Médianes – Centre de gravité

Remarque : Pour des raisons de simplicité, le repère choisi pour la figure est orthonormé. Toutefois, cet exercice ne nécessite pas que le repère soit orthonormé.

1. D'après la formule des coordonnées du milieu, $ M $ a pour coordonnées $ \left(\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2} ; \dfrac{y_{B}+y_{C}}{2}\right)=\left(3 ; 3\right) $.

   La médiane au triangle $ ABC $ issue de $ A $ est la droite $ \left(AM\right) $.

   Le point $ P\left(x ; y\right) $ appartient à la droite $ \left(AM\right) $ si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AP} $ sont colinéaires.

   $ \overrightarrow{AP} $ a pour coordonnées $ \left(x - x_{A} ; y - y_{A}\right)=\left(x - 1 ; y - 1\right) $

   $ \overrightarrow{AM} $ a pour coordonnées $ \left(x_{M} - x_{A} ; y_{M} - y_{A}\right)=\left(2 ; 2\right) $

   Les vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AP} $ sont colinéaires si et seulement si (voir théorème) :

   $ \left(x - 1\right)\times 2 - \left(y - 1\right)\times 2=0 $

   $ 2x - 2y=0 $

   Une équation de la médiane au triangle $ ABC $ issue de $ A $ est donc $ 2x - 2y=0 $ ou, après simplification par $ 2 $ :

   $\mathbf{x - y=0}$

2. On applique le même raisonnement pour la médiane issue de $ B $, en notant $ N $ le milieu de $ \left[AC\right] $.

   $ N $ a pour coordonnées $ \left(\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2} ; \dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{5}{2}\right) $.

   Soit $ P\left(x ; y\right) $ un point du plan.

   $ \overrightarrow{BP} $ a pour coordonnées $ \left(x - x_{B} ; y - y_{B}\right)=\left(x - 4 ; y - 2\right) $

   $ \overrightarrow{BN} $ a pour coordonnées $ \left(x_{N} - x_{B} ; y_{N} - y_{B}\right)=\left(-\dfrac{5}{2} ; \dfrac{1}{2}\right) $

   $ P\in\left(BN\right) $ si et seulement si $ \overrightarrow{BP} $ et $ \overrightarrow{BN} $ sont colinéaires, c'est-à-dire :

   $ \left(x - 4\right)\times \dfrac{1}{2} - \left(y - 2\right)\times\left(-\dfrac{5}{2}\right)=0 $

   $ \dfrac{1}{2}\left(x - 4\right)+\dfrac{5}{2}\left(y - 2\right)=0 $

   En multipliant par $ 2 $ :

   $\mathbf{x+5y - 14=0}$

3. Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses médianes.

   Le couple de coordonnées du point $ G $ est donc la solution du système :

   $ \left\{ \begin{matrix} x - y=0 \\ x+5y - 14=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=y \\ 6y - 14=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=y \\ y=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=\dfrac{7}{3} \\ y=\dfrac{7}{3} \end{matrix}\right. $

   Les coordonnées de $ G $ sont donc $\mathbf{\left(\dfrac{7}{3} ; \dfrac{7}{3}\right)}$.

4. $ \overrightarrow{AG} $ a pour coordonnées $ \left(x_{G} - x_{A} ; y_{G} - y_{A}\right)=\left(\dfrac{4}{3} ; \dfrac{4}{3}\right) $

   $ \overrightarrow{AM} $ a pour coordonnées $ \left(2 ; 2\right) $, donc $ \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM} $ a pour coordonnées $ \left(\dfrac{4}{3} ; \dfrac{4}{3}\right) $.

   On a donc bien $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AM} $.

   Remarque : On retrouve dans cette question un résultat vu au collège. Si l'exercice demandait seulement de trouver les coordonnées de $ G $, il était bien sûr plus facile de partir de cette égalité vectorielle que de déterminer l'équation des médianes.

Pour réviser : Calculer les coordonnées du centre de gravité d'un triangle