[enonce]
Ce QCM avancé porte sur les théorèmes de convergence : théorème des gendarmes, théorèmes de comparaison, convergence monotone et recherche de la limite par point fixe. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $u_n = \dfrac{2 + (-1)^n}{n}$ pour $n \geqslant 1$. La limite quand $n \to +\infty$ vaut :
[qcm]
[option]n'existe pas (oscillation)[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour tout $n \geqslant 1$, $-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$, donc $1 \leqslant 2 + (-1)^n \leqslant 3$. En divisant par $n > 0$ :
$\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{3}{n}$.
Or $\dfrac{1}{n} \to 0$ et $\dfrac{3}{n} \to 0$, donc d'après le théorème des gendarmes, $\lim u_n = 0$.[/reponse]
[reponse motif="n'existe pas (oscillation)"]Non.
Le numérateur oscille (entre $1$ et $3$), mais on divise ensuite par $n$ qui tend vers $+\infty$. L'amplitude des oscillations est écrasée vers $0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ est la borne inférieure de $2 + (-1)^n$, mais elle est ensuite divisée par $n$ qui tend vers $+\infty$. La fraction tend vers $0$, pas vers $1$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ est la valeur moyenne de $2 + (-1)^n$, mais ce numérateur est divisé par $n$ qui croît sans borne. Le quotient s'écrase vers $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Encadrer $u_n$ entre $\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{3}{n}$, deux suites qui tendent vers $0$, et appliquer le théorème des gendarmes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $10$. On peut affirmer que :
[qcm]
[option]$\lim u_n = 10$[/option]
[option]$\lim u_n = +\infty$[/option]
[option correct="true"]$(u_n)$ converge vers une limite $\ell \leqslant 10$[/option]
[option]$(u_n)$ converge vers $u_0$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
D'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie. Le majorant $10$ donne une borne supérieure pour la limite : $\ell \leqslant 10$, mais cette limite n'est en général pas $10$ exactement (le majorant peut être strictement plus grand que la limite).[/reponse]
[reponse motif="$\lim u_n = 10$"]Non.
$10$ est un majorant, pas nécessairement la limite. Par exemple, $u_n = 5 - \dfrac{1}{n+1}$ est majorée par $10$ mais converge vers $5$.[/reponse]
[reponse motif="$\lim u_n = +\infty$"]Non.
Une suite majorée ne peut pas tendre vers $+\infty$ : tous ses termes restent inférieurs au majorant. Le théorème de convergence monotone garantit ici une limite finie.[/reponse]
[reponse motif="$(u_n)$ converge vers $u_0$"]Non.
Si la suite est croissante (au sens strict), tous les termes suivants $u_0$ sont supérieurs à $u_0$. La limite est donc supérieure ou égale à $u_0$, mais en général distincte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
D'après le théorème de convergence monotone, une suite croissante et majorée converge vers une limite finie, plus petite ou égale au majorant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une suite $(u_n)$ vérifie $u_n \geqslant n - 5$ pour tout entier $n$. On peut conclure :
[qcm]
[option]$(u_n)$ converge[/option]
[option]$(u_n)$ est bornée[/option]
[option correct="true"]$\lim u_n = +\infty$[/option]
[option]on ne peut rien dire[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La suite minorante $v_n = n - 5$ tend vers $+\infty$ (car $\lim n = +\infty$ et $-5$ est constant). D'après le théorème de comparaison, si $u_n \geqslant v_n$ et $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$(u_n)$ converge"]Non.
$(u_n)$ ne peut pas converger : ses termes deviennent arbitrairement grands (puisqu'elle est minorée par $n - 5$ qui tend vers $+\infty$).[/reponse]
[reponse motif="$(u_n)$ est bornée"]Non.
Une suite minorée par $n - 5$ ne peut pas être majorée : les termes $u_n$ deviennent aussi grands que voulu.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut rien dire"]Non.
Le théorème de comparaison s'applique : si $u_n \geqslant v_n$ avec $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Théorème de comparaison : si $u_n \geqslant v_n$ et $v_n \to +\infty$, alors $u_n \to +\infty$. Vérifier la limite de la minorante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. On admet que $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \geqslant 0$. Alors $\ell$ vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$\sqrt{2}$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$-1$ ou $2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $u_{n+1}$ converge aussi vers $\ell$ et, par continuité, $\sqrt{u_n + 2}$ converge vers $\sqrt{\ell + 2}$.
On obtient donc $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, soit $\ell^2 = \ell + 2$ (avec $\ell \geqslant 0$). Cette équation s'écrit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, soit $(\ell - 2)(\ell + 1) = 0$ : $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. Comme $\ell \geqslant 0$, on garde $\ell = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$\ell = 0$ donnerait $0 = \sqrt{0 + 2} = \sqrt{2}$, ce qui est faux. La valeur initiale $u_0 = 0$ ne se conserve pas pour la limite.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}$"]Non.
$\sqrt{2}$ correspond à $u_1 = \sqrt{0 + 2}$, c'est-à-dire le terme suivant $u_0$. Ce n'est pas la limite, mais juste le deuxième terme de la suite.[/reponse]
[reponse motif="$-1$ ou $2$"]Non.
Les deux racines de $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ sont effectivement $-1$ et $2$, mais la condition $\ell \geqslant 0$ (puisque $u_n \geqslant 0$ pour tout $n$) impose de retenir uniquement la solution positive.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver la limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ qui converge, résoudre l'équation de point fixe $\ell = f(\ell)$, puis trier les solutions selon les contraintes (signe, encadrement).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}(u_n + 4)$. On admet que $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$. Sa limite vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$+\infty$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La suite est croissante et majorée par $4$ : par le théorème de convergence monotone, elle admet une limite finie $\ell$. À la limite, l'égalité $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}(u_n + 4)$ donne $\ell = \dfrac{1}{2}(\ell + 4)$, soit $2\ell = \ell + 4$, donc $\ell = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$0$ est la valeur de $u_0$, pas la limite. Comme la suite est croissante, sa limite est strictement supérieure à $u_0$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ correspondrait à un point fixe différent. Vérifier l'équation : $\ell = \dfrac{1}{2}(\ell + 4)$ équivaut à $2\ell = \ell + 4$, donc $\ell = 4$ et non $\ell = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
La suite est majorée par $4$, donc sa limite (qui existe) est finie et inférieure ou égale à $4$. Elle ne peut pas tendre vers $+\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le théorème de convergence monotone garantit l'existence de la limite. Pour la calculer, résoudre l'équation de point fixe $\ell = \dfrac{1}{2}(\ell + 4)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang. On suppose que $\lim u_n = +\infty$. On peut conclure :
[qcm]
[option]$\lim v_n = 0$[/option]
[option]$(v_n)$ est nécessairement bornée[/option]
[option]$\lim v_n$ peut valoir n'importe quel réel[/option]
[option correct="true"]$\lim v_n = +\infty$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
D'après le théorème de comparaison, si $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$. Comme $v_n$ est au-dessus d'une suite qui devient arbitrairement grande, $v_n$ devient lui aussi arbitrairement grand.[/reponse]
[reponse motif="$\lim v_n = 0$"]Non.
Si $v_n \geqslant u_n$ et $u_n \to +\infty$, alors $v_n$ ne peut pas tendre vers $0$ : elle est forcée de croître au moins aussi vite que $u_n$.[/reponse]
[reponse motif="$(v_n)$ est nécessairement bornée"]Non.
Au contraire, $v_n$ est non bornée : elle dépasse tout réel à partir d'un certain rang puisqu'elle est plus grande qu'une suite qui tend vers $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$\lim v_n$ peut valoir n'importe quel réel"]Non.
La contrainte $v_n \geqslant u_n$ avec $u_n \to +\infty$ force $v_n \to +\infty$. Aucun réel fini ne peut être limite de $(v_n)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Théorème de comparaison : si $u_n \leqslant v_n$ et $u_n \to +\infty$, alors $v_n \to +\infty$ aussi (la suite « majorante » suit la « minorante » vers l'infini).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Pour chacune des questions, indiquer si l'affirmation est exacte en justifiant la réponse.

• Si l'affirmation est exacte, la démontrer.
• Si l'affirmation est fausse, donner un contre-exemple.

1. Si $ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ sont des suites dont tous les termes sont positifs et si la suite $ \left(u_{n}\right) $ diverge vers $ +\infty $, alors la suite de terme général $ u_{n}+v_{n} $ diverge vers $ +\infty $.
2. Si la suite $ \left(u_{n}\right) $ diverge vers $ +\infty $, alors elle est croissante à partir d'un certain rang.

3. Soient trois suites numériques $ \left(u_{n}\right) $, $ \left(v_{n}\right) $ et $ \left(w_{n}\right) $.

   Si les suites $ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ convergent respectivement vers $ l $ et $ l^{\prime} $ et si, pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n} $, alors la suite $ \left(w_{n}\right) $ converge et sa limite est comprise entre $ l $ et $ l^{\prime} $.

4. Si la suite $ \left(u_{n}\right) $ n'est pas majorée, elle diverge nécessairement vers $ +\infty $.