Deux applications du théorème de Thalès

[enonce]
Dans un triangle $ABC$, on a : $AB = 10$, $AC = 8$ et $BC = 6$.

Le point $M$ est sur le segment $[AB]$ tel que $AM = 4$ et le point $N$ est sur le segment $[AC]$ tel que $(MN) /\!/ (BC)$.

Le point $P$ est sur le segment $[AB]$ tel que $AP = 7{,}5$ et le point $Q$ est sur le segment $[AC]$ tel que $AQ = 6$.

Triangle ABC avec les points M et N sur les côtés (droite MN parallèle à BC en bleu) et les points P et Q (droite PQ en pointillés)

Partie 1 : Calculer $AN$ et $MN$.
Partie 2 : Les droites $(PQ)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Si oui, calculer $PQ$.
[/enonce]

[etape]
On sait que $(MN) /\!/ (BC)$. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés.

Quelle propriété utiliser pour calculer $AN$ et $MN$ ?

[qcm]
[option]La réciproque du théorème de Thalès[/option]
[option correct="true"]Le théorème de Thalès[/option]
[option]Le théorème de Pythagore[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. On connait le parallélisme $(MN) /\!/ (BC)$ et on veut calculer des longueurs : c'est le théorème de Thalès (partie directe).[/reponse]
[reponse motif="La réciproque du théorème de Thalès"]La réciproque sert à prouver un parallélisme. Ici, on sait déjà que $(MN) /\!/ (BC)$ et on veut calculer des longueurs : c'est la partie directe du théorème.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Il ne s'agit pas d'un triangle rectangle. On connait un parallélisme et on veut calculer des longueurs.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
C'est le théorème de Thalès (partie directe), car $(MN) /\!/ (BC)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $AN$.

$AN = $ [[an]]

[math id="an" attendu="3.2"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, donc $AN = \dfrac{4 \times 8}{10} = 3{,}2$.[/reponse]
[reponse motif="20"]Tu as peut-être inversé le produit en croix. Vérifie quel terme est au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Écris l'égalité de Thalès qui fait intervenir $AN$, puis isole $AN$ par produit en croix.[/reponse]
[aide essai="2"]L'égalité de Thalès donne $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, soit $\dfrac{4}{10} = \dfrac{AN}{8}$.[/aide]
[aide essai="3"]$AN = \dfrac{4 \times 8}{10} = \dfrac{32}{10} = 3{,}2$.[/aide]
[/math]
[solution]
$AN = \dfrac{4 \times 8}{10} = 3{,}2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $MN$.

$MN = $ [[mn]]

[math id="mn" attendu="2.4"]
[reponse statut="correct"]Exact. $MN = BC \times \dfrac{AM}{AB} = 6 \times \dfrac{4}{10} = 2{,}4$.[/reponse]
[reponse motif="15"]Tu as peut-être calculé $\dfrac{AB \times BC}{AM}$. Vérifie l'ordre du produit en croix.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même méthode : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$, donc $MN = \dfrac{AM \times BC}{AB}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$MN = \dfrac{4 \times 6}{10}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{4 \times 6}{10} = \dfrac{24}{10} = 2{,}4$.[/aide]
[/math]
[solution]
$MN = \dfrac{4 \times 6}{10} = 2{,}4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On passe à la partie 2. On a $AP = 7{,}5$ et $AQ = 6$.

Les droites $(PQ)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Calculer $\dfrac{AP}{AB}$.

$\dfrac{AP}{AB} = $ [[r1]]

[math id="r1" attendu="\frac{3}{4}"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{7{,}5}{10} = \dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplace par les valeurs : $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{7{,}5}{10}$. Simplifie cette fraction.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{7{,}5}{10} = \dfrac{75}{100}$. Simplifie par 25.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$.[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{7{,}5}{10} = \dfrac{3}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $\dfrac{AQ}{AC}$.

$\dfrac{AQ}{AC} = $ [[r2]]

[math id="r2" attendu="\frac{3}{4}"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplace par les valeurs : $\dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{6}{8}$. Simplifie cette fraction.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{6}{8}$ : divise le numérateur et le dénominateur par 2.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On a $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{3}{4}$. Les points $A$, $M$, $P$, $B$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $N$, $Q$, $C$ sont alignés dans cet ordre.

Que peut-on conclure ?

[qcm]
[option]$(PQ)$ n'est pas parallèle à $(BC)$[/option]
[option]On ne peut pas conclure[/option]
[option correct="true"]$(PQ) /\!/ (BC)$ d'après la réciproque du théorème de Thalès[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. Les points sont alignés dans le même ordre et les rapports sont égaux. D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(PQ) /\!/ (BC)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les rapports $\dfrac{AP}{AB}$ et $\dfrac{AQ}{AC}$ sont tous les deux égaux à $\dfrac{3}{4}$, et les points sont alignés dans le même ordre. La réciproque du théorème de Thalès s'applique.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(PQ) /\!/ (BC)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $PQ$.

$PQ = $ [[pq]]

[math id="pq" attendu="4.5"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{PQ}{BC}$, donc $PQ = BC \times \dfrac{3}{4} = 6 \times \dfrac{3}{4} = 4{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="8"]Tu as peut-être calculé $\dfrac{AB \times BC}{AP}$. Vérifie le sens du produit en croix.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]On a $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{PQ}{BC}$, donc $PQ = \dfrac{AP \times BC}{AB}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$PQ = BC \times \dfrac{AP}{AB} = 6 \times \dfrac{3}{4}$.[/aide]
[aide essai="3"]$6 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{18}{4} = 4{,}5$.[/aide]
[/math]
[solution]
$PQ = 6 \times \dfrac{3}{4} = 4{,}5$.
[/solution]
[/etape]

La voile de bateau

[enonce]
Une voile de bateau a la forme d'un triangle $PMW$. Pour la renforcer, on coud une bande de tissu le long du segment $[CT]$, parallèle à la base $[MW]$.

On donne : $PM = 6$ m, $PW = 4{,}5$ m, $MW = 3{,}6$ m et $PC = 2$ m.

Le point $C$ est sur $[PM]$ et le point $T$ est sur $[PW]$.

Triangle PMW représentant la voile avec la bande CT parallèle à la base MW

Calculer les longueurs $PT$ et $CT$.
[/enonce]

[etape]
Les points $P$, $C$, $M$ sont alignés et les points $P$, $T$, $W$ sont alignés. Les droites $(CT)$ et $(MW)$ sont parallèles.

Quelle propriété permet de calculer les longueurs manquantes ?

[qcm]
[option correct="true"]Le théorème de Thalès[/option]
[option]Le théorème de Pythagore[/option]
[option]La réciproque du théorème de Thalès[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. On a deux droites sécantes en $P$ coupées par deux droites parallèles $(CT)$ et $(MW)$ : c'est une configuration de Thalès.[/reponse]
[reponse motif="La réciproque du théorème de Thalès"]La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles. Ici, on sait déjà que $(CT) /\!/ (MW)$ et on veut calculer des longueurs : c'est le théorème de Thalès (partie directe).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]On connait un parallélisme et des longueurs. Il ne s'agit pas d'un triangle rectangle, donc Pythagore ne s'applique pas ici.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
C'est le théorème de Thalès qui s'applique, car $(CT) /\!/ (MW)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Parmi ces égalités de rapports, laquelle est donnée par le théorème de Thalès ?

[qcm]
[option]$\dfrac{PC}{CM} = \dfrac{PT}{TW} = \dfrac{CT}{MW}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{PT}{PW} = \dfrac{CT}{MW}$[/option]
[option]$\dfrac{PM}{PC} = \dfrac{PT}{PW} = \dfrac{CT}{MW}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. Les rapports partent tous du sommet $P$ (point d'intersection des sécantes).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{PC}{CM} = \dfrac{PT}{TW} = \dfrac{CT}{MW}$"]Attention, les rapports du théorème de Thalès utilisent les longueurs depuis le sommet $P$ : $\dfrac{PC}{PM}$ et $\dfrac{PT}{PW}$, pas les segments partiels $CM$ ou $TW$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les trois rapports doivent être cohérents : numérateur et dénominateur dans le même ordre par rapport au sommet $P$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Le théorème de Thalès donne : $\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{PT}{PW} = \dfrac{CT}{MW}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $PT$.

$PT = $ [[pt]] m

[math id="pt" attendu="1.5"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{PT}{PW}$, donc $PT = \dfrac{2 \times 4{,}5}{6} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ m.[/reponse]
[reponse motif="13.5"]Tu as peut-être inversé le produit en croix. Vérifie quel terme est au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Identifie le bon rapport de l'étape précédente et isole $PT$ par produit en croix.[/reponse]
[aide essai="2"]L'égalité de Thalès donne $\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{PT}{PW}$, soit $\dfrac{2}{6} = \dfrac{PT}{4{,}5}$.[/aide]
[aide essai="3"]$PT = \dfrac{2 \times 4{,}5}{6} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$.[/aide]
[/math]
[solution]
$PT = \dfrac{2 \times 4{,}5}{6} = 1{,}5$ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $CT$ (longueur de tissu nécessaire).

$CT = $ [[ct]] m

[math id="ct" attendu="1.2"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{CT}{MW}$, donc $CT = \dfrac{2 \times 3{,}6}{6} = \dfrac{7{,}2}{6} = 1{,}2$ m.[/reponse]
[reponse motif="10.8"]Tu as peut-être inversé le produit en croix. Vérifie quel terme est au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utilise le même rapport de Thalès, mais cette fois avec $CT$ et $MW$.[/reponse]
[aide essai="2"]L'égalité de Thalès donne $\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{CT}{MW}$, soit $\dfrac{2}{6} = \dfrac{CT}{3{,}6}$.[/aide]
[aide essai="3"]$CT = \dfrac{2 \times 3{,}6}{6} = \dfrac{7{,}2}{6} = 1{,}2$.[/aide]
[/math]
[solution]
$CT = \dfrac{2 \times 3{,}6}{6} = 1{,}2$ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On place maintenant un point $D$ sur $[PM]$ avec $PD = 4$ m et un point $E$ sur $[PW]$ avec $PE = 3$ m.

Les droites $(DE)$ et $(MW)$ sont-elles parallèles ? Pour le déterminer, calculer $\dfrac{PD}{PM}$.

$\dfrac{PD}{PM} = $ [[r1]]

[math id="r1" attendu="\frac{2}{3}"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{PD}{PM} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplace par les valeurs et simplifie : $\dfrac{PD}{PM} = \dfrac{4}{6}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{4}{6}$ : divise le numérateur et le dénominateur par 2.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{PD}{PM} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On a $\dfrac{PD}{PM} = \dfrac{2}{3}$.

De plus, $\dfrac{PE}{PW} = \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$.

Les points $P$, $D$, $M$ et $P$, $E$, $W$ sont alignés dans le même ordre, et les deux rapports sont égaux. Que peut-on conclure ?

[qcm]
[option]On ne peut pas conclure[/option]
[option correct="true"]$(DE) /\!/ (MW)$ d'après la réciproque du théorème de Thalès[/option]
[option]$(DE)$ n'est pas parallèle à $(MW)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. Les points sont alignés dans le même ordre et $\dfrac{PD}{PM} = \dfrac{PE}{PW} = \dfrac{2}{3}$. D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(DE) /\!/ (MW)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Quand les points sont alignés dans le même ordre et que deux rapports sont égaux, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure que les droites sont parallèles.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(DE) /\!/ (MW)$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Longueurs intermédiaires avec Thalès

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de longueurs intermédiaires et les applications concrètes du théorème de Thalès. Pour chaque question, choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 3$ cm, $BD = 2$ cm et $AC = 4{,}5$ cm.

Que vaut $CE$ ?

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas, (BC) parallèle à (DE). AB = 3, BD = 2, AC = 4,5, CE = ?

[qcm]
[option]$7{,}5$ cm[/option]
[option]$1{,}5$ cm[/option]
[option]$5$ cm[/option]
[option correct="true"]$3$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule d'abord $AD = AB + BD = 3 + 2 = 5$ cm.
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4{,}5}{AE}$.
Par produit en croix : $AE = \dfrac{4{,}5 \times 5}{3} = 7{,}5$ cm.
Puis $CE = AE - AC = 7{,}5 - 4{,}5 = 3$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$ cm"]Non.
Tu as trouvé $AE = 7{,}5$ cm, mais la question demande $CE$, pas $AE$.
$CE$ est un sous-segment de $[AE]$ : il faut soustraire $AC$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$ cm"]Non.
Tu as probablement soustrait $AC - AB = 4{,}5 - 3 = 1{,}5$, mais ce calcul ne correspond pas à $CE$.
Il faut d'abord calculer $AE$ avec le théorème de Thalès, puis en déduire $CE = AE - AC$.[/reponse]
[reponse motif="$5$ cm"]Non.
Tu as trouvé $AD = AB + BD = 5$ cm, mais la question demande $CE$, pas $AD$.
Utilise le théorème de Thalès pour calculer $AE$, puis déduis $CE$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord $AD = AB + BD$, puis utilise $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$ pour trouver $AE$, et enfin $CE = AE - AC$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Que vaut $AB$ ?

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas. BD = 8, AC = 4, AE = 9, AB = ?

[qcm]
[option correct="true"]$6{,}4$ cm[/option]
[option]$\dfrac{32}{9}$ cm[/option]
[option]$4{,}5$ cm[/option]
[option]$1{,}6$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On pose $AB = x$, d'où $AD = AB + BD = x + 8$.
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{x}{x + 8} = \dfrac{4}{9}$.
Par produit en croix : $9x = 4(x + 8) = 4x + 32$.
On résout : $5x = 32$, donc $x = \dfrac{32}{5} = 6{,}4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{32}{9}$ cm"]Non.
Tu as utilisé $BD = 8$ au lieu de $AD = AB + BD$ dans le rapport.
Attention : le théorème de Thalès utilise la longueur $AD$ (de $A$ à $D$), pas $BD$.
Comme on ne connaît pas $AD$, il faut poser $AB = x$ et écrire $AD = x + 8$.[/reponse]
[reponse motif="$4{,}5$ cm"]Non.
Tu as probablement calculé $\dfrac{AC \times AE}{BD}$, mais ce n'est pas le bon calcul.
Pose $AB = x$ et utilise $\dfrac{x}{x+8} = \dfrac{4}{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}6$ cm"]Non.
Tu as probablement développé $4(x + 8)$ en $4x + 8$ au lieu de $4x + 32$.
Attention au développement : $4 \times (x + 8) = 4x + 4 \times 8 = 4x + 32$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pose $AB = x$, écris $AD = x + 8$, puis résous l'équation $\dfrac{x}{x+8} = \dfrac{4}{9}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un bâton vertical de $1{,}2$ m planté dans le sol projette une ombre de $0{,}8$ m. Au même instant, un arbre projette une ombre de $6$ m.

Quelle est la hauteur de l'arbre ?

Schéma : un arbre et un bâton avec leurs ombres au sol, les rayons du soleil sont parallèles

[qcm]
[option]$4$ m[/option]
[option]$7{,}2$ m[/option]
[option]$5$ m[/option]
[option correct="true"]$9$ m[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les rayons du soleil sont parallèles, donc les triangles formés sont en situation de Thalès.
On a la proportionnalité : $\dfrac{\text{hauteur arbre}}{\text{hauteur bâton}} = \dfrac{\text{ombre arbre}}{\text{ombre bâton}}$, soit $\dfrac{H}{1{,}2} = \dfrac{6}{0{,}8}$.
Par produit en croix : $H = \dfrac{6 \times 1{,}2}{0{,}8} = \dfrac{7{,}2}{0{,}8} = 9$ m.[/reponse]
[reponse motif="$4$ m"]Non.
Tu as inversé le produit en croix : tu as calculé $\dfrac{0{,}8 \times 6}{1{,}2}$ au lieu de $\dfrac{6 \times 1{,}2}{0{,}8}$.
Reprends la proportionnalité et vérifie quel terme est au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}2$ m"]Non.
Tu as calculé $6 \times 1{,}2 = 7{,}2$ mais tu as oublié de diviser par $0{,}8$.
La proportionnalité donne $H = \dfrac{6 \times 1{,}2}{0{,}8}$.[/reponse]
[reponse motif="$5$ m"]Non.
Tu as calculé $\dfrac{6}{1{,}2} = 5$, mais tu n'as pas utilisé l'ombre du bâton.
La proportionnalité fait intervenir les deux ombres et la hauteur du bâton.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise la proportionnalité $\dfrac{H}{1{,}2} = \dfrac{6}{0{,}8}$ et isole $H$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Que vaut $BD$ ?

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas. AB = 5, AC = 3, AE = 4,5, BD = ?

[qcm]
[option]$7{,}5$ cm[/option]
[option correct="true"]$2{,}5$ cm[/option]
[option]$1{,}5$ cm[/option]
[option]$4{,}5$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{5}{AD} = \dfrac{3}{4{,}5}$.
Par produit en croix : $AD = \dfrac{5 \times 4{,}5}{3} = \dfrac{22{,}5}{3} = 7{,}5$ cm.
Puis $BD = AD - AB = 7{,}5 - 5 = 2{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$ cm"]Non.
Tu as trouvé $AD = 7{,}5$ cm, mais la question demande $BD$, pas $AD$.
$BD$ est un sous-segment de $[AD]$ : il faut soustraire $AB$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$ cm"]Non.
Tu as probablement calculé $AE - AC = 4{,}5 - 3 = 1{,}5$ cm, mais c'est la longueur $CE$, pas $BD$.
Il faut calculer $AD$ avec le théorème de Thalès, puis en déduire $BD = AD - AB$.[/reponse]
[reponse motif="$4{,}5$ cm"]Non.
Tu as donné la valeur de $AE$, pas celle de $BD$.
Calcule d'abord $AD$ avec le théorème de Thalès, puis déduis $BD = AD - AB$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise $\dfrac{5}{AD} = \dfrac{3}{4{,}5}$ pour calculer $AD$, puis calcule $BD = AD - AB$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$M$ est le point d'intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
On donne $MA = 3$ cm, $MC = 2$ cm et $MD = 5$ cm.

Que vaut $MB$ ?

[qcm]
[option]$\dfrac{10}{3}$ cm[/option]
[option]$\dfrac{6}{5}$ cm[/option]
[option correct="true"]$7{,}5$ cm[/option]
[option]$6$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MB}{MD}$, soit $\dfrac{3}{2} = \dfrac{MB}{5}$.
Par produit en croix : $MB = \dfrac{3 \times 5}{2} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{10}{3}$ cm"]Non.
Tu as inversé les rôles de $MA$ et $MC$ dans le rapport.
Reprends l'égalité $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MB}{MD}$ et vérifie quel terme est au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{5}$ cm"]Non.
Tu as inversé le produit en croix.
L'égalité $\dfrac{3}{2} = \dfrac{MB}{5}$ donne $MB$ au numérateur, pas au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$6$ cm"]Non.
Tu as probablement combiné les longueurs ($5 + 3 - 2$), mais le théorème de Thalès donne une relation de proportionnalité.
Utilise $\dfrac{3}{2} = \dfrac{MB}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{3}{2} = \dfrac{MB}{5}$ et effectue un produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 2$ cm, $AD = 7$ cm et $BC = 3$ cm.

Que vaut $DE$ ?

[qcm]
[option]$7{,}5$ cm[/option]
[option]$\dfrac{6}{7}$ cm[/option]
[option]$21$ cm[/option]
[option correct="true"]$10{,}5$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{DE}$.
Par produit en croix : $DE = \dfrac{3 \times 7}{2} = \dfrac{21}{2} = 10{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$ cm"]Non.
Tu as utilisé $BD = AD - AB = 7 - 2 = 5$ au lieu de $AD = 7$ dans le rapport.
Attention : le théorème de Thalès utilise $AD$, pas $BD$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{7}$ cm"]Non.
Tu as inversé le produit en croix.
Reprends l'égalité $\dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{DE}$ et vérifie que $DE$ est au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$21$ cm"]Non.
Tu as calculé $3 \times 7 = 21$ mais tu as oublié de diviser par $2$.
Le produit en croix donne $DE = \dfrac{3 \times 7}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{DE}$ et effectue un produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Calcul de longueurs avec Thalès

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de longueurs à l'aide du théorème de Thalès. Pour chaque question, choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 4$ cm, $AD = 10$ cm et $BC = 3$ cm.

Que vaut $DE$ ?

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas, (BC) parallèle à (DE)

[qcm]
[option]$1{,}2$ cm[/option]
[option correct="true"]$7{,}5$ cm[/option]
[option]$\dfrac{40}{3}$ cm[/option]
[option]$13$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{DE}$.
Par produit en croix : $DE = \dfrac{3 \times 10}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}2$ cm"]Non.
Tu as inversé le produit en croix.
Reprends l'égalité $\dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{DE}$ et vérifie quel terme doit être au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{40}{3}$ cm"]Non.
Tu as confondu les rôles de $BC$ et $AB$ dans le produit en croix.
Relis l'égalité $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$ et identifie bien chaque terme.[/reponse]
[reponse motif="$13$ cm"]Non.
Tu as additionné $AD + BC$, mais le théorème de Thalès donne une relation de proportionnalité, pas une addition.
Utilise l'égalité des rapports et le produit en croix.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écris l'égalité $\dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{DE}$ puis isole $DE$ par produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'intersection des droites $(BD)$ et $(CE)$. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 3$ cm, $AD = 5$ cm et $DE = 4$ cm.

Que vaut $BC$ ?

Configuration de Thalès en papillon : A au centre, B et C en haut, D et E en bas, (BC) parallèle à (DE)

[qcm]
[option]$\dfrac{20}{3}$ cm[/option]
[option]$\dfrac{15}{4}$ cm[/option]
[option]$7$ cm[/option]
[option correct="true"]$2{,}4$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{3}{5} = \dfrac{BC}{4}$.
Par produit en croix : $BC = \dfrac{3 \times 4}{5} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{20}{3}$ cm"]Non.
Tu as inversé les rôles de $AB$ et $AD$ dans le produit en croix.
Reprends l'égalité $\dfrac{3}{5} = \dfrac{BC}{4}$ et isole $BC$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{15}{4}$ cm"]Non.
Tu as confondu $AD$ et $DE$ dans le calcul.
L'égalité est $\dfrac{3}{5} = \dfrac{BC}{4}$ : vérifie quels termes tu multiplies entre eux.[/reponse]
[reponse motif="$7$ cm"]Non.
Tu as additionné $AB + DE = 3 + 4$, mais il faut utiliser la proportionnalité donnée par le théorème de Thalès, pas une addition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{3}{5} = \dfrac{BC}{4}$ et effectue un produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(SU)$ et $(TV)$ sont parallèles.
On donne $RS = 2$ cm, $RT = 6$ cm et $SU = 3$ cm.

Que vaut $TV$ ?

Configuration de Thalès en triangle : R en haut, S et U sur les côtés, T et V en bas, (SU) parallèle à (TV)

[qcm]
[option correct="true"]$9$ cm[/option]
[option]$1$ cm[/option]
[option]$4$ cm[/option]
[option]$7$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{RS}{RT} = \dfrac{SU}{TV}$, soit $\dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{TV}$.
Par produit en croix : $TV = \dfrac{3 \times 6}{2} = 9$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$1$ cm"]Non.
Tu as inversé le produit en croix.
Reprends l'égalité $\dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{TV}$ et vérifie que c'est bien $TV$ qui est au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$4$ cm"]Non.
Tu as confondu les rôles des longueurs dans le rapport.
L'égalité est $\dfrac{RS}{RT} = \dfrac{SU}{TV}$ : c'est $TV$ qui est au dénominateur, pas $SU$.[/reponse]
[reponse motif="$7$ cm"]Non.
Tu as combiné les longueurs ($6 + 3 - 2$), mais le théorème de Thalès donne une proportionnalité, pas une combinaison linéaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{TV}$ et effectue un produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $M$ est le point d'intersection des droites $(PS)$ et $(QT)$. Les droites $(PQ)$ et $(ST)$ sont parallèles.
On donne $MP = 4$ cm, $MS = 6$ cm et $MQ = 3$ cm.

Que vaut $MT$ ?

Configuration de Thalès en papillon : M au centre, P et Q en haut, S et T en bas, (PQ) parallèle à (ST)

[qcm]
[option]$2$ cm[/option]
[option]$5$ cm[/option]
[option correct="true"]$4{,}5$ cm[/option]
[option]$8$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{MP}{MS} = \dfrac{MQ}{MT}$, soit $\dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{MT}$.
Par produit en croix : $MT = \dfrac{3 \times 6}{4} = \dfrac{18}{4} = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$2$ cm"]Non.
Tu as inversé le produit en croix.
Reprends l'égalité $\dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{MT}$ et vérifie que $MT$ est bien au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$5$ cm"]Non.
Tu as probablement combiné les longueurs, mais le théorème de Thalès donne une relation de proportionnalité.
Utilise l'égalité $\dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{MT}$.[/reponse]
[reponse motif="$8$ cm"]Non.
Tu as confondu les rôles de $MQ$ et $MP$ dans le rapport.
L'inconnue $MT$ est au dénominateur dans $\dfrac{3}{MT}$, pas au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{MT}$ et effectue un produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 6$ cm, $AD = 15$ cm et $BC = 4$ cm.

Que vaut $DE$ ?

[qcm]
[option]$\dfrac{8}{5}$ cm[/option]
[option correct="true"]$10$ cm[/option]
[option]$6$ cm[/option]
[option]$\dfrac{5}{2}$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{6}{15} = \dfrac{4}{DE}$.
Par produit en croix : $DE = \dfrac{4 \times 15}{6} = \dfrac{60}{6} = 10$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{8}{5}$ cm"]Non.
Tu as inversé le produit en croix.
C'est $DE$ qui est au dénominateur dans $\dfrac{4}{DE}$ : vérifie quel terme passe au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$6$ cm"]Non.
Tu as sans doute utilisé $BD = 15 - 6 = 9$ au lieu de $AD = 15$ dans le rapport.
Attention, le théorème de Thalès utilise les longueurs $AB$ et $AD$ mesurées depuis le sommet $A$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{2}$ cm"]Non.
Le rapport $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2}$ est le coefficient d'agrandissement, pas la longueur $DE$.
Il faut appliquer ce rapport à $BC$ par produit en croix.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'égalité est $\dfrac{6}{15} = \dfrac{4}{DE}$. Isole $DE$ par produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$M$ est le point d'intersection des droites $(EG)$ et $(FH)$. Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles.
On donne $ME = 8$ cm, $MG = 12$ cm et $MF = 6$ cm.

Que vaut $MH$ ?

[qcm]
[option correct="true"]$9$ cm[/option]
[option]$4$ cm[/option]
[option]$10$ cm[/option]
[option]$16$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{ME}{MG} = \dfrac{MF}{MH}$, soit $\dfrac{8}{12} = \dfrac{6}{MH}$.
Par produit en croix : $MH = \dfrac{6 \times 12}{8} = \dfrac{72}{8} = 9$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$4$ cm"]Non.
Tu as inversé le produit en croix.
Reprends l'égalité $\dfrac{8}{12} = \dfrac{6}{MH}$ et vérifie que $MH$ est au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$10$ cm"]Non.
Tu as probablement combiné les longueurs ($12 + 6 - 8$), mais le théorème de Thalès donne une proportionnalité, pas une combinaison.[/reponse]
[reponse motif="$16$ cm"]Non.
Tu as confondu les rôles de $MF$ et $ME$ dans le rapport.
L'inconnue $MH$ est au dénominateur dans $\dfrac{6}{MH}$, pas au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{8}{12} = \dfrac{6}{MH}$ et effectue un produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Thalès — situations variées

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Sur un terrain triangulaire $ABC$, le côté $[BC]$ longe une route et mesure $15$ m. On installe une clôture $[MN]$ parallèle à la route, avec $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, telle que $AM = 4$ m et $AB = 12$ m.

Terrain triangulaire ABC avec clôture MN parallèle à BC

Affirmation : La clôture $[MN]$ mesure $5$ m.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, on applique le théorème de Thalès dans le triangle $ABC$ :
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$, soit $\dfrac{4}{12} = \dfrac{MN}{15}$.
On obtient $MN = \dfrac{4 \times 15}{12} = 5$ m.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$(MN) /\!/ (BC)$, donc le théorème de Thalès s'applique dans le triangle $ABC$.
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$ donne $\dfrac{4}{12} = \dfrac{MN}{15}$, d'où $MN = 5$ m.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par le théorème de Thalès : $MN = \dfrac{4 \times 15}{12} = 5$ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'intersection des droites $(BD)$ et $(CE)$.
On donne $AB = 3$ cm, $AD = 4$ cm, $AC = 5$ cm et $AE = 7$ cm.

Configuration de Thalès en papillon : A au centre, rapports inégaux

Affirmation : Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule les rapports : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{5}{7} \approx 0{,}714$.
Les rapports ne sont pas égaux, donc les droites $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Les rapports semblent proches, mais il faut calculer leur valeur exacte.
$\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ et $\dfrac{5}{7} \approx 0{,}714$ : ces valeurs sont différentes, donc les droites ne sont pas parallèles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{3}{4} \neq \dfrac{5}{7}$, donc $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $M$ est le milieu de $[AD]$ et $N$ est le milieu de $[AE]$.

Triangle ADE avec M milieu de AD et N milieu de AE

Affirmation : $(MN) /\!/ (DE)$ et $MN = \dfrac{DE}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Comme $M$ est le milieu de $[AD]$ et $N$ est le milieu de $[AE]$, on a $\dfrac{AM}{AD} = \dfrac{AN}{AE} = \dfrac{1}{2}$.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN) /\!/ (DE)$.
Le théorème de Thalès donne alors $\dfrac{MN}{DE} = \dfrac{1}{2}$, soit $MN = \dfrac{DE}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est un cas particulier du théorème de Thalès appelé « théorème des milieux ».
Les rapports $\dfrac{AM}{AD} = \dfrac{AN}{AE} = \dfrac{1}{2}$ sont égaux, donc $(MN) /\!/ (DE)$ et $MN = \dfrac{DE}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les milieux vérifient $\dfrac{AM}{AD} = \dfrac{AN}{AE} = \dfrac{1}{2}$, donc $(MN) /\!/ (DE)$ et $MN = \dfrac{DE}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 2$ cm, $AD = 6$ cm et $BC = 5$ cm.

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C proches de A, D et E en bas

Affirmation : $DE = 10$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{DE}$.
Par produit en croix : $DE = \dfrac{5 \times 6}{2} = 15$ cm, et non $10$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La valeur $10$ correspond à $\dfrac{5 \times 4}{2}$, c'est-à-dire à l'utilisation de $BD = 4$ au lieu de $AD = 6$ dans le rapport.
Le calcul correct utilise $AD$ : $DE = \dfrac{5 \times 6}{2} = 15$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{DE}$ donne $DE = 15$ cm, pas $10$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $(BC) /\!/ (DE)$ dans une configuration de Thalès, alors $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CE}{AE}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$.
En soustrayant chaque membre de $1$ : $1 - \dfrac{AB}{AD} = 1 - \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{AD - AB}{AD} = \dfrac{AE - AC}{AE}$, c'est-à-dire $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CE}{AE}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Ce résultat se déduit du théorème de Thalès par un calcul algébrique.
De $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, on obtient $\dfrac{AD - AB}{AD} = \dfrac{AE - AC}{AE}$, soit $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CE}{AE}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. De $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, on déduit $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CE}{AE}$ en soustrayant chaque côté de $1$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Thalès — longueurs intermédiaires

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm et $DE = 6$ cm.

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas

Affirmation : $BD = 4{,}5$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{3}{AD} = \dfrac{4}{6}$.
On obtient $AD = \dfrac{3 \times 6}{4} = 4{,}5$ cm.
Puis $BD = AD - AB = 4{,}5 - 3 = 1{,}5$ cm, et non $4{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre $AD$ et $BD$.
Le calcul donne $AD = 4{,}5$ cm, mais $BD = AD - AB = 4{,}5 - 3 = 1{,}5$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $AD = 4{,}5$ cm, donc $BD = AD - AB = 1{,}5$ cm, pas $4{,}5$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'intersection des droites $(BD)$ et $(CE)$, et les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 2$ cm, $AD = 3$ cm et $DE = 9$ cm.

Configuration de Thalès en papillon : A au centre, B et C en haut, D et E en bas

Affirmation : $BC = 6$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{2}{3} = \dfrac{BC}{9}$.
Par produit en croix : $BC = \dfrac{2 \times 9}{3} = 6$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans la configuration en papillon, le théorème de Thalès s'applique de la même façon.
$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, donc $\dfrac{2}{3} = \dfrac{BC}{9}$, d'où $BC = 6$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{BC}{9}$ donne $BC = 6$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AD = 8$ cm, $BD = 3$ cm et $AE = 12$ cm.

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas, avec BD donné

Affirmation : $CE = 3$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule d'abord $AB = AD - BD = 8 - 3 = 5$ cm.
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{5}{8} = \dfrac{AC}{12}$.
On obtient $AC = \dfrac{5 \times 12}{8} = 7{,}5$ cm, puis $CE = AE - AC = 12 - 7{,}5 = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de croire que $CE = BD = 3$, mais les segments intermédiaires ne sont pas forcément égaux.
En calculant : $AB = 8 - 3 = 5$ cm, $AC = \dfrac{5 \times 12}{8} = 7{,}5$ cm, donc $CE = 12 - 7{,}5 = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $AB = 5$ cm, $AC = 7{,}5$ cm, donc $CE = 12 - 7{,}5 = 4{,}5$ cm, pas $3$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 4$ cm, $AD = 6$ cm, $AC = 6$ cm et $AE = 9$ cm.

Affirmation : $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CE}{AE}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$BD = AD - AB = 6 - 4 = 2$ et $CE = AE - AC = 9 - 6 = 3$.
$\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{CE}{AE} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
Les rapports sont bien égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$. En soustrayant chaque côté de $1$, on obtient $1 - \dfrac{AB}{AD} = 1 - \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CE}{AE}$.
Ici : $\dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{CE}{AE}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans une configuration de Thalès où $(BC) /\!/ (DE)$, on a toujours $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BC}{DE}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, pas $\dfrac{AB}{BD}$.
Par exemple, avec $AB = 4$, $AD = 6$ et $BC = 2$ : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ et $DE = 3$, mais $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{4}{2} = 2 \neq \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre $AD$ (longueur totale) et $BD$ (longueur intermédiaire) dans la formule.
Le théorème de Thalès affirme $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, et non $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BC}{DE}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le théorème donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, pas $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BC}{DE}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires à la droite $(d)$.
Les points $E$, $A$, $C$ sont alignés sur $(d)$ et les points $E$, $B$, $D$ sont alignés.
On donne $EA = 4$ cm, $EC = 10$ cm et $AB = 3$ cm.

Deux segments perpendiculaires à une droite d formant une configuration de Thalès avec deux triangles rectangles

Affirmation : $CD = 7{,}5$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(d)$, donc elles sont parallèles.
On reconnaît une configuration de Thalès de sommet $E$ : $\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{AB}{CD}$, soit $\dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{CD}$.
Par produit en croix : $CD = \dfrac{3 \times 10}{4} = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès : $\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{AB}{CD}$, d'où $CD = \dfrac{3 \times 10}{4} = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $(AB) \perp (d)$ et $(CD) \perp (d)$, donc $(AB) /\!/ (CD)$. Le théorème de Thalès donne $CD = 7{,}5$ cm.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Calculs de longueurs avec Thalès

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le théorème de Thalès, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 3$ cm, $AD = 5$ cm et $BC = 4$ cm.

Affirmation : $DE = \dfrac{20}{3}$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
D'après le théorème de Thalès : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{DE}$.
Par produit en croix : $DE = \dfrac{4 \times 5}{3} = \dfrac{20}{3}$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut écrire l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès, puis isoler $DE$ par un produit en croix.
$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, donc $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{DE}$, d'où $DE = \dfrac{4 \times 5}{3} = \dfrac{20}{3}$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le théorème de Thalès donne $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{DE}$, soit $DE = \dfrac{20}{3}$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'intersection des droites $(BD)$ et $(CE)$, et les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 4$ cm, $AD = 6$ cm et $BC = 5$ cm.

Affirmation : $DE = \dfrac{10}{3}$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{DE}$.
Par produit en croix : $DE = \dfrac{5 \times 6}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$ cm, et non $\dfrac{10}{3}$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas inverser le rapport dans le produit en croix.
La valeur $\dfrac{10}{3}$ correspond à $\dfrac{5 \times 4}{6}$, ce qui revient à inverser numérateur et dénominateur.
Le calcul correct est : $DE = \dfrac{5 \times 6}{4} = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{DE}$ donne $DE = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$ cm, pas $\dfrac{10}{3}$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(SU)$ et $(TV)$ sont parallèles.
On donne $RS = 2$ cm, $ST = 3$ cm et $RU = 3$ cm.

Configuration de Thalès en triangle : R en haut, S et U sur les côtés, T et V en bas

Affirmation : $UV = 4{,}5$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule d'abord $RT = RS + ST = 2 + 3 = 5$ cm.
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{RS}{RT} = \dfrac{RU}{RV}$, soit $\dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{RV}$.
On obtient $RV = \dfrac{3 \times 5}{2} = 7{,}5$ cm, puis $UV = RV - RU = 7{,}5 - 3 = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut d'abord calculer $RT = RS + ST = 5$ cm, puis utiliser le théorème de Thalès pour trouver $RV$.
$\dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{RV}$ donne $RV = 7{,}5$ cm, d'où $UV = 7{,}5 - 3 = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $RT = 5$ cm, $RV = 7{,}5$ cm, donc $UV = RV - RU = 4{,}5$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ sont alignés et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés. Aucune autre information n'est donnée.

Cinq points alignés deux à deux sans information de parallélisme

Affirmation : On peut affirmer, d'après le théorème de Thalès, que $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On ne dispose d'aucune information sur le parallélisme des droites $(BC)$ et $(DE)$.
Le théorème de Thalès ne peut pas s'appliquer sans cette hypothèse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le théorème de Thalès nécessite que les droites $(BC)$ et $(DE)$ soient parallèles.
Ici, rien dans l'énoncé ne permet de l'affirmer : on ne peut donc pas écrire cette égalité de rapports.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le théorème de Thalès exige que $(BC) /\!/ (DE)$, ce qui n'est pas donné ici.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles dans une configuration de Thalès, alors $BC = DE$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Deux segments portés par des droites parallèles n'ont pas forcément la même longueur.
Le théorème de Thalès donne une proportionnalité entre les longueurs, pas une égalité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « parallèle » et « de même longueur ».
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AB}{AD}$, et ce rapport n'est en général pas égal à $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le parallélisme implique une proportionnalité des longueurs, pas une égalité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'intersection des droites $(BD)$ et $(CE)$, et les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 3$ cm, $AD = 9$ cm et $BC = 2$ cm.

Configuration de Thalès en papillon : A au centre, B et C en haut, D et E en bas avec rapport 1 sur 3

Affirmation : $DE = 6$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{3}{9} = \dfrac{2}{DE}$.
Par produit en croix : $DE = \dfrac{2 \times 9}{3} = 6$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le rapport vaut $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
Comme $\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{1}{3}$, on obtient $DE = 2 \times 3 = 6$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{3}{9} = \dfrac{2}{DE}$ donne $DE = 6$ cm.
[/solution]
[/etape]

Concurrence de droites dans deux carrés

Soient $a$ et $b$ deux longueurs telles que $b < a$. On considère la figure ci-dessous, où $ABCD$ est un carré de côté $a$, $BEFG$ est un carré de côté $b$, et $G$ appartient au segment $[BC]$.

Deux carrés ABCD et BEFG construits au-dessus du segment AE, avec G sur le segment BC

La droite $(AF)$ coupe la droite $(BC)$ en un point $P$. Exprimer la longueur $BP$ en fonction de $a$ et $b$.
La droite $(DE)$ coupe la droite $(BC)$ en un point $Q$. Exprimer la longueur $BQ$ en fonction de $a$ et $b$.
On note $I$ le point d'intersection des droites $(AF)$ et $(DE)$. Montrer que $I$ appartient à la droite $(BC)$.

Corrigé

Dans le triangle $AEF$, les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(AE)$, donc $(BP)$ est parallèle à $(EF)$.
Le point $B$ appartient au segment $[AE]$ et le point $P$ appartient au segment $[AF]$.
D'après le théorème de Thalès :

$\dfrac{BP}{EF} = \dfrac{AB}{AE}$

On a $AE = AB + BE = a + b$ et $EF = BE = b$ (côté du carré $BEFG$), donc :

$BP = \dfrac{a}{a + b} \times b = \mathbf{\dfrac{ab}{a + b}}$
Dans le triangle $DAE$, les droites $(BC)$ et $(DA)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(AE)$, donc $(BQ)$ est parallèle à $(DA)$.
Le point $B$ appartient au segment $[AE]$ et le point $Q$ appartient au segment $[DE]$.
D'après le théorème de Thalès :

$\dfrac{BQ}{DA} = \dfrac{BE}{AE}$

On a $DA = AB = a$ (côté du carré $ABCD$), donc :

$BQ = \dfrac{b}{a + b} \times a = \mathbf{\dfrac{ab}{a + b}}$
On a trouvé $BP = BQ = \dfrac{ab}{a + b}$. Les points $P$ et $Q$ sont tous les deux situés sur la demi-droite $[BC)$, à la même distance de $B$.
Donc $\mathbf{P = Q}$ : les droites $(AF)$ et $(DE)$ se coupent en un même point de la droite $(BC)$.

Le point $I$, intersection de $(AF)$ et $(DE)$, est donc ce point commun. $\mathbf{I}$ appartient bien à la droite $(BC)$, quelle que soit la valeur de $a$ et $b$.

Losange dans un triangle

$ ABC $ est un triangle quelconque tel que $ AB = 7 $cm, $ AC= 5 $cm et $ BC = 4 $cm.
$ M $ est un point du segment $ \left[ BC \right] . $
La parallèle à la droite $ \left( AB \right) $ passant par $ M $ coupe le côté $ [AC] $ en $ N. $
La parallèle à la droite $ \left( AC \right) $ passant par $ M $ coupe le côté $ [AB] $ en $ P. $

Triangle ABC avec le losange APMN formé par les parallèles issues de M

À quelle distance du point $ C $ faut-il placer le point $ M $ pour que le quadrilatère $ APMN $ soit un losange ?
Sans utiliser le résultat de la question précédente, construire le point $ M $ à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas.

Corrigé

On sait déjà que $ APMN $ est un parallélogramme car les droites $ \left( MN \right) $ et $ \left( AP \right) $ sont parallèles ainsi que les droites $ \left( MP \right) et \left( AN \right). $

Pour que ce soit un losange il faut et il suffit que $ MN = MP. $

Calculons $ MP $ puis $ MN $ en utilisant le théorème de Thalès :
- Calcul de $ MP $
  
  Posons $ x = MC. $
  
  On a alors :
  $ BM = BC -MC = 4 -x $
  
  Les droites $ \left( MP \right) $ et $ \left( AC \right) $ sont parallèles ; les points $ B, M, C $ et les points $ B, P, A $ sont alignés.
  
  Donc, d'après le théorème de Thalès :
  
  $ \dfrac{ BM }{ BC } = \dfrac{ MP }{ AC } = \dfrac{ BP }{ AB } $
  
  La première égalité donne :
  
  $ \dfrac{ 4-x }{ 4 } = \dfrac{ MP }{ 5 } $
  
  donc, avec un produit en croix :
  
  $ 4 MP = 5 \left( 4-x \right) $
  
  $ MP = \dfrac{ 5 \left( 4-x \right) }{ 4 }. $
- Calcul de MN
  
  De même, les droites $ \left( MN \right) $ et $ \left( AB \right) $ sont parallèles et les points $ C, M, B $ et $ C, N, A $ sont alignés.
  
  Par conséquent :
  
  $ \dfrac{ CM }{ BC } = \dfrac{ MN }{ AB } = \dfrac{ CN }{ CA } $
  
  L'égalité des deux premiers quotients équivaut à :
  
  $ \dfrac{ x }{ 4 } = \dfrac{ MN }{ 7 } $
  
  soit : $ 4 MN = 7x $
  $ MN = \dfrac{ 7x }{ 4 }. $
- Conclusion
  
  $ APMN $ est donc un losange si et seulement si :
  
  $ MP = MN $
  
  $ \dfrac{ 5(4-x) }{ 4 } = \dfrac{ 7x }{ 4 } $
  
  $ 5 \left( 4 -x \right) = 7x $
  $ 20 -5x = 7x $
  $ 20 = 7x + 5x $
  $ 12x = 20 $
  
  $ x = \dfrac{ 5 }{ 3 } $
  
  Il faut placer le point $ M $ à $ \dfrac{ 5 }{ 3 } $cm ( $ \approx 1{,}67 $ cm) de $ C $ pour que le quadrilatère $ APMN $ soit un losange.
Les diagonales d'un losange sont des axes de symétrie de ce losange.

Donc, si $ APMN $ est un losange, la droite $ \left( AM \right) $ est un axe de symétrie donc une bissectrice de l'angle $ \widehat{ PAN } $ qui est aussi l'angle $ \widehat{ BAC }. $

Pour placer le point $ M $, il suffit donc de construire au compas la bissectrice de l'angle $ \widehat{ BAC }. $

$ M $ est alors le point d'intersection de cette bissectrice avec le côté $ \left[ BC \right] $ :

Théorème de Thalès et projections orthogonales

$ \mathscr{D} $ et $ \mathscr{D^{\prime}} $ sont deux droites sécantes en $ O $.
$ I $ est un point quelconque de $ \mathscr{D} $ et $ J $ un point quelconque de $ \mathscr{D^{\prime}}. $

$ K $ est la projection orthogonale de $ I $ sur $ \mathscr{D^{\prime}} $
(cela signifie que $ K \in \mathscr{D^{\prime}} $ et que les droites $ \left( IK \right) $ et $ \mathscr{D^{\prime}} $ sont perpendiculaires.)
$ L $ est la projection orthogonale de $ K $ sur $ \mathscr{D} $
$ M $ est la projection orthogonale de $ J $ sur $ \mathscr{D} $
$ N $ est la projection orthogonale de $ M $ sur $ \mathscr{D^{\prime}}. $

Démontrer que les droites $ \left( IJ \right) $ et $ \left( LN \right) $ sont parallèles.

Corrigé

Les droites $ \left( JM \right) $ et $ \left( KL \right) $ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $ \mathscr{D} $, donc, elles sont parallèles entre elles.

Par ailleurs, les points $ O, N, K $ sont alignés ainsi que les points $ O, L, M $ ;
par conséquent, d'après le théorème de Thalès :

$ \dfrac{ OJ }{ OK } = \dfrac{ OM }{ OL } = \dfrac{ JM }{ KL } $

L'égalité $ \dfrac{ OJ }{ OK } = \dfrac{ OM }{ OL } $ est équivalente à :

$ OM \times OK = OJ \times OL \quad \textbf{(1)} $

De même, les droites $ \left( IK \right) $ et $ \left( NM \right) $ sont parallèles puisqu'elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $ \mathscr{D^{\prime}} $.

Les points $ O, I, M $ sont alignés sur $ \mathscr{D} $ et les points $ O, K, N $ sont alignés sur $ \mathscr{D^{\prime}} $ ;

donc, d'après le théorème de Thalès :

$ \dfrac{ OK }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OM } = \dfrac{ IK }{ NM } $

L'égalité $ \dfrac{ OK }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OM } $ est équivalente à :

$ OM \times OK = OI \times ON \quad \textbf{(2)} $

Des égalités (1) et (2) on en déduit que :

$ OJ \times OL = OI \times ON $

En divisant chaque membre de l'égalité par $ OL \times ON $ on en déduit que :

$ \dfrac{ OJ \times OL }{ OL \times ON } = \dfrac{ OI \times ON }{ OL \times ON } $

$ \dfrac{ OJ }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OL } $

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $ \left( NL \right) $ et $ \left( IJ \right) $ sont parallèles.

Pour réviser : Déterminer si deux droites sont parallèles (Thalès)