[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul d'une longueur (côté adjacent ou hypoténuse) à partir d'un angle et d'une autre longueur, en utilisant le cosinus. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions. Les valeurs sont arrondies à $0{,}1$ près.

Valeurs utiles : $\cos(30^{\circ}) \approx 0{,}866$ ; $\cos(45^{\circ}) \approx 0{,}707$ ; $\cos(50^{\circ}) \approx 0{,}643$ ; $\cos(60^{\circ}) = 0{,}5$ ; $\cos(70^{\circ}) \approx 0{,}342$.
[/enonce]

[etape]
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $\widehat{B} = 60^{\circ}$ et $BC = 10$ cm. Quelle est la longueur de $AB$, arrondie à $0{,}1$ près ?
[qcm]
[option]$8{,}7$ cm[/option]
[option]$10{,}5$ cm[/option]
[option correct="true"]$5$ cm[/option]
[option]$6{,}5$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour $\widehat{B}$, le côté adjacent est $[AB]$ et l'hypoténuse est $[BC]$.
$\cos(60^{\circ}) = \dfrac{AB}{10}$ donc $AB = 10 \times \cos(60^{\circ}) = 10 \times 0{,}5 = 5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$8{,}7$ cm"]Non.
Cette valeur correspond à $10 \times \cos(30^{\circ})$. L'angle indiqué est $60^{\circ}$, pas $30^{\circ}$.[/reponse]
[reponse motif="$10{,}5$ cm"]Non.
Une longueur dans un triangle rectangle ne peut pas dépasser l'hypoténuse, ici $10$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$6{,}5$ cm"]Non.
Vérifier le calcul $10 \times \cos(60^{\circ})$ avec la valeur $\cos(60^{\circ}) = 0{,}5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$AB = 10 \times \cos(60^{\circ}) = 5$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$, avec $\widehat{E} = 50^{\circ}$ et $EF = 6$ cm. Quelle est la longueur de $DE$, arrondie à $0{,}1$ près ?
[qcm]
[option]$9{,}3$ cm[/option]
[option correct="true"]$3{,}9$ cm[/option]
[option]$5{,}4$ cm[/option]
[option]$6{,}4$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $\widehat{E}$, le côté adjacent est $[DE]$ et l'hypoténuse est $[EF]$.
$\cos(50^{\circ}) = \dfrac{DE}{6}$ donc $DE = 6 \times \cos(50^{\circ}) \approx 6 \times 0{,}643 \approx 3{,}9$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$9{,}3$ cm"]Non.
Cette valeur correspond à $\dfrac{6}{\cos(50^{\circ})}$ : on a divisé au lieu de multiplier. Quand on cherche le côté adjacent en connaissant l'hypoténuse, on multiplie.[/reponse]
[reponse motif="$5{,}4$ cm"]Non.
Cette valeur correspond à $6 - \cos(50^{\circ}) \approx 5{,}4$ : on a soustrait au lieu de multiplier. Le cosinus intervient comme un facteur : $DE = 6 \times \cos(50^{\circ})$.[/reponse]
[reponse motif="$6{,}4$ cm"]Non.
Cette valeur dépasse l'hypoténuse de $6$ cm, ce qui est impossible pour un côté de l'angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$DE = 6 \times \cos(50^{\circ}) \approx 3{,}9$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$, avec $\widehat{M} = 30^{\circ}$ et $MN = 7$ cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse $MP$, arrondie à $0{,}1$ près ?
[qcm]
[option]$6{,}1$ cm[/option]
[option]$7$ cm[/option]
[option correct="true"]$8{,}1$ cm[/option]
[option]$14$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour $\widehat{M}$, le côté adjacent est $[MN]$ et l'hypoténuse est $[MP]$.
$\cos(30^{\circ}) = \dfrac{MN}{MP} = \dfrac{7}{MP}$.
Donc $MP = \dfrac{7}{\cos(30^{\circ})} \approx \dfrac{7}{0{,}866} \approx 8{,}1$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$6{,}1$ cm"]Non.
$6{,}1 \approx 7 \times \cos(30^{\circ})$ : on a multiplié au lieu de diviser. Quand l'inconnue est l'hypoténuse, elle est au dénominateur, donc on divise.[/reponse]
[reponse motif="$7$ cm"]Non.
$7$ cm est la longueur du côté adjacent. L'hypoténuse est strictement plus longue que le côté adjacent.[/reponse]
[reponse motif="$14$ cm"]Non.
Cette valeur est trop grande. Vérifier le calcul $\dfrac{7}{\cos(30^{\circ})}$ : $\cos(30^{\circ}) \approx 0{,}866$ est proche de $1$, donc le résultat est légèrement supérieur à $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$MP = \dfrac{7}{\cos(30^{\circ})} \approx 8{,}1$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $RST$ est rectangle en $S$, avec $\widehat{R} = 70^{\circ}$ et $RS = 4$ cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse $RT$, arrondie à $0{,}1$ près ?
[qcm]
[option]$1{,}4$ cm[/option]
[option]$3{,}7$ cm[/option]
[option correct="true"]$11{,}7$ cm[/option]
[option]$4{,}3$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour $\widehat{R}$, le côté adjacent est $[RS]$ et l'hypoténuse est $[RT]$.
$\cos(70^{\circ}) = \dfrac{4}{RT}$ donc $RT = \dfrac{4}{\cos(70^{\circ})} \approx \dfrac{4}{0{,}342} \approx 11{,}7$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}4$ cm"]Non.
$1{,}4 \approx 4 \times \cos(70^{\circ})$ : on a multiplié au lieu de diviser. De plus, l'hypoténuse ne peut pas être plus courte que le côté adjacent ($4$ cm).[/reponse]
[reponse motif="$3{,}7$ cm"]Non.
Une hypoténuse ne peut pas être plus courte que les côtés de l'angle droit. Vérifier le calcul.[/reponse]
[reponse motif="$4{,}3$ cm"]Non.
Cette valeur est trop proche du côté adjacent. Pour un angle de $70^{\circ}$ proche de l'angle droit, l'hypoténuse est nettement plus longue que le côté adjacent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$RT = \dfrac{4}{\cos(70^{\circ})} \approx 11{,}7$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle rectangle, on cherche le côté adjacent connaissant l'hypoténuse et l'angle. Quelle formule relie correctement ces grandeurs ?
[qcm]
[option]$\text{adjacent} = \dfrac{\text{hypoténuse}}{\cos(\text{angle})}$[/option]
[option correct="true"]$\text{adjacent} = \text{hypoténuse} \times \cos(\text{angle})$[/option]
[option]$\text{adjacent} = \text{hypoténuse} - \cos(\text{angle})$[/option]
[option]$\text{adjacent} = \text{hypoténuse} + \cos(\text{angle})$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On part de $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. En multipliant les deux membres par l'hypoténuse, on isole le côté adjacent.[/reponse]
[reponse motif="$\text{adjacent} = \dfrac{\text{hypoténuse}}{\cos(\text{angle})}$"]Non.
Cette formule sert quand l'inconnue est l'hypoténuse, pas le côté adjacent. Vérifier dans quelle position se trouve la grandeur cherchée.[/reponse]
[reponse motif="$\text{adjacent} = \text{hypoténuse} - \cos(\text{angle})$"]Non.
Le cosinus n'est pas une longueur : il n'a pas d'unité, on ne peut pas le soustraire à une longueur en cm.[/reponse]
[reponse motif="$\text{adjacent} = \text{hypoténuse} + \cos(\text{angle})$"]Non.
Le cosinus relie les longueurs par une multiplication, pas par une addition (et il n'a pas d'unité).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule correcte est $\text{adjacent} = \text{hypoténuse} \times \cos(\text{angle})$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $GHI$ est rectangle en $G$, avec $\widehat{H} = 45^{\circ}$ et $GH = 5$ cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse $HI$, arrondie à $0{,}1$ près ?
[qcm]
[option]$3{,}5$ cm[/option]
[option correct="true"]$7{,}1$ cm[/option]
[option]$5{,}7$ cm[/option]
[option]$10$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour $\widehat{H}$, le côté adjacent est $[GH]$ et l'hypoténuse est $[HI]$.
$\cos(45^{\circ}) = \dfrac{5}{HI}$ donc $HI = \dfrac{5}{\cos(45^{\circ})} \approx \dfrac{5}{0{,}707} \approx 7{,}1$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$3{,}5$ cm"]Non.
$3{,}5 \approx 5 \times \cos(45^{\circ})$ : on a multiplié au lieu de diviser. Pour l'hypoténuse, on divise par le cosinus.[/reponse]
[reponse motif="$5{,}7$ cm"]Non.
Vérifier le calcul $\dfrac{5}{\cos(45^{\circ})}$ avec $\cos(45^{\circ}) \approx 0{,}707$.[/reponse]
[reponse motif="$10$ cm"]Non.
Pour un angle de $45^{\circ}$, l'hypoténuse vaut environ $\sqrt{2}$ fois le côté adjacent (soit environ $1{,}41$ fois), pas $2$ fois.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$HI = \dfrac{5}{\cos(45^{\circ})} \approx 7{,}1$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]