Vrai/Faux : Permutations et arrangements

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les permutations et les arrangements, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le nombre de permutations d'un ensemble à $6$ éléments est $6! = 720$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une permutation est un classement (ordre) de tous les éléments de l'ensemble.
Pour un ensemble à $n$ éléments, il y a $n!$ permutations, soit ici $6! = 720$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : ranger $n$ objets dans un ordre revient à choisir le premier (n possibilités), puis le second (n-1), etc.
On obtient $n \times (n-1) \times \dots \times 1 = n!$, soit $6! = 720$ permutations.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le nombre de permutations d'un ensemble à $6$ éléments est $6! = 720$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une course oppose $10$ athlètes. Le podium comprend les trois premiers, dans l'ordre.

Affirmation : Le nombre de podiums possibles est $\binom{10}{3} = 120$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Sur un podium, l'ordre compte (or, argent, bronze) : il s'agit d'un arrangement, pas d'une combinaison.
Le nombre de podiums est $A_{10}^{3} = 10 \times 9 \times 8 = 720$. La formule $\binom{10}{3} = 120$ ne distingue pas l'ordre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre arrangement et combinaison. Sur un podium, l'or, l'argent et le bronze sont des places distinctes : l'ordre est essentiel.
On compte donc des arrangements : $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$ podiums.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'ordre compte sur le podium : on obtient $A_{10}^3 = 720$ et non $\binom{10}{3} = 120$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout entier $n \geqslant 1$ et tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$, on a $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est la formule des arrangements : $A_n^k = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La formule des arrangements compte les $k$-listes d'éléments distincts d'un ensemble à $n$ éléments : $A_n^k = n(n-1)\dots(n-k+1)$.
En multipliant le numérateur et le dénominateur par $(n-k)!$, on obtient bien $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la formule classique des arrangements de $k$ éléments parmi $n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On dispose de $5$ livres distincts à ranger sur une étagère.

Affirmation : Le nombre de rangements possibles est $5^5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme les livres sont distincts et qu'on les utilise tous, il s'agit d'une permutation de $5$ éléments.
Le nombre de rangements est $5! = 120$, et non $5^5 = 3\,125$ (qui correspondrait à un tirage avec remise).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, on n'utilise pas plusieurs fois le même livre : c'est un rangement sans remise.
Le nombre de choix décroît : $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120$ rangements (formule de la permutation).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le nombre de rangements est $5! = 120$ (permutation), et non $5^5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $A_8^3 = 8 \times 7 \times 6$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le nombre $A_n^k$ est le produit de $k$ entiers consécutifs descendant de $n$.
Pour $n = 8$ et $k = 3$ : $A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $A_n^k$ compte les choix successifs sans remise de $k$ éléments parmi $n$.
On commence par $n$, puis $n-1$, etc., et on multiplie $k$ termes au total. Pour $n = 8$, $k = 3$ : $A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère le mot MATHS, formé de $5$ lettres toutes distinctes.

Affirmation : Le nombre d'anagrammes (mots formés en réordonnant les lettres) du mot MATHS est $5! = 120$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Comme les $5$ lettres sont distinctes, chaque ordre différent donne un anagramme différent : il y a $5! = 120$ anagrammes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : compter les anagrammes d'un mot, c'est compter les permutations de ses lettres.
Toutes les lettres de MATHS étant distinctes, on obtient $5! = 120$ anagrammes (sans ajustement).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $5$ lettres distinctes, on obtient $5! = 120$ anagrammes.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : p-listes et k-uplets

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les p-listes (ou k-uplets), indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $E = \{a, b, c, d\}$ un ensemble à $4$ éléments.

Affirmation : Le nombre de $3$-listes (ou triplets) d'éléments de $E$, avec répétitions autorisées, est $4^3 = 64$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une $p$-liste d'un ensemble à $n$ éléments est un $p$-uplet où chaque coordonnée est choisie librement parmi $n$ éléments.
Le nombre total est $n^p = 4^3 = 64$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour une $p$-liste avec répétition, chaque position est choisie indépendamment parmi $n$ valeurs.
On applique le principe multiplicatif : $4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le nombre de $p$-listes d'un ensemble à $n$ éléments est $n^p$, ici $4^3 = 64$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On tire successivement $3$ boules d'une urne contenant $7$ boules numérotées de $1$ à $7$, sans remise.

Affirmation : Le nombre de tirages possibles est $7^3 = 343$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Sans remise, les boules tirées sont distinctes. À chaque tirage le nombre de choix diminue : il y a $7 \times 6 \times 5 = 210$ tirages.
La formule $7^3$ correspond au cas avec remise.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre tirage avec et sans remise. Sans remise, une boule déjà tirée n'est plus disponible.
Le nombre de choix décroît à chaque étape : $7 \times 6 \times 5 = 210$ tirages possibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Sans remise, on obtient $7 \times 6 \times 5 = 210$ tirages, et non $7^3 = 343$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un mot de passe est composé de $5$ caractères choisis parmi les $26$ lettres de l'alphabet, avec répétitions autorisées et l'ordre comptant.

Affirmation : Le nombre de mots de passe est $26^5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Chaque position est choisie indépendamment parmi $26$ lettres : il s'agit d'une $5$-liste de $\{a,\dots,z\}$.
Par le principe multiplicatif : $26 \times 26 \times 26 \times 26 \times 26 = 26^5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Comme les répétitions sont autorisées, chaque position est libre parmi $26$ valeurs, indépendamment des autres.
Par le principe multiplicatif appliqué $5$ fois : $26^5$ mots de passe.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le nombre de $5$-listes de $\{a,\dots,z\}$ est $26^5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $E$ un ensemble à $5$ éléments.

Affirmation : Le nombre de couples $(x,y)$ avec $x \in E$, $y \in E$ et $x \neq y$ est $5^2 = 25$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La condition $x \neq y$ exclut les couples diagonaux. Une fois $x$ choisi (5 possibilités), $y$ est choisi parmi les $4$ restants.
On obtient $5 \times 4 = 20$ couples, et non $25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, $5^2 = 25$ compte tous les couples, y compris ceux où $x = y$.
La contrainte $x \neq y$ retire les $5$ couples diagonaux : il reste $5 \times 4 = 20$ couples (équivalent à un tirage ordonné sans remise).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec la contrainte $x \neq y$, on obtient $5 \times 4 = 20$ couples.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'ensemble $E = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Affirmation : Le nombre de $4$-uplets d'éléments de $E$ dont toutes les coordonnées sont distinctes est $9 \times 8 \times 7 \times 6$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Quand les coordonnées doivent être distinctes, le nombre de choix décroît à chaque position.
On obtient $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3\,024$ uplets.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La condition « coordonnées distinctes » modélise un tirage ordonné sans remise.
À chaque position, le nombre de valeurs possibles diminue de $1$ : $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3\,024$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour des coordonnées distinctes, on obtient $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3\,024$ uplets.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une voiture porte une plaque de la forme LL-NNN-LL, soit deux lettres, trois chiffres puis deux lettres (les répétitions sont autorisées). On dispose de $26$ lettres et de $10$ chiffres.

Affirmation : Le nombre de plaques possibles est $26^4 \times 10^3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Il y a $26$ choix pour chacune des $4$ lettres et $10$ choix pour chacun des $3$ chiffres.
Par le principe multiplicatif : $26^4 \times 10^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de mélanger les positions. La plaque comporte au total $4$ lettres et $3$ chiffres, indépendamment de leur disposition.
Par le principe multiplicatif : $\underbrace{26 \times 26}_{\text{début}} \times \underbrace{10 \times 10 \times 10}_{\text{milieu}} \times \underbrace{26 \times 26}_{\text{fin}} = 26^4 \times 10^3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On obtient $26^4 \times 10^3$ plaques différentes.
[/solution]
[/etape]

QCM : Arrangements

[enonce]
Ce QCM porte sur les arrangements : tirages ordonnés sans répétition. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Calculer $A_7^3$.
[qcm]
[option correct="true"]$210$[/option]
[option]$840$[/option]
[option]$343$[/option]
[option]$35$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$A_7^3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$. On part de $7$ et on multiplie par les entiers décroissants jusqu'à obtenir $3$ facteurs.[/reponse]
[reponse motif="$840$"]Non.
$840 = \dfrac{7!}{3!}$. La formule correcte est $A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!}$, donc on divise par $(7-3)! = 4!$, pas par $3!$.[/reponse]
[reponse motif="$343$"]Non.
$343 = 7^3$ correspondrait à des choix avec répétition. Or l'arrangement impose des éléments tous distincts.[/reponse]
[reponse motif="$35$"]Non.
$35 = \binom{7}{3}$ correspond au nombre de combinaisons (sans ordre). Pour un arrangement, l'ordre compte : il faut multiplier par $3! = 6$ pour passer aux arrangements.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$A_n^p$ est le produit de $p$ entiers consécutifs en partant de $n$ et en descendant. Pour $A_7^3$ : trois facteurs $7, 6, 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$10$ athlètes participent à une finale. Le podium attribue une médaille d'or, une d'argent et une de bronze. Combien de podiums différents sont possibles ?
[qcm]
[option]$120$[/option]
[option]$1\,000$[/option]
[option correct="true"]$720$[/option]
[option]$30$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On choisit $3$ athlètes parmi $10$ et l'ordre d'arrivée compte (les médailles sont distinctes). C'est un arrangement : $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$.[/reponse]
[reponse motif="$120$"]Non.
$120 = \binom{10}{3}$ correspondrait à un trio sans ordre. Or les places (or, argent, bronze) sont distinctes, donc l'ordre compte.[/reponse]
[reponse motif="$1\,000$"]Non.
$1\,000 = 10^3$ correspondrait à un tirage avec répétition (un même athlète pourrait gagner les trois médailles). Ce n'est pas le cas dans une course.[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30 = 10 \times 3$ correspond à une addition de possibilités. Trois choix successifs et indépendants se multiplient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tirage ordonné de $3$ éléments parmi $10$ sans répétition : $A_{10}^3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien de « mots » de $4$ lettres distinctes (toutes différentes) peut-on former à partir des $26$ lettres de l'alphabet (un mot étant ici une suite de lettres ayant ou non un sens) ?
[qcm]
[option]$456\,976$[/option]
[option]$14\,950$[/option]
[option correct="true"]$358\,800$[/option]
[option]$104$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On range $4$ lettres distinctes prises parmi $26$, en tenant compte de l'ordre. C'est un arrangement : $A_{26}^4 = 26 \times 25 \times 24 \times 23 = 358\,800$.[/reponse]
[reponse motif="$456\,976$"]Non.
$456\,976 = 26^4$ correspond aux mots avec répétition de lettres possible. Or l'énoncé impose des lettres toutes distinctes.[/reponse]
[reponse motif="$14\,950$"]Non.
$14\,950 = \binom{26}{4}$ correspond à un choix de $4$ lettres sans tenir compte de l'ordre. Or « ROSE » et « ROES » sont deux mots différents : l'ordre compte.[/reponse]
[reponse motif="$104$"]Non.
$104 = 26 \times 4$ correspond à une addition. Quatre choix successifs avec des nombres de possibilités décroissants se multiplient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lettres distinctes (sans répétition) et ordre pris en compte (mot) : $A_{26}^4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Combien de nombres à $3$ chiffres formés de chiffres tous distincts peut-on écrire à partir de $E$ ?
[qcm]
[option]$729$[/option]
[option correct="true"]$504$[/option]
[option]$84$[/option]
[option]$27$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On choisit $3$ chiffres parmi $9$, sans répétition et avec l'ordre des positions (centaine, dizaine, unité). C'est un arrangement : $A_9^3 = 9 \times 8 \times 7 = 504$.[/reponse]
[reponse motif="$729$"]Non.
$729 = 9^3$ correspond aux nombres avec répétition possible (par exemple $111$ ou $232$). Or l'énoncé exige des chiffres tous distincts.[/reponse]
[reponse motif="$84$"]Non.
$84 = \binom{9}{3}$ : on a oublié que les positions (centaine, dizaine, unité) sont distinctes. Le nombre $123$ et le nombre $321$ sont différents.[/reponse]
[reponse motif="$27$"]Non.
$27 = 9 \times 3$ correspond à une addition. Trois choix successifs et décroissants se multiplient : $9 \times 8 \times 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trois positions distinctes, $9$ chiffres possibles, sans répétition : $A_9^3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels avec $0 \leqslant p \leqslant n$. Le nombre d'arrangements $A_n^p$ est égal à :
[qcm]
[option]$\dfrac{n!}{p!}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{n!}{(n-p)!}$[/option]
[option]$\dfrac{n!}{p! \times (n-p)!}$[/option]
[option]$n^p$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$A_n^p = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-p+1)$. En multipliant numérateur et dénominateur par $(n-p)!$, on obtient $A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{n!}{p!}$"]Non.
On a divisé par $p!$ au lieu de $(n-p)!$. La formule simplifie le « bas » de la suite descendante, c'est-à-dire $(n-p)(n-p-1)\cdots 1 = (n-p)!$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{n!}{p! \times (n-p)!}$"]Non.
Cette formule est celle de $\binom{n}{p}$ (combinaisons). Pour passer des arrangements aux combinaisons, on divise en plus par $p!$ pour ne pas tenir compte de l'ordre.[/reponse]
[reponse motif="$n^p$"]Non.
$n^p$ correspond aux $p$-listes (k-uplets avec répétition possible). Pour les arrangements, on impose que les éléments soient distincts, donc le résultat est inférieur à $n^p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Partir de $A_n^p = n(n-1)\cdots(n-p+1)$ et factoriser pour faire apparaître $n!$ et $(n-p)!$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur une liste de lecture, on choisit $2$ chansons distinctes parmi $5$ chansons pour les écouter dans un ordre précis (la première sera jouée avant la seconde). Combien de programmes différents ?
[qcm]
[option]$10$[/option]
[option]$25$[/option]
[option correct="true"]$20$[/option]
[option]$120$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Choisir $2$ chansons parmi $5$ avec un ordre précis et sans répétition : $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10 = \binom{5}{2}$ correspond à une paire sans ordre. Or l'énoncé précise que la première sera jouée avant la seconde : l'ordre compte.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25 = 5^2$ correspondrait à un tirage avec répétition (la même chanson jouée deux fois). Or les deux chansons sont distinctes.[/reponse]
[reponse motif="$120$"]Non.
$120 = 5!$ correspond au nombre de manières d'ordonner les $5$ chansons en entier. Ici, on n'en sélectionne que $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$2$ choix ordonnés parmi $5$ sans répétition : $A_5^2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Dénombrement en Python

Compléter le programme Python ci-dessous de telle sorte que la fonction factorielle retourne $ n! $ où $ n $ désigne un entier naturel passé en argument.
```
def factorielle(n) :
   f = ...
   for i in range(...) :
      f = ...
   return ...
```
Sur le modèle de la question précédente, écrire une fonction arrangement qui prend en arguments deux entiers naturels $ n $ et $ p $ et qui retourne le nombre de $ p $-uplets formés d'éléments distincts d'un ensemble à $ n $ éléments.
Écrire une fonction Python qui prend en arguments deux entiers naturels $ n $ et $ p $ et qui retourne le nombre de combinaisons $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} $.
On pourra faire appel aux fonctions définies dans les questions précédentes.

Corrigé

On utilise la définition de $ n! $ :

$ n! = n\times \left(n - 1\right)\times . . .\times 1 $

(voir Factorielle et permutations )

Le programme Python peut être complété de la façon suivante :
```
def factorielle(n) :
   f = 1
   for i in range(1, n+1) :
      f = f * i
   return f
```
Remarque : On rappelle que l'instruction for i in range(1, n+1) effectue une boucle pour i variant de 1 à n.
Le nombre de p-uplets formés de p éléments distincts d'un ensemble à $ n $ éléments est :

$ A_n^p = n \times (n - 1) \times \cdots \times (n - p+1) $

$ = \dfrac{ n! }{ (n - p) !} $

(voir p-uplets formés de p éléments distincts - Arrangements)

La fonction arrangement sera donc assez similaire à la fonction factorielle :
```
def arrangement (n, p) :
   a = 1
   for i in range(n-p+1, n+1) :
      a = a * i
   return a
```
En utilisant les fonctions définies dans les questions précédentes et le fait que :

$ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{p!\left(n - p\right)!} = \dfrac{ A_n^p }{ p! } $

(voir Combinaisons)

on obtient la fonction Python :
```
def combinaison (n, p) :
    return arrangement(n,p)//factorielle(p)
```

Remarque : L'opérateur // effectue la division entière alors que l'opérateur / (acceptable ici aussi) effectue la division décimale.