Vrai/Faux : Permutations et arrangements

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les permutations et les arrangements, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le nombre de permutations d'un ensemble à $6$ éléments est $6! = 720$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une permutation est un classement (ordre) de tous les éléments de l'ensemble.
Pour un ensemble à $n$ éléments, il y a $n!$ permutations, soit ici $6! = 720$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : ranger $n$ objets dans un ordre revient à choisir le premier (n possibilités), puis le second (n-1), etc.
On obtient $n \times (n-1) \times \dots \times 1 = n!$, soit $6! = 720$ permutations.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le nombre de permutations d'un ensemble à $6$ éléments est $6! = 720$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une course oppose $10$ athlètes. Le podium comprend les trois premiers, dans l'ordre.

Affirmation : Le nombre de podiums possibles est $\binom{10}{3} = 120$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Sur un podium, l'ordre compte (or, argent, bronze) : il s'agit d'un arrangement, pas d'une combinaison.
Le nombre de podiums est $A_{10}^{3} = 10 \times 9 \times 8 = 720$. La formule $\binom{10}{3} = 120$ ne distingue pas l'ordre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre arrangement et combinaison. Sur un podium, l'or, l'argent et le bronze sont des places distinctes : l'ordre est essentiel.
On compte donc des arrangements : $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$ podiums.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'ordre compte sur le podium : on obtient $A_{10}^3 = 720$ et non $\binom{10}{3} = 120$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout entier $n \geqslant 1$ et tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$, on a $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est la formule des arrangements : $A_n^k = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La formule des arrangements compte les $k$-listes d'éléments distincts d'un ensemble à $n$ éléments : $A_n^k = n(n-1)\dots(n-k+1)$.
En multipliant le numérateur et le dénominateur par $(n-k)!$, on obtient bien $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la formule classique des arrangements de $k$ éléments parmi $n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On dispose de $5$ livres distincts à ranger sur une étagère.

Affirmation : Le nombre de rangements possibles est $5^5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme les livres sont distincts et qu'on les utilise tous, il s'agit d'une permutation de $5$ éléments.
Le nombre de rangements est $5! = 120$, et non $5^5 = 3\,125$ (qui correspondrait à un tirage avec remise).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, on n'utilise pas plusieurs fois le même livre : c'est un rangement sans remise.
Le nombre de choix décroît : $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120$ rangements (formule de la permutation).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le nombre de rangements est $5! = 120$ (permutation), et non $5^5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $A_8^3 = 8 \times 7 \times 6$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le nombre $A_n^k$ est le produit de $k$ entiers consécutifs descendant de $n$.
Pour $n = 8$ et $k = 3$ : $A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $A_n^k$ compte les choix successifs sans remise de $k$ éléments parmi $n$.
On commence par $n$, puis $n-1$, etc., et on multiplie $k$ termes au total. Pour $n = 8$, $k = 3$ : $A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère le mot MATHS, formé de $5$ lettres toutes distinctes.

Affirmation : Le nombre d'anagrammes (mots formés en réordonnant les lettres) du mot MATHS est $5! = 120$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Comme les $5$ lettres sont distinctes, chaque ordre différent donne un anagramme différent : il y a $5! = 120$ anagrammes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : compter les anagrammes d'un mot, c'est compter les permutations de ses lettres.
Toutes les lettres de MATHS étant distinctes, on obtient $5! = 120$ anagrammes (sans ajustement).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $5$ lettres distinctes, on obtient $5! = 120$ anagrammes.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Factorielles et principe multiplicatif

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les factorielles et le principe multiplicatif, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $5! = 120$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a bien $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la factorielle $n!$ est le produit de tous les entiers de $1$ à $n$.
Ici $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On obtient $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $0! = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par convention, on pose $0! = 1$. Cette convention assure la cohérence des formules de dénombrement (notamment $\binom{n}{0} = \dfrac{n!}{0! \, n!} = 1$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre $0!$ avec $0 \times \dots$ : $0!$ ne se calcule pas comme un produit débutant par $0$.
Par convention, $0! = 1$, ce qui rend cohérentes les formules de combinaisons et la formule $n! = n \times (n-1)!$ pour $n = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Par convention, $0! = 1$ (et non $0$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Au restaurant, un menu se compose d'une entrée et d'un plat. Trois entrées et quatre plats sont proposés.

Affirmation : Il est possible de composer $12$ menus différents.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
D'après le principe multiplicatif, le nombre de menus est $3 \times 4 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est d'additionner les choix ($3 + 4 = 7$) au lieu de les multiplier.
Quand un objet se construit en faisant successivement des choix indépendants, on multiplie les nombres de possibilités : $3 \times 4 = 12$ menus.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par le principe multiplicatif, on obtient $3 \times 4 = 12$ menus.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{8!}{6!} = \dfrac{8}{6}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une factorielle ne se simplifie pas comme un nombre.
On a $\dfrac{8!}{6!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les notations : $8!$ et $8$ ne sont pas la même chose.
On peut simplifier en factorisant $6!$ au numérateur : $\dfrac{8!}{6!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En réalité $\dfrac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On souhaite construire un code formé de $4$ chiffres pris parmi $0,1,2,\dots,9$ (les répétitions sont autorisées).

Affirmation : Le nombre de codes possibles est $10\,000$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Chaque chiffre du code est choisi indépendamment parmi $10$ possibilités.
Par le principe multiplicatif, on obtient $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10\,000$ codes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, comme les répétitions sont autorisées, chaque position peut accueillir n'importe lequel des $10$ chiffres, indépendamment des autres.
Par le principe multiplicatif appliqué $4$ fois : $10^4 = 10\,000$ codes possibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On obtient $10^4 = 10\,000$ codes possibles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $4! + 3! = 7!$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La factorielle n'est pas additive : $4! + 3! = 24 + 6 = 30$, alors que $7! = 5\,040$.
Les deux quantités sont très différentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique est d'additionner les arguments comme dans une exponentielle ou une puissance. Cela ne fonctionne pas avec la factorielle.
On calcule séparément : $4! = 24$ et $3! = 6$, donc $4! + 3! = 30$. Or $7! = 5\,040$, donc l'égalité est fausse.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $4! + 3! = 24 + 6 = 30$, très loin de $7! = 5\,040$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Factorielles et permutations

[enonce]
Ce QCM porte sur les factorielles et les permutations : calculs de $n!$, simplifications de quotients factoriels et dénombrement de rangements ordonnés. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Calculer $5!$.
[qcm]
[option]$25$[/option]
[option]$20$[/option]
[option correct="true"]$120$[/option]
[option]$720$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25 = 5^2$. La factorielle n'est pas un carré : c'est le produit de tous les entiers de $1$ jusqu'à $n$.[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
$20 = 5 \times 4$. Le produit s'arrête à $1$, pas à $4$. Il manque les facteurs $3 \times 2 \times 1$.[/reponse]
[reponse motif="$720$"]Non.
$720 = 6!$. Bien identifier où s'arrête le produit : pour $5!$, le premier facteur est $5$, pas $6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La factorielle de $n$ est le produit de tous les entiers de $1$ à $n$. Multiplier soigneusement $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Simplifier l'expression $\dfrac{8!}{6!}$.
[qcm]
[option correct="true"]$56$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$\dfrac{4}{3}$[/option]
[option]$28$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On écrit $8! = 8 \times 7 \times 6!$, donc $\dfrac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56$. Inutile de calculer $8!$ et $6!$ séparément.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
On a confondu avec la différence des indices ($8-6=2$). La division de factorielles ne se réduit pas à la soustraction des indices.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{3}$"]Non.
On a simplifié comme une fraction « ordinaire » $\dfrac{8}{6}$. Mais $8!$ et $6!$ ne sont pas $8$ et $6$ : il faut développer pour faire apparaître les facteurs communs.[/reponse]
[reponse motif="$28$"]Non.
Le calcul $\dfrac{8 \times 7}{2}$ donne $28$, mais ici il n'y a aucune raison de diviser par $2$. Garder uniquement les facteurs qui ne se simplifient pas avec $6!$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Astuce : écrire $8! = 8 \times 7 \times 6!$ pour faire apparaître $6!$ au numérateur et le simplifier avec celui du dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot LIVRE (toutes ses lettres sont distinctes) ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$25$[/option]
[option]$24$[/option]
[option correct="true"]$120$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le mot LIVRE a $5$ lettres distinctes. Le nombre d'anagrammes est le nombre de permutations de ces $5$ lettres, soit $5! = 120$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ est le nombre de lettres du mot, pas le nombre de manières de les ranger. Chaque rangement est une permutation des $5$ lettres.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25 = 5^2$ correspondrait à un nombre de couples ordonnés avec répétition. Pour des lettres toutes différentes rangées sans répétition, on utilise une factorielle.[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24 = 4!$ correspond au nombre de permutations de $4$ lettres. Or LIVRE en a $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le nombre d'anagrammes d'un mot à $n$ lettres distinctes est $n!$. Compter d'abord les lettres.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien y a-t-il de façons de placer $6$ personnes différentes sur une rangée de $6$ chaises numérotées ?
[qcm]
[option]$36$[/option]
[option correct="true"]$720$[/option]
[option]$46\,656$[/option]
[option]$120$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Il s'agit du nombre de permutations de $6$ personnes : $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.[/reponse]
[reponse motif="$36$"]Non.
$36 = 6^2$. La situation ne se réduit pas à un carré : il y a $6$ chaises et chaque personne ne peut occuper qu'une seule place.[/reponse]
[reponse motif="$46\,656$"]Non.
$46\,656 = 6^6$ correspondrait à $6$ choix indépendants parmi $6$ avec répétition (chaque personne peut occuper toutes les chaises, sans contrainte d'unicité). Or chaque personne occupe une chaise différente.[/reponse]
[reponse motif="$120$"]Non.
$120 = 5!$ : un facteur a été oublié. Il y a bien $6$ personnes à placer, donc $6$ facteurs dans le produit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Placer $n$ personnes différentes sur $n$ chaises = permutations de $n$ éléments = $n!$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $1$. Simplifier l'expression $\dfrac{(n+1)!}{n!}$.
[qcm]
[option]$n$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$n+1$[/option]
[option]$\dfrac{1}{n+1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On utilise la relation $(n+1)! = (n+1) \times n!$. Donc $\dfrac{(n+1)!}{n!} = \dfrac{(n+1) \times n!}{n!} = n+1$.[/reponse]
[reponse motif="$n$"]Non.
On a probablement écrit $(n+1)! = n \times n!$, ce qui est faux : la définition donne $(n+1)! = (n+1) \times n!$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La fraction ne vaut $1$ que si numérateur et dénominateur sont égaux, ce qui n'est jamais le cas ici puisque $(n+1)! > n!$ dès que $n \geqslant 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{n+1}$"]Non.
La fraction a été inversée. Le numérateur $(n+1)!$ est plus grand que le dénominateur $n!$, donc le résultat doit être supérieur à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la relation de récurrence des factorielles : $(n+1)! = (n+1) \times n!$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur une étagère, on aligne $4$ romans différents et $3$ BD différentes en alternant les genres selon le motif imposé R-B-R-B-R-B-R (R = roman, B = BD). Combien de rangements possibles ?
[qcm]
[option]$5\,040$[/option]
[option]$30$[/option]
[option correct="true"]$144$[/option]
[option]$12$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On choisit l'ordre des $4$ romans dans les $4$ positions impaires : $4! = 24$ façons. On choisit l'ordre des $3$ BD dans les $3$ positions paires : $3! = 6$ façons. Par le principe multiplicatif : $24 \times 6 = 144$ rangements.[/reponse]
[reponse motif="$5\,040$"]Non.
$5\,040 = 7!$ correspond au nombre de rangements sans la contrainte d'alternance. Or l'alternance fixe les types aux positions imposées.[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
On a additionné $4! + 3! = 24 + 6 = 30$. Quand deux choix sont successifs (et indépendants), il faut multiplier et non additionner.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12 = 4 \times 3$ correspondrait à choisir un seul roman et une seule BD. Or on doit ranger les $4$ romans et les $3$ BD.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer en deux étapes : ordonner les $4$ romans entre eux puis les $3$ BD entre elles. Multiplier les deux résultats (principe multiplicatif).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Dénombrement en Python

Compléter le programme Python ci-dessous de telle sorte que la fonction factorielle retourne $ n! $ où $ n $ désigne un entier naturel passé en argument.
```
def factorielle(n) :
   f = ...
   for i in range(...) :
      f = ...
   return ...
```
Sur le modèle de la question précédente, écrire une fonction arrangement qui prend en arguments deux entiers naturels $ n $ et $ p $ et qui retourne le nombre de $ p $-uplets formés d'éléments distincts d'un ensemble à $ n $ éléments.
Écrire une fonction Python qui prend en arguments deux entiers naturels $ n $ et $ p $ et qui retourne le nombre de combinaisons $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} $.
On pourra faire appel aux fonctions définies dans les questions précédentes.

Corrigé

On utilise la définition de $ n! $ :

$ n! = n\times \left(n - 1\right)\times . . .\times 1 $

(voir Factorielle et permutations )

Le programme Python peut être complété de la façon suivante :
```
def factorielle(n) :
   f = 1
   for i in range(1, n+1) :
      f = f * i
   return f
```
Remarque : On rappelle que l'instruction for i in range(1, n+1) effectue une boucle pour i variant de 1 à n.
Le nombre de p-uplets formés de p éléments distincts d'un ensemble à $ n $ éléments est :

$ A_n^p = n \times (n - 1) \times \cdots \times (n - p+1) $

$ = \dfrac{ n! }{ (n - p) !} $

(voir p-uplets formés de p éléments distincts - Arrangements)

La fonction arrangement sera donc assez similaire à la fonction factorielle :
```
def arrangement (n, p) :
   a = 1
   for i in range(n-p+1, n+1) :
      a = a * i
   return a
```
En utilisant les fonctions définies dans les questions précédentes et le fait que :

$ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{p!\left(n - p\right)!} = \dfrac{ A_n^p }{ p! } $

(voir Combinaisons)

on obtient la fonction Python :
```
def combinaison (n, p) :
    return arrangement(n,p)//factorielle(p)
```

Remarque : L'opérateur // effectue la division entière alors que l'opérateur / (acceptable ici aussi) effectue la division décimale.