Deux points sur des côtés opposés d’un parallélogramme

$ ABCD $ est un parallélogramme de centre $ O $. On place :

le point $ M $ sur le côté $ [AB] $ avec $ AM = 2 $ cm ;
le point $ N $ sur le côté $ [CD] $ avec $ CN = 2 $ cm.

Parallélogramme ABCD de centre O, avec M sur le côté AB et N sur le côté CD tels que AM=CN

Justifier que les segments $ [AM] $ et $ [CN] $ sont parallèles et de même longueur.
En déduire la nature du quadrilatère $ AMCN $.
Justifier que les diagonales $ [AC] $ et $ [MN] $ du quadrilatère $ AMCN $ se coupent en leur milieu.
En déduire que le segment $ [MN] $ passe par le point $ O $, centre du parallélogramme $ ABCD $.

Corrigé

Le point $ M $ appartient au segment $ [AB] $, donc $ M $ est sur la droite $ (AB) $. De même, $ N $ appartient à $ [CD] $, donc $ N $ est sur la droite $ (CD) $.
$ ABCD $ est un parallélogramme : ses côtés opposés $ [AB] $ et $ [DC] $ sont donc parallèles, autrement dit $ (AB) $ et $ (CD) $ sont parallèles.
Comme $ (AM) \subset (AB) $ et $ (CN) \subset (CD) $, on en déduit que $ (AM) $ et $ (CN) $ sont parallèles.
De plus, par construction, $ AM = CN = 2 $ cm. Les segments $ [AM] $ et $ [CN] $ sont donc parallèles et de même longueur.
Dans le quadrilatère $ AMCN $, les côtés $ [AM] $ et $ [CN] $ sont opposés. On vient de montrer qu'ils sont parallèles et de même longueur.
On applique la propriété de reconnaissance :
« Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. »
On en déduit que $ AMCN $ est un parallélogramme.
Comme $ AMCN $ est un parallélogramme, ses diagonales $ [AC] $ et $ [MN] $ se coupent en leur milieu (propriété du parallélogramme).
Notons $ O' $ ce milieu commun : $ O' $ est à la fois le milieu de $ [AC] $ et le milieu de $ [MN] $.
Dans le parallélogramme $ ABCD $, les diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $ se coupent en leur milieu, qui est par définition le centre $ O $ du parallélogramme. En particulier, $ O $ est le milieu de $ [AC] $.
Or, d'après la question précédente, $ O' $ est aussi le milieu de $ [AC] $. Un segment n'a qu'un seul milieu, donc $ O' = O $.
On en conclut que $ O $ est le milieu de $ [MN] $ : le segment $ [MN] $ passe bien par le centre $ O $ du parallélogramme $ ABCD $.

Conclusion : dès que l'on prend deux points $ M $ et $ N $ sur deux côtés opposés d'un parallélogramme tels que $ AM = CN $, la droite $ (MN) $ passe automatiquement par le centre du parallélogramme. C'est une propriété qui sera revue dans le chapitre sur la symétrie centrale.

Construire un parallélogramme avec deux côtés et un angle

On souhaite construire le parallélogramme $ PLAN $ tel que :
$ PL = 5{,}5 $ cm, $ LA = 4 $ cm et $ \widehat{PLA} = 70° $.

Faire une figure à main levée du parallélogramme $ PLAN $ et y reporter les trois données.
Construire le parallélogramme $ PLAN $ en vraie grandeur. Décrire les étapes utilisées.
Tracer les deux diagonales $ [PA] $ et $ [LN] $. Elles se coupent en un point que l'on note $ O $.
Mesurer la longueur $ PA $ sur la figure, puis donner sans la mesurer la longueur $ PO $. Justifier.

Corrigé

Figure à main levée :
Étape 1. Tracer le segment $ [PL] $ de longueur $ 5{,}5 $ cm.

Étape 2. Au point $ L $, à l'aide du rapporteur, tracer une demi-droite formant un angle de $ 70° $ avec $ [LP] $. Sur cette demi-droite, placer le point $ A $ à $ 4 $ cm de $ L $.

Étape 3. Pour placer $ N $, on utilise la propriété « les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur » : donc $ NA = PL = 5{,}5 $ cm et $ PN = LA = 4 $ cm.
Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre $ A $ et de rayon $ 5{,}5 $ cm, puis un arc de cercle de centre $ P $ et de rayon $ 4 $ cm. Le point $ N $ est à l'intersection des deux arcs (du même côté que $ A $).

Étape 4. Tracer les segments $ [AN] $ et $ [NP] $.
Sur la figure tracée précisément, on mesure $ PA \approx 5{,}6 $ cm.

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu : $ O $ est donc le milieu de $ [PA] $. On en déduit :
$ PO = \dfrac{PA}{2} \approx \dfrac{5{,}6}{2} $ = $ 2{,}8 $ cm.

Cerf-volant : démontrer un parallélogramme avec les diagonales

Pour fabriquer un cerf-volant, Léo plante deux baguettes rigides $ [VN] $ et $ [ET] $ qui se croisent en un point $ I $. Il prend soin de placer le clou de fixation au point $ I $ de telle sorte que :

$ I $ soit le milieu de $ [VN] $, avec $ VI = IN = 24 $ cm ;
$ I $ soit le milieu de $ [ET] $, avec $ EI = IT = 18 $ cm.

Il tend ensuite la toile en reliant les quatre extrémités pour former le quadrilatère $ VENT $.

Cerf-volant VENT formé par deux baguettes VN et ET se coupant en leur milieu I

Démontrer que le quadrilatère $ VENT $ est un parallélogramme.
En déduire que les côtés $ [VE] $ et $ [TN] $ sont parallèles et de même longueur. Citer une autre paire de côtés ayant la même propriété.
Calculer la longueur totale des deux baguettes utilisées par Léo.

Corrigé

Les deux diagonales du quadrilatère $ VENT $ sont $ [VN] $ et $ [ET] $. D'après l'énoncé, le point $ I $ est à la fois le milieu de $ [VN] $ et le milieu de $ [ET] $.
Les diagonales se coupent donc en leur milieu commun $ I $. On applique la propriété de reconnaissance par les diagonales :
« Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. »
On en déduit que $ VENT $ est un parallélogramme de centre $ I $.
Comme $ VENT $ est un parallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et de même longueur.
- $ [VE] $ et $ [TN] $ sont des côtés opposés : ils sont donc parallèles et de même longueur.
- $ [VT] $ et $ [EN] $ sont également des côtés opposés : ils sont parallèles et de même longueur.
La longueur de la baguette $ [VN] $ est :
$ VN = VI + IN = 24 + 24 = 48 $ cm.

La longueur de la baguette $ [ET] $ est :
$ ET = EI + IT = 18 + 18 = 36 $ cm.

La longueur totale des deux baguettes est donc :
$ VN + ET = 48 + 36 $ = $ 84 $ cm.

Angles d’un store en parallélogramme

Le mécanisme d'un store-banne, vu de profil, forme un parallélogramme $ STAR $. Lorsque le store est partiellement déplié, on mesure $ \widehat{TSR} = 110° $.

Parallélogramme STAR vu de profil avec angle TSR de 110 degrés

Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{TAR} $. Justifier.
La somme des angles d'un quadrilatère vaut $ 360° $. En déduire la mesure de l'angle $ \widehat{STA} $.
Calculer enfin la mesure du quatrième angle $ \widehat{ARS} $. Justifier.

Corrigé

Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure. Les angles $ \widehat{TSR} $ et $ \widehat{TAR} $ sont opposés dans le parallélogramme $ STAR $, donc :
$ \widehat{TAR} = \widehat{TSR} = $ $\mathbf{110°}$.
La somme des quatre angles d'un quadrilatère vaut $ 360° $ :
$ \widehat{TSR} + \widehat{STA} + \widehat{TAR} + \widehat{ARS} = 360° $.
Comme les angles opposés sont égaux deux à deux, on peut écrire :
$ 2 \times \widehat{TSR} + 2 \times \widehat{STA} = 360° $
$ 2 \times 110 + 2 \times \widehat{STA} = 360 $
$ 2 \times \widehat{STA} = 360 - 220 $
$ 2 \times \widehat{STA} = 140 $
$ \widehat{STA} = $ $\mathbf{70°}$.
Les angles $ \widehat{STA} $ et $ \widehat{ARS} $ sont opposés dans le parallélogramme $ STAR $, donc :
$ \widehat{ARS} = \widehat{STA} = $ $\mathbf{70°}$.

Vérification : $ 110 + 70 + 110 + 70 = 360° $, ce qui est bien la somme des angles d'un quadrilatère.

Cadre en parallélogramme : côtés opposés et périmètre

Une artiste fabrique un cadre original en forme de parallélogramme $ MUSE $. Elle a déjà mesuré deux côtés consécutifs : $ MU = 32 $ cm et $ US = 18 $ cm.

Parallélogramme MUSE avec MU=32 cm et US=18 cm

Citer les côtés opposés du parallélogramme $ MUSE $.
Donner sans calcul les longueurs $ ES $ et $ ME $. Justifier la réponse.
Calculer le périmètre du cadre $ MUSE $.

Corrigé

Dans le parallélogramme $ MUSE $, les côtés opposés sont :
- $ [MU] $ et $ [ES] $ ;
- $ [US] $ et $ [ME] $.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. On a donc :
$ ES = MU = $ $ 32 $ cm et $ ME = US = $ $ 18 $ cm.
Le périmètre est la somme des longueurs des quatre côtés :
$ P = MU + US + SE + EM $
$ P = 32 + 18 + 32 + 18 $
$ P = $ $ 100 $ cm.

Le cadre mesure donc $ 1 $ m de tour.

Vrai/Faux : Calculs de longueurs et d’angles dans un parallélogramme

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, on s'intéresse à des calculs de longueurs ou d'angles dans un parallélogramme. Indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Dans le parallélogramme $ABCD$ où $AB = 8$ cm et $AD = 5$ cm, le périmètre vaut $13$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$13 = 8 + 5$ est seulement la somme de deux côtés consécutifs.
Le périmètre fait le tour complet de la figure : $P = 2 \times 8 + 2 \times 5 = 16 + 10 = 26$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien compter les quatre côtés. Le parallélogramme a deux côtés de longueur $8$ cm et deux côtés de longueur $5$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le périmètre vaut $2 \times 8 + 2 \times 5 = 26$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans le parallélogramme $EFGH$ de centre $O$ tel que $OE = 3$ cm, la diagonale $[EG]$ mesure $6$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$O$ est le milieu de $[EG]$, donc $EG = 2 \times OE = 2 \times 3 = 6$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le centre est le milieu des deux diagonales. La longueur totale d'une diagonale est donc le double de la distance du centre à l'un de ses sommets.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $O$ étant le milieu de $[EG]$, on a $EG = 2 \times OE = 6$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans le parallélogramme $KLMN$ avec $\widehat{NKL} = 73°$, l'angle $\widehat{KLM}$ mesure $73°$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\widehat{NKL}$ et $\widehat{KLM}$ partagent le côté $[KL]$ : ce sont des angles consécutifs, pas opposés.
Ils sont donc supplémentaires : $\widehat{KLM} = 180° - 73° = 107°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre angles opposés et angles consécutifs. Les angles consécutifs sont supplémentaires (somme $180°$), pas égaux.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les angles $\widehat{NKL}$ et $\widehat{KLM}$ sont consécutifs, donc supplémentaires : $\widehat{KLM} = 107°$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans le parallélogramme $RSTU$ avec $\widehat{RST} = 124°$, l'angle $\widehat{RUT}$ mesure aussi $124°$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\widehat{RST}$ est l'angle au sommet $S$ et $\widehat{RUT}$ est l'angle au sommet $U$. Ces deux sommets sont opposés dans $RSTU$.
Or, dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux : $\widehat{RUT} = \widehat{RST} = 124°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Identifie bien les sommets opposés : $R$ et $T$ d'un côté, $S$ et $U$ de l'autre. Les angles aux sommets opposés sont égaux.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les sommets $S$ et $U$ sont opposés, donc $\widehat{RUT} = \widehat{RST} = 124°$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans le parallélogramme $ABCD$ avec $AB = 6{,}4$ cm, le côté $[CD]$ mesure aussi $6{,}4$ cm et le côté $[DA]$ mesure forcément $6{,}4$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Il est vrai que $CD = AB = 6{,}4$ cm car $[AB]$ et $[CD]$ sont opposés.
En revanche, $[DA]$ et $[AB]$ sont consécutifs : leurs longueurs ne sont pas nécessairement égales (elles le seraient seulement si le parallélogramme était un losange).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de croire que tous les côtés d'un parallélogramme sont égaux. Seuls les côtés opposés le sont en général.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $CD = 6{,}4$ cm est correct (côté opposé à $[AB]$), mais rien n'oblige $DA$ à valoir $6{,}4$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un parallélogramme, si l'un des angles mesure $90°$, alors les trois autres mesurent aussi $90°$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Si l'un des angles est droit, l'angle opposé l'est aussi (angles opposés égaux). Et les deux autres angles sont supplémentaires de $90°$, donc valent eux aussi $90°$. Le parallélogramme est alors un rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : dans un parallélogramme, angles opposés égaux et angles consécutifs supplémentaires. Un seul angle droit suffit donc à imposer les quatre, et la figure devient un rectangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Un angle droit dans un parallélogramme entraîne que les quatre angles sont droits : on obtient un rectangle.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Parallélogrammes

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : propriétés des parallélogrammes, reconnaître un parallélogramme et parallélogrammes particuliers. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
$ABCD$ est un quadrilatère non croisé tel que $AB = DC = 5$ cm et $AD = BC = 3$ cm. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]$ABCD$ est nécessairement un rectangle.[/option]
[option]On ne peut rien dire : les diagonales ne sont pas mentionnées.[/option]
[option correct="true"]$ABCD$ est un parallélogramme.[/option]
[option]$ABCD$ est un losange.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur ($AB = DC$ et $AD = BC$). Cette propriété caractérise le parallélogramme.[/reponse]
[reponse motif="$ABCD$ est nécessairement un rectangle."]Non.
Pour conclure « rectangle », il faudrait quatre angles droits. Ici, seules les longueurs sont données.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire : les diagonales ne sont pas mentionnées."]Non.
Il existe plusieurs façons de reconnaître un parallélogramme. Les côtés opposés deux à deux égaux suffisent (à condition que le quadrilatère soit non croisé).[/reponse]
[reponse motif="$ABCD$ est un losange."]Non.
Un losange a quatre côtés de même longueur. Ici, $AB \neq AD$ ($5 \neq 3$), donc ce n'est pas un losange.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier la bonne propriété : « côtés opposés deux à deux de même longueur dans un quadrilatère non croisé ».[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les diagonales d'un quadrilatère $EFGH$ se coupent en un point $I$. On sait que $I$ est le milieu de $[EG]$ mais que $I$ n'est pas le milieu de $[FH]$. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]$EFGH$ est un parallélogramme.[/option]
[option correct="true"]$EFGH$ n'est pas un parallélogramme.[/option]
[option]$EFGH$ est un losange.[/option]
[option]On ne peut rien conclure.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu commun. Si $I$ n'est pas le milieu de $[FH]$, alors la propriété n'est pas vérifiée : $EFGH$ ne peut pas être un parallélogramme.[/reponse]
[reponse motif="$EFGH$ est un parallélogramme."]Non.
Pour qu'un quadrilatère soit un parallélogramme, il faut que les deux diagonales aient le même milieu. Une seule ne suffit pas.[/reponse]
[reponse motif="$EFGH$ est un losange."]Non.
Un losange est un parallélogramme particulier. Comme la condition de parallélogramme n'est pas satisfaite, le losange est encore moins possible.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien conclure."]Non.
On a au contraire une information très précise : la propriété fondamentale du parallélogramme est mise en défaut.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pense à la propriété : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu commun.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$ABCD$ est un parallélogramme avec $\widehat{BAD} = 90°$. Quelle est la nature de $ABCD$ ?
[qcm]
[option]Un parallélogramme quelconque.[/option]
[option]Un losange.[/option]
[option correct="true"]Un rectangle.[/option]
[option]Un carré.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Comme $ABCD$ est un parallélogramme, ses angles opposés sont égaux et ses angles consécutifs sont supplémentaires.
Donc $\widehat{BCD} = 90°$ (opposé) et $\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = 180° - 90° = 90°$.
Les quatre angles sont droits : $ABCD$ est un rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Un parallélogramme quelconque."]Non.
Un angle droit dans un parallélogramme entraîne que les quatre angles sont droits — c'est une figure plus particulière qu'un parallélogramme général.[/reponse]
[reponse motif="Un losange."]Non.
Un losange est caractérisé par l'égalité de ses quatre côtés, pas par un angle droit. L'information donnée est sur un angle, pas sur des longueurs.[/reponse]
[reponse motif="Un carré."]Non.
Un carré nécessite en plus que les côtés soient tous égaux. Ici, rien n'est dit sur les longueurs : on ne peut conclure qu'au rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise les propriétés du parallélogramme (angles opposés et angles consécutifs) à partir de l'angle donné, et regarde combien d'angles droits cela impose.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$EFGH$ est un parallélogramme dont les diagonales mesurent $EG = 8$ cm et $FH = 6$ cm. Quelle est la nature précise de $EFGH$ ?
[qcm]
[option]Un rectangle.[/option]
[option]Un losange.[/option]
[option]Un carré.[/option]
[option correct="true"]Un parallélogramme quelconque (ni rectangle, ni losange, ni carré).[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les diagonales sont de longueurs différentes ($8 \neq 6$) : $EFGH$ n'est donc pas un rectangle (ni carré). Aucune information ne dit qu'elles sont perpendiculaires : ce n'est pas un losange non plus. Il s'agit d'un parallélogramme quelconque.[/reponse]
[reponse motif="Un rectangle."]Non.
Un rectangle a des diagonales de même longueur. Ici, $EG \neq FH$.[/reponse]
[reponse motif="Un losange."]Non.
Un losange est caractérisé par des diagonales perpendiculaires. Or, rien n'indique cette propriété.[/reponse]
[reponse motif="Un carré."]Non.
Un carré a en plus des diagonales égales et perpendiculaires. Aucune des deux conditions n'est vérifiée ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifie ce que les longueurs de diagonales données permettent (ou non) d'affirmer pour chaque type de parallélogramme particulier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$IJKL$ est un quadrilatère non croisé tel que $[IJ]$ est parallèle à $[LK]$ et $IJ = LK = 7$ cm. Quelle conclusion est correcte ?
[qcm]
[option]On ne peut rien dire : il faut connaître les autres côtés.[/option]
[option correct="true"]$IJKL$ est un parallélogramme.[/option]
[option]$IJKL$ est un losange.[/option]
[option]$IJKL$ est un trapèze, mais pas un parallélogramme.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans un quadrilatère non croisé, deux côtés opposés parallèles et de même longueur suffisent pour conclure qu'il est un parallélogramme.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire : il faut connaître les autres côtés."]Non.
La propriété « deux côtés opposés parallèles et de même longueur » suffit, à elle seule, à caractériser un parallélogramme (dans un quadrilatère non croisé).[/reponse]
[reponse motif="$IJKL$ est un losange."]Non.
Pour un losange, il faudrait que les quatre côtés soient égaux. Or, on ne sait rien des deux autres côtés.[/reponse]
[reponse motif="$IJKL$ est un trapèze, mais pas un parallélogramme."]Non.
Un trapèze a une seule paire de côtés parallèles ; ici, l'égalité des longueurs en plus du parallélisme garantit la deuxième paire de côtés parallèles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La règle « non croisé + deux côtés opposés parallèles ET de même longueur $\Rightarrow$ parallélogramme » s'applique directement.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un parallélogramme $ABCD$ vérifie : $AB = BC$ et $\widehat{ABC} = 90°$. Quelle est sa nature précise ?
[qcm]
[option]Un rectangle non carré.[/option]
[option]Un losange non carré.[/option]
[option correct="true"]Un carré.[/option]
[option]Un parallélogramme quelconque.[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$\widehat{ABC} = 90°$ dans un parallélogramme entraîne que les quatre angles sont droits : c'est un rectangle.
$AB = BC$ entraîne que deux côtés consécutifs sont égaux ; comme les côtés opposés sont déjà égaux, les quatre côtés sont égaux : c'est un losange.
Rectangle + losange : c'est un carré.[/reponse]
[reponse motif="Un rectangle non carré."]Non.
L'égalité $AB = BC$ impose que tous les côtés soient égaux (puisqu'on est dans un parallélogramme). Donc ce n'est pas un rectangle non carré.[/reponse]
[reponse motif="Un losange non carré."]Non.
L'angle droit donné fait des quatre angles des angles droits. Or, un losange non carré n'a pas d'angle droit.[/reponse]
[reponse motif="Un parallélogramme quelconque."]Non.
Avec deux conditions supplémentaires (un angle droit ET deux côtés consécutifs égaux), on obtient une figure beaucoup plus particulière qu'un parallélogramme quelconque.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Combine les deux informations : un angle droit dans un parallélogramme $\Rightarrow$ rectangle ; deux côtés consécutifs égaux $\Rightarrow$ losange. Cumule les deux conclusions.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Angles du parallélogramme

[enonce]
Ce QCM porte sur les angles d'un parallélogramme : angles opposés, angles consécutifs et somme des angles. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
$ABCD$ est un parallélogramme avec $\widehat{BAD} = 70°$. Quelle est la mesure de $\widehat{BCD}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$70°$[/option]
[option]$110°$[/option]
[option]$20°$[/option]
[option]$140°$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure. $\widehat{BAD}$ et $\widehat{BCD}$ sont opposés, donc $\widehat{BCD} = 70°$.[/reponse]
[reponse motif="$110°$"]Non.
$110 = 180 - 70$ : c'est la mesure d'un angle consécutif à $\widehat{BAD}$ (comme $\widehat{ABC}$), pas de l'angle opposé.[/reponse]
[reponse motif="$20°$"]Non.
$20 = 90 - 70$ : la relation de complémentarité ne s'applique pas dans un parallélogramme quelconque.[/reponse]
[reponse motif="$140°$"]Non.
$140 = 2 \times 70$ : doubler l'angle ne correspond à aucune propriété du parallélogramme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\widehat{BAD}$ et $\widehat{BCD}$ sont des angles opposés du parallélogramme : ils ont la même mesure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$EFGH$ est un parallélogramme avec $\widehat{HEF} = 65°$. Quelle est la mesure de $\widehat{EFG}$ ?
[qcm]
[option]$65°$[/option]
[option]$25°$[/option]
[option]$130°$[/option]
[option correct="true"]$115°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut $180°$).
$\widehat{HEF}$ et $\widehat{EFG}$ sont consécutifs, donc $\widehat{EFG} = 180° - 65° = 115°$.[/reponse]
[reponse motif="$65°$"]Non.
$\widehat{HEF}$ et $\widehat{EFG}$ partagent le côté $[EF]$ : ce sont des angles consécutifs, pas opposés. Ils ne sont donc pas égaux en général.[/reponse]
[reponse motif="$25°$"]Non.
$25 = 90 - 65$ : la complémentarité ne s'applique pas ici. Cherche plutôt la relation entre deux angles consécutifs.[/reponse]
[reponse motif="$130°$"]Non.
$130 = 2 \times 65$ : doubler l'angle ne correspond à aucune propriété. Pense à la somme des angles consécutifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\widehat{HEF}$ et $\widehat{EFG}$ sont consécutifs : leur somme vaut $180°$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la somme des quatre angles d'un parallélogramme ?
[qcm]
[option]$180°$[/option]
[option]$270°$[/option]
[option correct="true"]$360°$[/option]
[option]$90°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme des angles d'un quadrilatère vaut toujours $360°$, et un parallélogramme est un quadrilatère.
Vérification : deux angles opposés mesurent $\alpha$, les deux autres $180° - \alpha$. Somme : $2\alpha + 2(180° - \alpha) = 360°$.[/reponse]
[reponse motif="$180°$"]Non.
$180°$ est la somme des angles d'un triangle, pas d'un quadrilatère.[/reponse]
[reponse motif="$270°$"]Non.
$270°$ ne correspond à aucune figure usuelle. Pense au quadrilatère.[/reponse]
[reponse motif="$90°$"]Non.
$90°$ est la mesure d'un seul angle droit. Ici, on cherche la somme des quatre angles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un parallélogramme est un quadrilatère. La somme de ses angles est la même que celle de tout quadrilatère.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$KLMN$ est un parallélogramme avec $\widehat{KLM} = 108°$. Quelle est la mesure de $\widehat{LMN}$ ?
[qcm]
[option]$108°$[/option]
[option correct="true"]$72°$[/option]
[option]$252°$[/option]
[option]$54°$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\widehat{KLM}$ et $\widehat{LMN}$ sont consécutifs : ils partagent le côté $[LM]$.
Donc $\widehat{LMN} = 180° - 108° = 72°$.[/reponse]
[reponse motif="$108°$"]Non.
$\widehat{LMN}$ n'est pas l'angle opposé à $\widehat{KLM}$ (l'opposé serait $\widehat{MNK}$). Il s'agit d'un angle consécutif.[/reponse]
[reponse motif="$252°$"]Non.
$252 = 360 - 108$ : la somme des angles est $360°$ pour les quatre angles, pas pour deux. De plus, un angle d'un quadrilatère convexe est inférieur à $180°$.[/reponse]
[reponse motif="$54°$"]Non.
$54 = 108 \div 2$ : prendre la moitié n'a pas de justification. Cherche la relation entre angles consécutifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repère d'abord si les deux angles sont opposés (égaux) ou consécutifs (somme $180°$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un parallélogramme $PQRS$, on a $\widehat{QPS} = 95°$. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{QRS}$ ?
[qcm]
[option]$85°$[/option]
[option]$190°$[/option]
[option]$265°$[/option]
[option correct="true"]$95°$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\widehat{QPS}$ et $\widehat{QRS}$ sont les angles aux sommets opposés $P$ et $R$. Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux : $\widehat{QRS} = 95°$.[/reponse]
[reponse motif="$85°$"]Non.
$85 = 180 - 95$ : c'est la mesure d'un angle consécutif (comme $\widehat{PQR}$), pas de l'angle opposé.[/reponse]
[reponse motif="$190°$"]Non.
$190 = 2 \times 95$ : doubler n'a pas de sens, et de plus un angle d'un parallélogramme reste inférieur à $180°$.[/reponse]
[reponse motif="$265°$"]Non.
$265 = 360 - 95$ : il s'agit de la somme des trois autres angles, pas d'un seul. Identifie d'abord les angles opposés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repère les sommets opposés : ce sont $P$ et $R$, $Q$ et $S$. Les angles opposés sont égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$ABCD$ est un parallélogramme. Les angles $\widehat{BAD}$ et $\widehat{ABC}$ mesurent respectivement $\alpha$ et $\beta$. Quelle relation est nécessairement vraie ?
[qcm]
[option]$\alpha = \beta$[/option]
[option]$\alpha + \beta = 90°$[/option]
[option correct="true"]$\alpha + \beta = 180°$[/option]
[option]$\alpha + \beta = 360°$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$\widehat{BAD}$ et $\widehat{ABC}$ partagent le côté $[AB]$ : ce sont des angles consécutifs.
Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires : $\alpha + \beta = 180°$.[/reponse]
[reponse motif="$\alpha = \beta$"]Non.
$\alpha$ et $\beta$ sont aux sommets $A$ et $B$ : ce sont des angles consécutifs, pas opposés. Ils ne sont pas égaux en général.[/reponse]
[reponse motif="$\alpha + \beta = 90°$"]Non.
La complémentarité ($90°$) ne s'applique pas ici. Cherche la propriété sur la somme de deux angles consécutifs.[/reponse]
[reponse motif="$\alpha + \beta = 360°$"]Non.
$360°$ est la somme des quatre angles, pas seulement de deux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$A$ et $B$ sont deux sommets consécutifs. Cherche la propriété sur les angles consécutifs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Longueurs et diagonales d’un parallélogramme

[enonce]
Ce QCM porte sur l'utilisation des propriétés du parallélogramme pour calculer des longueurs (côtés opposés et diagonales). Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 7$ cm et $BC = 4$ cm. Quelle est la longueur de $[CD]$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$7$ cm[/option]
[option]$4$ cm[/option]
[option]$11$ cm[/option]
[option]$3$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. $[AB]$ et $[CD]$ sont opposés, donc $CD = AB = 7$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$4$ cm"]Non.
$4$ cm est la longueur de $[BC]$, qui n'est pas opposé à $[CD]$ : $[BC]$ et $[CD]$ partagent le sommet $C$.[/reponse]
[reponse motif="$11$ cm"]Non.
$11 = 7 + 4$ : il ne faut pas additionner les longueurs des deux côtés. $[CD]$ a la même longueur que son côté opposé.[/reponse]
[reponse motif="$3$ cm"]Non.
$3 = 7 - 4$ : il ne faut pas soustraire les longueurs. Les côtés opposés ont la même longueur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repère d'abord le côté opposé à $[CD]$, puis utilise la propriété : côtés opposés de même longueur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$EFGH$ est un parallélogramme avec $EF = 5{,}5$ cm et $EH = 3$ cm. Quel est le périmètre de $EFGH$ ?
[qcm]
[option]$8{,}5$ cm[/option]
[option]$11$ cm[/option]
[option]$16{,}5$ cm[/option]
[option correct="true"]$17$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les côtés opposés sont égaux, donc $FG = EH = 3$ cm et $HG = EF = 5{,}5$ cm.
Le périmètre vaut $2 \times 5{,}5 + 2 \times 3 = 11 + 6 = 17$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$8{,}5$ cm"]Non.
$8{,}5 = 5{,}5 + 3$ : c'est seulement la somme de deux côtés consécutifs. Le périmètre fait le tour complet de la figure.[/reponse]
[reponse motif="$11$ cm"]Non.
$11 = 2 \times 5{,}5$ : tu n'as compté que les deux côtés de longueur $5{,}5$ cm. Il faut aussi ajouter les deux autres.[/reponse]
[reponse motif="$16{,}5$ cm"]Non.
$16{,}5 = 3 \times 5{,}5$ : ce calcul ne correspond à aucun côté du parallélogramme. Compte deux côtés de chaque longueur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le périmètre est la somme des quatre côtés. Identifie d'abord la longueur de chaque côté.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$MNPQ$ est un parallélogramme de centre $O$. On sait que $OM = 4$ cm. Quelle est la longueur de la diagonale $[MP]$ ?
[qcm]
[option]$4$ cm[/option]
[option correct="true"]$8$ cm[/option]
[option]$2$ cm[/option]
[option]On ne peut pas savoir.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$O$ est le centre du parallélogramme, donc $O$ est le milieu de la diagonale $[MP]$.
On a $MP = 2 \times OM = 2 \times 4 = 8$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$4$ cm"]Non.
$4$ cm correspond à la moitié de la diagonale (de $M$ jusqu'au centre). La diagonale entière est plus longue.[/reponse]
[reponse motif="$2$ cm"]Non.
$2 = 4 \div 2$ : ici, c'est l'inverse — il faut doubler $OM$ pour obtenir $MP$, pas le diviser.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir."]Non.
La propriété des diagonales du parallélogramme suffit : elles se coupent en leur milieu, donc $MP = 2 \times OM$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : $O$ est le milieu de $[MP]$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$RSTU$ est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en $K$. On sait que $RT = 9$ cm. Quelle est la longueur de $[KR]$ ?
[qcm]
[option]$9$ cm[/option]
[option]$3$ cm[/option]
[option correct="true"]$4{,}5$ cm[/option]
[option]$18$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$K$ est le point d'intersection des diagonales, donc $K$ est le milieu de $[RT]$.
Ainsi $KR = \dfrac{RT}{2} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$9$ cm"]Non.
$9$ cm est la longueur de toute la diagonale $[RT]$. $[KR]$ n'est qu'une moitié.[/reponse]
[reponse motif="$3$ cm"]Non.
$3 = 9 \div 3$ : il ne faut pas diviser par $3$ mais par $2$, car $K$ est le milieu, pas un point qui partage en trois.[/reponse]
[reponse motif="$18$ cm"]Non.
$18 = 9 \times 2$ : tu as doublé au lieu de partager en deux. $K$ étant le milieu, $KR$ vaut la moitié de $RT$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$K$ est le milieu de la diagonale $[RT]$ : $[KR]$ vaut la moitié de la longueur totale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$VWXY$ est un parallélogramme avec $VW = 6$ cm et de périmètre $20$ cm. Quelle est la longueur de $[WX]$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$4$ cm[/option]
[option]$14$ cm[/option]
[option]$6$ cm[/option]
[option]$10$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Dans un parallélogramme, le périmètre vaut $2 \times VW + 2 \times WX$.
Donc $2 \times 6 + 2 \times WX = 20$, soit $2 \times WX = 20 - 12 = 8$.
On obtient $WX = 4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$14$ cm"]Non.
$14 = 20 - 6$ : tu as soustrait une seule fois la longueur connue. Or $VW$ apparaît deux fois dans le périmètre (avec son opposé).[/reponse]
[reponse motif="$6$ cm"]Non.
$WX$ et $VW$ sont des côtés consécutifs (ils partagent $W$). Rien n'impose qu'ils soient égaux.[/reponse]
[reponse motif="$10$ cm"]Non.
$10 = 20 \div 2$ : c'est la somme de deux côtés consécutifs ($VW + WX$), pas la longueur d'un seul côté.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le périmètre vaut deux fois la longueur d'un côté plus deux fois celle du côté consécutif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $I$. Les diagonales mesurent $AC = 10$ cm et $BD = 6$ cm. Quelle est la longueur de $[IB]$ ?
[qcm]
[option]$5$ cm[/option]
[option]$8$ cm[/option]
[option]$4$ cm[/option]
[option correct="true"]$3$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$I$ est le milieu de chacune des deux diagonales. Comme $B$ est sur la diagonale $[BD]$, on a $IB = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$5$ cm"]Non.
$5 = 10 \div 2$ : tu as utilisé la mauvaise diagonale. $B$ est une extrémité de $[BD]$, pas de $[AC]$.[/reponse]
[reponse motif="$8$ cm"]Non.
$8 = (10+6) \div 2$ : il ne faut pas mélanger les deux diagonales. $IB$ ne dépend que de la diagonale qui contient $B$.[/reponse]
[reponse motif="$4$ cm"]Non.
$4 = 10 - 6$ : la différence des diagonales n'a pas de sens géométrique ici. Il faut prendre la moitié de la diagonale qui contient $B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$B$ est une extrémité de la diagonale $[BD]$. Comme $I$ en est le milieu, $IB$ vaut la moitié de $BD$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]