Similitude par les longueurs et rapport d’aires

[enonce]
On considère deux triangles $PQR$ et $STU$ tels que :

$PQ = 8$ cm, $QR = 6$ cm et $PR = 4$ cm
$ST = 12$ cm, $TU = 9$ cm et $SU = 6$ cm

Deux triangles PQR (petit) et STU (grand) avec côtés étiquetés

L'aire du triangle $PQR$ est $8$ cm². Démontrer que ces deux triangles sont semblables et calculer l'aire du triangle $STU$.
[/enonce]

[etape]
Pour vérifier que deux triangles sont semblables par les longueurs, quelle est la première étape ?
[qcm]
[option correct="true"]Classer les côtés de chaque triangle par ordre croissant[/option]
[option]Calculer le périmètre de chaque triangle[/option]
[option]Mesurer les angles de chaque triangle[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On doit comparer les rapports entre côtés correspondants. Pour cela, on classe les côtés par ordre croissant :
Triangle $PQR$ : $4$, $6$, $8$
Triangle $STU$ : $6$, $9$, $12$[/reponse]
[reponse motif="Calculer le périmètre de chaque triangle"]Le périmètre ne suffit pas : deux triangles de même périmètre ne sont pas forcément semblables. Il faut comparer les rapports entre côtés.[/reponse]
[reponse motif="Mesurer les angles de chaque triangle"]C'est une autre méthode possible, mais ici on connaît les longueurs et pas les angles. La méthode la plus directe est de comparer les rapports entre côtés classés par ordre croissant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Pour utiliser le 2e cas de similitude, on compare les rapports entre côtés correspondants. Encore faut-il les associer correctement.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les côtés classés par ordre croissant sont :

Triangle $PQR$ : $4$, $6$, $8$
Triangle $STU$ : $6$, $9$, $12$

Les triangles $PQR$ et $STU$ sont-ils semblables ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, car les rapports entre côtés homologues sont tous égaux[/option]
[option]Non, car les côtés n'ont pas les mêmes longueurs[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître les angles[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$
Les trois rapports sont égaux, donc les triangles $PQR$ et $STU$ sont semblables.[/reponse]
[reponse motif="Non, car les côtés n'ont pas les mêmes longueurs"]Des triangles semblables n'ont pas forcément les mêmes longueurs de côtés. Ce qui compte, c'est que les rapports entre côtés homologues soient égaux.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître les angles"]On connaît les trois côtés de chaque triangle : on peut utiliser le 2e cas de similitude en comparant les rapports entre côtés homologues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient de similitude $k$ du triangle $PQR$ vers le triangle $STU$, sous forme de fraction irréductible : [[k]]
[math id="k" attendu="\dfrac{3}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Du triangle $PQR$ vers le triangle $STU$ :
$k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{2}{3}"]Attention au sens : on passe de $PQR$ à $STU$, donc on divise un côté de $STU$ par le côté homologue de $PQR$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]On passe de $PQR$ à $STU$ : diviser un côté de $STU$ par le côté homologue de $PQR$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le coefficient de similitude de $PQR$ vers $STU$ se calcule en divisant un côté de $STU$ par le côté homologue de $PQR$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{12}{8}$. Simplifier cette fraction.[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En passant du triangle $PQR$ au triangle $STU$, s'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ?
[[transfo]]
[select id="transfo"]
[option correct="true"]Un agrandissement[/option]
[option]Une réduction[/option]
[option]Ni l'un ni l'autre (triangles isométriques)[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le coefficient $k = \dfrac{3}{2} > 1$, donc le triangle $STU$ est un agrandissement du triangle $PQR$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer $k$ à $1$ : si $k > 1$, c'est un agrandissement ; si $k < 1$, une réduction ; si $k = 1$, les triangles sont isométriques.[/reponse]
[aide essai="2"]Le coefficient de similitude est $k = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$. Comparer cette valeur à $1$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = 1{,}5 > 1$, donc chaque côté du triangle image est plus grand que le côté correspondant du triangle initial.[/aide]
[/select]
[/etape]

[etape]
Calculer le rapport des aires $\dfrac{\text{Aire}(STU)}{\text{Aire}(PQR)}$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[raire]]
[math id="raire" attendu="\dfrac{9}{4}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le rapport des aires de deux triangles semblables est égal au carré du coefficient de similitude :

$\dfrac{\text{Aire}(STU)}{\text{Aire}(PQR)} = k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{3}{2}"]Le rapport des aires n'est pas $k$ mais $k^2$. Il faut mettre $\dfrac{3}{2}$ au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude : $k^2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Pour deux triangles semblables de coefficient $k$, le rapport des aires vaut $k^2$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{3}{2}$, donc $k^2 = \dfrac{3^2}{2^2} = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{\text{Aire}(STU)}{\text{Aire}(PQR)} = k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
L'aire du triangle $PQR$ est $8$ cm². En déduire l'aire du triangle $STU$ : [[aire]] cm²
[math id="aire" attendu="18"]
[reponse statut="correct"]Bravo !

$\text{Aire}(STU) = k^2 \times \text{Aire}(PQR) = \dfrac{9}{4} \times 8 = 18$ cm²

[/reponse]
[reponse motif="12"]$12 = \dfrac{3}{2} \times 8$ : attention, il faut multiplier par $k^2$, pas par $k$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser le rapport des aires calculé à l'étape précédente et multiplier par l'aire de $PQR$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\text{Aire}(STU) = k^2 \times \text{Aire}(PQR)$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{9}{4} \times 8 = \dfrac{9 \times 8}{4} = \dfrac{72}{4} = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\text{Aire}(STU) = \dfrac{9}{4} \times 8 = 18$ cm².
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Triangles semblables

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : reconnaissance de triangles semblables, coefficient de similitude, calcul de longueurs et rapport des aires. Choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Le triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm et $AC = 10$ cm.
Le triangle $DEF$ a pour côtés $DE = 10$ cm, $EF = 14$ cm et $DF = 20$ cm.

Quel est le coefficient de similitude de $ABC$ vers $DEF$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$k = 2$[/option]
[option]$k = \dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$k = 5$[/option]
[option]Les triangles ne sont pas semblables[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On range les côtés par ordre croissant et on calcule les rapports :
$\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{10}{5} = 2$, $\dfrac{EF}{BC} = \dfrac{14}{7} = 2$, $\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{20}{10} = 2$.
Les trois rapports sont égaux, donc les triangles sont semblables avec $k = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$k = \dfrac{1}{2}$"]Non.
Tu as calculé le rapport dans le mauvais sens.
Le coefficient de $ABC$ vers $DEF$ est $\dfrac{DE}{AB}$, pas $\dfrac{AB}{DE}$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 5$"]Non.
Tu as confondu un côté avec le coefficient.
Le coefficient est le rapport entre côtés homologues, par exemple $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{10}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="Les triangles ne sont pas semblables"]Non.
Vérifie les trois rapports entre côtés correspondants rangés par ordre croissant : ils sont tous égaux à $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Range les côtés par ordre croissant et compare les rapports correspondants.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les droites $(PR)$ et $(QS)$ sont sécantes en $O$. Les droites $(PQ)$ et $(RS)$ sont parallèles.
On donne $OP = 4$ cm, $OR = 6$ cm et $PQ = 5$ cm.

Configuration de Thalès en papillon : O au centre, P et Q en haut, R et S en bas, (PQ) parallèle à (RS)

Calculer $RS$.
[qcm]
[option]$\dfrac{10}{3}$ cm[/option]
[option]$7$ cm[/option]
[option correct="true"]$7{,}5$ cm[/option]
[option]$\dfrac{24}{5}$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les triangles $OPQ$ et $ORS$ sont semblables (configuration de Thalès en papillon).
Le coefficient de similitude est $k = \dfrac{OR}{OP} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$.
Donc $RS = k \times PQ = \dfrac{3}{2} \times 5 = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{10}{3}$ cm"]Non.
Tu as appliqué le coefficient inversé : $PQ \times \dfrac{OP}{OR} = 5 \times \dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{3}$.
Le coefficient de $OPQ$ vers $ORS$ est $\dfrac{OR}{OP}$, pas $\dfrac{OP}{OR}$.[/reponse]
[reponse motif="$7$ cm"]Non.
Tu as combiné les longueurs ($PQ + OR - OP = 5 + 6 - 4 = 7$), mais la similitude donne une proportionnalité.
Utilise $\dfrac{OP}{OR} = \dfrac{PQ}{RS}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{24}{5}$ cm"]Non.
Tu as mélangé les termes : $\dfrac{OP \times OR}{PQ} = \dfrac{4 \times 6}{5} = \dfrac{24}{5}$.
L'égalité est $\dfrac{OP}{OR} = \dfrac{PQ}{RS}$ : isole $RS$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{RS}$ et isole $RS$ par produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $PQR$ et $STU$ sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 2$ de $PQR$ vers $STU$.
Le périmètre du triangle $PQR$ est $15$ cm.

Quel est le périmètre du triangle $STU$ ?
[qcm]
[option]$60$ cm[/option]
[option correct="true"]$30$ cm[/option]
[option]$17$ cm[/option]
[option]$7{,}5$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les périmètres de deux triangles semblables sont proportionnels avec le même coefficient $k$.
Le périmètre de $STU$ est $k \times 15 = 2 \times 15 = 30$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$60$ cm"]Non.
Tu as multiplié par $k^2 = 4$ au lieu de $k$.
Le rapport $k^2$ s'applique aux aires, pas aux périmètres.[/reponse]
[reponse motif="$17$ cm"]Non.
Tu as ajouté $k$ au périmètre ($15 + 2 = 17$), mais les périmètres sont liés par une multiplication.
Le périmètre de $STU$ est $k \times 15$.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$ cm"]Non.
Tu as divisé par $k$ au lieu de multiplier.
Comme $k = 2 > 1$, c'est un agrandissement : le périmètre de $STU$ est plus grand que celui de $PQR$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le périmètre est multiplié par $k$, pas par $k^2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ a pour angles $\widehat{A} = 30°$, $\widehat{B} = 70°$ et $\widehat{C} = 80°$.
Le triangle $DEF$ a pour angles $\widehat{D} = 80°$ et $\widehat{E} = 70°$.

Quel est le côté homologue de $[AB]$ dans le triangle $DEF$ ?
[qcm]
[option]$[DE]$[/option]
[option]$[DF]$[/option]
[option]Les triangles ne sont pas semblables[/option]
[option correct="true"]$[EF]$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule $\widehat{F} = 180° - 80° - 70° = 30°$.
Les correspondances sont : $A \leftrightarrow F$ ($30°$), $B \leftrightarrow E$ ($70°$), $C \leftrightarrow D$ ($80°$).
Le côté $[AB]$ relie $A$ ($30°$) et $B$ ($70°$), son homologue relie $F$ ($30°$) et $E$ ($70°$), soit $[EF]$.[/reponse]
[reponse motif="$[DE]$"]Non.
Tu as probablement associé les sommets dans l'ordre alphabétique ($A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$).
Les sommets homologues sont ceux qui portent les angles de même mesure.[/reponse]
[reponse motif="$[DF]$"]Non.
$[DF]$ relie les sommets $D$ ($80°$) et $F$ ($30°$), homologue de $[CA]$.
Vérifie les correspondances à partir des angles de même mesure.[/reponse]
[reponse motif="Les triangles ne sont pas semblables"]Non.
Calcule le troisième angle du triangle $DEF$ : $\widehat{F} = 180° - 80° - 70° = 30°$.
Les deux triangles ont les mêmes angles ($30°$, $70°$, $80°$) et sont donc semblables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouve les correspondances entre sommets (via les angles de même mesure), puis identifie les côtés reliant les sommets homologues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle $ABC$, le point $M$ est sur $[AB]$ et le point $N$ est sur $[AC]$, avec $(MN) \parallel (BC)$.
On donne $AM = 2$ cm, $AB = 6$ cm et l'aire du triangle $ABC$ est $54$ cm².

Quelle est l'aire du triangle $AMN$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$6$ cm²[/option]
[option]$18$ cm²[/option]
[option]$9$ cm²[/option]
[option]$36$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables avec $k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
Le rapport des aires est $k^2 = \dfrac{1}{9}$.
L'aire de $AMN$ est $54 \times \dfrac{1}{9} = 6$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$18$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k$ au lieu de $k^2$ : $54 \times \dfrac{1}{3} = 18$.
Le rapport des aires est le carré du coefficient, pas le coefficient lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$9$ cm²"]Non.
Tu as divisé par $AB$ au lieu d'utiliser $k^2$ : $\dfrac{54}{6} = 9$.
Le rapport des aires est $k^2 = \left(\dfrac{AM}{AB}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm²"]Non.
Tu as soustrait au lieu d'appliquer la proportionnalité : $54 - 18 = 36$.
Le rapport des aires est $k^2 = \left(\dfrac{2}{6}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule $k = \dfrac{AM}{AB}$, puis l'aire de $AMN$ avec $k^2 \times \text{aire}_{ABC}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle $ABC$, les points $M$ et $N$ sont tels que $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$.
On donne $AM = 4$ cm, $AB = 10$ cm et $BC = 15$ cm.

Configuration de Thalès : triangle ABC avec M sur AB et N sur AC, (MN) parallèle à (BC)

Calculer $MN$.
[qcm]
[option]$37{,}5$ cm[/option]
[option]$9$ cm[/option]
[option correct="true"]$6$ cm[/option]
[option]$\dfrac{8}{3}$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables avec $k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.
Donc $MN = k \times BC = \dfrac{2}{5} \times 15 = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$37{,}5$ cm"]Non.
Tu as appliqué le coefficient inversé : $BC \times \dfrac{AB}{AM} = 15 \times \dfrac{10}{4} = 37{,}5$.
Le coefficient est $k = \dfrac{AM}{AB}$, pas $\dfrac{AB}{AM}$.[/reponse]
[reponse motif="$9$ cm"]Non.
Tu as combiné les longueurs ($AM + BC - AB = 4 + 15 - 10 = 9$), mais la similitude donne une proportionnalité.
Utilise $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{8}{3}$ cm"]Non.
Tu as mélangé les termes du rapport en calculant $\dfrac{AB \times AM}{BC} = \dfrac{40}{15} = \dfrac{8}{3}$.
L'égalité est $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AM}{AB}$, soit $MN = BC \times \dfrac{AM}{AB}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{4}{10} = \dfrac{MN}{15}$ et isole $MN$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Rapport des aires et triangles semblables

[enonce]
Ce QCM porte sur le rapport des aires de triangles semblables. Pour chaque question, choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 3$ de $ABC$ vers $DEF$.
L'aire du triangle $ABC$ est $8$ cm².

Quelle est l'aire du triangle $DEF$ ?
[qcm]
[option]$24$ cm²[/option]
[option]$11$ cm²[/option]
[option]$216$ cm²[/option]
[option correct="true"]$72$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le rapport des aires est $k^2 = 3^2 = 9$.
L'aire de $DEF$ est $9 \times 8 = 72$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$24$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k$ au lieu de $k^2$ : $3 \times 8 = 24$.
Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude, pas le coefficient lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$11$ cm²"]Non.
Tu as ajouté $k$ à l'aire ($8 + 3 = 11$), mais les aires sont liées par une multiplication.
Le rapport des aires est $k^2 = 9$.[/reponse]
[reponse motif="$216$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k^3 = 27$ au lieu de $k^2$ : $27 \times 8 = 216$.
Le cube du coefficient s'utilise pour les volumes, pas pour les aires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'aire de $DEF$ est $k^2 \times \text{aire de } ABC$. Calcule d'abord $k^2 = 9$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux triangles semblables ont des aires de $5$ cm² et $45$ cm².

Quel est le coefficient de similitude du petit vers le grand triangle ?
[qcm]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]$40$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le rapport des aires est $\dfrac{45}{5} = 9$.
Comme le rapport des aires vaut $k^2$, on obtient $k = \sqrt{9} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
Le nombre $9$ est le rapport des aires, pas le coefficient de similitude.
Le coefficient $k$ vérifie $k^2 = 9$, donc il faut prendre la racine carrée.[/reponse]
[reponse motif="$40$"]Non.
Tu as calculé la différence des aires ($45 - 5 = 40$), qui ne donne pas le coefficient de similitude.
Utilise le rapport $\dfrac{45}{5}$ et la relation $k^2 = \text{rapport des aires}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
C'est le coefficient du grand vers le petit triangle.
La question demande le coefficient du petit vers le grand.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule le rapport des aires, puis prends sa racine carrée pour obtenir $k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 0{,}5$ de $ABC$ vers $DEF$.
L'aire du triangle $DEF$ est $32$ cm².

Quelle est l'aire du triangle $ABC$ ?
[qcm]
[option]$16$ cm²[/option]
[option]$64$ cm²[/option]
[option correct="true"]$128$ cm²[/option]
[option]$8$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le passage de $ABC$ à $DEF$ est une réduction de rapport $k = 0{,}5$.
Donc $\text{aire}_{DEF} = k^2 \times \text{aire}_{ABC}$, soit $32 = 0{,}25 \times \text{aire}_{ABC}$.
D'où $\text{aire}_{ABC} = \dfrac{32}{0{,}25} = 128$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$16$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k$ au lieu de diviser par $k^2$ : $32 \times 0{,}5 = 16$.
Comme $k < 1$, $DEF$ est plus petit que $ABC$, donc l'aire de $ABC$ est plus grande que $32$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$64$ cm²"]Non.
Tu as divisé par $k$ au lieu de $k^2$ : $\dfrac{32}{0{,}5} = 64$.
Le rapport des aires utilise $k^2 = 0{,}25$, pas $k = 0{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$8$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k^2$ au lieu de diviser : $32 \times 0{,}25 = 8$.
Comme $DEF$ est la réduction de $ABC$, l'aire de $ABC$ est plus grande que $32$ cm².[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'aire de $DEF$ vaut $k^2 \times \text{aire}_{ABC}$, donc $\text{aire}_{ABC} = \dfrac{32}{k^2}$. Calcule $k^2 = 0{,}25$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont semblables avec $A \leftrightarrow A'$, $B \leftrightarrow B'$, $C \leftrightarrow C'$.
On donne $AB = 4$ cm, $A'B' = 6$ cm et l'aire du triangle $ABC$ est $12$ cm².

Quelle est l'aire du triangle $A'B'C'$ ?
[qcm]
[option]$18$ cm²[/option]
[option correct="true"]$27$ cm²[/option]
[option]$\dfrac{16}{3}$ cm²[/option]
[option]$8$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le coefficient de similitude est $k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$.
Le rapport des aires est $k^2 = \dfrac{9}{4}$.
L'aire de $A'B'C'$ est $12 \times \dfrac{9}{4} = 27$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$18$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k = \dfrac{3}{2}$ au lieu de $k^2$ : $12 \times \dfrac{3}{2} = 18$.
Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{16}{3}$ cm²"]Non.
Tu as divisé par $k^2$ au lieu de multiplier : $12 \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{16}{3}$.
Comme $k > 1$, $A'B'C'$ est un agrandissement et son aire est plus grande que $12$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$8$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{2}{3}$, qui est le coefficient inverse.
Le coefficient de $ABC$ vers $A'B'C'$ est $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule $k = \dfrac{A'B'}{AB}$, puis l'aire avec $k^2 \times \text{aire}_{ABC}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux triangles sont semblables. L'aire du premier est $12$ cm² et l'aire du second est $27$ cm².

Quel est le coefficient de similitude du premier vers le second ?
[qcm]
[option]$\dfrac{9}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{9}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le rapport des aires est $\dfrac{27}{12} = \dfrac{9}{4}$.
Comme ce rapport vaut $k^2$, on obtient $k = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{9}{4}$"]Non.
C'est le rapport des aires ($k^2$), pas le coefficient de similitude ($k$).
Il faut prendre la racine carrée de $\dfrac{9}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{9}$"]Non.
Tu as inversé le rapport des aires.
Le coefficient du premier vers le second est $k$ tel que $k^2 = \dfrac{\text{aire}_2}{\text{aire}_1} = \dfrac{27}{12}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
C'est le coefficient du second vers le premier ($\dfrac{1}{k}$).
La question demande le coefficient du premier vers le second.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule le rapport des aires $\dfrac{27}{12}$, simplifie, puis prends la racine carrée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux triangles semblables ont des périmètres de $18$ cm et $24$ cm.
L'aire du petit triangle est $27$ cm².

Quelle est l'aire du grand triangle ?
[qcm]
[option correct="true"]$48$ cm²[/option]
[option]$36$ cm²[/option]
[option]$\dfrac{243}{16}$ cm²[/option]
[option]$33$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le coefficient de similitude est $k = \dfrac{24}{18} = \dfrac{4}{3}$.
Le rapport des aires est $k^2 = \dfrac{16}{9}$.
L'aire du grand triangle est $27 \times \dfrac{16}{9} = 48$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k$ au lieu de $k^2$ : $27 \times \dfrac{4}{3} = 36$.
Le rapport des périmètres donne $k$, mais le rapport des aires est $k^2$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{243}{16}$ cm²"]Non.
Tu as divisé par $k^2$ au lieu de multiplier : $27 \times \dfrac{9}{16} = \dfrac{243}{16}$.
Le grand triangle a une aire plus grande que $27$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$33$ cm²"]Non.
Tu as ajouté la différence des périmètres ($27 + 6 = 33$), mais les aires ne se calculent pas par addition.
Utilise $k = \dfrac{24}{18}$ et le rapport des aires $k^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord $k$ à partir des périmètres, puis $k^2$, et multiplie l'aire du petit triangle par $k^2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Coefficient de similitude et longueurs

[enonce]
Ce QCM porte sur le coefficient de similitude et le calcul de longueurs dans des triangles semblables. Pour chaque question, choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec les correspondances $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$.
On donne $AB = 4$ cm et $DE = 6$ cm.

Quel est le coefficient de similitude de $ABC$ vers $DEF$ ?
[qcm]
[option]$k = \dfrac{2}{3}$[/option]
[option correct="true"]$k = \dfrac{3}{2}$[/option]
[option]$k = 2$[/option]
[option]$k = 10$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le coefficient de similitude de $ABC$ vers $DEF$ est le rapport d'un côté de $DEF$ sur le côté homologue de $ABC$ :
$k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$k = \dfrac{2}{3}$"]Non.
Tu as calculé $\dfrac{AB}{DE}$, qui est le coefficient de $DEF$ vers $ABC$.
Le coefficient de $ABC$ vers $DEF$ se calcule dans l'autre sens.[/reponse]
[reponse motif="$k = 2$"]Non.
Le coefficient n'est pas $\dfrac{6}{3}$ mais $\dfrac{6}{4}$.
Vérifie bien les longueurs des côtés homologues.[/reponse]
[reponse motif="$k = 10$"]Non.
Le coefficient de similitude est un rapport de longueurs, pas leur somme.
Calcule $\dfrac{DE}{AB}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le coefficient est $k = \dfrac{DE}{AB}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec les correspondances $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$.
On donne $AB = 6$ cm, $BC = 9$ cm et $DE = 4$ cm.

Calculer $EF$.
[qcm]
[option]$13{,}5$ cm[/option]
[option]$7$ cm[/option]
[option]$\dfrac{8}{3}$ cm[/option]
[option correct="true"]$6$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient de similitude de $ABC$ vers $DEF$ est $k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
On en déduit : $EF = k \times BC = \dfrac{2}{3} \times 9 = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$13{,}5$ cm"]Non.
Tu as appliqué le coefficient inversé : $BC \times \dfrac{AB}{DE} = 9 \times \dfrac{6}{4} = 13{,}5$.
Le coefficient de $ABC$ vers $DEF$ est $\dfrac{DE}{AB}$, pas $\dfrac{AB}{DE}$.[/reponse]
[reponse motif="$7$ cm"]Non.
Tu as combiné les longueurs ($DE + BC - AB = 4 + 9 - 6 = 7$), mais la similitude donne une proportionnalité, pas une addition.
Utilise le coefficient $k = \dfrac{DE}{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{8}{3}$ cm"]Non.
Tu as mélangé les termes dans le produit en croix.
L'égalité est $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{EF}{BC}$, soit $\dfrac{4}{6} = \dfrac{EF}{9}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord $k = \dfrac{DE}{AB}$, puis applique $EF = k \times BC$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $GHI$ et $JKL$ sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 0{,}8$ de $GHI$ vers $JKL$.

Le passage de $GHI$ à $JKL$ est :
[qcm]
[option correct="true"]une réduction[/option]
[option]un agrandissement de rapport $0{,}8$[/option]
[option]un agrandissement de rapport $1{,}25$[/option]
[option]ni un agrandissement ni une réduction[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Comme $k = 0{,}8 < 1$, les côtés du triangle $JKL$ sont plus petits que ceux de $GHI$.
Le passage de $GHI$ à $JKL$ est donc une réduction.[/reponse]
[reponse motif="un agrandissement de rapport $0{,}8$"]Non.
Quand $k < 1$, les dimensions diminuent : c'est une réduction, pas un agrandissement.
Un agrandissement correspond à $k > 1$.[/reponse]
[reponse motif="un agrandissement de rapport $1{,}25$"]Non.
Le rapport $1{,}25 = \dfrac{1}{0{,}8}$ est le coefficient dans le sens inverse (de $JKL$ vers $GHI$).
Le passage de $GHI$ à $JKL$ utilise $k = 0{,}8 < 1$.[/reponse]
[reponse motif="ni un agrandissement ni une réduction"]Non.
Ce cas correspond à $k = 1$ (triangles isométriques).
Ici $k = 0{,}8 \neq 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compare $k$ à $1$ : si $k > 1$, c'est un agrandissement ; si $k < 1$, c'est une réduction.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle $ABC$, le point $M$ est sur $[AB]$ et le point $N$ est sur $[AC]$, avec $(MN) \parallel (BC)$.
On donne $AM = 3$ cm, $AB = 9$ cm et $BC = 12$ cm.

Calculer $MN$.
[qcm]
[option]$36$ cm[/option]
[option]$6$ cm[/option]
[option correct="true"]$4$ cm[/option]
[option]$9$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables (configuration de Thalès).
Le coefficient de similitude est $k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
Donc $MN = k \times BC = \dfrac{1}{3} \times 12 = 4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm"]Non.
Tu as appliqué le coefficient inversé : $BC \times \dfrac{AB}{AM} = 12 \times 3 = 36$.
Le coefficient est $k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{1}{3}$, pas $3$.[/reponse]
[reponse motif="$6$ cm"]Non.
Tu as probablement combiné les longueurs ($AM + BC - AB = 3 + 12 - 9 = 6$), mais la similitude donne une proportionnalité.
Utilise $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$.[/reponse]
[reponse motif="$9$ cm"]Non.
Tu confonds $MN$ et $AB$.
Utilise la proportionnalité : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$, soit $\dfrac{3}{9} = \dfrac{MN}{12}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{3}{9} = \dfrac{MN}{12}$ et isole $MN$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec les correspondances $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$.
On donne $DE = 10$ cm, $EF = 15$ cm et $AB = 6$ cm.

Calculer $BC$.
[qcm]
[option]$25$ cm[/option]
[option correct="true"]$9$ cm[/option]
[option]$11$ cm[/option]
[option]$4$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le coefficient de similitude de $DEF$ vers $ABC$ est $k = \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$.
Donc $BC = k \times EF = \dfrac{3}{5} \times 15 = 9$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$25$ cm"]Non.
Tu as appliqué le coefficient dans le mauvais sens : $EF \times \dfrac{DE}{AB} = 15 \times \dfrac{10}{6} = 25$.
Le coefficient de $DEF$ vers $ABC$ est $\dfrac{AB}{DE}$, pas $\dfrac{DE}{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$11$ cm"]Non.
Tu as combiné les longueurs ($EF - DE + AB = 15 - 10 + 6 = 11$), mais la similitude donne une proportionnalité, pas des additions.
Utilise $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF}$.[/reponse]
[reponse motif="$4$ cm"]Non.
Tu as inversé les rôles de $EF$ et $DE$ dans le produit en croix.
L'égalité est $\dfrac{6}{10} = \dfrac{BC}{15}$ : isole $BC$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'égalité est $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF}$, soit $\dfrac{6}{10} = \dfrac{BC}{15}$. Isole $BC$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 3$ de $ABC$ vers $DEF$.
On donne $AB = 4$ cm, $BC = 6$ cm et $AC = 5$ cm.

Quel est le périmètre du triangle $DEF$ ?
[qcm]
[option]$18$ cm[/option]
[option]$5$ cm[/option]
[option]$135$ cm[/option]
[option correct="true"]$45$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le périmètre de $ABC$ est $4 + 6 + 5 = 15$ cm.
Les périmètres sont proportionnels avec le même coefficient $k$ :
périmètre de $DEF$ $= k \times 15 = 3 \times 15 = 45$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$18$ cm"]Non.
Tu as multiplié un seul côté par $k$ ($BC \times 3 = 18$).
Il faut multiplier chaque côté par $k$, ou plus simplement multiplier le périmètre total par $k$.[/reponse]
[reponse motif="$5$ cm"]Non.
Tu as divisé le périmètre par $k$ au lieu de le multiplier.
Comme $k = 3 > 1$, c'est un agrandissement : le périmètre de $DEF$ est plus grand que celui de $ABC$.[/reponse]
[reponse motif="$135$ cm"]Non.
Tu as multiplié le périmètre par $k^2 = 9$.
Le rapport $k^2$ s'applique aux aires, pas aux périmètres. Les périmètres se multiplient par $k$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord le périmètre de $ABC$, puis multiplie-le par $k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Coefficient de similitude et aires

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le coefficient de similitude et les aires, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 3$ (de $ABC$ vers $DEF$). L'aire de $ABC$ est $5$ cm².

Affirmation : L'aire de $DEF$ est $15$ cm².

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le rapport des aires n'est pas $k$ mais $k^2$.
L'aire de $DEF$ vaut $k^2 \times 5 = 3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45$ cm².
Le coefficient $k$ s'applique aux longueurs, mais les aires sont des grandeurs à deux dimensions : il faut élever $k$ au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, on ne peut pas multiplier directement l'aire par le coefficient $k$.
Le rapport des aires est $k^2$, pas $k$.
Ici : $k^2 = 3^2 = 9$, donc l'aire de $DEF$ vaut $9 \times 5 = 45$ cm², et non $15$ cm².[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le rapport des aires est $k^2 = 9$, donc l'aire de $DEF$ vaut $45$ cm².
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le coefficient de similitude pour passer du triangle $ABC$ au triangle $DEF$ est $k = 0{,}5$.

Affirmation : Le triangle $DEF$ est une réduction du triangle $ABC$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Quand $0 < k < 1$, chaque longueur du triangle image est plus petite que la longueur homologue du triangle initial.
Avec $k = 0{,}5$, chaque côté de $DEF$ mesure la moitié du côté homologue de $ABC$ : c'est bien une réduction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour interpréter le coefficient de similitude, il faut regarder s'il est supérieur ou inférieur à $1$.
Si $k > 1$ : agrandissement. Si $k = 1$ : mêmes dimensions. Si $0 < k < 1$ : réduction.
Ici $k = 0{,}5 < 1$ : les côtés de $DEF$ sont plus petits, c'est une réduction.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $k = 0{,}5 < 1$, chaque côté de $DEF$ est plus petit : c'est une réduction.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le coefficient de similitude pour passer du triangle $ABC$ au triangle $DEF$ est $k = 2$.

Affirmation : Le coefficient de similitude pour passer du triangle $DEF$ au triangle $ABC$ est aussi $k = 2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si $k = 2$ pour passer de $ABC$ à $DEF$, alors pour passer de $DEF$ à $ABC$ on divise par $2$.
Le coefficient « retour » est $\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.
Les côtés de $ABC$ sont deux fois plus petits que ceux de $DEF$, pas deux fois plus grands.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de croire que le coefficient est le même dans les deux sens.
Si les côtés de $DEF$ sont le double de ceux de $ABC$ ($k = 2$), alors les côtés de $ABC$ sont la moitié de ceux de $DEF$.
Le coefficient retour est $\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient retour est $\dfrac{1}{k} = 0{,}5$, pas $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Deux triangles sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 1$.

Affirmation : Ces deux triangles sont isométriques (mêmes dimensions).

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $k = 1$, chaque côté du second triangle a exactement la même longueur que le côté homologue du premier.
Les deux triangles ont les mêmes angles (car semblables) et les mêmes longueurs de côtés : ils sont isométriques.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le coefficient de similitude donne le rapport entre les longueurs homologues.
Si $k = 1$, les longueurs homologues sont égales. Combiné avec l'égalité des angles (car semblables), les deux triangles ont exactement les mêmes dimensions.
L'isométrie est un cas particulier de la similitude.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $k = 1$, les côtés homologues sont égaux : les triangles sont isométriques.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux triangles semblables sont toujours l'image l'un de l'autre par une homothétie.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'image d'un triangle par une homothétie est un triangle semblable dont les côtés homologues sont parallèles.
Mais deux triangles semblables peuvent être orientés différemment, sans que leurs côtés soient parallèles.
La similitude n'implique pas l'homothétie, même si l'homothétie implique la similitude.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre similitude et homothétie.
Une homothétie produit des triangles semblables avec des côtés parallèles deux à deux.
Mais deux triangles semblables peuvent avoir des orientations complètement différentes, sans aucun côté parallèle.
La réciproque de « l'homothétie implique la similitude » est fausse.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Deux triangles semblables ne sont pas forcément homothétiques : ils peuvent être orientés différemment.
[/solution]
[/etape]

[etape]
L'aire d'un triangle $DEF$ est $4$ fois l'aire d'un triangle $ABC$ semblable.

Affirmation : Le coefficient de similitude pour passer de $ABC$ à $DEF$ est $k = 4$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le rapport des aires est $k^2$, pas $k$.
Si $k^2 = 4$, alors $k = \sqrt{4} = 2$.
Le coefficient de similitude est $2$, pas $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, le rapport des aires n'est pas le coefficient de similitude.
Le rapport des aires est le carré du coefficient : $k^2 = 4$.
Pour retrouver $k$, il faut prendre la racine carrée : $k = \sqrt{4} = 2$.
Les côtés de $DEF$ sont $2$ fois plus grands que ceux de $ABC$, pas $4$ fois.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Si le rapport d'aires est $4$, alors $k = \sqrt{4} = 2$.
[/solution]
[/etape]

Triangles semblables par les côtés proportionnels

On considère deux triangles $PQR$ et $KLM$ tels que :

$PQ = 3$ cm, $QR = 4{,}5$ cm et $PR = 6$ cm ;
$KL = 4$ cm, $LM = 6$ cm et $KM = 8$ cm.

Deux triangles PQR (petit) et KLM (grand) avec leurs côtés indiqués

Classer les côtés de chaque triangle par ordre croissant de longueur.
Calculer les rapports entre les côtés rangés dans le même ordre. Que constate-t-on ?
Les triangles $PQR$ et $KLM$ sont-ils semblables ? Si oui, donner le coefficient de similitude et les correspondances entre sommets homologues.

Corrigé

On classe les côtés par ordre croissant :
Triangle $PQR$ : $PQ = 3 < QR = 4{,}5 < PR = 6$
Triangle $KLM$ : $KL = 4 < LM = 6 < KM = 8$
On calcule les rapports entre côtés de même rang :
$\dfrac{KL}{PQ} = \dfrac{4}{3}$
$\dfrac{LM}{QR} = \dfrac{6}{4{,}5} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}$
$\dfrac{KM}{PR} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$
Les trois rapports sont égaux.
Les côtés des deux triangles sont deux à deux proportionnels, donc les triangles $PQR$ et $KLM$ sont semblables.
Le coefficient de similitude est $k = \dfrac{4}{3}$.
Les sommets homologues (associés par les côtés de même rang) sont : $P \leftrightarrow K$, $Q \leftrightarrow L$ et $R \leftrightarrow M$.

Pour réviser : Calculer une longueur inconnue avec des triangles semblables