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Vrai/Faux : Somme et combinaison linéaire de variables aléatoires

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la somme et la combinaison linéaire de variables aléatoires, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même univers fini.

Affirmation : On a toujours $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$, même si $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La linéarité de l'espérance est valable sans aucune hypothèse d'indépendance : pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$, on a $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de confondre les hypothèses pour l'espérance et pour la variance.
La linéarité de l'espérance est toujours valable. C'est uniquement pour la variance que l'indépendance est nécessaire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La linéarité $E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ est valable pour toutes variables aléatoires, sans hypothèse d'indépendance.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même univers fini.

Affirmation : On a toujours $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$, sans hypothèse particulière sur $X$ et $Y$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'égalité $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ n'est valable que si $X$ et $Y$ sont indépendantes. Sans cette hypothèse, l'égalité peut être fausse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas calquer la propriété de l'espérance sur celle de la variance.
La variance d'une somme est additive uniquement quand les variables sont indépendantes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ exige que $X$ et $Y$ soient indépendantes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 4$.

Affirmation : $E(3X - 2) = 14$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par linéarité de l'espérance : $E(3X - 2) = 3E(X) - 2 = 3 \times 4 - 2 = 10$, et non $14$. L'erreur vient sans doute d'un oubli : on ne retranche $2$ qu'une seule fois, après avoir multiplié par $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : pour tous réels $a$ et $b$, $E(aX + b) = aE(X) + b$.
On obtient $E(3X - 2) = 3 \times 4 - 2 = 10$, et non $14$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On applique $E(aX+b) = aE(X)+b$, ce qui donne $E(3X-2) = 3 \times 4 - 2 = 10$, et non $14$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire de variance $V(X) = 4$.

Affirmation : $V(2X + 5) = 13$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La formule correcte est $V(aX + b) = a^2 V(X)$. La constante $b$ disparaît et le coefficient $a$ est élevé au carré.
Donc $V(2X + 5) = 2^2 \times 4 = 16$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de calquer la formule sur celle de l'espérance.
Pour la variance, $b$ disparaît et $a$ est mis au carré : $V(aX+b) = a^2 V(X)$. Ici on obtient $4 \times 4 = 16$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $V(2X+5) = 2^2 \times V(X) = 4 \times 4 = 16$, et non $13$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $V(X) = V(Y) = 3$.

Affirmation : $V(X - Y) = 6$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On écrit $X - Y = X + (-1) \times Y$. Comme $Y$ et $-Y$ ont même variance et que $X$ et $-Y$ sont indépendantes :
$V(X - Y) = V(X) + V(-Y) = V(X) + (-1)^2 V(Y) = 3 + 3 = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une erreur fréquente est de croire que la variance peut être négative à cause du signe « moins ».
Or $V(-Y) = (-1)^2 V(Y) = V(Y)$. La variance d'une différence de variables indépendantes est donc la somme des variances.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour $X$ et $Y$ indépendantes, $V(X-Y) = V(X) + V(Y) = 3 + 3 = 6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes.

Affirmation : $V(2X + 3Y) = 4V(X) + 9V(Y)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, $2X$ et $3Y$ aussi, donc :
$V(2X + 3Y) = V(2X) + V(3Y) = 2^2 V(X) + 3^2 V(Y) = 4V(X) + 9V(Y)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre coefficient et carré : chaque coefficient devient son carré dans la variance.
Avec l'indépendance : $V(2X+3Y) = 2^2 V(X) + 3^2 V(Y) = 4V(X) + 9V(Y)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Sous l'hypothèse d'indépendance, $V(aX + bY) = a^2 V(X) + b^2 V(Y)$, ce qui donne ici $4V(X) + 9V(Y)$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Loi des grands nombres

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : combinaisons de variables aléatoires, moyenne empirique, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration et estimation d'une fréquence. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent respectivement les lois binomiales $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$ et $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. Que vaut $E(X+Y)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}3$[/option]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$9$[/option]
[option]$30$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$, l'espérance vaut $np$.
$E(X) = 10 \times 0{,}3 = 3$ et $E(Y) = 20 \times 0{,}3 = 6$.
Par linéarité $E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 3 + 6 = 9$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}3$"]Non.
$0{,}3$ est la probabilité $p$. Il faut multiplier par les tailles $n$ correspondantes avant d'additionner.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3 = E(X)$ uniquement : $E(Y) = 6$ a été oublié. La linéarité de l'espérance ajoute les deux termes.[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30 = 10 + 20$ : c'est la somme des tailles, sans multiplication par $p$. Pour une loi binomiale, l'espérance est $np$, pas $n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $E(X) = n_X p$ et $E(Y) = n_Y p$, puis additionner.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Avec les mêmes variables $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$ et $Y \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$ indépendantes, que vaut $V(X+Y)$ ?
[qcm]
[option]$2{,}1$[/option]
[option correct="true"]$6{,}3$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]$8{,}82$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Pour une loi binomiale, $V = np(1-p)$.
$V(X) = 10 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 2{,}1$ et $V(Y) = 20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 4{,}2$.
Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X+Y) = V(X) + V(Y) = 2{,}1 + 4{,}2 = 6{,}3$.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}1$"]Non.
$2{,}1 = V(X)$ uniquement. La variance $V(Y) = 4{,}2$ a été oubliée. Pour des variables indépendantes, on ajoute les deux variances.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9 = E(X+Y)$ : c'est la valeur de l'espérance, pas de la variance. La variance d'une binomiale est $np(1-p)$, pas $np$.[/reponse]
[reponse motif="$8{,}82$"]Non.
$8{,}82 = 2{,}1 \times 4{,}2 = V(X) \times V(Y)$ : on additionne les variances pour des variables indépendantes, on ne les multiplie pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $V(X) = n_X p (1-p)$ et $V(Y) = n_Y p (1-p)$, puis additionner.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$M_n$ est la moyenne empirique d'un échantillon de taille $n = 400$ d'une loi de variance $\sigma^2 = 2$ et d'espérance $\mu$. Donner la majoration de $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}2\right)$ par l'inégalité de concentration.
[qcm]
[option]$0{,}25$[/option]
[option]$0{,}05$[/option]
[option correct="true"]$0{,}125$[/option]
[option]$12{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On applique $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ avec $\sigma^2 = 2$, $n = 400$ et $\varepsilon^2 = 0{,}04$ :
$\dfrac{2}{400 \times 0{,}04} = \dfrac{2}{16} = 0{,}125$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
$0{,}25 = \dfrac{2}{8}$ : le carré sur $\varepsilon$ a été remplacé par un facteur $0{,}2$. Or $\varepsilon^2 = 0{,}04$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}05$"]Non.
$0{,}05 = \dfrac{2}{40}$ : il manque un facteur $10$ au dénominateur. Vérifier le calcul de $n\varepsilon^2 = 400 \times 0{,}04$.[/reponse]
[reponse motif="$12{,}5$"]Non.
Une probabilité ne peut pas dépasser $1$. La position du dénominateur a été inversée : recalculer $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ avec $\sigma^2 = 2$, $n = 400$ et $\varepsilon = 0{,}2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle hypothèse doit être vérifiée pour que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à une variable aléatoire $X$ ?
[qcm]
[option]$X$ doit suivre une loi normale.[/option]
[option]$X$ doit prendre uniquement des valeurs positives.[/option]
[option correct="true"]$X$ doit admettre une espérance $\mu$ et un écart-type $\sigma$.[/option]
[option]$X$ doit être une moyenne empirique $M_n$.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à toute variable aléatoire admettant une espérance et un écart-type. C'est précisément ce qui en fait un outil très général.[/reponse]
[reponse motif="$X$ doit suivre une loi normale."]Non.
Aucune hypothèse de loi particulière n'est nécessaire. La force de Bienaymé-Tchebychev est justement d'être valable pour toute variable possédant une espérance et un écart-type.[/reponse]
[reponse motif="$X$ doit prendre uniquement des valeurs positives."]Non.
La positivité n'est pas requise. L'inégalité concerne l'écart $|X - \mu|$, qui est positif quel que soit le signe de $X$.[/reponse]
[reponse motif="$X$ doit être une moyenne empirique $M_n$."]Non.
Cette restriction concerne l'inégalité de concentration, qui est un cas particulier. Bienaymé-Tchebychev s'applique à n'importe quelle variable aléatoire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Bienaymé-Tchebychev est une inégalité très générale : elle ne demande qu'une espérance et un écart-type bien définis.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour estimer la proportion $p$ d'individus possédant une certaine caractéristique dans une population, on réalise un sondage de taille $n$. On note $F_n$ la fréquence empirique observée et on rappelle que $\sigma^2 = p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}$. Quelle est la taille minimale entière de $n$ permettant de garantir, par l'inégalité de concentration, $p\!\left(|F_n - p| \geqslant 0{,}01\right) \leqslant 0{,}01$ ?
[qcm]
[option]$2\,500$[/option]
[option]$25\,000$[/option]
[option correct="true"]$250\,000$[/option]
[option]$10\,000$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On utilise la majoration la plus défavorable $\sigma^2 \leqslant \dfrac{1}{4}$.
On résout $\dfrac{1/4}{n \times 0{,}0001} \leqslant 0{,}01$, soit $\dfrac{2500}{n} \leqslant 0{,}01$, donc $n \geqslant \dfrac{2500}{0{,}01} = 250\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$2\,500$"]Non.
$2\,500 = \dfrac{1}{4 \times 0{,}0001}$ : c'est seulement le coefficient $\dfrac{1}{4\varepsilon^2}$. Il manque la division par le seuil $0{,}01$.[/reponse]
[reponse motif="$25\,000$"]Non.
$25\,000$ correspond à un seuil de $0{,}1$ et non $0{,}01$, ou à une erreur d'un facteur $10$ dans le calcul. Reprendre $\dfrac{2500}{0{,}01}$.[/reponse]
[reponse motif="$10\,000$"]Non.
$10\,000 = \dfrac{1}{\varepsilon^2}$ : la majoration de $\sigma^2$ et le seuil $0{,}01$ n'ont pas été inclus dans le calcul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \leqslant 0{,}01$ en utilisant la majoration $\sigma^2 \leqslant \dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un fabricant produit des pièces dont la masse $X$ a pour espérance $\mu = 50$ g et pour écart-type $\sigma = 1$ g. Sur un lot de $n = 100$ pièces, la moyenne $M_n$ est calculée. Quelle est la plus grande minoration de $p\!\left(|M_n - 50| < 0{,}5\right)$ que l'on peut déduire de l'inégalité de concentration ?
[qcm]
[option]$0{,}04$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$0{,}96$[/option]
[option]$0{,}25$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On majore d'abord la probabilité de l'événement contraire avec $\sigma^2 = 1$, $n = 100$, $\varepsilon^2 = 0{,}25$ :
$p\!\left(|M_n - 50| \geqslant 0{,}5\right) \leqslant \dfrac{1}{100 \times 0{,}25} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04$.
Donc $p\!\left(|M_n - 50| < 0{,}5\right) \geqslant 1 - 0{,}04 = 0{,}96$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}04$"]Non.
$0{,}04$ est la majoration de l'événement contraire (l'écart dépasse $0{,}5$). Pour la probabilité demandée, il faut prendre le complément à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ ne correspond à aucun calcul issu de l'inégalité de concentration. Procéder en deux temps : majorer le contraire, puis passer au complément.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
$0{,}25 = \varepsilon^2$ : c'est une étape de calcul, pas la majoration finale. Reprendre $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ puis le complément à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Majorer d'abord $p\!\left(|M_n - 50| \geqslant 0{,}5\right)$ par l'inégalité de concentration, puis prendre le complément à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Somme et combinaison linéaire de variables aléatoires

[enonce]
Ce QCM porte sur les opérations sur les variables aléatoires : espérance, variance et écart-type d'une combinaison linéaire $aX+b$ ou d'une somme $X+Y$. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires telles que $E(X)=4$ et $E(Y)=3$. Que vaut $E(X+Y)$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$12$[/option]
[option]$3{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La linéarité de l'espérance donne $E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 4 + 3 = 7$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1 = 4 - 3$ : c'est une soustraction. La linéarité donne une somme des espérances.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12 = 4 \times 3$ : c'est un produit. Pour la somme $X+Y$, on additionne les espérances, on ne les multiplie pas.[/reponse]
[reponse motif="$3{,}5$"]Non.
$3{,}5 = \dfrac{4+3}{2}$ : c'est la moyenne des deux espérances. La formule attendue est juste leur somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la linéarité $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ est une variable aléatoire telle que $E(X)=5$. Que vaut $E(2X+3)$ ?
[qcm]
[option]$8$[/option]
[option]$10$[/option]
[option correct="true"]$13$[/option]
[option]$16$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
La linéarité donne $E(2X+3) = 2\,E(X) + 3 = 2 \times 5 + 3 = 13$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8 = 5 + 3$ : le facteur $2$ devant $X$ a été oublié. Il multiplie l'espérance de $X$.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10 = 2 \times 5$ : la constante $+3$ a été oubliée. Elle s'ajoute après avoir multiplié l'espérance.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
$16 = 2 \times (5 + 3)$ : la constante $+3$ a été incluse dans la multiplication. Elle ne doit pas être multipliée par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la formule $E(aX+b) = a\,E(X) + b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ est une variable aléatoire de variance $V(X)=4$. Que vaut $V(3X+2)$ ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option]$14$[/option]
[option correct="true"]$36$[/option]
[option]$38$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La formule pour la variance d'une combinaison linéaire est $V(aX+b) = a^2\,V(X)$.
$V(3X+2) = 3^2 \times 4 = 9 \times 4 = 36$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12 = 3 \times 4$ : le coefficient devant $V(X)$ est $a^2$, pas $a$. La variance est sensible au carré du facteur multiplicatif.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
$14 = 3 \times 4 + 2$ : la constante $+2$ ne doit pas apparaître dans la variance. Elle ne change pas la dispersion.[/reponse]
[reponse motif="$38$"]Non.
$38 = 9 \times 4 + 2$ : la constante $+b$ disparaît de la variance, elle ne s'ajoute pas au résultat.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la formule $V(aX+b) = a^2\,V(X)$ : la constante disparaît, le facteur est élevé au carré.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes telles que $V(X)=2$ et $V(Y)=3$. Que vaut $V(X+Y)$ ?
[qcm]
[option]$\sqrt{5}$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X+Y) = V(X) + V(Y) = 2 + 3 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{5}$"]Non.
$\sqrt{5}$ correspondrait à un écart-type. La question porte sur la variance, qui est la somme des variances pour des variables indépendantes.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1 = 3 - 2$ : c'est une soustraction. Pour des variables indépendantes, les variances s'additionnent.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6 = 2 \times 3$ : c'est un produit. La formule donne une somme : $V(X) + V(Y)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour deux variables indépendantes : $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ est une variable aléatoire d'écart-type $\sigma(X) = 2$. Que vaut $\sigma(5X)$ ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$10$[/option]
[option]$25$[/option]
[option]$50$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La formule donne $\sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)$.
$\sigma(5X) = 5 \times 2 = 10$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4 = 2^2$ : le facteur $5$ a disparu et la valeur a été élevée au carré. Pour l'écart-type, on multiplie par $|a|$ sans élever au carré.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25 = 5^2$ : le facteur a été élevé au carré, ce qui correspond à la variance, pas à l'écart-type.[/reponse]
[reponse motif="$50$"]Non.
$50 = 5^2 \times 2$ : c'est la formule de la variance $V(aX) = a^2 V(X)$, pas celle de l'écart-type.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser $\sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)$ : le facteur multiplie l'écart-type sans être élevé au carré.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes avec $\sigma(X)=3$ et $\sigma(Y)=4$. Que vaut $\sigma(X+Y)$ ?
[qcm]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$12$[/option]
[option]$25$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour deux variables indépendantes, les variances s'additionnent. Or $\sigma^2 = V$ donc :
$\sigma(X+Y) = \sqrt{\sigma(X)^2 + \sigma(Y)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7 = 3 + 4$ : les écarts-types ne s'additionnent pas directement. Ce sont les variances qui s'additionnent (pour des variables indépendantes).[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12 = 3 \times 4$ : on n'effectue pas un produit. La bonne formule passe par les variances avant de reprendre la racine.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25 = 9 + 16$ : c'est la variance $V(X+Y)$, pas l'écart-type. Il manque la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Additionner les variances $\sigma(X)^2 + \sigma(Y)^2$, puis prendre la racine carrée du résultat.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Somme de variables aléatoires – indépendance

Une urne contient trois boules indiscernables numérotées de 1 à 3.
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de cette urne.

On note :

  • $ X_1 $ le numéro de la première boule
  • $ X_2 $ le numéro de la seconde boule
  • $ Y=X_1+X_2 $
  1. Représenter cette expérience à l'aide d'un arbre pondéré.
  2. Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $ X_1 $.
  3. En utilisant l'arbre de la question 1., calculer $ p(X_2 =1), p(X_2 =2) $ et $ p(X_2 =3). $
  4. Que vaut $ p((X_1=1) \cap (X_2=2)) $ ?
    Les variables $ X_1 $ et $ X_2 $ sont-elles indépendantes ?
    1. À l'aide d'une phrase, décrire ce que représente la variable aléatoire $ Y $ dans le cadre de l'exercice.
    2. Déterminer l'espérance mathématique des variables aléatoires $ X_1, X_2 $ et $ Y $.
    1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $ Y $.
    2. Retrouver l'espérance mathématique de $ Y $ obtenue à la question 5..
    1. Calculer les variances $ V(X_1), V(X_2) $ et $ V(Y) $.
    2. A-t-on $ V(Y) = V(X_1) + V(X_2)~? $

Corrigé

  1. Dans l'arbre ci-dessous les événements $ X_1=1, X_1=2, X_1=3 $ ont été représenté par $ \red1, \red2, \red3 $ et les événements $ X_2=1, X_2=2, X_2=3 $ par $ \blue1, \blue2, \blue3 $ :

    Arbre pondéré

  2. $ X_1 $ suit la loi représentée par le tableau :

    $ x_i $ 1 2 3
    $ p(X_1= x_i) $ $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $ $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $ $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $
  3. D'après la formule des probabilités totales :

    $ \begin{aligned} p(X_2=1) &= p((X_1=2) \cap (X_2=1)) + p((X_1=3) \cap (X_2=1)) \\ \\ &= \dfrac{ 1 }{ 2 } \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + \dfrac{ 1 }{ 2 } \times \dfrac{ 1 }{ 3 } \\ \\ &= \dfrac{ 1 }{ 3 } \end{aligned} $
    Un calcul analogue donne $ p(X_2=2) = p(X_2=3) = \dfrac{ 1 }{ 3 } $
  4. D'après l'arbre on trouve que :

    $ p((X_1=1) \cap (X_2=2)) = \dfrac{ 1 }{ 3 } \times \dfrac{ 1 }{ 2 } = \dfrac{ 1 }{ 6} $

    tandis que :
    $ p(X_1=1) \times p(X_2=2) = \dfrac{ 1 }{ 3 } \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 1 }{ 9} $

    Comme $ p((X_1=1) \cap (X_2=2)) \neq p(X_1=1) \times p(X_2=2) $ , les variables $ X_1 $ et $ X_2 $ ne sont pas indépendantes.
    1. La variable aléatoire $ Y $ représente la somme des nombres inscrits sur les deux boules.
    2. $ E(X_1) = 1 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 3 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = 2 $

      De même :
      $ E(X_2) = 1 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 3 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = 2 $

      Par conséquent :

      $ E(Y) = E(X_1)+E(X_2) = 2+2 = 4 $
      (la formule $ E(X_1 + X_2) = E(X_1)+E(X_2) $est valable même si les deux variables aléatoires ne sont pas indépendantes.)

    1. La variable aléatoire $ Y $ peut prendre les valeurs entières comprises entre $ 3 $ et $ 5 $.

      À l'aide de l'arbre et d'un raisonnement similaire à celui de la question 4., on obtient le tableau :

      $ y_i $ 3 4 5
      $ p(Y= y_i) $ $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $ $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $ $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $
    2. On retrouve bien alors :

      $ E(Y) = 3 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 4 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 5 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = 4 $
    1. D'après la formule de la variance :

      $ V(X_1) = E(X_1^2) - E(X_1)^2 $

      Or :
      $ E(X_1^2) = 1^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 2^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 3^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 14 }{ 3 } $

      par conséquent :

      $ V(X_1) = \dfrac{ 14 }{ 3 } - 2^2 = \dfrac{ 2 }{ 3 }. $

      Le calcul et le résultat sont identiques pour $ X_2 $ donc $ V(X_2) = \dfrac{ 2 }{ 3 }. $

      Pour $ Y $ on obtient :

      $ E(Y^2) = 3^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 4^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 5^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 50 }{ 3 } $

      et :

      $ V(Y) = \dfrac{ 50 }{ 3 } - 4^2 = \dfrac{ 2 }{ 3 } $
    2. On voit que $ V(Y) \neq V(X_1) + V(X_2) $, ce qui confirme le fait que $ X_1 $ et $ X_2 $ ne sont pas indépendantes.

→ Pour réviser : Déterminer la loi d'une somme de variables aléatoires