Vrai/Faux : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

Affirmation : Pour tout réel $\alpha > 0$, $p\!\left(|X - \mu| \geqslant \alpha\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est l'énoncé exact de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : la probabilité que $X$ s'éloigne de son espérance d'au moins $\alpha$ est majorée par $\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il s'agit de l'énoncé exact de l'inégalité.
On y voit la variance $\sigma^2$ (et non $\sigma$) au numérateur, et $\alpha^2$ au dénominateur.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'énoncé exact de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour toute variable aléatoire admettant une espérance et un écart-type.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu = 20$ et d'écart-type $\sigma = 3$.

Affirmation : D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $p\!\left(|X - 20| \geqslant 4\right) \leqslant 0{,}75$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La majoration utilise $\sigma^2$ et $\alpha^2$, pas $\sigma$ et $\alpha$.
On a $\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2} = \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16} = 0{,}5625$, et non $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas oublier de mettre $\sigma$ et $\alpha$ au carré.
La majoration correcte est $\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2} = \dfrac{9}{16} \approx 0{,}56$, valeur strictement inférieure à $0{,}75$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La majoration est $\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2} = \dfrac{9}{16} = 0{,}5625$, pas $\dfrac{\sigma}{\alpha} = 0{,}75$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu = 0$ et de variance $V(X) = 9$.

Affirmation : $p\!\left(X \leqslant -6 \text{ ou } X \geqslant 6\right) \leqslant 0{,}25$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'événement $\{X \leqslant -6 \text{ ou } X \geqslant 6\}$ correspond à $\{|X - 0| \geqslant 6\}$.
L'inégalité donne donc $p(|X| \geqslant 6) \leqslant \dfrac{9}{6^2} = \dfrac{9}{36} = 0{,}25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de ne pas reconnaître l'événement $\{|X - \mu| \geqslant \alpha\}$ derrière la double condition « $X \leqslant -6$ ou $X \geqslant 6$ ».
Avec $\mu = 0$ et $\alpha = 6$, on obtient bien $\dfrac{V}{\alpha^2} = \dfrac{9}{36} = 0{,}25$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On reconnaît $\{|X - \mu| \geqslant 6\}$, et l'inégalité donne $\dfrac{9}{36} = 0{,}25$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

Affirmation : D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $p\!\left(|X - 10| \leqslant 5\right) \leqslant \dfrac{4}{25}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'inégalité majore la probabilité de l'événement $\{|X - \mu| \geqslant \alpha\}$ (s'éloigner), pas $\{|X - \mu| \leqslant \alpha\}$ (rester proche).
Pour l'événement contraire, on obtient au contraire une minoration : $p(|X - 10| < 5) \geqslant 1 - \dfrac{4}{25} = \dfrac{21}{25}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre l'événement majoré ($\{|X-\mu| \geqslant \alpha\}$) et son contraire.
Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité de s'éloigner, et donne donc une minoration de la probabilité de rester proche.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'inégalité s'applique à l'événement « s'éloigner » $\{|X-\mu| \geqslant \alpha\}$, pas à son contraire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à toute variable aléatoire admettant une espérance et un écart-type, sans hypothèse sur la loi suivie.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est tout l'intérêt de l'inégalité : elle fournit une majoration universelle, sans connaître la loi de $X$. Seules l'espérance $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ interviennent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une idée reçue est de croire que l'inégalité réclame une loi particulière (binomiale, normale...).
Or elle ne dépend que de $\mu$ et $\sigma$ et reste valable quelle que soit la loi de $X$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'inégalité est universelle : elle ne dépend que de l'existence de $\mu$ et $\sigma$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu = 0$ et d'écart-type $\sigma = 1$.

Affirmation : D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $p(|X| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{1}{9}$, donc $p(|X| < 3) \leqslant \dfrac{8}{9}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La majoration $p(|X| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{1}{9}$ est correcte, mais le passage au complémentaire inverse le sens : on obtient $p(|X| < 3) \geqslant 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$, pas une majoration.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est dans le passage au complémentaire : si $p(A) \leqslant q$, alors $p(\overline{A}) = 1 - p(A) \geqslant 1 - q$.
Le sens de l'inégalité s'inverse : on passe d'une majoration à une minoration.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le passage au complémentaire donne $p(|X| < 3) \geqslant 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$, donc une minoration et non une majoration.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Loi des grands nombres

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : combinaisons de variables aléatoires, moyenne empirique, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration et estimation d'une fréquence. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent respectivement les lois binomiales $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$ et $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. Que vaut $E(X+Y)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}3$[/option]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$9$[/option]
[option]$30$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$, l'espérance vaut $np$.
$E(X) = 10 \times 0{,}3 = 3$ et $E(Y) = 20 \times 0{,}3 = 6$.
Par linéarité $E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 3 + 6 = 9$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}3$"]Non.
$0{,}3$ est la probabilité $p$. Il faut multiplier par les tailles $n$ correspondantes avant d'additionner.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3 = E(X)$ uniquement : $E(Y) = 6$ a été oublié. La linéarité de l'espérance ajoute les deux termes.[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30 = 10 + 20$ : c'est la somme des tailles, sans multiplication par $p$. Pour une loi binomiale, l'espérance est $np$, pas $n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $E(X) = n_X p$ et $E(Y) = n_Y p$, puis additionner.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Avec les mêmes variables $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$ et $Y \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$ indépendantes, que vaut $V(X+Y)$ ?
[qcm]
[option]$2{,}1$[/option]
[option correct="true"]$6{,}3$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]$8{,}82$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Pour une loi binomiale, $V = np(1-p)$.
$V(X) = 10 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 2{,}1$ et $V(Y) = 20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 4{,}2$.
Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X+Y) = V(X) + V(Y) = 2{,}1 + 4{,}2 = 6{,}3$.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}1$"]Non.
$2{,}1 = V(X)$ uniquement. La variance $V(Y) = 4{,}2$ a été oubliée. Pour des variables indépendantes, on ajoute les deux variances.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9 = E(X+Y)$ : c'est la valeur de l'espérance, pas de la variance. La variance d'une binomiale est $np(1-p)$, pas $np$.[/reponse]
[reponse motif="$8{,}82$"]Non.
$8{,}82 = 2{,}1 \times 4{,}2 = V(X) \times V(Y)$ : on additionne les variances pour des variables indépendantes, on ne les multiplie pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $V(X) = n_X p (1-p)$ et $V(Y) = n_Y p (1-p)$, puis additionner.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$M_n$ est la moyenne empirique d'un échantillon de taille $n = 400$ d'une loi de variance $\sigma^2 = 2$ et d'espérance $\mu$. Donner la majoration de $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}2\right)$ par l'inégalité de concentration.
[qcm]
[option]$0{,}25$[/option]
[option]$0{,}05$[/option]
[option correct="true"]$0{,}125$[/option]
[option]$12{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On applique $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ avec $\sigma^2 = 2$, $n = 400$ et $\varepsilon^2 = 0{,}04$ :
$\dfrac{2}{400 \times 0{,}04} = \dfrac{2}{16} = 0{,}125$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
$0{,}25 = \dfrac{2}{8}$ : le carré sur $\varepsilon$ a été remplacé par un facteur $0{,}2$. Or $\varepsilon^2 = 0{,}04$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}05$"]Non.
$0{,}05 = \dfrac{2}{40}$ : il manque un facteur $10$ au dénominateur. Vérifier le calcul de $n\varepsilon^2 = 400 \times 0{,}04$.[/reponse]
[reponse motif="$12{,}5$"]Non.
Une probabilité ne peut pas dépasser $1$. La position du dénominateur a été inversée : recalculer $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ avec $\sigma^2 = 2$, $n = 400$ et $\varepsilon = 0{,}2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle hypothèse doit être vérifiée pour que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à une variable aléatoire $X$ ?
[qcm]
[option]$X$ doit suivre une loi normale.[/option]
[option]$X$ doit prendre uniquement des valeurs positives.[/option]
[option correct="true"]$X$ doit admettre une espérance $\mu$ et un écart-type $\sigma$.[/option]
[option]$X$ doit être une moyenne empirique $M_n$.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à toute variable aléatoire admettant une espérance et un écart-type. C'est précisément ce qui en fait un outil très général.[/reponse]
[reponse motif="$X$ doit suivre une loi normale."]Non.
Aucune hypothèse de loi particulière n'est nécessaire. La force de Bienaymé-Tchebychev est justement d'être valable pour toute variable possédant une espérance et un écart-type.[/reponse]
[reponse motif="$X$ doit prendre uniquement des valeurs positives."]Non.
La positivité n'est pas requise. L'inégalité concerne l'écart $|X - \mu|$, qui est positif quel que soit le signe de $X$.[/reponse]
[reponse motif="$X$ doit être une moyenne empirique $M_n$."]Non.
Cette restriction concerne l'inégalité de concentration, qui est un cas particulier. Bienaymé-Tchebychev s'applique à n'importe quelle variable aléatoire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Bienaymé-Tchebychev est une inégalité très générale : elle ne demande qu'une espérance et un écart-type bien définis.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour estimer la proportion $p$ d'individus possédant une certaine caractéristique dans une population, on réalise un sondage de taille $n$. On note $F_n$ la fréquence empirique observée et on rappelle que $\sigma^2 = p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}$. Quelle est la taille minimale entière de $n$ permettant de garantir, par l'inégalité de concentration, $p\!\left(|F_n - p| \geqslant 0{,}01\right) \leqslant 0{,}01$ ?
[qcm]
[option]$2\,500$[/option]
[option]$25\,000$[/option]
[option correct="true"]$250\,000$[/option]
[option]$10\,000$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On utilise la majoration la plus défavorable $\sigma^2 \leqslant \dfrac{1}{4}$.
On résout $\dfrac{1/4}{n \times 0{,}0001} \leqslant 0{,}01$, soit $\dfrac{2500}{n} \leqslant 0{,}01$, donc $n \geqslant \dfrac{2500}{0{,}01} = 250\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$2\,500$"]Non.
$2\,500 = \dfrac{1}{4 \times 0{,}0001}$ : c'est seulement le coefficient $\dfrac{1}{4\varepsilon^2}$. Il manque la division par le seuil $0{,}01$.[/reponse]
[reponse motif="$25\,000$"]Non.
$25\,000$ correspond à un seuil de $0{,}1$ et non $0{,}01$, ou à une erreur d'un facteur $10$ dans le calcul. Reprendre $\dfrac{2500}{0{,}01}$.[/reponse]
[reponse motif="$10\,000$"]Non.
$10\,000 = \dfrac{1}{\varepsilon^2}$ : la majoration de $\sigma^2$ et le seuil $0{,}01$ n'ont pas été inclus dans le calcul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \leqslant 0{,}01$ en utilisant la majoration $\sigma^2 \leqslant \dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un fabricant produit des pièces dont la masse $X$ a pour espérance $\mu = 50$ g et pour écart-type $\sigma = 1$ g. Sur un lot de $n = 100$ pièces, la moyenne $M_n$ est calculée. Quelle est la plus grande minoration de $p\!\left(|M_n - 50| < 0{,}5\right)$ que l'on peut déduire de l'inégalité de concentration ?
[qcm]
[option]$0{,}04$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$0{,}96$[/option]
[option]$0{,}25$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On majore d'abord la probabilité de l'événement contraire avec $\sigma^2 = 1$, $n = 100$, $\varepsilon^2 = 0{,}25$ :
$p\!\left(|M_n - 50| \geqslant 0{,}5\right) \leqslant \dfrac{1}{100 \times 0{,}25} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04$.
Donc $p\!\left(|M_n - 50| < 0{,}5\right) \geqslant 1 - 0{,}04 = 0{,}96$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}04$"]Non.
$0{,}04$ est la majoration de l'événement contraire (l'écart dépasse $0{,}5$). Pour la probabilité demandée, il faut prendre le complément à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ ne correspond à aucun calcul issu de l'inégalité de concentration. Procéder en deux temps : majorer le contraire, puis passer au complément.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
$0{,}25 = \varepsilon^2$ : c'est une étape de calcul, pas la majoration finale. Reprendre $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ puis le complément à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Majorer d'abord $p\!\left(|M_n - 50| \geqslant 0{,}5\right)$ par l'inégalité de concentration, puis prendre le complément à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

[enonce]
Ce QCM porte sur l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, et pour tout réel $\alpha > 0$, $p\!\left(|X - \mu| \geqslant \alpha\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit, pour tout $\alpha > 0$, $p\!\left(|X - \mu| \geqslant \alpha\right) \leqslant \ ?$
[qcm]
[option]$\dfrac{\sigma}{\alpha}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$[/option]
[option]$\dfrac{\alpha^2}{\sigma^2}$[/option]
[option]$\sigma^2 \alpha^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit $p\!\left(|X - \mu| \geqslant \alpha\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$ : la variance au numérateur, le carré de l'écart $\alpha$ au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sigma}{\alpha}$"]Non.
Les deux quantités doivent être élevées au carré dans la formule. Sans le carré, l'inégalité ne serait pas correcte.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\alpha^2}{\sigma^2}$"]Non.
Les rôles de $\sigma$ et $\alpha$ sont inversés. Dans la formule, la variance $\sigma^2$ est au numérateur et l'écart $\alpha^2$ au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$\sigma^2 \alpha^2$"]Non.
La formule comporte un quotient, pas un produit. Plus $\alpha$ est grand, plus la majoration doit être petite : c'est cohérent avec une division par $\alpha^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule met la variance $\sigma^2$ au numérateur et le carré de $\alpha$ au dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ est une variable aléatoire d'espérance $\mu = 20$ et d'écart-type $\sigma = 3$. Quelle majoration donne Bienaymé-Tchebychev pour $p\!\left(|X - 20| \geqslant 6\right)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$0{,}25$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]$0{,}75$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
On applique l'inégalité avec $\alpha = 6$ : $p\!\left(|X - 20| \geqslant 6\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2} = \dfrac{9}{36} = 0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5 = \dfrac{3}{6} = \dfrac{\sigma}{\alpha}$ : il manque les carrés. La formule fait intervenir $\sigma^2$ et $\alpha^2$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9 = \sigma^2$ : la division par $\alpha^2 = 36$ a été oubliée. Une probabilité ne peut d'ailleurs pas dépasser $1$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}75$"]Non.
$0{,}75 = 1 - 0{,}25$ : c'est une minoration de la probabilité contraire $p(|X-20| < 6)$, pas la majoration demandée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$ avec $\sigma = 3$ et $\alpha = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ est une variable aléatoire d'espérance $\mu = 8$ et de variance $\sigma^2 = 2$. Que donne Bienaymé-Tchebychev pour $p\!\left(|X - 8| \geqslant 4\right)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$0{,}25$[/option]
[option correct="true"]$0{,}125$[/option]
[option]$0{,}0625$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La variance est donnée directement : $\sigma^2 = 2$. Avec $\alpha = 4$ donc $\alpha^2 = 16$ :
$p\!\left(|X - 8| \geqslant 4\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2} = \dfrac{2}{16} = 0{,}125$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5 = \dfrac{2}{4}$ : le dénominateur a été pris égal à $\alpha$ et non à $\alpha^2$. Le carré est essentiel.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
$0{,}25$ correspondrait à $\dfrac{\sigma^2}{\alpha} = \dfrac{2}{8}$ : il manque le carré sur $\alpha$. Vérifier la formule de Bienaymé-Tchebychev.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}0625$"]Non.
$0{,}0625 = \dfrac{1}{16}$ : la valeur de $\sigma^2$ a été remplacée par $1$. Or l'énoncé donne $\sigma^2 = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La variance vaut $\sigma^2 = 2$. Calculer $\dfrac{2}{\alpha^2}$ avec $\alpha = 4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ est une variable aléatoire d'espérance $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 5$. En utilisant Bienaymé-Tchebychev, donner une minoration de $p\!\left(|X - 100| < 15\right)$.
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{9}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{8}{9}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'événement $\{|X - 100| < 15\}$ est le contraire de $\{|X - 100| \geqslant 15\}$.
Bienaymé-Tchebychev avec $\alpha = 15$ donne $p\!\left(|X - 100| \geqslant 15\right) \leqslant \dfrac{25}{225} = \dfrac{1}{9}$.
Donc $p\!\left(|X - 100| < 15\right) \geqslant 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{9}$"]Non.
$\dfrac{1}{9}$ est la majoration de la probabilité de l'événement contraire, $|X-100| \geqslant 15$. Pour l'événement $|X-100| < 15$, il faut prendre le complément à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{\sigma}{\alpha}$ : il manque les carrés dans la formule de Bienaymé-Tchebychev.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La probabilité d'un événement est toujours $\leqslant 1$, donc $1$ n'est pas une minoration utile : c'est la borne triviale. L'inégalité fournit une minoration plus précise.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Passer par l'événement contraire : majorer $p(|X-\mu| \geqslant \alpha)$, puis minorer la probabilité demandée par $1$ moins cette majoration.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ est une variable aléatoire d'écart-type $\sigma = 3$. À partir de quelle valeur minimale entière de $\alpha$ peut-on garantir $p\!\left(|X - \mu| \geqslant \alpha\right) \leqslant 0{,}01$ ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$9$[/option]
[option correct="true"]$30$[/option]
[option]$300$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On cherche $\alpha$ tel que $\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2} \leqslant 0{,}01$, c'est-à-dire $\dfrac{9}{\alpha^2} \leqslant 0{,}01$.
Cela équivaut à $\alpha^2 \geqslant \dfrac{9}{0{,}01} = 900$, donc $\alpha \geqslant 30$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3 = \sigma$ : avec $\alpha = 3$, la majoration vaut $\dfrac{9}{9} = 1$, ce qui est très loin de $0{,}01$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9 = \sigma^2$ : avec $\alpha = 9$, la majoration vaut $\dfrac{9}{81} \approx 0{,}11$, encore trop grande pour atteindre $0{,}01$.[/reponse]
[reponse motif="$300$"]Non.
$300 = \dfrac{\sigma^2}{0{,}03}$ ou un calcul similaire qui oublie la racine carrée. Une fois $\alpha^2 \geqslant 900$ obtenu, il faut prendre la racine, donc $\alpha \geqslant 30$ et non $300$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2} \leqslant 0{,}01$ : isoler $\alpha^2$, puis prendre la racine carrée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ est une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma > 0$. En posant $\alpha = 2\sigma$ dans Bienaymé-Tchebychev, quelle majoration obtient-on pour $p\!\left(|X - \mu| \geqslant 2\sigma\right)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\sigma^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Avec $\alpha = 2\sigma$ :
$p\!\left(|X - \mu| \geqslant 2\sigma\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{(2\sigma)^2} = \dfrac{\sigma^2}{4\sigma^2} = \dfrac{1}{4}$.
La probabilité de s'éloigner de plus de $2$ écarts-types de la moyenne est ainsi majorée par $\dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sigma}{2\sigma}$ : il manque le carré au dénominateur. La formule donne $\dfrac{\sigma^2}{(2\sigma)^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Une probabilité ne peut pas dépasser $1$, donc une majoration par $2$ n'a aucun intérêt. La formule donne nécessairement une valeur entre $0$ et $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\sigma^2$"]Non.
Le résultat doit être un nombre, pas une expression dépendant de $\sigma$ : les $\sigma^2$ se simplifient au numérateur et au dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Substituer $\alpha = 2\sigma$ dans $\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$ et simplifier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit une variable aléatoire $ X $ représentant la note (sur 20) d'un élève à un examen. On sait que :

La moyenne des notes est $ \mu = 12 $
La variance des notes est $ V = 4 $

Calculer l'écart-type $ \sigma $ de la distribution des notes.
1. Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour minorer la probabilité que la note d'un élève soit comprise entre 10 et 14.
2. Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour minorer la probabilité que la note d'un élève soit comprise entre 8 et 16.

Corrigé

L'écart-type $ \sigma $ est la racine carrée de la variance $ V $.
On a :

$ \sigma = \sqrt{V} = \sqrt{4} = 2 $
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev stipule que pour tout réel $ k > 0 $ :

$ P(|X - \mu| \geqslant k) \leqslant \dfrac{V}{k^2} $

Ou encore, pour la probabilité de l'événement contraire :

$ P(|X - \mu| < k) \geqslant 1 - \dfrac{V}{k^2} $
1. On cherche à minorer la probabilité que la note soit comprise entre 10 et 14.
  L'événement $ 10 \leqslant X \leqslant 14 $ correspond à $ 12 - 2 \leqslant X \leqslant 12 + 2 $, soit $ |X - 12| \leqslant 2 $.
  En prenant $ k = 2 $, on applique l'inégalité :
  
  $ P(|X - 12| \leqslant 2) \geqslant 1 - \dfrac{V}{2^2} $
  
  $ P(10 \leqslant X \leqslant 14) \geqslant 1 - \dfrac{4}{4} = 0 $
  
  L'inégalité nous donne une minoration de 0, ce qui est toujours vrai pour une probabilité mais n'apporte pas d'information supplémentaire ici.
2. On cherche à minorer la probabilité que la note soit comprise entre 8 et 16.
  L'événement $ 8 \leqslant X \leqslant 16 $ correspond à $ 12 - 4 \leqslant X \leqslant 12 + 4 $, soit $ |X - 12| \leqslant 4 $.
  En prenant $ k = 4 $, on applique l'inégalité :
  
  $ P(|X - 12| \leqslant 4) \geqslant 1 - \dfrac{V}{4^2} $
  
  $ P(8 \leqslant X \leqslant 16) \geqslant 1 - \dfrac{4}{16} $
  
  $ P(8 \leqslant X \leqslant 16) \geqslant 1 - 0{,}25 = 0{,}75 $
  
  La probabilité que la note soit comprise entre 8 et 16 est donc d'au moins $ 0{,}75 $ (soit $ 75 \% $).

→ Pour réviser : Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev