Probabilités : événements indépendants – Bac S Centres étrangers 2009

Restitution organisée de connaissances :

Pré-requis : On rappelle que deux événements $ A $ et $ B $ sont indépendants pour la probabilité $ p $ si et seulement si : $ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right) \times p\left(B\right) $.

Soient $ A $ et $ B $ deux événements associés à une expérience aléatoire
1. Démontrer que $ p\left(B\right)=p\left(B \cap A\right)+ p\left(B \cap \overline{A}\right) $.
2. Démontrer que, si les événements $ A $ et $ B $ sont indépendants pour la probabilité $ p $, alors les événements $ \overline{A} $ et $ B $ le sont également.
Application : Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux événements indépendants :

R : « il n'entend pas son réveil sonner » ;

S : « son scooter, mal entretenu, tombe en panne ».

Il a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale à 0,1 et que celle de S est égale à 0,05. Lorsque qu'au moins l'un des deux événements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l'heure.
1. Calculer la probabilité qu'un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne.
2. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe donné.
3. Au cours d'une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu'il entende son réveil sonner un jour de classe donné n'influe pas sur le fait qu'il l'entende ou non les jours suivants.
  
  Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d'une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale.

Corrigé

1. On a :
  
  $ p(B \cap A) + p(B \cap \overline{A}) = p(B) \times p_B(A) + p(B) \times p_B(\overline{A}) = p(B) \times [p_B(A) + p_B(\overline{A})] $
  
  En remarquant que $ p_B(A) + p_B(\overline{A}) = 1 $, on obtient $ p(B \cap A) + p(B \cap \overline{A}) = p(B) $.
2. Si les événements $ A $ et $ B $ sont indépendants, alors :
  
  $ p(B) = p(B \cap A) + p(B \cap \overline{A}) = p(B) \times p(A) + p(B \cap \overline{A}) $
  
  donc $ p(B \cap \overline{A}) = p(B) - p(B) \times p(A) = p(B) \times [1 - p(A)] = p(B) \times p(\overline{A}) $
  
  ce qui exprime une condition nécessaire et suffisante pour que $ B $ et $ \overline{A} $ soient indépendants.
1. $ R $ et $ S $ sont indépendants donc d'après la question précédente $ \overline{R} $ et $ S $ le sont aussi.
  La probabilité qu'ils surviennent ensemble le même jour est donnée par :
  
  $ p(\overline{R} \cap S) = p(\overline{R}) \times p(S) = (1 - p(R)) \times p(S) = 0{,}9 \times 0{,}05 = 0{,}045 $
2. Pour que Stéphane soit à l'heure un jour de classe donné, il faut qu'il entende son réveil sonner et que son scooter ne tombe pas en panne. Autrement dit, il faut que les événements $ \overline{R} $ et $ \overline{S} $ surviennent ensemble le même jour, ce qui se traduit en terme de probabilité par :
  
  $ p(\overline{R} \cap \overline{S}) = p(\overline{R}) \times p(\overline{S}) = (1 - 0{,}1)(1 - 0{,}05) = 0{,}9 \times 0{,}95 = 0{,}855 $
3. Soit $ X $ la variable aléatoire qui représente le nombre de fois où Stéphane entend le réveil sonner au cours d'une semaine. $ X $ suit la loi binomiale :
  
  $ p(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} $
  
  avec $ n = 5 $, $ 0 \le k \le 5 $ et $ p = p(\overline{R}) = 0{,}9 $. La probabilité $ P $ que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours de la semaine est égale à la somme de la probabilité qu'il l'entende exactement 4 fois et de celle qu'il l'entende exactement 5 fois. Soit :
  
  $ P = p(X = 4) + p(X = 5) = \binom{5}{4} \times 0{,}9^4 \times 0{,}1^1 + \binom{5}{5} \times 0{,}9^5 \times 0{,}1^0 = 5 \times 0{,}9^4 \times 0{,}1 + 0{,}9^5 $
  
  soit finalement $ P = 0{,}9185 $.

Probabilités Lancers successifs – Bac S Pondichéry 2009

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à $ \dfrac{1}{3} $.

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.
1. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?
2. Quelle est son espérance ?
3. Calculer $ P\left(X=2\right) $.
On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.

On considère les événements D et A suivants :

•ﾠﾠ D : « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;

•ﾠﾠ A : « obtenir exactement deux 6 ».
1. Calculer la probabilité des événements suivants :
  
  •ﾠﾠ « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;
  
  •ﾠﾠ « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
  
  (On pourra construire un arbre de probabilité).
2. En déduire que : $ p\left(A\right)=\dfrac{7}{48} $.
3. Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ?
On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé $ n $ fois de suite ($ n $ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).

On note $ B_{n} $ l'événement « obtenir au moins un 6 parmi ces $ n $ lancers successifs ».
1. Déterminer, en fonction de $ n $, la probabilité $ p_{n} $ de l'événement $ B_{n} $.
2. Calculer la limite de la suite $ \left(p_{n}\right) $. Commenter ce résultat.

Corrigé

1. La variable aléatoire $ X $ suit une loi binômiale de paramètres $ n=3 $ et $ p=\dfrac{1}{6} $
2. $ E\left(X\right)=np=3\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2} $
3. $ P\left(X=2\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}\times \dfrac{5}{6}=3\times \dfrac{5}{216}=\dfrac{5}{72} $.
1. L'évènement « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » est $ D \cap A $ :
  
  $ p\left(D \cap A\right)=p\left(D\right)\times p_{D}\left(A\right) $
  
  La probabilité $ p_{D}\left(A\right) $ est la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé bien équilibré ; c'est à dire $ p_{D}(A)=p(X=2)=\dfrac{5}{72} $ d'après la première question donc :
  
  $ p\left(D \cap A\right)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{5}{72}=\dfrac{5}{144} $
  
  L'évènement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 » est $ \overline{D} \cap A $
  
  $ p\left(\overline{D} \cap A\right)=p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}\left(A\right) $
  
  La probabilité $ p_{\overline{D}}\left(A\right) $ correspond à « la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé truqué » :
  
  $ p_{\overline{D}}\left(A\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9} $
  
  Donc :
  
  $ p\left(\overline{D} \cap A\right)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{9} $
2. D'après le théorème des probabilités totales :
  
  $ p\left(A\right)=p\left(\overline{D} \cap A\right)+p\left(D \cap A\right)=\dfrac{1}{9}+\dfrac{5}{144}=\dfrac{16}{144}+\dfrac{5}{144}=\dfrac{21}{144}=\dfrac{7}{48} $
3. Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué est :
  
  $ p_{A}\left(\overline{D}\right)=\dfrac{p\left(\overline{D} \cap A\right)}{p\left(A\right)}=\dfrac{\dfrac{1}{9}}{\dfrac{7}{48}}=\dfrac{1}{9}\times \dfrac{48}{7}=\dfrac{16}{21} $
1. L'évènement $ \overline{B_{n}} $ contraire de $ B_{n} $ est l'événement « n'obtenir aucun 6 parmi ces $ n $ lancers successifs ».
  
  $ p\left(\overline{B_{n}}\right)=p\left(\overline{B_{n}} \cap D\right)+p\left(\overline{B_{n}} \cap \overline{D}\right)=p_{D}\left(\overline{B_{n}}\right)\times p\left(D\right)+p_{\overline{D}}\left(\overline{B_{n}}\right)\times p\left(\overline{D}\right) $
  
  $ p\left(\overline{B_{n}}\right)=\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}+\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} $
  
  Donc
  
  $ p_{n}=1 - p\left(\overline{B_{n}}\right)=1 - \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n} - \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} $
2. Comme $ \dfrac{5}{6} < 1 $ et $ \dfrac{2}{3} < 1 $:
  
  $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty } p_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1 - \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n} - \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}=1 $.
  
  Si on lance le dé « un très grand nombre de fois », on est « pratiquement assuré » d'obtenir au moins un 6 quel que soit le dé choisi.

Probabilités – Bac S Métropole 2013

Commun à tous les candidats Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des plants proviennent de l'horticulteur H$ _{1} $, 25% de l'horticulteur H$ _{2} $ et le reste de l'horticulteur H$ _{3} $. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.

La livraison de l'horticulteur H$ _{1} $ comporte 80% de conifères alors que celle de l'horticulteur H$ _{2} $ n'en comporte que 50% et celle de l'horticulteur H$ _{3} $ seulement 30%.

Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.

On envisage les événements suivants :

♦ $ H_{1} $ : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$ _{1} $»,

♦ $ H_{2} $ : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$ _{2} $»,

♦ $ H_{3} $ : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$ _{3} $»,

♦ $ C $ : « l'arbre choisi est un conifère »,

♦ $ F $ : « l'arbre choisi est un arbre feuillu ».
1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
2. Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H$ _{3} $.
3. Justifier que la probabilité de l'évènement $ C $ est égale à $ 0{,}525 $.
4. L'arbre choisi est un conifère.
  
  Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H$ _{1} $ ? On arrondira à $ 10^{ - 3} $
On choisit au hasard un échantillon de $ 10 $ arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $ 10 $ arbres dans le stock.

On appelle $ X $ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
1. Justifier que $ X $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $ 5 $ conifères ?
  On arrondira à $ 10^{ - 3} $.
3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
  On arrondira à $ 10^{ - 3} $

Corrigé

1. Arbre pondéré décrivant la situation :
2. La probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté à l'horticulteur $H_3$ est :
  
  $ p(H_3 \cap C) = p(H_3) \times p_{H_3}(C) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12 $
3. D'après la formule des probabilités totales, la probabilité de choisir un conifère est :
  $ p(C) = p(H_1 \cap C) + p(H_2 \cap C) + p(H_3 \cap C) $
  $ p(C) = p(H_1) \times p_{H_1}(C) + p(H_2) \times p_{H_2}(C) + p(H_3) \times p_{H_3}(C) $
  $ p(C) = 0{,}35 \times 0{,}8 + 0{,}25 \times 0{,}5 + 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}28 + 0{,}125 + 0{,}12 = 0{,}525 $
4. La probabilité que le conifère choisi ait été acheté chez $H_1$ est :
  
  $ p_C(H_1) = \dfrac{p(H_1 \cap C)}{p(C)} = \dfrac{0{,}35 \times 0{,}8}{0{,}525} = \dfrac{0{,}28}{0{,}525} \approx 0{,}533 $
1. Le choix d'un conifère ou d'un feuillu dans le stock d'arbres correspond à une épreuve de Bernoulli. Comme le stock est suffisamment important, on peut assimiler ce choix à $10$ tirages indépendants avec remise.
  La probabilité d'obtenir $X$ conifères après $10$ épreuves suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = p(C) = 0{,}525$.
  
  $ p(X = k) = \binom{10}{k} \times 0{,}525^k \times (1-0{,}525)^{10-k} $
2. La probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$ conifères est :
  
  $ p(X = 5) = \binom{10}{5} \times 0{,}525^5 \times 0{,}475^5 = 252 \times 0{,}525^5 \times 0{,}475^5 \approx 0{,}243 $
3. L'échantillon comporte au moins deux arbres feuillus si il n'en comporte ni $0$ ni $1$. Cela revient à dire que l'on n'a pas $10$ conifères ou $9$ conifères. La probabilité est donc :
  $ p(\text{au moins 2 feuillus}) = 1 - p(X = 9) - p(X = 10) $
  $ = 1 - \binom{10}{9} \times 0{,}525^9 \times 0{,}475^1 - \binom{10}{10} \times 0{,}525^{10} \times 0{,}475^0 $
  $ \approx 1 - 0{,}0144 - 0{,}0016 \approx 0{,}984 $ à $10^{-3}$ près.

Probabilités – Contamination par un virus-Bac S Métropole-2011

Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $ 10^{ - 4} $.

Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.

PARTIE A

On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.

On note $ V $ l'évènement « la personne est contaminée par le virus » et $ T $ l'évènement « le test est positif ».

$ \overline{V} $ et $ \overline{T} $ désignent respectivement les évènements contraires de $ V $ et $ T $.

1. Préciser les valeurs des probabilités $ P\left(V\right) $, $ P_{V}\left(T\right) $, $ P_{\overline{V}}\left(\overline{T}\right) $.
  
  Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
2. En déduire la probabilité de l'évènement $ V \cap T $.
Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
1. Justifier par un calcul la phrase :
  
  « Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40% de « chances » que la personne soit contaminée ».
2. Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.

PARTIE B

On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.

Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.

Corrigé

PARTIE A

1. D'après l'énoncé :
2. $ P(V) = 0{,}02 $
3. $ P_V(T) = 0{,}99 $
4. $ P_{\overline{V}}(\overline{T}) = 0{,}97 $
  
  Arbre de probabilités :
5. $ P(V \cap T) = P(V) \times P_V(T) = 0{,}02 \times 0{,}99 = 0{,}0198 $.
D'après la formule des probabilités totales :
$ P(T) = P(V \cap T) + P(\overline{V} \cap T) $
$ P(T) = P(V) \times P_V(T) + P(\overline{V}) \times P_{\overline{V}}(T) $
$ P(T) = 0{,}0198 + 0{,}98 \times (1 - 0{,}97) $
$ P(T) = 0{,}0198 + 0{,}98 \times 0{,}03 = 0{,}0198 + 0{,}0294 = 0{,}0492 $.
1. Cela revient à calculer $ P_T(V) $ :
  
  $ P_T(V) = \dfrac{P(V \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}0198}{0{,}0492} \approx 0{,}4024 $
  
  Soit environ $ 40\% $.
2. On cherche à déterminer $ P_{\overline{T}}(\overline{V}) $ :
  
  $ P_{\overline{T}}(\overline{V}) = \dfrac{P(\overline{V} \cap \overline{T})}{P(\overline{T})} = \dfrac{P(\overline{V}) \times P_{\overline{V}}(\overline{T})}{1 - P(T)} = \dfrac{0{,}98 \times 0{,}97}{1 - 0{,}0492} = \dfrac{0{,}9506}{0{,}9508} \approx 0{,}9998 $

PARTIE B

Le tirage d'une personne dont on détermine si elle est ou non contaminée constitue une épreuve de Bernoulli de paramètre $ p = P(V) = 0{,}02 $.
Comme on choisit successivement 10 personnes de façon indépendante, la variable aléatoire $ X $ qui donne le nombre de personnes contaminées suit une loi binomiale de paramètres $ n = 10 $ et $ p = 0{,}02 $.
On note $ X \sim \mathcal{B}(10 \ ; \ 0{,}02) $.
On cherche à calculer $ P(X \geqslant 2) $ :
$ P(X \geqslant 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) $
$ P(X = 0) = \binom{10}{0} \times 0{,}02^0 \times 0{,}98^{10} = 0{,}98^{10} \approx 0{,}81707 $
$ P(X = 1) = \binom{10}{1} \times 0{,}02^1 \times 0{,}98^9 = 10 \times 0{,}02 \times 0{,}98^9 \approx 0{,}16675 $
$ P(X \geqslant 2) = 1 - (0{,}98^{10} + 0{,}2 \times 0{,}98^9) \approx 1 - 0{,}98382 \approx 0{,}0162 $.

[ROC] Événements indépendants

On suppose connue la formule des probabilités totales.

Montrer que si $ A $ et $ B $ sont deux événements indépendants, alors $ A $ et $ \overline{B} $ sont aussi indépendants.

Corrigé

Si $ A $ et $ B $ sont deux événements indépendants, alors :
$ p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right) $

D'après la formule des probabilités totales :

$ p\left(A\right)=p\left(A\cap B\right)+p\left(A\cap \overline{B}\right) $

Par conséquent :

$ p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right) - p\left(A\cap B\right) =p\left(A\right) - p\left(A\right)\times p\left(B\right) =p\left(A\right)\left(1 - p\left(B\right)\right) $

Or $ 1 - p\left(B\right)=p\left(\overline{B}\right) $ donc $ p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)\times p\left(\overline{B}\right) $, ce qui prouve que $ A $ et $ \overline{B} $ sont indépendants.

Pour réviser : Appliquer la formule des probabilités totales