7$, le seul facteur commun est $5$.
Donc $PGCD(15 ; 35) = PGCD(35 ; 15) = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de croire que l'ordre des arguments du PGCD a une importance — le PGCD est une opération symétrique.
L'ordre des deux nombres n'a pas d'importance : les diviseurs communs à $15$ et $35$ sont les mêmes que ceux de $35$ et $15$.
Donc $PGCD(15 ; 35) = PGCD(35 ; 15) = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le PGCD est symétrique : l'ordre des deux nombres n'a pas d'importance. On vérifie : $15 = 3 \times 5$ et $35 = 5 \times 7$, donc $PGCD(15 ; 35) = PGCD(35 ; 15) = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $PGCD(24 ; 36) = 8$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On décompose : $24 = 2^3 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$.
Les facteurs communs sont $2$ et $3$. Pour chaque facteur, on retient le plus petit exposant :
— pour $2$ : les exposants sont $3$ et $2$, on retient $2^2$ ;
— pour $3$ : les exposants sont $1$ et $2$, on retient $3^1 = 3$.
Donc $PGCD(24 ; 36) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$, et non $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de prendre $8$ car $24 = 8 \times 3$, en oubliant de vérifier que $8$ divise aussi $36$ — or $36 = 8 \times 4 + 4$, donc $8$ ne divise pas $36$.
On décompose : $24 = 2^3 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$.
Pour chaque facteur commun, on retient le plus petit exposant.
Donc $PGCD(24 ; 36) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$, et non $8$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. En décomposant : $24 = 2^3 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$. On retient les plus petits exposants : $PGCD(24 ; 36) = 2^2 \times 3 = 12$, pas $8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fraction $\dfrac{35}{56}$ est irréductible.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On décompose : $35 = 5 \times 7$ et $56 = 2^3 \times 7$.
Le facteur commun est $7$, donc $PGCD(35 ; 56) = 7 \neq 1$.
La fraction n'est donc pas irréductible : $\dfrac{35}{56} = \dfrac{35 \div 7}{56 \div 7} = \dfrac{5}{8}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de ne pas reconnaître $7$ comme facteur commun car $35$ et $56$ ne semblent pas avoir de lien évident.
On décompose : $35 = 5 \times 7$ et $56 = 2^3 \times 7$.
Le facteur $7$ est commun aux deux, donc $PGCD(35 ; 56) = 7 \neq 1$.
La fraction se simplifie : $\dfrac{35}{56} = \dfrac{35 \div 7}{56 \div 7} = \dfrac{5}{8}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On décompose : $35 = 5 \times 7$ et $56 = 2^3 \times 7$. Comme $PGCD(35 ; 56) = 7 \neq 1$, la fraction n'est pas irréductible : $\dfrac{35}{56} = \dfrac{5}{8}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $PGCD(a ; b) = a$, alors $a$ divise $b$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le PGCD de $a$ et $b$ divise toujours les deux nombres.
Si $PGCD(a ; b) = a$, cela signifie en particulier que $a$ divise $b$.
Exemple : $PGCD(4 ; 12) = 4$, et effectivement $4$ divise $12$ car $12 = 4 \times 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier que le PGCD divise toujours les deux nombres : si $PGCD(a ; b) = a$, alors $a$ divise $a$ (trivial) et $a$ divise $b$.
Le PGCD de $a$ et $b$ divise toujours les deux nombres.
Exemple : $PGCD(3 ; 15) = 3$, et $3$ divise bien $15$ car $15 = 3 \times 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition, le PGCD de $a$ et $b$ divise les deux nombres. Si $PGCD(a ; b) = a$, alors $a$ divise $b$. Exemple : $PGCD(4 ; 12) = 4$ et $4 | 12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour simplifier $\dfrac{60}{90}$, on divise par $5$ et on obtient $\dfrac{12}{18}$, qui est irréductible.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Diviser par $5$ simplifie bien la fraction, mais $\dfrac{12}{18}$ n'est pas irréductible.
En effet, $12 = 2^2 \times 3$ et $18 = 2 \times 3^2$, donc $PGCD(12 ; 18) = 6 \neq 1$ : on peut encore simplifier.
Pour obtenir une fraction irréductible en une seule étape, il faut diviser par le PGCD.
Ici $PGCD(60 ; 90) = 30$, donc $\dfrac{60}{90} = \dfrac{60 \div 30}{90 \div 30} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de s'arrêter à la première simplification sans vérifier que la fraction obtenue est bien irréductible.
Diviser par $5$ simplifie bien la fraction, mais $\dfrac{12}{18}$ n'est pas irréductible.
En effet, $PGCD(12 ; 18) = 6 \neq 1$ : on peut encore simplifier.
Ici $PGCD(60 ; 90) = 30$, donc $\dfrac{60}{90} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Diviser par $5$ ne suffit pas : $\dfrac{12}{18}$ n'est pas irréductible car $PGCD(12 ; 18) = 6$. Il faut diviser par $PGCD(60 ; 90) = 30$ pour obtenir $\dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre eux.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les seuls diviseurs d'un nombre premier $p$ sont $1$ et $p$.
Si $q$ est un autre nombre premier différent de $p$, alors $p$ ne divise pas $q$ et $q$ ne divise pas $p$.
Leur seul diviseur commun est donc $1$ : ils sont premiers entre eux.
Exemple : $PGCD(7 ; 13) = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre « nombre premier » (deux diviseurs : $1$ et lui-même) avec « nombres premiers entre eux » (PGCD égal à $1$) — deux nombres premiers distincts sont bien premiers entre eux.
Les seuls diviseurs d'un nombre premier $p$ sont $1$ et $p$.
Si $q$ est un autre nombre premier différent de $p$, leur seul diviseur commun est $1$.
Exemple : $PGCD(7 ; 13) = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les seuls diviseurs d'un nombre premier $p$ sont $1$ et $p$. Deux nombres premiers distincts $p$ et $q$ n'ont donc que $1$ comme diviseur commun : $PGCD(p ; q) = 1$.
[/solution]
[/etape]

PGCD – Décompte de carreaux (Brevet Besançon 2005)

(Brevet Besançon 2005)

Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au-dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
1. Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur.
2. Combien faudra-t-il alors de carreaux ?

Corrigé

Les décompositions en produit de facteurs premiers de 135 et 210 sont :

$210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$
$135 = 3^3 \times 5$

En recherchant les facteurs communs on trouve :
$\text{PGCD}(210, 135) = 3 \times 5 = 15$
1. Comme on souhaite mettre un nombre entier de carreaux, on cherche à ce que la taille du côté de celui-ci soit un diviseur de la largeur mais aussi la hauteur du mur. Comme on cherche également des carreaux de plus grand côté possible cela revient à chercher le PGCD des dimensions du mur qui est 15 cm comme nous avons pu le calculer dans la première question.
2. Il faudra alors $\dfrac{210}{15} \times \dfrac{135}{15} = 14 \times 9 = 126$ carreaux.

PGCD : Simplification d’une fraction

Décomposer les entiers 180 et 252 en produits de facteurs premiers.
En déduire le PGCD de 180 et 252.
Simplifier la fraction $ A=\dfrac{180}{252} $

Corrigé

$ 180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5 $

$ 252 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3^2 \times 7 $
Le PGCD s'obtient en sélectionnant les facteurs communs aux deux décompositions (avec les plus petits exposants) ; par conséquent : $ PGCD(180, 252) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 $
$ A $ se simplifie donc par $ 36 $ :

$ A=\dfrac{180}{252}=\dfrac{36\times 5}{36\times 7}=\dfrac{5}{7} $ — fraction irréductible.