Angles d’une charpente symétrique

La figure ci-dessous représente la coupe d'une charpente symétrique. Le triangle $ ABC $ correspond aux deux pans du toit ; il est isocèle en $ C $. La sablière $ [AB] $ est horizontale et l'angle de pente du toit vaut $ \widehat{CAB} = 32° $.
Le charpentier ajoute :

une poutre horizontale $ [DE] $ avec $ D $ sur $ [CA] $ et $ E $ sur $ [CB] $, telle que $ (DE) $ soit parallèle à $ (AB) $ ;
une poutre verticale $ [CH] $ avec $ H $ sur $ [AB] $, perpendiculaire à $ (AB) $.

Coupe d'une charpente symétrique avec triangle isocèle ABC, poutre DE parallèle à AB et poutre verticale CH

Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{ACB} $ formé au faîte du toit.
Justifier que $ \widehat{CDE} = 32° $.
En déduire la mesure de l'angle $ \widehat{ADE} $.
Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{ACH} $ formé entre le pan de toit $ [CA] $ et la poutre verticale $ [CH] $.

Corrigé

Le triangle $ ABC $ est isocèle en $ C $, donc les deux angles à la base sont égaux : $ \widehat{CBA} = \widehat{CAB} = 32° $.
La somme des trois angles d'un triangle vaut $ 180° $ :
$ \widehat{ACB} = 180 - 32 - 32 $
$ \widehat{ACB} = $ $\mathbf{116°}$.
Les droites $ (DE) $ et $ (AB) $ sont parallèles, et la droite $ (CA) $ est sécante : elle coupe $ (DE) $ en $ D $ et $ (AB) $ en $ A $. Les angles $ \widehat{CDE} $ et $ \widehat{CAB} $ ont pour sommets $ D $ et $ A $, ils sont du même côté de la sécante $ (CA) $ et tous deux situés au-dessus de leur droite respective : ce sont des angles correspondants.
Comme $ (DE) $ et $ (AB) $ sont parallèles, ces angles ont la même mesure :
$ \widehat{CDE} = \widehat{CAB} = $ $\mathbf{32°}$.
Les points $ A $, $ D $ et $ C $ sont alignés sur la droite $ (CA) $. Les angles $ \widehat{CDE} $ et $ \widehat{ADE} $ sont donc adjacents et supplémentaires :
$ \widehat{ADE} = 180 - 32 $
$ \widehat{ADE} = $ $\mathbf{148°}$.
La poutre $ [CH] $ est perpendiculaire à $ (AB) $, donc le triangle $ ACH $ est rectangle en $ H $ : $ \widehat{AHC} = 90° $.
Le point $ H $ appartient à $ [AB] $, donc $ \widehat{HAC} = \widehat{BAC} = 32° $.
La somme des angles du triangle $ ACH $ vaut $ 180° $ :
$ \widehat{ACH} = 180 - 90 - 32 $
$ \widehat{ACH} = $ $\mathbf{58°}$.

Remarque : dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi bissectrice de l'angle au sommet. On vérifie ici que $ 2 \times 58 = 116 = \widehat{ACB} $.

Angles d’un triangle isocèle ou équilatéral

Le triangle $ ABC $ est isocèle en $ A $ et l'angle au sommet $ \widehat{BAC} $ mesure $ 40° $. Calculer la mesure des deux angles à la base $ \widehat{ABC} $ et $ \widehat{ACB} $.
Le triangle $ DEF $ est isocèle en $ D $ et l'angle à la base $ \widehat{DEF} $ mesure $ 53° $. Calculer les mesures des angles $ \widehat{DFE} $ et $ \widehat{EDF} $.
Le triangle $ GHI $ est équilatéral. Démontrer que ses trois angles mesurent chacun $ 60° $.

Corrigé

Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $ 180° $.

Le triangle $ ABC $ est isocèle en $ A $, donc les deux angles à la base sont égaux : $ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} $.
La somme des trois angles vaut $ 180° $ :
$ \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180 - 40 = 140 $.
Comme les deux angles à la base ont la même mesure :
$ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 140 \div 2 $
$ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = $ $\mathbf{70°}$.
Le triangle $ DEF $ est isocèle en $ D $, donc les deux angles à la base sont égaux : $ \widehat{DFE} = \widehat{DEF} = $ $\mathbf{53°}$.
La somme des trois angles vaut $ 180° $ :
$ \widehat{EDF} = 180 - 53 - 53 $
$ \widehat{EDF} = $ $\mathbf{74°}$.
Le triangle $ GHI $ est équilatéral, donc ses trois côtés ont la même longueur. Il est en particulier isocèle en chacun de ses sommets, donc ses trois angles ont la même mesure. Notons $ x $ cette mesure commune.
La somme des trois angles vaut $ 180° $ :
$ 3x = 180 $
$ x = 180 \div 3 = 60 $.
Les trois angles d'un triangle équilatéral mesurent donc chacun $\mathbf{60°}$.

Pour réviser : Calculer le troisième angle d'un triangle.

Calculer le troisième angle d’un triangle

Dans le triangle $ ABC $, on sait que $ \widehat{BAC} = 42° $ et $ \widehat{ABC} = 78° $. Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{BCA} $.
Le triangle $ DEF $ est rectangle en $ E $. On donne $ \widehat{EDF} = 37° $. Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{DFE} $.
Le triangle $ GHI $ est isocèle en $ G $ et $ \widehat{HGI} = 44° $. Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{GHI} $.

Corrigé

Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $ 180° $.

La somme des angles vaut $ 180° $, donc :
$ \widehat{BCA} = 180 - 42 - 78 $
$ \widehat{BCA} = $ $\mathbf{60°}$.
Le triangle est rectangle en $ E $, donc $ \widehat{DEF} = 90° $.
$ \widehat{DFE} = 180 - 90 - 37 $
$ \widehat{DFE} = $ $\mathbf{53°}$.
Le triangle est isocèle en $ G $, donc les deux angles à la base sont égaux : $ \widehat{GHI} = \widehat{GIH} $.
La somme des trois angles vaut $ 180° $ :
$ \widehat{GHI} + \widehat{GIH} = 180 - 44 = 136 $.
Comme les deux angles ont la même mesure :
$ \widehat{GHI} = 136 \div 2 $
$ \widehat{GHI} = $ $\mathbf{68°}$.

Pour réviser : Calculer le troisième angle d'un triangle.

Vrai/Faux : Somme des angles d’un triangle et cas particuliers

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la somme des angles d'un triangle et les triangles particuliers, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut $180°$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est la propriété fondamentale : quel que soit le triangle (quelconque, isocèle, équilatéral, rectangle...), la somme des trois angles vaut toujours $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la somme des angles d'un triangle est une propriété universelle (valable pour tout triangle).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des angles d'un triangle vaut toujours $180°$, quelle que soit sa forme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un triangle peut avoir des angles de mesures $50°$, $70°$ et $80°$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$50° + 70° + 80° = 200°$.
Or la somme des angles d'un triangle doit valoir exactement $180°$.
Un tel triangle ne peut pas exister.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Calcule la somme : $50 + 70 + 80 = 200$.
Cette somme dépasse $180°$, ce qui est impossible pour un triangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $50° + 70° + 80° = 200°$, ce qui dépasse $180°$ : ce triangle ne peut pas exister.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle isocèle, deux angles ont nécessairement la même mesure.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Dans un triangle isocèle, deux côtés ont la même longueur, donc les deux angles opposés à ces côtés (les angles à la base) ont la même mesure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la propriété caractéristique d'un triangle isocèle est l'égalité de deux côtés, ce qui entraîne l'égalité des deux angles à la base.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont une somme égale à $90°$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le triangle rectangle a un angle droit de $90°$.
La somme des trois angles vaut $180°$, donc la somme des deux angles aigus vaut $180° - 90° = 90°$.
Les deux angles aigus sont donc complémentaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : dans un triangle rectangle, l'angle droit consomme déjà $90°$ sur les $180°$. Les deux autres angles se partagent les $90°$ restants : ils sont complémentaires.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (somme égale à $90°$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux angles d'un triangle mesurent $40°$ chacun, alors le triangle est équilatéral.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le troisième angle vaut $180° - 40° - 40° = 100°$.
Les trois angles ne sont pas égaux ($40°$, $40°$ et $100°$) : le triangle n'est donc pas équilatéral.
Il est seulement isocèle (deux angles égaux).
Pour qu'un triangle soit équilatéral, ses trois angles doivent valoir $60°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre triangle isocèle et triangle équilatéral.
Avec deux angles de $40°$, le troisième vaut $100°$ : le triangle est isocèle mais pas équilatéral.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le triangle est isocèle (deux angles de $40°$), mais le troisième vaut $100°$ : il n'est pas équilatéral.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux angles d'un triangle mesurent respectivement $35°$ et $145°$, alors le troisième angle est nul.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$35° + 145° = 180°$.
Le troisième angle vaut donc $180° - 180° = 0°$.
Mais cela signifie qu'un tel triangle n'existe pas : les trois sommets seraient alignés.
Cette affirmation est mathématiquement vraie (le calcul donne $0$), mais elle révèle qu'on ne peut pas construire un véritable triangle avec ces deux mesures.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Effectue le calcul : $180 - 35 - 145 = 0$. La valeur du troisième angle est bien zéro, ce qui correspond à des sommets alignés (donc à un triangle "aplati" qui n'existe pas vraiment).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $180° - 35° - 145° = 0°$. Mais un angle nul signifie aussi qu'un tel triangle ne peut pas exister géométriquement.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Synthèse — raisonner sur des configurations d’angles

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, qui combine plusieurs propriétés du chapitre, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Lire attentivement chaque énoncé avant de conclure.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est une propriété fondamentale du parallélisme : deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. On peut le démontrer en utilisant l'égalité des angles correspondants formés par une sécante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si $(d_1) \parallel (d_3)$ et $(d_2) \parallel (d_3)$, alors $(d_1) \parallel (d_2)$. Le parallélisme se "transmet" via une droite intermédiaire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle $ABC$, on trace par $A$ la droite $(d)$ parallèle à $(BC)$. Alors les trois angles formés en $A$ entre $(AB)$, $(AC)$ et $(d)$ ont une somme égale à $180°$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les trois angles en $A$ se trouvent de part et d'autre du point $A$ sur la droite $(d)$, qui est plate.
Leur somme couvre exactement le demi-plan défini par $(d)$, donc vaut $180°$.

C'est d'ailleurs ce raisonnement qui permet de démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut $180°$ : en utilisant la parallèle à $(BC)$ passant par $A$, les angles à la base se transposent en $A$ par alternes-internes, et leur somme avec $\widehat{BAC}$ vaut $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : trois angles côte à côte couvrant un demi-plan (alignés sur une droite) ont une somme égale à $180°$. C'est le principe de la démonstration de la somme des angles du triangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Trois angles adjacents qui couvrent un demi-plan ont nécessairement une somme égale à $180°$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par deux sécantes parallèles entre elles, alors les angles correspondants formés sur $(d_1)$ ont la même mesure.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La propriété d'égalité des angles correspondants concerne deux droites parallèles coupées par une sécante.
Ici, les deux droites sont $(d_1)$ et $(d_2)$ (qui ne sont pas forcément parallèles), et les sécantes parallèles ne jouent pas le rôle requis.
On ne peut donc rien conclure directement avec cette propriété.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien identifier qui sont les "deux droites parallèles" et qui est la "sécante" dans la propriété.
Ici, le rôle est inversé : la propriété ne s'applique pas dans cette configuration.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La propriété des angles correspondants demande que les deux droites coupées soient parallèles, pas les deux sécantes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si dans un triangle $ABC$ on a $\widehat{BAC} = 40°$ et $\widehat{ABC} = 75°$, alors $\widehat{BCA}$ est un angle aigu.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\widehat{BCA} = 180° - 40° - 75° = 65°$.
$65°$ est strictement compris entre $0°$ et $90°$ : c'est un angle aigu.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour vérifier la nature du troisième angle, le calculer ($180 - 40 - 75 = 65$), puis comparer à $90°$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\widehat{BCA} = 180° - 40° - 75° = 65°$, qui est strictement inférieur à $90°$ : l'angle est aigu.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante. Si deux angles alternes-internes formés ont pour somme $180°$, alors les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour conclure au parallélisme par la réciproque, les angles alternes-internes doivent être égaux (même mesure), pas avoir une somme de $180°$.
Si leur somme est $180°$, on peut seulement dire qu'ils sont supplémentaires, ce qui est insuffisant pour conclure au parallélisme dans le cas général.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre les conditions de la réciproque : pour les alternes-internes, c'est l'égalité (et non la supplémentarité) qui entraîne le parallélisme.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La réciproque demande que les angles alternes-internes soient égaux, pas seulement supplémentaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle isocèle, l'angle au sommet et un angle à la base peuvent à eux deux mesurer plus de $180°$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La somme des trois angles d'un triangle vaut $180°$.
La somme de deux des trois angles est donc nécessairement inférieure à $180°$ (sinon, le troisième angle serait nul ou négatif, ce qui est impossible).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : si la somme de deux angles dépassait $180°$, le troisième angle (positif) ne pourrait pas compléter à $180°$ pour respecter la somme totale du triangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Dans tout triangle, la somme de deux angles est strictement inférieure à $180°$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Angles et parallélisme

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : vocabulaire et calculs d'angles, angles alternes-internes / correspondants, somme des angles d'un triangle. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Deux droites se coupent en $O$, formant quatre angles. Trois des angles mesurent $\alpha$, $\alpha$ et $\beta$. Combien mesure le quatrième angle ?
[qcm]
[option]$\alpha$[/option]
[option correct="true"]$\beta$[/option]
[option]$\alpha + \beta$[/option]
[option]$180° - \alpha - \beta$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Deux droites sécantes forment $4$ angles regroupés en $2$ paires d'angles opposés par le sommet, de mesures $\alpha$ et $\beta$.
Les deux angles déjà notés $\alpha$ sont opposés par le sommet ; les deux autres sont donc tous deux égaux à $\beta$.[/reponse]
[reponse motif="$\alpha$"]Non.
Trois angles ne peuvent pas valoir $\alpha$ : il y a exactement deux angles opposés par le sommet égaux à $\alpha$, les deux autres sont égaux entre eux mais différents (sauf droites perpendiculaires).[/reponse]
[reponse motif="$\alpha + \beta$"]Non.
La somme $\alpha + \beta$ vaut $180°$ (angles adjacents formés par les droites). Le quatrième angle, lui, mesure simplement $\beta$.[/reponse]
[reponse motif="$180° - \alpha - \beta$"]Non.
Comme $\alpha + \beta = 180°$, cette expression donne $0°$, ce qui n'a pas de sens pour un angle non nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quatre angles formés par deux droites sécantes : deux paires d'angles opposés par le sommet (donc deux égaux deux à deux).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure, $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, et $(EF)$ est sécante. L'angle $\widehat{AEF}$ mesure $112°$. Quelle est la mesure de $\widehat{EFD}$, sachant qu'il est alterne-interne avec $\widehat{AEF}$ ?
[qcm]
[option]$68°$[/option]
[option correct="true"]$112°$[/option]
[option]$22°$[/option]
[option]$248°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme $(AB) \parallel (CD)$, deux angles alternes-internes ont la même mesure.
Donc $\widehat{EFD} = \widehat{AEF} = 112°$.[/reponse]
[reponse motif="$68°$"]Non.
$68°$ est le supplémentaire de $112°$. C'est la mesure d'un angle adjacent à l'alterne-interne, pas de l'alterne-interne lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$22°$"]Non.
$22°$ est le complémentaire à $90°$ de $68°$. Cette relation n'intervient pas ici.[/reponse]
[reponse motif="$248°$"]Non.
Une mesure d'angle simple ne dépasse pas $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lorsque les droites sont parallèles, deux angles alternes-internes ont la même mesure : reporte la valeur connue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle $ABC$, on sait que $\widehat{ABC} = 35°$. La hauteur issue de $A$ coupe $[BC]$ en $H$. Quelle est la mesure de $\widehat{BAH}$ ?
[qcm]
[option]$35°$[/option]
[option]$145°$[/option]
[option correct="true"]$55°$[/option]
[option]$70°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La hauteur issue de $A$ est perpendiculaire à $(BC)$ en $H$, donc $\widehat{AHB} = 90°$.
Dans le triangle $ABH$, la somme des angles vaut $180°$ :
$\widehat{BAH} = 180° - 90° - 35° = 55°$.[/reponse]
[reponse motif="$35°$"]Non.
Rien n'indique que $\widehat{BAH}$ et $\widehat{ABC}$ soient égaux. Calcule à partir du triangle rectangle $ABH$.[/reponse]
[reponse motif="$145°$"]Non.
$145°$ est le supplémentaire de $35°$. Mais ici il faut utiliser la somme des angles dans le triangle rectangle $ABH$, pas une simple supplémentarité.[/reponse]
[reponse motif="$70°$"]Non.
Tu as peut-être doublé $35°$. Le calcul attendu est $180 - 90 - 35$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une hauteur forme un angle droit avec le côté opposé. Travaille ensuite dans le triangle rectangle ainsi obtenu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante. Un angle correspondant sur $(d_1)$ mesure $74°$, et l'angle correspondant sur $(d_2)$ mesure aussi $74°$. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent à un angle de $74°$.[/option]
[option correct="true"]Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.[/option]
[option]Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont confondues.[/option]
[option]On ne peut rien dire sans connaître la sécante.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La réciproque de la propriété des angles correspondants assure que si deux angles correspondants formés par deux droites et une sécante ont la même mesure, alors les deux droites sont parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent à un angle de $74°$."]Non.
L'égalité des angles correspondants exclut justement que les deux droites se coupent : elles sont parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont confondues."]Non.
Si les droites étaient confondues, la sécante les couperait au même point. Ici, les angles sont sur des points différents : les droites sont distinctes mais parallèles.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire sans connaître la sécante."]Non.
La réciproque s'applique avec n'importe quelle sécante : elle suffit pour conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La réciproque de la propriété des angles correspondants donne directement la conclusion à partir de l'égalité des deux mesures.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle isocèle en $A$, l'angle au sommet $\widehat{BAC}$ vaut $80°$. La bissectrice de $\widehat{BAC}$ coupe $[BC]$ en $H$. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{AHB}$ ?
[qcm]
[option]$50°$[/option]
[option]$80°$[/option]
[option correct="true"]$90°$[/option]
[option]$130°$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans un triangle isocèle en $A$, la bissectrice de l'angle au sommet est aussi la médiatrice de la base et la hauteur issue de $A$.
Donc $(AH) \perp (BC)$, et $\widehat{AHB} = 90°$.

On peut aussi le vérifier par calcul : $\widehat{ABH} = \dfrac{180° - 80°}{2} = 50°$ et $\widehat{BAH} = \dfrac{80°}{2} = 40°$, donc $\widehat{AHB} = 180° - 50° - 40° = 90°$.[/reponse]
[reponse motif="$50°$"]Non.
$50°$ est la mesure de l'angle à la base $\widehat{ABC}$. L'angle $\widehat{AHB}$ est différent.
Calcule la somme des angles dans le triangle $ABH$.[/reponse]
[reponse motif="$80°$"]Non.
$80°$ est l'angle au sommet du triangle isocèle. La bissectrice le partage en deux, mais elle ne reproduit pas cet angle en $H$.[/reponse]
[reponse motif="$130°$"]Non.
$130°$ est le supplémentaire de $50°$. Mais $\widehat{AHB}$ se calcule avec la somme des angles dans le triangle $ABH$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord $\widehat{ABH}$ (angle à la base) et $\widehat{BAH}$ (la moitié de l'angle au sommet), puis utilise la somme des angles dans le triangle $ABH$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle $RST$, on sait que $\widehat{TRS} = 50°$ et $\widehat{RST} = 80°$. Une droite $(d)$ passe par $T$ et est parallèle à $(RS)$. Quelle est la mesure de l'angle entre $(d)$ et $(TR)$, du côté contenant $S$ ?
[qcm]
[option]$80°$[/option]
[option]$130°$[/option]
[option correct="true"]$50°$[/option]
[option]$30°$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(d) \parallel (RS)$, et $(TR)$ est une sécante.
L'angle entre $(d)$ et $(TR)$ du côté de $S$ et l'angle $\widehat{TRS}$ sont alternes-internes.
Comme les droites sont parallèles, ils ont la même mesure : $50°$.[/reponse]
[reponse motif="$80°$"]Non.
$80°$ est l'angle $\widehat{RST}$. La sécante considérée ici est $(TR)$, donc on transporte par parallélisme l'angle en $R$, pas en $S$.[/reponse]
[reponse motif="$130°$"]Non.
$130°$ est le supplémentaire de $50°$. Or l'angle alterne-interne est égal (et non supplémentaire) à $\widehat{TRS}$.[/reponse]
[reponse motif="$30°$"]Non.
$30°$ ne correspond à aucune relation directe : ni alterne-interne, ni somme/différence pertinente.
Repère bien la paire d'angles alternes-internes formée par les parallèles et la sécante $(TR)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec la sécante $(TR)$ et les parallèles $(RS)$ et $(d)$, l'angle cherché en $T$ et l'angle $\widehat{TRS}$ sont alternes-internes : ils sont égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Somme des angles d’un triangle

[enonce]
Ce QCM porte sur la somme des angles d'un triangle et ses applications aux triangles particuliers. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans un triangle $ABC$, on sait que $\widehat{BAC} = 47°$ et $\widehat{ABC} = 68°$. Quelle est la mesure de $\widehat{BCA}$ ?
[qcm]
[option]$115°$[/option]
[option]$45°$[/option]
[option correct="true"]$65°$[/option]
[option]$21°$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La somme des angles d'un triangle vaut $180°$.
$\widehat{BCA} = 180° - 47° - 68° = 65°$.[/reponse]
[reponse motif="$115°$"]Non.
Tu as additionné les deux angles connus : $47 + 68 = 115$. Or il faut soustraire cette somme à $180°$.[/reponse]
[reponse motif="$45°$"]Non.
Le résultat ne correspond pas au calcul $180 - 47 - 68$. Vérifie ta soustraction.[/reponse]
[reponse motif="$21°$"]Non.
Tu as soustrait les deux angles entre eux ($68 - 47 = 21$) au lieu d'utiliser la somme à $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour le troisième angle d'un triangle, soustrais la somme des deux autres à $180°$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un triangle $RST$ est rectangle en $R$. L'angle $\widehat{RST}$ mesure $37°$. Quelle est la mesure de $\widehat{RTS}$ ?
[qcm]
[option]$143°$[/option]
[option]$37°$[/option]
[option correct="true"]$53°$[/option]
[option]$90°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le triangle est rectangle en $R$, donc $\widehat{TRS} = 90°$.
$\widehat{RTS} = 180° - 90° - 37° = 53°$.[/reponse]
[reponse motif="$143°$"]Non.
Tu as oublié de soustraire l'angle droit en $R$. Dans un triangle rectangle, un angle vaut déjà $90°$.[/reponse]
[reponse motif="$37°$"]Non.
Les deux angles aigus d'un triangle rectangle ne sont égaux que dans le cas particulier d'un triangle rectangle isocèle.
Ici rien ne le précise : il faut calculer.[/reponse]
[reponse motif="$90°$"]Non.
Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle droit (sinon la somme des angles dépasserait $180°$).
L'angle en $R$ est déjà l'angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un triangle rectangle en $R$ : $\widehat{TRS} = 90°$. Soustrais cet angle et $\widehat{RST}$ à $180°$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un triangle est isocèle en $A$, et l'angle $\widehat{BAC}$ mesure $74°$. Quelle est la mesure de chaque angle à la base ?
[qcm]
[option]$106°$[/option]
[option]$37°$[/option]
[option correct="true"]$53°$[/option]
[option]$74°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Dans un triangle isocèle en $A$, les angles à la base $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ sont égaux.
Leur somme vaut $180° - 74° = 106°$.
Chacun mesure donc $\dfrac{106°}{2} = 53°$.[/reponse]
[reponse motif="$106°$"]Pas tout à fait.
Tu as bien obtenu la somme des deux angles à la base, mais il faut diviser par $2$ car ils sont égaux.[/reponse]
[reponse motif="$37°$"]Non.
Tu as divisé $74$ par $2$. Mais $74°$ est l'angle au sommet, pas la somme des angles à la base.[/reponse]
[reponse motif="$74°$"]Non.
Dans un triangle isocèle en $A$, les angles à la base ne sont pas égaux à l'angle au sommet (sauf dans le cas équilatéral, où tous valent $60°$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étape 1 : trouver la somme des deux angles à la base ($180° - 74°$). Étape 2 : diviser par $2$ car les deux angles à la base sont égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle, deux angles mesurent respectivement $25°$ et $130°$. Quelle est la mesure du troisième angle ?
[qcm]
[option]$155°$[/option]
[option]$105°$[/option]
[option correct="true"]$25°$[/option]
[option]$50°$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$180° - 25° - 130° = 25°$.
Le troisième angle vaut donc $25°$ : le triangle est isocèle (deux angles égaux à $25°$).[/reponse]
[reponse motif="$155°$"]Non.
Tu as additionné $25 + 130$. Or il faut soustraire cette somme à $180°$.[/reponse]
[reponse motif="$105°$"]Non.
Tu as soustrait $25$ à $130$ au lieu d'utiliser la somme des angles. Le calcul attendu est $180 - 25 - 130$.[/reponse]
[reponse motif="$50°$"]Non.
Tu as peut-être additionné mal $25$ à un autre nombre. Vérifie : $180 - 25 - 130 = 25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le troisième angle vaut $180° - 25° - 130°$. Effectue le calcul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la mesure de chaque angle d'un triangle équilatéral ?
[qcm]
[option]$45°$[/option]
[option correct="true"]$60°$[/option]
[option]$90°$[/option]
[option]$120°$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux, donc ses trois angles égaux. Comme leur somme vaut $180°$, chaque angle mesure $\dfrac{180°}{3} = 60°$.[/reponse]
[reponse motif="$45°$"]Non.
$45°$ correspond à un demi-angle droit, on le rencontre dans un triangle rectangle isocèle, pas dans un triangle équilatéral.[/reponse]
[reponse motif="$90°$"]Non.
Un triangle équilatéral n'a pas d'angle droit ; tous ses angles sont aigus et égaux.[/reponse]
[reponse motif="$120°$"]Non.
$120°$ ferait un angle obtus, mais les trois angles d'un triangle équilatéral doivent être égaux et leur somme valoir $180°$ : $120 \times 3 = 360 \neq 180$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trois angles égaux dont la somme vaut $180°$ : divise $180°$ par $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un triangle peut-il avoir deux angles obtus ?
[qcm]
[option]Oui, par exemple deux angles de $100°$ et un angle de $-20°$.[/option]
[option correct="true"]Non, la somme des deux dépasserait déjà $180°$.[/option]
[option]Oui, dans un triangle obtusangle.[/option]
[option]Oui, si le troisième angle est aigu.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un angle obtus est strictement supérieur à $90°$.
Deux angles obtus auraient une somme strictement supérieure à $180°$.
Or la somme des trois angles d'un triangle vaut exactement $180°$, et chaque angle est strictement positif. C'est donc impossible.[/reponse]
[reponse motif="Oui, par exemple deux angles de $100°$ et un angle de $-20°$."]Non.
Une mesure d'angle ne peut pas être négative : les angles d'un triangle sont strictement positifs.[/reponse]
[reponse motif="Oui, dans un triangle obtusangle."]Non.
Un triangle obtusangle a un seul angle obtus, pas deux. Les deux autres sont aigus.[/reponse]
[reponse motif="Oui, si le troisième angle est aigu."]Non.
Même avec un troisième angle aigu, deux angles obtus dépassent à eux seuls $180°$ : aucune valeur strictement positive ne complète à $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compare la somme de deux angles obtus à $180°$, sachant que tous les angles d'un triangle sont strictement positifs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]