QCM : Moyennes et linéarité

[enonce]
Ce QCM porte sur la moyenne pondérée et la linéarité de la moyenne. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère la série statistique suivante :

Valeur	$2$	$3$	$5$	$7$	$10$
Effectif	$4$	$6$	$3$	$5$	$2$

Quelle est la moyenne de cette série ?
[qcm]
[option]$5{,}4$[/option]
[option correct="true"]$4{,}8$[/option]
[option]$19{,}2$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'effectif total est $N = 4 + 6 + 3 + 5 + 2 = 20$.
$\bar{x} = \dfrac{2 \times 4 + 3 \times 6 + 5 \times 3 + 7 \times 5 + 10 \times 2}{20} = \dfrac{8 + 18 + 15 + 35 + 20}{20} = \dfrac{96}{20} = 4{,}8$[/reponse]
[reponse motif="$5{,}4$"]Non.
$5{,}4 = \dfrac{2 + 3 + 5 + 7 + 10}{5}$. Ce calcul ignore les effectifs : chaque valeur n'apparaît pas une seule fois. Il faut calculer la moyenne pondérée par les effectifs.[/reponse]
[reponse motif="$19{,}2$"]Non.
$19{,}2 = \dfrac{96}{5}$. Le numérateur est correct, mais le dénominateur est le nombre de valeurs distinctes. Il faut diviser par l'effectif total $N$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3$ est la valeur qui a le plus grand effectif (le mode). Le mode et la moyenne sont deux indicateurs différents : ne pas les confondre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l'effectif total $N = 20$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un professeur a calculé une moyenne de $11{,}5$ à un contrôle. Pour harmoniser les notes, il décide d'ajouter $1{,}5$ point à chaque copie.
Quelle est la nouvelle moyenne ?
[qcm]
[option]$10$[/option]
[option]$1{,}5$[/option]
[option correct="true"]$13$[/option]
[option]$17{,}25$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
D'après la linéarité de la moyenne, si on ajoute la même constante à toutes les valeurs, la moyenne augmente d'autant :
$\bar{x}' = 11{,}5 + 1{,}5 = 13$[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10 = 11{,}5 - 1{,}5$. Attention au signe : le professeur ajoute des points, la moyenne augmente, elle ne diminue pas.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$"]Non.
$1{,}5$ est la valeur ajoutée à chaque copie, pas la nouvelle moyenne. Il faut additionner cette valeur à la moyenne initiale.[/reponse]
[reponse motif="$17{,}25$"]Non.
$17{,}25 = 11{,}5 \times 1{,}5$. On n'a pas multiplié les notes : on a ajouté une constante. La linéarité donne alors $\bar{x} + b$, pas $\bar{x} \times b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Ajouter une constante $b$ à toutes les valeurs augmente la moyenne de cette même constante $b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La moyenne des notes d'une classe à un contrôle sur $20$ est $\bar{x} = 12$. Le professeur convertit toutes les notes sur $10$ (il divise chaque note par $2$).
Quelle est la nouvelle moyenne ?
[qcm]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$10$[/option]
[option]$24$[/option]
[option]$12$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par linéarité de la moyenne, multiplier toutes les valeurs par $a = \dfrac{1}{2}$ multiplie la moyenne par $a$ :
$\bar{x}' = \dfrac{12}{2} = 6$[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10 = 12 - 2$. On ne soustrait pas $2$ : on divise par $2$. La linéarité avec $a = \dfrac{1}{2}$ donne $\bar{x}' = \dfrac{1}{2} \bar{x}$, pas $\bar{x} - 2$.[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24 = 12 \times 2$. Attention au sens : passer de $/20$ à $/10$ consiste à diviser les notes par $2$, pas à les multiplier.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
La moyenne change lorsqu'on modifie toutes les valeurs : ici chacune est divisée par $2$. La nouvelle moyenne ne peut pas rester identique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier toutes les valeurs par un facteur $a$ multiplie la moyenne par ce même facteur. Ici $a = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On a mesuré la durée (en minutes) consacrée aux devoirs par $20$ élèves et on a regroupé les données en classes :

Durée (min)	$[0\,;\,10[$	$[10\,;\,20[$	$[20\,;\,30[$	$[30\,;\,40[$
Effectif	$5$	$8$	$4$	$3$

Quelle est la valeur approchée de la moyenne ?
[qcm]
[option]$12{,}5$[/option]
[option]$20$[/option]
[option correct="true"]$17{,}5$[/option]
[option]$22{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On remplace chaque classe par son centre : $5$ ; $15$ ; $25$ ; $35$.
$\bar{x} \approx \dfrac{5 \times 5 + 15 \times 8 + 25 \times 4 + 35 \times 3}{20} = \dfrac{25 + 120 + 100 + 105}{20} = \dfrac{350}{20} = 17{,}5$ min[/reponse]
[reponse motif="$12{,}5$"]Non.
$12{,}5$ s'obtient en prenant les bornes inférieures des classes ($0$ ; $10$ ; $20$ ; $30$) au lieu des centres. Utiliser le centre de chaque classe.[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
$20 = \dfrac{5 + 15 + 25 + 35}{4}$ est la moyenne des centres sans tenir compte des effectifs. La moyenne est pondérée par les effectifs de chaque classe.[/reponse]
[reponse motif="$22{,}5$"]Non.
$22{,}5$ s'obtient en prenant les bornes supérieures des classes ($10$ ; $20$ ; $30$ ; $40$). Pour approcher la moyenne, on utilise le centre de chaque classe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une série regroupée en classes, on remplace chaque classe par son centre (moyenne des deux bornes), puis on calcule la moyenne pondérée par les effectifs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une classe de $25$ élèves a une moyenne de $12$ à un contrôle.
Quelle est la somme totale des notes de la classe ?
[qcm]
[option]$37$[/option]
[option]$25$[/option]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$300$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par définition de la moyenne, $\bar{x} = \dfrac{\text{somme des notes}}{N}$, donc la somme vaut $\bar{x} \times N$ :
$12 \times 25 = 300$[/reponse]
[reponse motif="$37$"]Non.
$37 = 12 + 25$. La moyenne et l'effectif ne s'additionnent pas. Repartir de la définition $\bar{x} = \dfrac{\text{somme}}{N}$ pour exprimer la somme en fonction de $\bar{x}$ et $N$.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25$ est l'effectif de la classe, pas la somme des notes. Combiner la moyenne et l'effectif à l'aide de la définition de la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ est la moyenne, c'est-à-dire la somme divisée par l'effectif. La somme totale est donc bien plus grande.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Partir de la définition : $\bar{x} = \dfrac{\text{somme des notes}}{N}$. Isoler la somme permet d'exprimer le résultat en fonction de la moyenne et de l'effectif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un magasin, la moyenne des prix d'un rayon est de $50$ €. Après une hausse uniforme de $8\%$ sur tous les articles, quelle est la nouvelle moyenne ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option]$58$[/option]
[option correct="true"]$54$[/option]
[option]$50$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Appliquer une hausse de $8\%$ revient à multiplier chaque prix par $1{,}08$. Par linéarité :
$\bar{x}' = 1{,}08 \times 50 = 54$ €[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4 = 8\%$ de $50$ : c'est la hausse moyenne, pas la nouvelle moyenne. Il faut ajouter cette hausse à la moyenne initiale.[/reponse]
[reponse motif="$58$"]Non.
$58 = 50 + 8$. Attention : $8$ est un pourcentage, pas un montant en euros. Il faut d'abord calculer $8\%$ de $50$, puis l'ajouter.[/reponse]
[reponse motif="$50$"]Non.
Appliquer une hausse uniforme modifie tous les prix, donc la moyenne change également. Utiliser la linéarité avec le coefficient multiplicatif $1{,}08$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une hausse de $8\%$ correspond à une multiplication par $1{,}08$. La nouvelle moyenne s'obtient en multipliant la moyenne initiale par ce coefficient.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Moyennes et moyennes pondérées

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les moyennes et les moyennes pondérées, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La somme des fréquences d'une série statistique est toujours égale à $1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Chaque fréquence vaut $f_i = \dfrac{n_i}{N}$ : leur somme vaut $\dfrac{n_1 + n_2 + \dots + n_p}{N} = \dfrac{N}{N} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention à ne pas confondre fréquence et effectif. La somme des effectifs vaut $N$ (l'effectif total), mais la somme des fréquences vaut toujours $1$ (ou $100\,\%$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition, $f_i = \dfrac{n_i}{N}$ donc $\sum f_i = \dfrac{\sum n_i}{N} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour la série de valeurs $3\,;\,5\,;\,7$, la moyenne vaut $5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le calcul donne $\dfrac{3 + 5 + 7}{3} = \dfrac{15}{3} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand les trois valeurs ont chacune un effectif de $1$, la moyenne est simplement la somme divisée par le nombre de valeurs : $\dfrac{3 + 5 + 7}{3} = 5$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La moyenne vaut $\dfrac{3 + 5 + 7}{3} = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la série où la valeur $4$ a un effectif de $2$ et la valeur $10$ a un effectif de $3$.

Affirmation : La moyenne de cette série vaut $7$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Il faut pondérer par les effectifs : $\bar{x} = \dfrac{2 \times 4 + 3 \times 10}{2 + 3} = \dfrac{38}{5} = 7{,}6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de calculer $\dfrac{4 + 10}{2} = 7$, ce qui revient à ignorer les effectifs.
Avec les effectifs : $\bar{x} = \dfrac{2 \times 4 + 3 \times 10}{5} = \dfrac{38}{5} = 7{,}6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La moyenne pondérée vaut $\dfrac{2 \times 4 + 3 \times 10}{5} = 7{,}6$, et non $7$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour une série regroupée en classes, le calcul utilisant les centres de classes donne la valeur exacte de la moyenne.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans une série regroupée en classes, on ne connaît plus les valeurs individuelles. Remplacer chaque classe par son centre donne seulement une valeur approchée de la moyenne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : lorsqu'on regroupe les données en classes, on perd la précision sur chaque valeur. Le centre de classe n'est qu'un représentant, donc la moyenne obtenue est approchée et non exacte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le calcul avec les centres de classes fournit une valeur approchée de la moyenne, jamais la valeur exacte.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'effectif cumulé croissant de la dernière valeur d'une série est égal à l'effectif total $N$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'ECC de la dernière valeur cumule tous les effectifs précédents, ce qui donne exactement $N$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Par définition, l'ECC d'une valeur est la somme de tous les effectifs des valeurs inférieures ou égales. Pour la dernière valeur, on cumule donc la totalité des effectifs : on retrouve $N$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'effectif cumulé croissant de la dernière valeur est toujours $N$.
[/solution]
[/etape]

Statistiques : Regroupement en classes

Le tableau ci-dessous (source INSEE) présente la répartition par âge de la population française métropolitaine au $ 1^\text{er} $ janvier 2018 (L'âge révolu est l'âge de la personne à son dernier anniversaire).

À cette date, la doyenne des français était âgée de 113 ans.

Âge révolu	Effectifs	Effectifs cumulés croissants
0	691 165	691 165
1	710 534	1 401 699
2	728 579	2 130 278
3	749 270	2 879 548
4	763 228	3 642 776
5	782 484	4 425 260
6	792 558	5 217 818
7	813 001	6 030 819
8	808 393	6 839 212
9	813 680	7 652 892
10	807 548	8 460 440
11	822 302	9 282 742
12	802 674	10 085 416
13	800 480	10 885 896
14	796 320	11 682 216
15	800 560	12 482 776
16	816 021	13 298 797
17	828 193	14 126 990
18	785 471	14 912 461
19	775 524	15 687 985
20	750 885	16 438 870
21	751 084	17 189 954
22	734 838	17 924 792
23	705 808	18 630 600
24	698 780	19 329 380
25	732 693	20 062 073
26	742 199	20 804 272
27	758 458	21 562 730
28	763 258	22 325 988
29	774 435	23 100 423
30	778 738	23 879 161
31	793 507	24 672 668
32	794 025	25 466 693
33	789 604	26 256 297
34	781 093	27 037 390

Âge révolu	Effectifs	Effectifs cumulés croissants
35	829 365	27 866 755
36	837 426	28 704 181
37	849 108	29 553 289
38	804 184	30 357 473
39	788 264	31 145 737
40	794 640	31 940 377
41	773 344	32 713 721
42	793 019	33 506 740
43	836 502	34 343 242
44	885 498	35 228 740
45	903 921	36 132 661
46	897 885	37 030 546
47	881 680	37 912 226
48	868 783	38 781 009
49	860 664	39 641 673
50	856 564	40 498 237
51	873 805	41 372 042
52	875 149	42 247 191
53	884 018	43 131 209
54	874 390	44 005 599
55	842 410	44 848 009
56	844 453	45 692 462
57	840 074	46 532 536
58	833 430	47 365 966
59	813 824	48 179 790
60	809 540	48 989 330
61	801 271	49 790 601
62	790 864	50 581 465
63	788 149	51 369 614
64	769 877	52 139 491
65	780 203	52 919 694
66	760 764	53 680 458
67	788 609	54 469 067
68	771 267	55 240 334
69	763 386	56 003 720

Âge révolu	Effectifs	Effectifs cumulés croissants
70	746 205	56 749 925
71	703 078	57 453 003
72	526 166	57 979 169
73	510 477	58 489 646
74	493 523	58 983 169
75	452 195	59 435 364
76	399 640	59 835 004
77	410 887	60 245 891
78	424 148	60 670 039
79	410 734	61 080 773
80	394 185	61 474 958
81	385 845	61 860 803
82	365 057	62 225 860
83	356 869	62 582 729
84	327 225	62 909 954
85	319 458	63 229 412
86	290 749	63 520 161
87	268 489	63 788 650
88	227 255	64 015 905
89	201 758	64 217 663
90	171 893	64 389 556
91	147 011	64 536 567
92	123 524	64 660 091
93	98 697	64 758 788
94	78 283	64 837 071
95	61 359	64 898 430
96	46 186	64 944 616
97	34 225	64 978 841
98	14 599	64 993 440
99	8 401	65 001 841
100	5 174	65 007 015
101	3 135	65 010 150
102	2 297	65 012 447
103	2 281	65 014 728
104	1 208	65 015 936
105 ou plus	2 160	65 018 096
Total	65 018 096

Tableau A

Partie A

Quel sont le mode et l'étendue de cette série statistique ?
Calculer le pourcentage de personnes mineures (c'est à dire ayant un âge révolu inférieur ou égal à 17 ans) en métropole au $ 1^\text{er} $ janvier 2018.
Déterminer la médiane ainsi que les premier et troisième quartiles de cette série.
Représenter cette série par un diagramme en boîte.

Partie B

Le tableau A comporte trop de lignes pour être facilement exploitable.

On décide donc de regrouper ces résultats en classes d'amplitude 10 ans (à l'exception de la dernière).

On obtient alors le tableau suivant :

Classes d'âge	[0 ; 10[	[10 ; 20[	[20 ; 30[	[30 ; 40[	[40 ; 50[	[50 ; 60[	[60 ; 70[	[70 ; 80[	[80 ; 90[	[90 ; 100[	[100 ; 114[
Effectifs	7 652 892	8 035 093	7 412 438	8 045 314	8 495 936	8 538 117	7 823 930	5 077 053	3 136 890	784 178	16 255
E.C.C	7 652 892	15 687 985	23 100 423	31 145 737	39 641 673	48 179 790	56 003 720	61 080 773	64 217 663	65 001 841	65 018 096

Tableau B

Expliquer comment, à partir du tableau A, on a obtenu le tableau B.
Calculer la moyenne de cette série en utilisant le tableau B.
Tracer le graphique des effectifs cumulés croissants en choisissant une échelle appropriée.
À l'aide du graphique de la question précédente, déterminer des valeurs approchées à l'unité près de la médiane et des premier et troisième quartiles.

Comparer ce résultat à celui de la question 3. de la partie A.

Corrigé

Partie A

Mode et étendue :
Le mode est la valeur du caractère dont l'effectif est le plus grand.
D'après le tableau A, l'effectif maximal est $ 903\,921 $, ce qui correspond à l'âge de 45 ans.

$\mathbf{\text{Mode} = 45 \text{ ans}}$

L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale du caractère.
Ici, la doyenne a 113 ans et la valeur minimale est 0 an.

$\mathbf{\text{Étendue} = 113 - 0 = 113 \text{ ans}}$
Pourcentage de personnes mineures :
Une personne est mineure si son âge révolu est inférieur ou égal à 17 ans.
D'après la colonne des effectifs cumulés croissants (ECC), l'effectif total des personnes ayant un âge inférieur ou égal à 17 ans est $ 14\,126\,990 $.
L'effectif total de la population est $ N = 65\,018\,096 $.
Le pourcentage $ p $ est donc :

$\mathbf{p = \dfrac{14\,126\,990}{65\,018\,096} \times 100 \approx 21{,}7\%}$
Médiane et quartiles :
L'effectif total est $ N = 65\,018\,096 $.

Médiane :
On cherche la plus petite valeur pour laquelle l'ECC est supérieur ou égal à $ \dfrac{N}{2} = 32\,509\,048 $.
D'après le tableau A :
- Pour l'âge 40, l'ECC est $ 31\,940\,377 $.
- Pour l'âge 41, l'ECC est $ 32\,713\,721 $.
La médiane est donc $ M = 41 $ ans.

Premier quartile :
On cherche la plus petite valeur pour laquelle l'ECC est supérieur ou égal à $ \dfrac{N}{4} = 16\,254\,524 $.
- Pour l'âge 19, l'ECC est $ 15\,687\,985 $.
- Pour l'âge 20, l'ECC est $ 16\,438\,870 $.
Le premier quartile est donc $ Q_1 = 20 $ ans.

Troisième quartile :
On cherche la plus petite valeur pour laquelle l'ECC est supérieur ou égal à $ \dfrac{3N}{4} = 48\,763\,572 $.
- Pour l'âge 59, l'ECC est $ 48\,179\,790 $.
- Pour l'âge 60, l'ECC est $ 48\,989\,330 $.
Le troisième quartile est donc $ Q_3 = 60 $ ans.
Diagramme en boîte :
Le diagramme en boîte est construit sur un axe gradué avec les valeurs suivantes :
- Minimum : $ 0 $
- Premier quartile $ Q_1 $ : $ 20 $
- Médiane $ M $ : $ 41 $
- Troisième quartile $ Q_3 $ : $ 60 $
- Maximum : $ 113 $

Partie B

Explication du regroupement :
Le tableau B est obtenu en regroupant les effectifs par classes d'âge.
Par exemple, pour la classe $ [0 ; 10[ $, on additionne les effectifs des âges révolus de 0 à 9 ans inclus.
L'effectif cumulé croissant à l'âge 9 ans dans le tableau A est $ 7\,652\,892 $, ce qui correspond bien à l'effectif de la classe $ [0 ; 10[ $.

Calcul de la moyenne :
Pour calculer la moyenne à partir d'un regroupement en classes, on utilise le centre de chaque classe.

Classes	[0;10[	[10;20[	[20;30[	[30;40[	[40;50[	[50;60[	[60;70[	[70;80[	[80;90[	[90;100[	[100;114[
Centres	5	15	25	35	45	55	65	75	85	95	107

La moyenne $ \bar{x} $ est :

$ \bar{x} = \dfrac{7\,652\,892 \times 5 + 8\,035\,093 \times 15 + \dots + 16\,255 \times 107}{65\,018\,096} = \dfrac{2\,709\,807\,620}{65\,018\,096} $

Après calcul :

$\mathbf{\bar{x} \approx 41{,}7 \text{ ans}}$

Graphique des ECC :
On place les points dont l'abscisse est la borne supérieure de chaque classe et l'ordonnée l'ECC correspondant :
$ (10 ; 7\,652\,892) $, $ (20 ; 15\,687\,985) $, $ (30 ; 23\,100\,423) $, etc.
On relie ces points par des segments pour obtenir le polygone des effectifs cumulés croissants.
Détermination graphique et comparaison :
Par lecture graphique sur le polygone des ECC :
- Pour la médiane ($ y = 32\,509\,048 $), on trouve $ M \approx 42 $.
- Pour $ Q_1 $ ($ y = 16\,254\,524 $), on trouve $ Q_1 \approx 21 $.
- Pour $ Q_3 $ ($ y = 48\,763\,572 $), on trouve $ Q_3 \approx 61 $.
Comparaison :
Les valeurs obtenues avec le regroupement en classes ($ Q_1 \approx 21 $, $ M \approx 42 $, $ Q_3 \approx 61 $) sont très proches des valeurs exactes calculées en partie A ($ Q_1 = 20 $, $ M = 41 $, $ Q_3 = 60 $).
Le regroupement en classes fournit donc une bonne approximation de la réalité statistique tout en simplifiant la lecture des données.

Pour réviser : Déterminer la médiane d'une série statistique

Courbe des fréquences cumulées croissantes

Les tailles des élèves d'une classe de Seconde ont été recensées dans le tableau ci-dessous :

Tailles (en cm)	[150 ; 155[	[155 ; 160[	[160 ; 165[	[165 ; 170[	[170 ; 175[	[175 ; 180[	[180 ; 185[
Effectifs	3	4	6	7	5	3	2

Donner l'étendue et la classe modale de cette série statistique.
Combien d'élèves mesurent entre 1,55m et 1,70m.
Construire le tableau des fréquences et des fréquences cumulées croissantes (en % et arrondies à 1% près).
Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes.
À l'aide du graphique précédent, déterminer la médiane et les premier et troisième quartile de cette série statistique.
Donner une approximation du pourcentage d'élèves mesurant entre 1,58m et 1,68m.

Corrigé

Donner l'étendue et la classe modale de cette série statistique. L'étendue d'une série est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite de cette série. Ici :

E = 185 - 150 = 35.

Lorsque toutes les classes ont la même amplitude, la classe modale correspond à la classe ayant le plus grand effectif. Dans cet exercice, la classe modale est donc [165 ; 170[ (effectif 7).
Combien d'élèves mesurent entre 1,55m et 1,70m. Le nombre d'élèves mesurant entre 1,55m et 1,70m s'obtient en additionnant les effectifs des classes [155 ; 160[, [160 ; 165[ et [165 ; 170[. 4+6+7=17.

Il y a 17 élèves qui mesurent entre 1,55m et 1,70m.

Construire le tableau des fréquences et des fréquences cumulées croissantes (en % et arrondies à 1% près). Les fréquences s'obtiennent en divisant les effectifs par l'effectif total et en multipliant ce résultat par 100 si on souhaite présenter ce résultat sous forme d'un pourcentage.

L'effectif total est :

N = 3 + 4 + 6 + 7 + 5 + 3 + 2 = 30

La fréquence de la classe [150 ; 155[ est donc $\dfrac{3}{30} = 0{,}1 = 10\%$. En procédant de façon similaire pour toutes les classes on obtient le tableau des fréquences suivant :

Tailles (en cm)	[150;155[	[155;160[	[160;165[	[165;170[	[170;175[	[175;180[	[180;185[
Effectifs	3	4	6	7	5	3	2
Fréquences (en $ \% $)	10	13	20	23	17	10	7

La fréquence cumulée croissante (fcc) associée à une valeur est la somme des fréquences des valeurs inférieures ou égales. Par exemple, la fcc associée à la classe [165;170[ correspond aux 20 premiers élèves sur 30, soit $\dfrac{20}{30} \times 100 \approx 67$ % (arrondi à 1 % près). On obtient alors le tableau ci-dessous :

Tailles (en cm)	[150;155[	[155;160[	[160;165[	[165;170[	[170;175[	[175;180[	[180;185[
Effectifs	3	4	6	7	5	3	2
Fréquences (en $ \% $)	10	13	20	23	17	10	7
FCC (en $ \% $)	10	23	43	67	83	93	100

Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes. Sur le tableau précédent on voit que :
- Il n'y a aucun élève qui mesure moins de 150 cm donc on place le point de coordonnées (150 ; 0)
- 10% des élèves mesurent moins de 155 cm donc on place le point de coordonnées (155 ; 10)
- 23% des élèves mesurent moins de 160 cm donc on place le point de coordonnées (160 ; 23)
- etc.
Pour des raisons de commodité, on gradue l'axe des abscisses en partant de 150.

On obtient le graphique suivant :
À l'aide du graphique précédent, déterminer la médiane et les premier et troisième quartile de cette série statistique. La médiane (Méd) correspond à la valeur dont la fréquence cumulée croissante est égale à 50% (puisque par définition de la médiane, 50% des élèves mesurent moins de la médiane).

Le premier quartile (Q1) correspond à la valeur dont la fréquence cumulée croissante est égale à 25%.

Le troisième quartile (Q3) correspond à la valeur dont la fréquence cumulée croissante est égale à 75%.

Le graphique ci-dessus donne approximativement :Méd = 166 ; Q1=160 ; Q3=172.
Donner une approximation du pourcentage d'élèves mesurant entre 1,58m et 1,68m.

À l'aide du graphique on voit que :
- environ 57% des élèves mesurent moins de 1,68m
- environ 18% des élèves mesurent moins de 1,58
Le pourcentage d'élèves mesurant entre 1,58m et 1,68m est donc d'environ 57% - 18% = 39%

Salaires : Regroupement en classes

On a relevé les salaires mensuels des 50 employés d'une entreprise A.

Les résultats en milliers d'euros sont présentés dans le tableau ci-dessous :

1,52	2,01	1,90	1,43	2,50	1,90	1,88	3,40	2,99	1,90
2,05	1,85	3,05	1,70	1,83	2,60	1,99	2,88	2,40	1,99
1,63	1,70	1,79	1,88	2,45	2,93	1,55	2,05	2,70	2,83
2,88	3,10	2,49	1,40	1,79	1,69	2,84	2,15	2,63	1,56
1,48	2,63	1,70	2,79	1,84	2,45	2,33	2,55	2,05	1,70

On souhaite comparer ces salaires à ceux des 32 employés d'une entreprise B, recensés dans le tableau suivant :

1,93	1,72	1,69	1,78	1,45	2,53	2,55	2,03
2,91	2,90	2,43	2,50	1,90	1,98	3,10	1,92
2,15	2,05	2,70	2,83	2,60	1,97	1,88	2,41
2,87	2,10	2,40	1,79	1,49	1,84	2,15	1,56

Calculer le salaire moyen dans chacune de ces deux entreprises.
On décide de regrouper ces données en classes de 0,5 milliers d'euros d'amplitude, en débutant par l'intervalle [1 ; 1,5[.

Construire le tableau des effectifs regroupés en classes pour ces deux entreprises.
Pour chacune des entreprises A et B, établir le tableau des fréquences (regroupées en classes) puis construire l'histogramme de ces deux séries sur le même graphique.
Utiliser les questions précédentes pour comparer les salaires des employés des entreprises A et B.

Corrigé

Calcul du salaire moyen dans chacune de ces deux entreprises

La moyenne $ \bar{x} $ est donnée par la somme de tous les salaires divisée par l'effectif total.
Entreprise A ($E_A$) :

$ \bar{x}_A = \dfrac{109{,}33}{50} = 2{,}1866 $

Le salaire moyen dans l'entreprise A est de 2,1866 milliers d'euros, soit 2186,60 €.
Entreprise B ($E_B$) :

$ \bar{x}_B = \dfrac{70{,}11}{32} \approx 2{,}1909 $

Le salaire moyen dans l'entreprise B est d'environ 2,191 milliers d'euros, soit 2191 €.

Tableau des effectifs regroupés en classes

Salaires (en k€)	[1 ; 1,5[	[1,5 ; 2[	[2 ; 2,5[	[2,5 ; 3[	[3 ; 3,5[	Total
Effectif $E_A$	3	21	10	13	3	50
ECC $E_A$	3	24	34	47	50
Effectif $E_B$	2	12	8	9	1	32
ECC $E_B$	2	14	22	31	32

Tableau des fréquences

La fréquence est calculée par : $ f = \dfrac{n_i}{N} \times 100 $.

Salaires (en k€)	[1 ; 1,5[	[1,5 ; 2[	[2 ; 2,5[	[2,5 ; 3[	[3 ; 3,5[
Fréquence $E_A$ (%)	6	42	20	26	6
Fréquence $E_B$ (%)	6,25	37,5	25	28,125	3,125

Histogramme des fréquences des salaires :

Comparaison des salaires
- Moyenne : Les deux entreprises présentent un salaire moyen très proche (écart de seulement 4,40 €).
- Classe modale : Elle est identique pour les deux entreprises : [1,5 ; 2[. C'est là que se concentre le plus d'employés (42 % pour $E_A$ et 37,5 % pour $E_B$).
- Médiane : Elle se situe dans la classe [2 ; 2,5[ pour les deux séries.
  - Médiane de $E_A$ : L'individu médian est le 25-ième. Par interpolation linéaire : $ 2 + \dfrac{25 - 24}{10} \times 0{,}5 = 2{,}05 $, soit 2050 €.
  - Médiane de $E_B$ : L'individu médian est le 16-ième. Par interpolation linéaire : $ 2 + \dfrac{16 - 14}{8} \times 0{,}5 = 2{,}125 $, soit 2125 €.
  L'écart entre les deux médianes est de 75 €.
- Étendue :
  - Pour $E_A$ : $ 3{,}40 - 1{,}40 = 2{,}00 $, soit 2000 €.
  - Pour $E_B$ : $ 3{,}10 - 1{,}45 = 1{,}65 $, soit 1650 €.
  La disparité est plus forte dans l'entreprise A.
En conclusion :
Les différences salariales sont peu significatives. L'évolution est homogène, bien que les salaires de l'entreprise B soient plus centrés autour de la moyenne. Enfin, l'entreprise A compte deux fois plus de hauts salaires (classe [3 ; 3,5[).