1. On répète $ 50 $ fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli à deux issues : « le client demande une baguette traditionnelle » (succès, de probabilité $ p = 0{,}15 $) et « le client n'en demande pas » (échec, de probabilité $ 1 - p = 0{,}85 $). La variable $ X $ compte le nombre de succès.

   Donc $ X $ suit la loi binomiale $ \mathscr B \left(50\ ;\ 0{,}15\right) $.

2. L'espérance est $ E\left(X\right) = np $ :

   $ E\left(X\right) = 50 \times 0{,}15 $ = $\mathbf{7{,}5}$.

   En moyenne, $ 7{,}5 $ clients sur $ 50 $ demandent une baguette traditionnelle.

   La variance est $ V\left(X\right) = np\left(1 - p\right) $ :

   $ V\left(X\right) = 50 \times 0{,}15 \times 0{,}85 = 6{,}375 $.

   L'écart-type est donc :

   $ \sigma\left(X\right) = \sqrt{6{,}375} \approx $ $\mathbf{2{,}52}$.

3. Le boulanger satisfait tous les clients si, et seulement si, le nombre de demandes ne dépasse pas le stock disponible, c'est-à-dire $ X \leqslant 10 $.

   À l'aide de la calculatrice (fonction binomFRép ou binomcdf avec $ n = 50 $, $ p = 0{,}15 $, $ k = 10 $) :

   $ p\left(X \leqslant 10\right) \approx $ $\mathbf{0{,}880}$.

   La probabilité que le boulanger satisfasse tous les clients avec un stock de $ 10 $ baguettes est environ $ 0{,}880 $.

4. 1. Le boulanger satisfait tous les clients si $ X \leqslant k $. La condition s'écrit donc :

      $ p\left(X \leqslant k\right) \geqslant 0{,}95 $.

   2. À la calculatrice, on calcule $ p\left(X \leqslant k\right) $ pour différentes valeurs de $ k $ :

      $k$	$10$	$11$	$12$	$13$
      $p(X\leqslant k)$	$0{,}880$	$0{,}937$	$0{,}970$	$0{,}987$

      La plus petite valeur de $ k $ vérifiant $ p\left(X \leqslant k\right) \geqslant 0{,}95 $ est $\mathbf{k = 12}$.

      Le boulanger doit préparer au minimum $ 12 $ baguettes traditionnelles pour avoir au moins $ 95\% $ de chances de satisfaire tous les clients.

5. Avec un stock de $ 12 $ baguettes, le boulanger est en rupture si $ X \geqslant 13 $. Or :

   $ p\left(X \geqslant 13\right) = 1 - p\left(X \leqslant 12\right) $

   $ p\left(X \geqslant 13\right) \approx 1 - 0{,}970 \approx $ $\mathbf{0{,}030}$.

   La probabilité de rupture avec ce stock est d'environ $ 3\% $.

→ Pour réviser : Calculer et interpréter l'espérance d'une loi binomiale

1. On répète $ 11 $ fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli ayant deux issues : « marquer » (succès, de probabilité $ p = 0{,}7 $) et « manquer » (échec, de probabilité $ 1 - p = 0{,}3 $). La variable $ X $ compte le nombre de succès.

   Donc $ X $ suit la loi binomiale $ \mathscr B \left(11\ ;\ 0{,}7\right) $.

2. D'après la formule de la loi binomiale :

   $ p\left(X = 8\right) = \begin{pmatrix} 11 \\ 8 \end{pmatrix} \times 0{,}7^{8} \times 0{,}3^{3} $

   $ p\left(X = 8\right) = 165 \times 0{,}05764801 \times 0{,}027 $

   $ p\left(X = 8\right) \approx $ $\mathbf{0{,}257}$.

   La probabilité que le joueur marque exactement $ 8 $ tirs est environ $ 0{,}257 $.

3. L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi $ \mathscr B \left(n\ ;\ p\right) $ est $ E\left(X\right) = np $ :

   $ E\left(X\right) = 11 \times 0{,}7 $ = $\mathbf{7{,}7}$.

   Interprétation : sur un grand nombre de séances de $ 11 $ tirs, le joueur marque en moyenne $ 7{,}7 $ tirs par séance.

   La variance est $ V\left(X\right) = np\left(1 - p\right) $ :

   $ V\left(X\right) = 11 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 2{,}31 $.

   L'écart-type est donc :

   $ \sigma\left(X\right) = \sqrt{2{,}31} \approx $ $\mathbf{1{,}52}$.

4. On calcule :

   $ p\left(X \geqslant 9\right) = p\left(X = 9\right) + p\left(X = 10\right) + p\left(X = 11\right) $

   $ p\left(X = 9\right) = \begin{pmatrix} 11 \\ 9 \end{pmatrix} \times 0{,}7^{9} \times 0{,}3^{2} = 55 \times 0{,}040353607 \times 0{,}09 \approx 0{,}1998 $

   $ p\left(X = 10\right) = \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} \times 0{,}7^{10} \times 0{,}3^{1} = 11 \times 0{,}0282475 \times 0{,}3 \approx 0{,}0932 $

   $ p\left(X = 11\right) = 0{,}7^{11} \approx 0{,}0198 $

   D'où :

   $ p\left(X \geqslant 9\right) \approx 0{,}1998 + 0{,}0932 + 0{,}0198 \approx $ $\mathbf{0{,}313}$.

   La probabilité que le joueur marque au moins $ 9 $ tirs sur $ 11 $ est environ $ 0{,}313 $.

→ Pour réviser : Calculer et interpréter l'espérance d'une loi binomiale

Partie A

1. On place dans le tableau les données fournies par l'énoncé  :

   • 3% des tablettes présentent un défaut de disque dur ;
   • 4% des tablettes présentent un défaut d'écran ;
   • 95% des tablettes ne présentent aucun des deux défauts.

   $ \ $	Disque dur OK	Disque dur défectueux	Total
   Écran OK	95%	$ \cdots $	$ \cdots $
   Écran défectueux	$ \cdots $	$ \cdots $	4%
   Total	$ \cdots $	3%	100 %

   On complète ensuite les totaux partiels afin que le total global soit égal à 100%  :

   $ \ $	Disque dur OK	Disque dur défectueux	Total
   Écran OK	95%	$ \cdots $	96%
   Écran défectueux	$ \cdots $	$ \cdots $	4%
   Total	97%	3%	100 %

   Les données restantes peuvent être calculées simplement à partir des totaux  :

   $ \ $	Disque dur OK	Disque dur défectueux	Total
   Écran OK	95%	1%	96%
   Écran défectueux	2%	2%	4%
   Total	97%	3%	100 %

2. La variable aléatoire $ X $ peut prendre quatre valeurs distinctes ; le tableau de la question précédente fournit la probabilité de chacune d'elle  :

   • si la tablette ne présente aucun défaut  : $ {X=250} $ (probabilité  : 0,95) ;
   • si la tablette présente uniquement un défaut de disque dur  : $ {X=250+30=280} $ (probabilité  : 0,01) ;
   • si la tablette présente uniquement un défaut d'écran  :$ {X=250+50=300} $ (probabilité  : 0,02) ;
   • si la tablette présente à la fois un défaut de disque dur et un défaut d'écran  : $ {X=250+50+30=330} $ (probabilité  : 0,02).

   On peut regrouper ces résultats dans un tableau  :

   $ x_i $	250	280	300	330
   $ p(X=x_i) $	0{,}95	0{,}01	0{,}02	0{,}02

   À retenir

   La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est un tableau qui recense les différentes valeurs $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ prises par X et les probabilités des événements $ {(X=x_1), (X=x_2), \cdots, (X=x_n)} $

3. L'espérance mathématique de $ X $ est  :

   $ E(X)=250 \times 0{,}95 + 280 \times 0{,}01 + 300 \times 0{,}02 + 330 \times 0{,}02 = 252{,}9 $.

   Remarque

   À retenir

   Si $ X $ est une variable aléatoire qui prend les valeurs $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ avec les probabilités respectives $ p_1, p_2, \cdots, p_n $, l'espérance mathématique de X est  :

   $ E(X)=p_1x_1+p_2x_2+ \cdots +p_nx_n $

4. D'après la question précédente, le prix de revient moyen d'une tablette est de 252,9 euros.

   Si chaque tablette est vendu 400 euros, le bénéfice moyen par tablette vendue sera de $ 400 - 252{,}9 = 147{,}1 $ euros.

   Pour une vente mensuelle de 750 tablettes, l'entreprise fera un bénéfice mensuel moyen de $ 750 \times 147{,}1 = 110\,325 $ euros.

Partie B

1. La variable aléatoire $ Y $ suit une loi binomiale de paramètres $ n=50 $ et $ p=0{,}05 $ puisque  :

   • on assimile l'expérience à la répétition de 50 tirages aléatoires identiques et indépendants ;

   • chaque tirage possède deux issues  :

     • succès, correspondant au tirage d'une tablette défectueuse (probabilité $ p=0{,}05 $) ;
     • échec, correspondant au tirage d'une tablette fonctionnant correctement ;
   • la variable aléatoire $ Y $ comptabilise le nombre de succès.

   Remarque

   Bien rédiger

   Pour montrer qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale $ \mathscr{B}(n~;~p) $ de paramètres $ n $ et $ p $, on précise que  :

   • l'expérience aléatoire est la répétition de $ n $ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ;

   • chaque épreuve de Bernoulli possède deux issues  :

     • succès, de probabilité $ p $;
     • échec, de probabilité $ 1 - p $ ;
   • la variable aléatoire $ X $ comptabilise le nombre de succès.

2. La probabilité qu'aucune des tablettes achetées par l'établissement ne présente de défaut est  :

   $ P(Y=0)=\binom{50}{0} \times 0{,}05^{0} \times 0{,}95^{50}=0{,}95^{50} $

   $ P(Y=0) \approx 0{,}077 $ (arrondi au millième).

   Remarque

   À retenir

   Si la variable aléatoire $ X $ suit une loi binomiale $ \mathscr B \left(n ; p\right) $, pour tout entier naturel $ k $ compris entre $ 0 $ et $ n $, la probabilité que $ X $ prenne la valeur $ k $ est  :

   $ P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\,p^{k}\left(1 - p\right)^{n - k} $

3. L'espérance mathématique de $ Y $ est  :

   $ E(Y)=np=50 \times 0{,}05=2{,}5 $.

   En moyenne, parmi les 50 tablettes achetées par l'école, 2,5 tablettes présenteront un défaut.

   Remarque

   À retenir

   Pour une variable aléatoire $ X $ qui suit une loi binomiale $ \mathscr B \left(n ; p\right) $, l'espérance mathématique vaut  :

   $ E(X)=np $