Dépistage : prévalence et valeur prédictive
Un laboratoire commercialise un test rapide de dépistage d'une infection respiratoire. Les notices techniques indiquent que ce test :
- est positif chez $ 90\,\% $ des personnes réellement infectées ;
- est négatif chez $ 98\,\% $ des personnes non infectées.
On choisit une personne au hasard dans une population donnée. On note $ M $ l'événement « la personne est infectée » et $ T $ l'événement « le test est positif ».
Partie A — En période de faible circulation du virus
En dehors des pics épidémiques, on estime que $ 2\,\% $ de la population est infectée.
- Préciser, à l'aide des notations $ p(M) $, $ p_M(T) $ et $ p_{\overline{M}}(T) $, les trois probabilités fournies par l'énoncé.
- Construire un arbre pondéré décrivant cette situation.
- Calculer la probabilité $ p(T) $ qu'une personne choisie au hasard ait un test positif.
- Une personne vient d'obtenir un test positif. Calculer la probabilité $ p_T(M) $ qu'elle soit réellement infectée. Arrondir au millième.
- Ce résultat peut surprendre. L'interpréter en une phrase.
Partie B — En période de pic épidémique
Pendant un pic épidémique, la proportion de personnes infectées dans la population atteint $ 25\,\% $. Les caractéristiques du test, elles, sont inchangées.
- Calculer la nouvelle probabilité $ p(T) $.
- Calculer la nouvelle valeur prédictive positive $ p_T(M) $. Arrondir au millième.
- Comparer les deux valeurs de $ p_T(M) $ obtenues dans les parties A et B, puis expliquer ce qui fait varier la fiabilité d'un test positif.
Corrigé
- Le test est positif chez $ 90\,\% $ des personnes infectées : c'est la sensibilité, soit $ p_M(T)=0{,}9 $. Il est négatif chez $ 98\,\% $ des personnes saines : c'est la spécificité, soit $ p_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}98 $, d'où $ p_{\overline{M}}(T)=1-0{,}98=0{,}02 $. Enfin la prévalence est $ p(M)=0{,}02 $.
On en déduit $ p_M(\overline{T})=1-0{,}9=0{,}1 $ et $ p(\overline{M})=1-0{,}02=0{,}98 $. L'arbre pondéré associé est :
Les événements $ M $ et $ \overline{M} $ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :
$ p(T)=p(M)\times p_M(T)+p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}(T) $$ p(T)=0{,}02\times 0{,}9+0{,}98\times 0{,}02=0{,}018+0{,}0196 $La probabilité qu'un test choisi au hasard soit positif est $\mathbf{p(T)=0{,}0376}$.
On cherche $ p_T(M) $, c'est-à-dire l'inversion du conditionnement connu $ p_M(T) $. D'après la formule de Bayes :
$ p_T(M)=\dfrac{p(M)\times p_M(T)}{p(T)}=\dfrac{0{,}02\times 0{,}9}{0{,}0376}=\dfrac{0{,}018}{0{,}0376} $D'où $\mathbf{p_T(M)\approx 0{,}479}$.
- Alors que le test semble très performant, une personne au test positif n'a qu'environ $ 47{,}9\,\% $ de chances d'être réellement infectée : un test positif sur deux est en réalité un faux positif, parce que la maladie est rare dans cette population.
La prévalence devient $ p(M)=0{,}25 $, donc $ p(\overline{M})=0{,}75 $. Les conditionnelles $ p_M(T)=0{,}9 $ et $ p_{\overline{M}}(T)=0{,}02 $ ne changent pas. La formule des probabilités totales donne :
$ p(T)=0{,}25\times 0{,}9+0{,}75\times 0{,}02=0{,}225+0{,}015 $soit $\mathbf{p(T)=0{,}24}$.
La formule de Bayes donne la nouvelle valeur prédictive positive :
$ p_T(M)=\dfrac{0{,}25\times 0{,}9}{0{,}24}=\dfrac{0{,}225}{0{,}24} $D'où $\mathbf{p_T(M)\approx 0{,}938}$.
- La valeur prédictive positive passe d'environ $ 47{,}9\,\% $ (partie A) à environ $ 93{,}8\,\% $ (partie B). Pourtant la sensibilité et la spécificité du test sont restées identiques : seule la prévalence a augmenté. La fiabilité d'un test positif ne dépend donc pas seulement de la qualité du test, mais aussi de la fréquence de la maladie dans la population testée. Plus la maladie est répandue, plus un test positif est porteur d'information.
La technique d'inversion du conditionnement utilisée ici est détaillée dans la méthode inverser un conditionnement avec la formule de Bayes.
