Programme de calcul et courbe d’une fonction
[enonce]
On considère le programme de calcul suivant :
On note $f$ la fonction qui, à un nombre $x$ choisi au départ, associe le résultat obtenu par ce programme.
Suivre les étapes pour explorer cette fonction.
[/enonce]
[etape]
On applique le programme de calcul en choisissant le nombre $3$.
Quel résultat obtient-on ?
[qcm]
[option]$8$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$10$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique chaque étape dans l'ordre :
$3^2 = 9$, puis $9 - 2 \times 3 = 9 - 6 = 3$, puis $3 + 1 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
« Soustraire le double du nombre choisi » signifie soustraire $2 \times 3 = 6$, pas soustraire $2$.
Reprendre le calcul depuis $3^2 = 9$, puis appliquer chaque étape.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
L'étape « soustraire le double du nombre choisi » a été oubliée.
Reprendre depuis $3^2 = 9$ et appliquer les trois opérations dans l'ordre.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
La dernière étape du programme dit « ajouter $1$ », pas « soustraire $1$ ».
Reprendre le calcul étape par étape.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer les étapes dans l'ordre : d'abord $3^2$, puis soustraire $2 \times 3$, puis ajouter $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Exprimer le résultat du programme en fonction de $x$, sous forme développée.
$f(x) = $ [[expr]]
[math id="expr" attendu="x^2-2x+1" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On obtient successivement : $x^2$, puis $x^2 - 2x$, puis $x^2 - 2x + 1$.[/reponse]
[reponse statut="format"]L'expression est correcte, mais elle doit être développée.
Développer les produits et regrouper les termes.[/reponse]
[reponse motif="x^2-2x-1"]Presque.
La dernière étape du programme dit « ajouter $1$ », pas « soustraire $1$ ».
Revoir le signe du dernier terme.[/reponse]
[reponse motif="x^2+2x+1"]Attention au signe.
L'étape dit « soustraire le double », on obtient donc $x^2 - 2x$, pas $x^2 + 2x$.
Reprendre à partir de l'étape de soustraction.[/reponse]
[reponse motif="x^2-2+1"]Il manque la variable $x$ dans le deuxième terme.
« Le double du nombre choisi » se traduit par $2x$, pas simplement $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Traduire chaque étape : le carré de $x$ donne $x^2$, le double de $x$ donne $2x$.
Assembler le tout en respectant les opérations du programme.[/reponse]
[aide essai="2"]Traduire étape par étape : le carré de $x$ s'écrit $x^2$, le double de $x$ s'écrit $2x$.[/aide]
[aide essai="3"]Après les deux premières opérations, on obtient $x^2 - 2x$. Il reste une dernière opération à appliquer.[/aide]
[/math]
[solution]$f(x) = x^2 - 2x + 1$.
Étape par étape : $x^2$, puis $x^2 - 2x$, puis $x^2 - 2x + 1$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Calculer l'image de $-3$ par la fonction $f$.
$f(-3) = $ [[img]]
[math id="img" attendu="16"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(-3) = (-3)^2 - 2 \times (-3) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16$.[/reponse]
[reponse motif="4"]Attention au signe dans $-2 \times (-3)$.
La règle des signes donne $-2 \times (-3) = +6$, pas $-6$.
Recalculer en tenant compte de ce signe.[/reponse]
[reponse motif="-2"]Le carré d'un nombre négatif est toujours positif.
$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$, pas $-9$.
Penser à mettre des parenthèses autour de $-3$ avant d'élever au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $(-3)$ avec des parenthèses : $f(-3) = (-3)^2 - 2 \times (-3) + 1$.
Calculer chaque terme en respectant la règle des signes.[/reponse]
[aide essai="2"]$(-3)^2 = 9$ et $-2 \times (-3) = +6$. Attention aux signes ![/aide]
[aide essai="3"]On a $f(-3) = 9 + 6 + 1$. Terminer le calcul.[/aide]
[/math]
[solution]$f(-3) = (-3)^2 - 2 \times (-3) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Voici trois courbes tracées dans un repère. Une seule est la représentation graphique de $f$.
Quel graphique est la représentation graphique de $f$ ?
[qcm]
[option]Graphique 2[/option]
[option correct="true"]Graphique 1[/option]
[option]Graphique 3[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On vérifie avec les valeurs calculées : $f(0) = 1$ et $f(3) = 4$. Seul le Graphique 1 passe par les points $(0~;~1)$ et $(3~;~4)$.[/reponse]
[reponse motif="Graphique 2"]Non.
Sur le Graphique 2, la courbe touche l'axe des abscisses en $x = -1$, or $f(-1) = (-1)^2 - 2 \times (-1) + 1 = 4$, pas $0$.
Vérifier quel graphique est compatible avec $f(0) = 1$ et $f(3) = 4$.[/reponse]
[reponse motif="Graphique 3"]Non.
Sur le Graphique 3, la courbe passe par le point $(0~;~-1)$, or $f(0) = 0 - 0 + 1 = 1$, pas $-1$.
Vérifier quel graphique passe par le point $(0~;~1)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f(0)$ et vérifier quel graphique passe par le point d'ordonnée correspondante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
En utilisant le graphique de $f$ (Graphique 1), déterminer le plus petit antécédent de $4$ par $f$.
Le plus petit antécédent de $4$ est $x = $ [[ant]]
[math id="ant" attendu="-1"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Sur le graphique, la droite horizontale $y = 4$ coupe la courbe en deux points : $(-1~;~4)$ et $(3~;~4)$.
Le plus petit antécédent est donc $-1$.[/reponse]
[reponse motif="3"]C'est un antécédent de $4$, mais ce n'est pas le plus petit.
La droite $y = 4$ coupe la courbe en deux points. Chercher celui qui a la plus petite abscisse.[/reponse]
[reponse motif="1"]Attention, $f(1) = 0$, pas $4$.
Tracer mentalement la droite horizontale $y = 4$ et repérer ses intersections avec la courbe.[/reponse]
[reponse motif="4"]Ne pas confondre l'antécédent avec l'image. On cherche le $x$ tel que $f(x) = 4$, pas l'image de $4$.
Sur le graphique, partir de $y = 4$ sur l'axe vertical et aller horizontalement jusqu'à la courbe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sur le graphique, tracer mentalement la droite $y = 4$ et repérer les abscisses des points d'intersection avec la courbe.
Le plus petit antécédent est celui situé le plus à gauche.[/reponse]
[aide essai="2"]Tracer mentalement la droite horizontale $y = 4$. Elle coupe la courbe en deux points.[/aide]
[aide essai="3"]Les deux points d'intersection ont pour abscisses deux nombres opposés par rapport au sommet de la courbe, situé en $x = 1$. L'un est à gauche du sommet, l'autre à droite.[/aide]
[/math]
[solution]La droite $y = 4$ coupe la courbe en $(-1~;~4)$ et $(3~;~4)$.
Le plus petit antécédent de $4$ par $f$ est $-1$.[/solution]
[/etape]
Antécédents et représentation graphique – Brevet Centres étrangers juin 2024
On considère le programme de calcul suivant :
Partie A
- Justifier qu'en choisissant 5 comme nombre de départ, le résultat final obtenu est 18.
- Calculer le résultat final donné par ce programme lorsque le nombre de départ choisi est $ -\dfrac{3}{2} $.
- Le script donné en ANNEXE, écrit avec un logiciel de programmation, correspond au programme de calcul ci-dessus. Compléter les lignes 3, 4 et 5 du script sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie. Aucune justification n'est attendue.
- Quel(s) nombre(s) doit-on choisir comme nombre de départ pour que le programme de calcul donne 0 comme résultat final ?
Partie B
Soit la fonction $ g $ définie, pour un nombre $ x $ donné, par $ g(x) = x^2 - x - 2 $.
- Prouver que $ (x-2)(x+1) = x^2 - x - 2 $.
- Résoudre l'équation $ (x-2)(x+1) = 0 $.
- En déduire les antécédents de 0 par la fonction $ g $. Aucune justification n'est attendue.
Parmi les trois graphiques ci-dessous, lequel correspond à la représentation graphique de la fonction $ g $? Aucune justification n'est attendue.
Partie A
On choisit 5 comme nombre de départ.
Le programme effectue deux opérations en parallèle :
D'un côté : $ 5 - 2 = 3 $
De l'autre : $ 5 + 1 = 6 $
On multiplie les deux résultats : $ 3 \times 6 = 18 $.
En choisissant 5, le résultat final est bien 18.
On choisit $ -\dfrac{3}{2} $ comme nombre de départ.
D'un côté : $ -\dfrac{3}{2} - 2 = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{2} = -\dfrac{7}{2} $
De l'autre : $ -\dfrac{3}{2} + 1 = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{2} = -\dfrac{1}{2} $
On multiplie les deux résultats :
$ -\dfrac{7}{2} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{4} $
Le résultat final est $ \dfrac{7}{4} $.
- Le script correspond au programme de calcul :
Ligne 3 : `mettre a à réponse - 2`
Ligne 4 : `mettre b à réponse + 1`
Ligne 5 : `dire a * b`
On note $ x $ le nombre de départ. Le programme calcule $ (x-2)(x+1) $.
On cherche $ x $ tel que $ (x-2)(x+1) = 0 $.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$ x - 2 = 0 $ donne $ x = 2 $
$ x + 1 = 0 $ donne $ x = -1 $
Il faut choisir $ 2 $ ou $ -1 $ pour obtenir 0 comme résultat final.
Partie B
On développe $ (x-2)(x+1) $ :
$ (x-2)(x+1) = x \times x + x \times 1 + (-2) \times x + (-2) \times 1 $
$ = x^2 + x - 2x - 2 $
$ = x^2 - x - 2 $
On a bien prouvé que $ (x-2)(x+1) = x^2 - x - 2 $.
On résout l'équation $ (x-2)(x+1) = 0 $.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$ x - 2 = 0 $ donne $ x = 2 $
$ x + 1 = 0 $ donne $ x = -1 $
Les solutions de l'équation sont $ x = 2 $ et $ x = -1 $.
Puisque $ g(x) = (x-2)(x+1) $, les antécédents de 0 par $ g $ sont les solutions de $ g(x) = 0 $.
Les antécédents de 0 par la fonction $ g $ sont $ -1 $ et $ 2 $.
La fonction $ g $ est définie par $ g(x) = x^2 - x - 2 $.
On sait que $ g(-1) = 0 $ et $ g(2) = 0 $ : la courbe doit couper l'axe des abscisses en $ x = -1 $ et $ x = 2 $.
De plus, $ g(0) = 0^2 - 0 - 2 = -2 $ : la courbe doit passer par le point $ (0~;~-2) $.
Le coefficient de $ x^2 $ est positif (égal à 1), donc la parabole est tournée vers le haut.
Le Graphique 1 représente une courbe en S (ni une parabole), il ne convient pas.
Le Graphique 2 est une parabole, mais elle ne coupe pas l'axe des abscisses aux bonnes valeurs.
Le Graphique 3 est une parabole qui coupe l'axe des abscisses en $ -1 $ et $ 2 $ et passe par $ (0~;~-2) $.
La représentation graphique de la fonction $ g $ est le Graphique 3.
Image et antécédent – Brevet Métropole Antilles-Guyane septembre 2024
On considère la fonction $ f $ définie par
$ f(x) = x^2 + 10x + 16 $
- Vérifier par le calcul que l'image de 6 par la fonction $ f $ est 112.
On utilise un tableur afin de calculer les images des entiers compris entre $ -4 $ et 4 par la fonction $ f $.
| |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
| 1 |
$ x $ |
$ -4 $ |
$ -3 $ |
$ -2 $ |
$ -1 $ |
$ 0 $ |
$ 1 $ |
$ 2 $ |
$ 3 $ |
$ 4 $ |
| 2 |
$ f(x) $ |
$ -8 $ |
$ -5 $ |
$ 0 $ |
$ 7 $ |
$ 16 $ |
$ 27 $ |
$ 40 $ |
$ 55 $ |
$ 72 $ |
Parmi les 4 formules ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule B2, puis étirée vers la droite afin de calculer les images des nombres donnés par la fonction $ f $.
- `=B1*B1+10*B1+16`
- `=A1*A1+10*A1+16`
- `=(-4)*(-4)+10*(-4)+16`
- `=x*x+10*x+16`
- En utilisant le tableau, déterminer un antécédent de 0.
- Démontrer que $ f(x) $ peut s'écrire $ (x+2)(x+8) $.
- En déduire un autre antécédent de 0 par la fonction $ f $.
On remplace $ x $ par 6 dans l'expression de $ f(x) $ :
$ f(6) = 6^2 + 10 \times 6 + 16 $
$ f(6) = 36 + 60 + 16 $
$ f(6) = 112 $
L'image de 6 par la fonction $ f $ est bien 112.
La formule doit utiliser la référence de la cellule B1 (qui contient la valeur de $ x $) pour pouvoir être étirée vers la droite. Elle doit calculer $ x^2 + 10x + 16 $ en remplaçant $ x $ par le contenu de B1.
La formule `=A1*A1+10*A1+16` utilise la cellule A1, qui ne contient pas une valeur de $ x $ mais le libellé « $ x $ ».
La formule `=(-4)*(-4)+10*(-4)+16` utilise directement la valeur $ -4 $ : elle ne s'adaptera pas en l'étirant.
La formule `=x*x+10*x+16` n'est pas valide dans un tableur car $ x $ n'est pas une référence de cellule.
La formule saisie en B2 est : `=B1*B1+10*B1+16`
Un antécédent de 0 est une valeur de $ x $ telle que $ f(x) = 0 $. On cherche dans la ligne 2 du tableau la valeur 0.
On trouve $ f(-2) = 0 $.
Un antécédent de 0 par la fonction $ f $ est $ -2 $.
On développe $ (x+2)(x+8) $ :
$ (x+2)(x+8) = x \times x + x \times 8 + 2 \times x + 2 \times 8 $
$ = x^2 + 8x + 2x + 16 $
$ = x^2 + 10x + 16 $
On retrouve bien $ f(x) $, donc $ f(x) = (x+2)(x+8) $.
On cherche les valeurs de $ x $ telles que $ f(x) = 0 $, c'est-à-dire $ (x+2)(x+8) = 0 $.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$ x + 2 = 0 $ donne $ x = -2 $ (déjà trouvé à la question 2.b.)
$ x + 8 = 0 $ donne $ x = -8 $
Un autre antécédent de 0 par la fonction $ f $ est $ -8 $.
Image et antécédent avec tableur – Brevet Amérique du Sud décembre 2024
On considère deux fonctions $ f $ et $ g $ définies par :
$ f(x) = x^2 - x - 6 $ et $ g(x) = -2x $
- Montrer que l'image de 5 par la fonction $ f $ est 14.
- Déterminer l'antécédent de 4 par la fonction $ g $.
Pour calculer des images de nombres par les fonctions $ f $ et $ g $, on utilise un tableur et on obtient la copie d'écran suivante :
| |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
| 1 |
$ x $ |
$ -4 $ |
$ -3 $ |
$ -2 $ |
$ -1 $ |
$ 0 $ |
$ 1 $ |
$ 2 $ |
| 2 |
$ f(x) = x^2 - x - 6 $ |
$ 14 $ |
$ 6 $ |
$ 0 $ |
$ -4 $ |
$ -6 $ |
$ -6 $ |
$ -4 $ |
| 3 |
$ g(x) = -2x $ |
$ 8 $ |
$ 6 $ |
$ 4 $ |
$ 2 $ |
$ 0 $ |
$ -2 $ |
$ -4 $ |
c. A l'aide des informations précédentes, citer deux antécédents de 14 par la fonction $ f $.
d. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B2 avant de l'étirer vers la droite jusqu'à la cellule H2 ?
e. Existe-t-il un nombre qui a la même image par la fonction $ f $ et par la fonction $ g $ ?
- Montrer que, pour tout nombre $ x $, $ f(x) $ est égal à $ (x+2)(x-3) $.
- Résoudre l'équation $ f(x) = 0 $.
On remplace $ x $ par 5 dans l'expression de $ f(x) $ :
$ f(5) = 5^2 - 5 - 6 $
$ f(5) = 25 - 5 - 6 $
$ f(5) = 14 $
L'image de 5 par la fonction $ f $ est bien 14.
On cherche la valeur de $ x $ telle que $ g(x) = 4 $.
$ -2x = 4 $
$ x = \dfrac{4}{-2} $
$ x = -2 $
L'antécédent de 4 par la fonction $ g $ est $ -2 $.
c. Un antécédent de 14 par $ f $ est une valeur de $ x $ telle que $ f(x) = 14 $.
Dans le tableau, on lit $ f(-4) = 14 $.
De plus, on a montré à la question 1.a. que $ f(5) = 14 $.
Deux antécédents de 14 par la fonction $ f $ sont $ -4 $ et $ 5 $.
d. La formule doit calculer $ x^2 - x - 6 $ en utilisant la référence de cellule B1 (qui contient la valeur de $ x $).
La formule saisie en B2 est : =B1*B1-B1-6 (ou =B1^2-B1-6)
e. On cherche une valeur de $ x $ telle que $ f(x) = g(x) $, c'est-à-dire un nombre qui a la même image par $ f $ et par $ g $.
En observant le tableau, pour $ x = -3 $ : $ f(-3) = 6 $ et $ g(-3) = 6 $.
Oui, le nombre $ -3 $ a la même image (qui est 6) par $ f $ et par $ g $.
(On peut aussi remarquer que pour $ x = 2 $ : $ f(2) = -4 $ et $ g(2) = -4 $.)
On développe $ (x+2)(x-3) $ :
$ (x+2)(x-3) = x \times x + x \times (-3) + 2 \times x + 2 \times (-3) $
$ = x^2 - 3x + 2x - 6 $
$ = x^2 - x - 6 $
On retrouve bien $ f(x) $, donc pour tout nombre $ x $, $ f(x) = (x+2)(x-3) $.
On résout l'équation $ f(x) = 0 $, soit $ (x+2)(x-3) = 0 $.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$ x + 2 = 0 $ donne $ x = -2 $
$ x - 3 = 0 $ donne $ x = 3 $
L'équation $ f(x) = 0 $ admet deux solutions : $ x = -2 $ et $ x = 3 $.
Pour réviser : Calculer l'image d'un nombre par une fonction
QCM Bilan : Notion de fonction
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : calcul d'images, antécédents et courbe représentative. Choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Soit $f(x) = 2x^2 - 3$. Que vaut $f(-2)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-11$[/option]
[option]$-7$[/option]
[option]$11$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(-2) = 2 \times (-2)^2 - 3 = 2 \times 4 - 3 = 8 - 3 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$-11$"]Non.
Tu as calculé $(-2)^2 = -4$, ce qui est incorrect. Le carré d'un nombre négatif est positif : $(-2)^2 = 4$.
Reprends le calcul avec $(-2)^2 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$-7$"]Non.
Tu as oublié de mettre $-2$ au carré : tu as calculé $2 \times (-2) - 3 = -7$.
Attention, $x^2$ signifie que tu dois d'abord calculer $(-2)^2 = (-2) \times (-2)$.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
Tu as calculé $2 \times 4 + 3 = 11$ au lieu de $2 \times 4 - 3$. Attention au signe devant le $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $x$ par $(-2)$ : calcule d'abord $(-2)^2$, multiplie par $2$, puis soustrais $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On donne le tableau de valeurs de la fonction $g$ :
| $x$ |
$-2$ |
$-1$ |
$0$ |
$1$ |
$3$ |
$5$ |
| $g(x)$ |
$5$ |
$3$ |
$1$ |
$3$ |
$5$ |
$1$ |
On définit aussi $f(x) = x + 2$. Pour combien de valeurs de $x$ du tableau a-t-on $g(x) = f(x)$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule $f(x)$ pour chaque valeur du tableau et on compare avec $g(x)$ :
$x = 1$ : $f(1) = 3$ et $g(1) = 3$, donc $g(1) = f(1)$.
$x = 3$ : $f(3) = 5$ et $g(3) = 5$, donc $g(3) = f(3)$.
Pour les autres valeurs ($-2$, $-1$, $0$, $5$), $f(x) \neq g(x)$. Il y a bien $2$ valeurs.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Il y a au moins une valeur de $x$ pour laquelle $g(x) = f(x)$. Calcule $f(x) = x + 2$ pour chaque $x$ du tableau et compare avec la valeur de $g(x)$ correspondante.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Pas tout à fait.
Tu n'as trouvé qu'une seule correspondance. Continue à vérifier les autres valeurs du tableau : calcule $f(x) = x + 2$ pour chaque $x$ et compare avec $g(x)$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Tu as compté trop de correspondances. Pour chaque $x$ du tableau, calcule $f(x) = x + 2$ et vérifie si le résultat est bien égal à $g(x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule $f(x) = x + 2$ pour chaque $x$ du tableau ($-2$, $-1$, $0$, $1$, $3$, $5$) et compare chaque résultat avec la valeur de $g(x)$ correspondante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $h(x) = -x + 5$. On considère les points $A(3~;~2)$ et $B(1~;~6)$. Lesquels appartiennent à la courbe de $h$ ?
[qcm]
[option]$A$ non, $B$ non[/option]
[option correct="true"]$A$ oui, $B$ non[/option]
[option]$A$ oui, $B$ oui[/option]
[option]$A$ non, $B$ oui[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $A$ : $h(3) = -3 + 5 = 2$, c'est l'ordonnée de $A$, donc $A$ est sur la courbe.
Pour $B$ : $h(1) = -1 + 5 = 4 \neq 6$, donc $B$ n'est pas sur la courbe.[/reponse]
[reponse motif="$A$ non, $B$ non"]Non.
Vérifie $A$ : calcule $h(3) = -3 + 5$ et compare avec l'ordonnée de $A$ qui est $2$.[/reponse]
[reponse motif="$A$ oui, $B$ oui"]Non.
$A$ est correct, mais vérifie $B$ : calcule $h(1) = -1 + 5$ et compare avec l'ordonnée de $B$ qui est $6$.[/reponse]
[reponse motif="$A$ non, $B$ oui"]Non.
Vérifie les deux calculs : $h(3) = -3 + 5$ pour $A$, et $h(1) = -1 + 5$ pour $B$.
Compare chaque résultat avec l'ordonnée du point correspondant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour chaque point $(a~;~b)$, calcule $h(a)$ et vérifie si le résultat est égal à $b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = x^2 - 1$. Combien d'antécédents le nombre $3$ a-t-il par $f$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout $x^2 - 1 = 3$, soit $x^2 = 4$.
Les solutions sont $x = 2$ et $x = -2$ : le nombre $3$ a deux antécédents par $f$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Tu as trouvé une solution de $x^2 = 4$, mais tu as oublié l'autre.
$x^2 = 4$ a deux solutions : un nombre positif et un nombre négatif dont le carré vaut $4$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
L'équation $x^2 - 1 = 3$ donne $x^2 = 4$, qui a bien des solutions (un carré peut valoir $4$).
Quels nombres ont pour carré $4$ ?[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Tu confonds la valeur cherchée ($3$) avec le nombre de solutions.
Résous $x^2 - 1 = 3$ et compte les solutions.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résous $x^2 - 1 = 3$, soit $x^2 = 4$. Combien de nombres ont pour carré $4$ ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $k(x) = 5x - 10$ et $m(x) = x^2$. On sait que $k(a) = 0$. Quelle est l'image de $a$ par la fonction $m$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$-2$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On commence par trouver $a$ : $k(a) = 0$ donne $5a - 10 = 0$, soit $a = 2$.
Puis on calcule $m(a) = m(2) = 2^2 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Tu as trouvé $k(a) = 0$ et tu t'es arrêté. Mais la question demande l'image de $a$ par $m$, pas la valeur de $k(a)$.
Commence par trouver la valeur de $a$ en résolvant $5a - 10 = 0$, puis calcule $m(a)$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Pas tout à fait.
Tu as trouvé $a = 2$ (c'est correct), mais la question demande $m(a)$, pas $a$.
Il reste une étape : calcule $m(2) = 2^2$.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
Vérifie le signe : $5a - 10 = 0$ donne $5a = 10$, soit $a = 2$ (positif).
Ensuite, calcule $m(2) = 2^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Deux étapes : d'abord résous $5a - 10 = 0$ pour trouver $a$, puis calcule $m(a) = a^2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = x^2 + x$. Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
[qcm]
[option]$f(-1) = -2$[/option]
[option]$f(2) = 5$[/option]
[option correct="true"]$f(-2) = f(1)$[/option]
[option]$f(1) = f(-1)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule : $f(-2) = (-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2$ et $f(1) = 1^2 + 1 = 2$.
On a bien $f(-2) = f(1) = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$f(-1) = -2$"]Non.
Calcule $f(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1$. Le résultat est-il bien $-2$ ?
Attention : $(-1)^2 = 1$ (positif), pas $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$f(2) = 5$"]Non.
Calcule $f(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2$. Le résultat est-il bien $5$ ?
Vérifie ton addition.[/reponse]
[reponse motif="$f(1) = f(-1)$"]Non.
Calcule les deux images pour vérifier : $f(1) = 1^2 + 1$ et $f(-1) = (-1)^2 + (-1)$.
Ces deux résultats sont-ils égaux ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule chaque image en remplaçant $x$ dans $f(x) = x^2 + x$, et compare les résultats proposés.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM : Calcul d’images
[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul d'images par une fonction. Pour chaque question, choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Soit $f(x) = 2x + 3$. Que vaut $f(4)$ ?
[qcm]
[option]$14$[/option]
[option correct="true"]$11$[/option]
[option]$8$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
Tu as calculé $2 \times (4 + 3) = 14$. Attention à la priorité des opérations : la multiplication se fait avant l'addition.
Recalcule $2 \times 4$ d'abord, puis ajoute $3$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
Tu as calculé $2 \times 4 = 8$ mais tu as oublié d'ajouter $3$ ensuite.
Reprends le calcul complet de $f(4) = 2 \times 4 + 3$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Tu as calculé $2 + 3 = 5$, sans tenir compte du $x = 4$.
Pour calculer une image, il faut remplacer $x$ par $4$ dans la formule.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $x$ par $4$ dans la formule $f(x) = 2x + 3$ et effectue les calculs en respectant les priorités.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $g(x) = x^2 + 1$. Que vaut $g(3)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$10$[/option]
[option]$7$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$16$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$g(3) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
Tu as calculé $2 \times 3 + 1 = 7$. Attention, $x^2$ signifie $x \times x$, pas $2 \times x$.
Recalcule $3^2 = 3 \times 3$, puis ajoute $1$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Tu as calculé $3 + 1 = 4$. Tu as oublié de mettre $3$ au carré.
$g(3) = 3^2 + 1$ : commence par calculer $3^2$.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
Tu as calculé $(3 + 1)^2 = 16$. Attention, il faut d'abord calculer $3^2$, puis ajouter $1$.
Le carré porte uniquement sur $x$, pas sur $x + 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $x$ par $3$ dans $g(x) = x^2 + 1$ : calcule d'abord $3^2$, puis ajoute $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $h(x) = 5 - 3x$. Que vaut $h(2)$ ?
[qcm]
[option]$11$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$-1$[/option]
[option]$-6$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$h(2) = 5 - 3 \times 2 = 5 - 6 = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
Tu as calculé $5 + 3 \times 2 = 11$. Attention au signe : la formule contient $5 - 3x$, pas $5 + 3x$.
Recalcule en soustrayant $3 \times 2$ de $5$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Tu as calculé $3 \times 2 - 5 = 1$. Tu as inversé l'ordre de la soustraction.
La formule donne $5 - 3 \times 2$ : c'est $5$ moins $6$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$-6$"]Non.
Tu as calculé $-3 \times 2 = -6$, mais tu as oublié d'ajouter le $5$.
Reprends : $h(2) = 5 - 3 \times 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $x$ par $2$ dans $h(x) = 5 - 3x$ : calcule d'abord $3 \times 2$, puis soustrais le résultat de $5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = 2x - 1$. Que vaut $f(-3)$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$-5$[/option]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$-7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(-3) = 2 \times (-3) - 1 = -6 - 1 = -7$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Tu as calculé $2 \times 3 - 1 = 5$. Attention, tu as oublié le signe négatif de $-3$.
$2 \times (-3)$ donne un résultat négatif.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Tu as calculé $2 \times (-3) + 1 = -5$. Attention au signe devant le $1$ : la formule donne $2x - 1$, pas $2x + 1$.
Reprends : $2 \times (-3) - 1$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
Tu as trouvé la bonne valeur absolue mais le mauvais signe.
$2 \times (-3) = -6$, donc $-6 - 1$ donne un résultat négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Attention au calcul avec un nombre négatif : $2 \times (-3) = -6$, puis soustrais $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On donne le tableau de valeurs de la fonction $g$ :
| $x$ |
$0$ |
$1$ |
$2$ |
$3$ |
$4$ |
| $g(x)$ |
$3$ |
$5$ |
$-1$ |
$0$ |
$7$ |
Que vaut $g(2)$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$-1$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Dans le tableau, on lit directement $g(2) = -1$ : la colonne $x = 2$ donne $g(x) = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Tu as lu $g(1) = 5$ au lieu de $g(2)$. Vérifie que tu te places bien dans la colonne $x = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Tu confonds la valeur de $x$ et celle de $g(x)$. Le nombre $2$ est l'abscisse (la variable), pas l'image.
Regarde la deuxième ligne du tableau à la colonne $x = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Tu as lu $g(3) = 0$ au lieu de $g(2)$. Vérifie que tu te places bien dans la colonne $x = 2$, pas $x = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un tableau de valeurs, l'image se lit sur la deuxième ligne, à la colonne correspondant à la valeur de $x$ choisie.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $p(x) = x^2 - 4$. Que vaut $p(-2)$ ?
[qcm]
[option]$-8$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$8$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$p(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$-8$"]Non.
Tu as calculé $(-2)^2 = -4$, ce qui est incorrect. Le carré d'un nombre négatif est toujours positif : $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$.
Reprends le calcul avec $(-2)^2 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
Tu as trouvé $(-2)^2 = 4$ (c'est correct), mais ensuite tu as ajouté $4$ au lieu de soustraire.
Attention au signe : la formule donne $x^2 - 4$, pas $x^2 + 4$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Tu as calculé $(-2)^2 = 4$ et tu t'es arrêté là, en oubliant de soustraire $4$.
Reprends : $p(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - \ldots$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Attention : $(-2)^2 = 4$ (positif), puis soustrais $4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
Vrai/Faux : Antécédents et tableaux de valeurs
[enonce]
On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies ci-dessous :
$f(x) = 2x^2 - 8 \qquad h(x) = -3x + 6$
| $x$ |
$-3$ |
$-1$ |
$0$ |
$2$ |
$5$ |
| $g(x)$ |
$4$ |
$-2$ |
$-3$ |
$-2$ |
$4$ |
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : L'antécédent de $0$ par la fonction $h$ est $-2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout $h(x) = 0$, soit $-3x + 6 = 0$, d'où $-3x = -6$, puis $x = 2$.
L'antécédent de $0$ par $h$ est $2$, et non $-2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention aux signes dans la résolution : $-3x + 6 = 0$ donne $-3x = -6$, puis $x = \dfrac{-6}{-3} = 2$, et non $-2$.
L'antécédent de $0$ par $h$ est $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On résout $h(x) = 0$ : $-3x + 6 = 0$, soit $x = 2$. L'antécédent de $0$ est $2$, pas $-2$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $-1$ et $2$ sont des antécédents de $-2$ par la fonction $g$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
D'après le tableau, $g(-1) = -2$ et $g(2) = -2$ : les nombres $-1$ et $2$ sont bien des antécédents de $-2$ par $g$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut parcourir toute la ligne des $g(x)$ dans le tableau : on trouve $g(-1) = -2$ et $g(2) = -2$.
Puisque $g(-1) = -2$, le nombre $-1$ est un antécédent de $-2$. De même pour $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. D'après le tableau, $g(-1) = -2$ et $g(2) = -2$ : $-1$ et $2$ sont bien des antécédents de $-2$ par $g$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $f(-2) = f(2)$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule chaque image :
$f(-2) = 2 \times (-2)^2 - 8 = 2 \times 4 - 8 = 0$
$f(2) = 2 \times 2^2 - 8 = 2 \times 4 - 8 = 0$
On obtient bien $f(-2) = f(2) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le carré « absorbe » le signe : $(-2)^2 = 2^2 = 4$. C'est pourquoi $f(-2)$ et $f(2)$ donnent le même résultat.
On obtient $f(-2) = 2 \times 4 - 8 = 0$ et $f(2) = 2 \times 4 - 8 = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $f(-2) = 2 \times 4 - 8 = 0$ et $f(2) = 2 \times 4 - 8 = 0$ : les deux images sont égales.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Le nombre $0$ a deux antécédents par la fonction $f$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout $f(x) = 0$, soit $2x^2 - 8 = 0$, d'où $2x^2 = 8$, puis $x^2 = 4$.
Les solutions sont $x = 2$ et $x = -2$ : le nombre $0$ a bien deux antécédents.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand on résout $x^2 = 4$, il ne faut pas oublier la solution négative : $x = 2$ ou $x = -2$.
$2x^2 - 8 = 0$ donne $x^2 = 4$, soit $x = 2$ ou $x = -2$. Il y a bien deux antécédents.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On résout $2x^2 - 8 = 0$ : $x^2 = 4$, d'où $x = 2$ ou $x = -2$. Le nombre $0$ a deux antécédents.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Le point $B(-1 ; 3)$ appartient à la courbe représentative de la fonction $h$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule $h(-1) = -3 \times (-1) + 6 = 3 + 6 = 9$.
L'ordonnée de $B$ est $3 \neq 9$ : le point $B$ n'appartient pas à la courbe de $h$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : le produit de deux nombres négatifs est positif. Ici $-3 \times (-1) = 3$, et non $-3$.
On obtient $h(-1) = 3 + 6 = 9 \neq 3$ : le point $B(-1~;~3)$ n'est pas sur la courbe.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $h(-1) = -3 \times (-1) + 6 = 3 + 6 = 9 \neq 3$ : le point $B(-1~;~3)$ n'appartient pas à la courbe.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $g(0) = 0$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
D'après le tableau, $g(0) = -3$, et non $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Ce n'est pas parce que $x = 0$ que $g(x) = 0$ : chaque fonction a sa propre image de $0$.
Le tableau donne directement $g(0) = -3$, pas $0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le tableau donne $g(0) = -3$ et non $0$.
[/solution]
[/etape]
Vrai/Faux : Vocabulaire des fonctions
[enonce]
On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies ci-dessous :
$f(x) = 3x - 2 \qquad h(x) = x^2 + 3$
| $x$ |
$0$ |
$1$ |
$2$ |
$3$ |
$4$ |
| $g(x)$ |
$5$ |
$2$ |
$-1$ |
$2$ |
$7$ |
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : L'image de $1$ par la fonction $f$ est $1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On remplace $x$ par $1$ dans la formule : $f(1) = 3 \times 1 - 2 = 3 - 2 = 1$. L'image de $1$ par $f$ est bien $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de mal appliquer la priorité des opérations et de calculer $f(1) = 3 \times (1 - 2) = -3$.
Le calcul correct est : $f(1) = 3 \times 1 - 2 = 3 - 2 = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $f(1) = 3 \times 1 - 2 = 1$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $0$ est un antécédent de $5$ par la fonction $g$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le tableau donne $g(0) = 5$ : l'image de $0$ par $g$ est $5$, ce qui signifie que $0$ est bien un antécédent de $5$ par $g$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, dire que $0$ est un antécédent de $5$ par $g$ signifie que $g(0) = 5$, pas que $g(5) = 0$.
Le tableau donne directement $g(0) = 5$, donc $0$ est bien un antécédent de $5$ par $g$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le tableau donne $g(0) = 5$, ce qui signifie exactement que $0$ est un antécédent de $5$ par $g$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'image de $-2$ par la fonction $h$ est $-1$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule $h(-2) = (-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$, et non $-1$.
L'image de $-2$ par $h$ est $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au carré d'un nombre négatif : $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ et non $-4$.
Le calcul correct est : $h(-2) = (-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $h(-2) = (-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$, pas $-1$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Le nombre $0$ n'a pas d'antécédent par la fonction $f$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Chercher les antécédents de $0$ par $f$ revient à résoudre $f(x) = 0$, soit $3x - 2 = 0$, d'où $x = \dfrac{2}{3}$.
Le nombre $0$ a bien un antécédent par $f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « calculer $f(0)$ » (qui donne l'image de $0$) et « résoudre $f(x) = 0$ » (qui donne les antécédents de $0$).
Pour trouver les antécédents de $0$, on résout $f(x) = 0$ : $3x - 2 = 0$, soit $x = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On résout $f(x) = 0$, soit $3x - 2 = 0$, d'où $x = \dfrac{2}{3}$ : le nombre $0$ a un antécédent par $f$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Le nombre $2$ a exactement un antécédent par la fonction $g$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
D'après le tableau, $g(1) = 2$ et $g(3) = 2$ : le nombre $2$ a au moins deux antécédents par $g$, pas un seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
En parcourant tout le tableau, on trouve $g(1) = 2$ et $g(3) = 2$ : il ne suffit pas de s'arrêter à la première valeur trouvée.
D'après le tableau, le nombre $2$ a au moins deux antécédents par $g$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. D'après le tableau, $g(1) = 2$ et $g(3) = 2$ : le nombre $2$ a au moins deux antécédents, pas un seul.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Le point $A(1 ; 4)$ appartient à la courbe représentative de la fonction $h$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule $h(1) = 1^2 + 3 = 1 + 3 = 4$. L'ordonnée de $A$ est bien $4$ : le point $A$ appartient à la courbe de $h$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier si un point appartient à la courbe de $h$, on calcule l'image de son abscisse et on compare avec son ordonnée.
$h(1) = 1^2 + 3 = 4$ : c'est bien l'ordonnée de $A$, donc $A$ appartient à la courbe de $h$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $h(1) = 1^2 + 3 = 4$ : l'ordonnée de $A$ est $4$, donc le point $A(1 ; 4)$ appartient à la courbe de $h$.
[/solution]
[/etape]
Deux programmes de calcul
On considère deux programmes de calcul :
Programme 1 :
- Choisir un nombre
- Prendre le carré de ce nombre
- Ajouter le double du nombre de départ
- Retrancher 3
Programme 2 :
- Choisir un nombre
- Ajouter 1
- Prendre le carré du résultat
- Retrancher 4
On note $ f $ la fonction associée au programme 1 et $ g $ la fonction associée au programme 2.
- Calculer $ f(3) $ et $ g(3) $.
- Exprimer $ f(x) $ et $ g(x) $ en fonction de $ x $.
- Développer $ g(x) $. Que remarque-t-on ?
- En déduire tous les antécédents de $ 0 $ par la fonction $ f $.
On applique chaque programme au nombre $ 3 $.
Programme 1 avec le nombre $ 3 $ :
$ 3 \longrightarrow 3^2 = 9 \longrightarrow 9 + 2 \times 3 = 15 \longrightarrow 15 - 3 = 12 $
Donc $\mathbf{f(3) = 12}$.
Programme 2 avec le nombre $ 3 $ :
$ 3 \longrightarrow 3 + 1 = 4 \longrightarrow 4^2 = 16 \longrightarrow 16 - 4 = 12 $
Donc $\mathbf{g(3) = 12}$.
On applique chaque programme à un nombre $ x $ quelconque.
Programme 1 :
$ x \longrightarrow x^2 \longrightarrow x^2 + 2x \longrightarrow x^2 + 2x - 3 $
$\mathbf{f(x) = x^2 + 2x - 3}$
Programme 2 :
$ x \longrightarrow x + 1 \longrightarrow (x + 1)^2 \longrightarrow (x + 1)^2 - 4 $
$\mathbf{g(x) = (x + 1)^2 - 4}$
On développe $ g(x) $ en utilisant l'identité remarquable $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ :
$ g(x) = (x + 1)^2 - 4 $
$ g(x) = x^2 + 2x + 1 - 4 $
$ g(x) = x^2 + 2x - 3 $
On remarque que $ g(x) = f(x) $ pour tout nombre $ x $. Les deux programmes donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre de départ.
Chercher les antécédents de $ 0 $ par $ f $ revient à résoudre l'équation $ f(x) = 0 $.
Comme $ f(x) = g(x) $, on peut écrire :
$ (x + 1)^2 - 4 = 0 $
$ (x + 1)^2 = 4 $
On cherche les nombres dont le carré vaut $ 4 $ : ce sont $ 2 $ et $ -2 $.
Donc $ x + 1 = 2 $ ou $ x + 1 = -2 $, ce qui donne :
$ x = 1 $ ou $ x = -3 $
Vérification : $ f(1) = 1 + 2 - 3 = 0 $ et $ f(-3) = 9 - 6 - 3 = 0 $.
Le nombre $ 0 $ admet deux antécédents par $ f $ : $ 1 $ et $ -3 $.
Aire d’un polygone et fonction
$ ABCD $ est un rectangle tel que $ AB = 8 $ cm et $ AD = 5 $ cm. On place un point $ M $ sur le segment $ [AB] $ et un point $ N $ sur le segment $ [AD] $ tels que $ AM = AN = x $.
On appelle $ f $ la fonction qui, à la longueur $ x $, associe l'aire en cm$^2$ du polygone $ BCDNM $ (zone colorée).
- Quelles sont les valeurs possibles pour $ x $ ?
- Montrer que l'aire du triangle $ AMN $ vaut $ \dfrac{x^2}{2} $.
- En déduire que $ f(x) = 40 - \dfrac{x^2}{2} $.
- Calculer $ f(3) $. Interpréter le résultat.
- Déterminer la valeur de $ x $ pour laquelle $ f(x) = 32 $. Interpréter.
- Peut-on trouver un antécédent de $ 25 $ par la fonction $ f $ qui soit une valeur possible de $ x $ ? Justifier.
Le point $ M $ est sur le segment $ [AB] $, donc $ 0 \leqslant x \leqslant AB = 8 $.
Le point $ N $ est sur le segment $ [AD] $, donc $ AN = x \leqslant AD = 5 $.
En combinant ces deux conditions, on obtient :
$\mathbf{0 \leqslant x \leqslant 5}$
Le triangle $ AMN $ est rectangle en $ A $ (car $ ABCD $ est un rectangle, donc l'angle en $ A $ est droit).
Les deux côtés de l'angle droit mesurent $ AM = x $ et $ AN = x $.
L'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié du produit des côtés de l'angle droit :
Aire de $ AMN = \dfrac{AM \times AN}{2} = \dfrac{x \times x}{2} = \dfrac{x^2}{2} $
Le polygone $ BCDNM $ est obtenu en retirant le triangle $ AMN $ du rectangle $ ABCD $.
L'aire du rectangle $ ABCD $ vaut $ AB \times AD = 8 \times 5 = 40 $ cm$^2$.
Donc :
$ f(x) = \text{Aire de } ABCD - \text{Aire de } AMN = 40 - \dfrac{x^2}{2} $
On a bien $ f(x) = 40 - \dfrac{x^2}{2} $.
On remplace $ x $ par $ 3 $ dans l'expression de $ f $ :
$ f(3) = 40 - \dfrac{3^2}{2} = 40 - \dfrac{9}{2} = 40 - 4{,}5 = 35{,}5 $
$ f(3) = 35{,}5 $. Cela signifie que lorsque $ AM = AN = 3 $ cm, l'aire du polygone $ BCDNM $ vaut $ 35{,}5 $ cm$^2$.
On cherche la valeur de $ x $ telle que $ f(x) = 32 $, c'est-à-dire un antécédent de $ 32 $ par $ f $ :
$ 40 - \dfrac{x^2}{2} = 32 $
$ \dfrac{x^2}{2} = 40 - 32 $
$ \dfrac{x^2}{2} = 8 $
$ x^2 = 16 $
$ x = 4 $ (on ne retient que la valeur positive car $ x $ est une longueur)
Comme $ 0 \leqslant 4 \leqslant 5 $, cette valeur est bien possible.
L'aire du polygone $ BCDNM $ vaut $ 32 $ cm$^2$ lorsque $ x = 4 $ cm.
On cherche $ x $ tel que $ f(x) = 25 $ :
$ 40 - \dfrac{x^2}{2} = 25 $
$ \dfrac{x^2}{2} = 15 $
$ x^2 = 30 $
$ x = \sqrt{30} \approx 5{,}48 $
Or les valeurs possibles de $ x $ vérifient $ 0 \leqslant x \leqslant 5 $, et $ \sqrt{30} \approx 5{,}48 > 5 $.
Il n'existe pas de valeur possible de $ x $ pour laquelle $ f(x) = 25 $. Le nombre $ 25 $ n'a pas d'antécédent par $ f $ dans l'intervalle $ [0 ; 5] $.
