Appliquer les critères de divisibilité

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s'il est divisible par $ 2 $, par $ 3 $, par $ 5 $ et par $ 9 $ :
1. $ 270 $
2. $ 432 $
3. $ 1\,845 $
4. $ 2\,016 $
Trouver tous les chiffres $ a $ tels que le nombre $ \overline{4a8} $ (de la forme $ 4 $ centaines, $ a $ dizaines, $ 8 $ unités) soit divisible par $ 3 $.
Le nombre $ 12\,345 $ est-il divisible par $ 9 $ ? par $ 4 $ ? Justifier.

Corrigé

1. $ 270 $ : le chiffre des unités est $ 0 $, donc divisible par $ 2 $ et par $ 5 $. La somme des chiffres est $ 2 + 7 + 0 = 9 $, divisible par $ 3 $ et par $ 9 $.
  $ 270 $ est divisible par $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $ et $ 9 $.
2. $ 432 $ : le chiffre des unités est $ 2 $, donc divisible par $ 2 $ mais pas par $ 5 $. La somme des chiffres est $ 4 + 3 + 2 = 9 $, divisible par $ 3 $ et par $ 9 $.
  $ 432 $ est divisible par $ 2 $, $ 3 $ et $ 9 $, pas par $ 5 $.
3. $ 1\,845 $ : le chiffre des unités est $ 5 $, donc divisible par $ 5 $ mais pas par $ 2 $. La somme des chiffres est $ 1 + 8 + 4 + 5 = 18 $, divisible par $ 3 $ et par $ 9 $.
  $ 1\,845 $ est divisible par $ 3 $, $ 5 $ et $ 9 $, pas par $ 2 $.
4. $ 2\,016 $ : le chiffre des unités est $ 6 $, donc divisible par $ 2 $ mais pas par $ 5 $. La somme des chiffres est $ 2 + 0 + 1 + 6 = 9 $, divisible par $ 3 $ et par $ 9 $.
  $ 2\,016 $ est divisible par $ 2 $, $ 3 $ et $ 9 $, pas par $ 5 $.
La somme des chiffres de $ \overline{4a8} $ est $ 4 + a + 8 = 12 + a $.
$ \overline{4a8} $ est divisible par $ 3 $ si et seulement si $ 12 + a $ est divisible par $ 3 $.
Comme $ 12 $ est déjà divisible par $ 3 $, il faut que $ a $ soit lui-même divisible par $ 3 $.
Les valeurs possibles de $ a $ (chiffre, donc entre $ 0 $ et $ 9 $) sont : $ 0 $, $ 3 $, $ 6 $ et $ 9 $.
Les nombres correspondants sont $ 408 $, $ 438 $, $ 468 $ et $ 498 $.
Pour le critère de divisibilité par $ 9 $, on calcule la somme des chiffres :
$ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 $.
$ 15 $ n'est pas divisible par $ 9 $ (mais il l'est par $ 3 $), donc $ 12\,345 $ n'est pas divisible par $ 9 $.

Pour le critère de divisibilité par $ 4 $, on regarde le nombre formé par les deux derniers chiffres : $ 45 $.
$ 45 = 4 \times 11 + 1 $, donc $ 45 $ n'est pas divisible par $ 4 $.
Par conséquent, $ 12\,345 $ n'est pas divisible par $ 4 $.

→ Pour réviser : Appliquer les critères de divisibilité

Vrai/Faux : Critères de divisibilité et pièges

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les critères de divisibilité et leurs implications, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Tout nombre divisible par $9$ est aussi divisible par $3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme $9 = 3 \times 3$, tout multiple de $9$ s'écrit $n = 9k = 3 \times (3k)$ pour un certain entier $k$. Donc $n$ est aussi un multiple de $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si $a$ divise $b$ et $b$ divise $n$, alors $a$ divise $n$. Comme $3$ divise $9$, tout multiple de $9$ est aussi multiple de $3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $9 = 3 \times 3$, tout multiple de $9$ est nécessairement un multiple de $3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Tout nombre divisible par $3$ est aussi divisible par $9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La réciproque est fausse : par exemple $6$ est divisible par $3$ mais pas par $9$. De même, $12$, $15$, $21$ sont divisibles par $3$ mais pas par $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre une implication avec sa réciproque. Pour la réfuter, il suffit d'un contre-exemple : prendre un multiple de $3$ qui n'est pas multiple de $9$, comme $6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Contre-exemple : $6$ est divisible par $3$ mais pas par $9$. La réciproque de l'implication précédente n'est pas vraie.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un entier naturel est divisible par $6$ si et seulement s'il est divisible à la fois par $2$ et par $3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $n$ est divisible par $2$ et par $3$, alors comme $2$ et $3$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$, $n$ est nécessairement divisible par $2 \times 3 = 6$. Réciproquement, tout multiple de $6$ est multiple de $2$ et de $3$. Cela donne un critère pratique pour la divisibilité par $6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour vérifier qu'un nombre est divisible par $6$, il suffit de tester les critères de divisibilité par $2$ et par $3$ séparément.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Un entier est divisible par $6$ si et seulement s'il est pair et si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre $1\,530$ est divisible par $4$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le critère de divisibilité par $4$ regarde les deux derniers chiffres : ici $30$. Or $30 = 4 \times 7 + 2$, donc $30$ n'est pas divisible par $4$. Donc $1\,530$ ne l'est pas non plus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Piège classique : être pair ne suffit pas pour être divisible par $4$. Vérifier le critère par $4$ en regardant les deux derniers chiffres ($30$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le nombre formé par les deux derniers chiffres est $30$, qui n'est pas divisible par $4$. Donc $1\,530$ ne l'est pas.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre $14\,760$ est divisible par $9$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Calculons la somme des chiffres : $1 + 4 + 7 + 6 + 0 = 18$. Comme $18 = 9 \times 2$, la somme est divisible par $9$. D'après le critère de divisibilité par $9$, le nombre $14\,760$ l'est aussi.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calculer la somme des chiffres et vérifier sa divisibilité par $9$. Ici $1 + 4 + 7 + 6 + 0 = 18$, et $18 = 2 \times 9$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des chiffres vaut $18$, divisible par $9$. Donc $14\,760$ est divisible par $9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un entier est divisible par $4$ et par $6$, alors il est nécessairement divisible par $24$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Contre-exemple : $12$ est divisible par $4$ ($12 = 4 \times 3$) et par $6$ ($12 = 6 \times 2$), mais $12$ n'est pas divisible par $24$. La règle « divisible par $a$ et par $b$ implique divisible par $a \times b$ » n'est valable que si $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun (autre que $1$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas multiplier systématiquement. $4$ et $6$ ont un diviseur commun ($2$), donc on ne peut pas conclure « divisible par $4 \times 6 = 24$ ». Chercher un contre-exemple avec un petit multiple commun à $4$ et à $6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Contre-exemple : $12$ est divisible par $4$ et par $6$, mais pas par $24$. La règle ne s'applique que si les diviseurs n'ont pas de facteur commun.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Divisibilité et nombres premiers

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : critères de divisibilité, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers et simplification de fractions. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La décomposition en facteurs premiers de $180$ est :
[qcm]
[option]$2^2 \times 3 \times 15$[/option]
[option]$4 \times 9 \times 5$[/option]
[option correct="true"]$2^2 \times 3^2 \times 5$[/option]
[option]$2^2 \times 5 \times 9$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On divise successivement par les nombres premiers : $180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 2^2 \times 3 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.[/reponse]
[reponse motif="$2^2 \times 3 \times 15$"]Non.
La décomposition n'est pas terminée : $15$ n'est pas premier ($15 = 3 \times 5$). Il faut continuer à décomposer chaque facteur jusqu'à n'avoir que des nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$4 \times 9 \times 5$"]Non.
Ni $4$ ni $9$ ne sont des nombres premiers. La décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers. Continuer à décomposer $4$ et $9$.[/reponse]
[reponse motif="$2^2 \times 5 \times 9$"]Non.
$9$ n'est pas un nombre premier ($9 = 3 \times 3$). La décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Diviser $180$ successivement par les plus petits nombres premiers ($2$, puis $3$, puis $5$, ...) jusqu'à obtenir le quotient $1$. Tous les facteurs doivent être premiers.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sachant que $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$, quels sont les facteurs premiers communs aux deux décompositions ?
[qcm]
[option correct="true"]$2$ et $3$[/option]
[option]$2$, $3$ et $5$[/option]
[option]$2$, $3$ et $7$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les facteurs premiers de $84$ sont $\{2\,;\,3\,;\,7\}$ et ceux de $90$ sont $\{2\,;\,3\,;\,5\}$. Les facteurs communs (présents dans les deux) sont $2$ et $3$.[/reponse]
[reponse motif="$2$, $3$ et $5$"]Non.
$5$ apparaît dans la décomposition de $90$, mais pas dans celle de $84$. Il n'est donc pas commun aux deux nombres.[/reponse]
[reponse motif="$2$, $3$ et $7$"]Non.
$7$ apparaît dans la décomposition de $84$, mais pas dans celle de $90$. Il n'est donc pas commun aux deux nombres.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ n'est pas un nombre premier ($6 = 2 \times 3$). La question demande les facteurs premiers communs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister les nombres premiers qui apparaissent dans les deux décompositions à la fois. Ce sont les facteurs communs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fraction $\dfrac{105}{147}$ se simplifie en :
[qcm]
[option]$\dfrac{15}{21}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{9}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{5}{7}$[/option]
[option]$\dfrac{5}{9}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On décompose : $105 = 3 \times 5 \times 7$ et $147 = 3 \times 7 \times 7$. On simplifie par les facteurs communs $3$ et $7$ : $\dfrac{105}{147} = \dfrac{3 \times 5 \times 7}{3 \times 7 \times 7} = \dfrac{5}{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{15}{21}$"]Non.
Cette fraction est égale à $\dfrac{105}{147}$ (simplifiée par $7$ seulement), mais elle peut encore être simplifiée. Décomposer entièrement numérateur et dénominateur en facteurs premiers.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{9}$"]Non.
Vérifier le calcul : $9 \times 7 \neq 147$ mais $9 \times 7 = 63$. La simplification proposée ne donne pas une fraction égale à $\dfrac{105}{147}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{9}$"]Non.
Le numérateur $5$ est correct (après simplification par $3$ et $7$), mais le dénominateur ne l'est pas. Reposer la décomposition de $147$ : $147 = 3 \times 7 \times 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer $105$ et $147$ en facteurs premiers, puis simplifier les facteurs communs aux deux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien le nombre $24$ admet-il de diviseurs distincts ?
[qcm]
[option]$6$[/option]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$8$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les diviseurs de $24$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ et $24$. Il y en a $8$. On peut les retrouver en cherchant tous les couples $(a\,;\,b)$ tels que $a \times b = 24$ : $1 \times 24$, $2 \times 12$, $3 \times 8$, $4 \times 6$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
Lister tous les couples $(a\,;\,b)$ d'entiers tels que $a \times b = 24$, sans en oublier. Chaque couple donne deux diviseurs.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
Il manque un diviseur. Penser à inclure $1$ et $24$, et à ne pas oublier les couples du type $a \times b = 24$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
Un diviseur a été compté en trop. Vérifier la liste : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$. Il ne faut pas compter $5$ (qui ne divise pas $24$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Énumérer méthodiquement les couples d'entiers dont le produit vaut $24$. Chaque couple fournit deux diviseurs (sauf si les deux sont égaux).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le plus petit entier strictement supérieur à $100$, divisible à la fois par $4$ et par $9$, est :
[qcm]
[option]$104$[/option]
[option correct="true"]$108$[/option]
[option]$116$[/option]
[option]$144$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un entier divisible à la fois par $4$ et par $9$ doit être un multiple commun. Les premiers multiples de $36$ sont $36$, $72$, $108$, $144$, ... Le plus petit qui dépasse $100$ est $108 = 4 \times 27 = 9 \times 12$.[/reponse]
[reponse motif="$104$"]Non.
$104$ est bien divisible par $4$ ($104 = 4 \times 26$), mais la somme de ses chiffres vaut $1 + 0 + 4 = 5$, qui n'est pas divisible par $9$. Donc $104$ n'est pas divisible par $9$.[/reponse]
[reponse motif="$116$"]Non.
$116$ est divisible par $4$ ($116 = 4 \times 29$), mais la somme de ses chiffres vaut $1 + 1 + 6 = 8$, non divisible par $9$.[/reponse]
[reponse motif="$144$"]Non.
$144$ est bien divisible par $4$ et par $9$ ($144 = 4 \times 36 = 9 \times 16$), mais ce n'est pas le plus petit qui dépasse $100$. En chercher un plus petit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister les multiples communs à $4$ et $9$ : ce sont les multiples de $4 \times 9 = 36$. Trouver le plus petit qui dépasse $100$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si l'on multiplie deux nombres premiers distincts, combien de diviseurs distincts possède le produit obtenu ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers distincts, alors $p \times q$ a exactement quatre diviseurs : $1$, $p$, $q$ et $p \times q$. Par exemple, $15 = 3 \times 5$ a pour diviseurs $1$, $3$, $5$ et $15$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ correspond au nombre de diviseurs d'un nombre premier ($1$ et lui-même). Mais ici le produit $p \times q$ n'est pas premier : il a au moins $p$ et $q$ comme diviseurs supplémentaires. Tester un exemple avec $3 \times 5$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Un diviseur a été oublié. Tester avec $15 = 3 \times 5$ : lister tous ses diviseurs et compter.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Un diviseur a été compté en trop. Pour $p \times q$ avec $p$ et $q$ premiers distincts, énumérer méthodiquement les diviseurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester sur un exemple concret : prendre $p = 2$ et $q = 3$. Lister tous les diviseurs de $2 \times 3 = 6$ et compter.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Critères de divisibilité

[enonce]
Ce QCM porte sur les critères de divisibilité par $2$, $3$, $4$, $5$, $9$ et $10$. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Le nombre $432$ est divisible :
[qcm]
[option]par $5$ et par $9$[/option]
[option correct="true"]par $2$ et par $9$[/option]
[option]par $2$ et par $5$[/option]
[option]par $3$ mais pas par $9$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$432$ se termine par $2$ donc est divisible par $2$. La somme des chiffres vaut $4 + 3 + 2 = 9$, qui est divisible par $9$ : donc $432$ est divisible par $9$.[/reponse]
[reponse motif="par $5$ et par $9$"]Non.
Le critère de divisibilité par $5$ exige que le chiffre des unités soit $0$ ou $5$. Or ici, le chiffre des unités est $2$.[/reponse]
[reponse motif="par $2$ et par $5$"]Non.
$432$ est bien divisible par $2$ (chiffre des unités pair), mais pas par $5$ : pour être divisible par $5$, le chiffre des unités doit être $0$ ou $5$.[/reponse]
[reponse motif="par $3$ mais pas par $9$"]Non.
Calculer la somme des chiffres : si elle est divisible par $9$, alors le nombre l'est aussi. Vérifier ce calcul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester chaque critère successivement : chiffre des unités (pour $2$, $5$, $10$), somme des chiffres (pour $3$ et $9$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi les nombres suivants, lequel est divisible par $4$ ?
[qcm]
[option]$1\,234$[/option]
[option]$4\,318$[/option]
[option correct="true"]$5\,316$[/option]
[option]$6\,230$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le critère de divisibilité par $4$ porte sur les deux derniers chiffres. Pour $5\,316$, on a $16 = 4 \times 4$ : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par $4$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,234$"]Non.
Regarder les deux derniers chiffres : $34$. Vérifier si $34$ est divisible par $4$ en posant la division.[/reponse]
[reponse motif="$4\,318$"]Non.
Le nombre est pair, mais cela ne suffit pas pour la divisibilité par $4$. Il faut que le nombre formé par les deux derniers chiffres ($18$) soit divisible par $4$.[/reponse]
[reponse motif="$6\,230$"]Non.
Le nombre se termine par $0$ donc est divisible par $2$, $5$ et $10$. Vérifier les deux derniers chiffres ($30$) pour le critère par $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la divisibilité par $4$, ne regarder que les deux derniers chiffres et tester leur divisibilité par $4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le critère de divisibilité par $9$ est :
[qcm]
[option]le nombre se termine par $9$[/option]
[option]le nombre se termine par $0$ ou $9$[/option]
[option correct="true"]la somme des chiffres est divisible par $9$[/option]
[option]le nombre est aussi divisible par $3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le critère de divisibilité par $9$ est : la somme des chiffres du nombre doit être divisible par $9$. Par exemple, $234$ a pour somme $2 + 3 + 4 = 9$, donc $234$ est divisible par $9$.[/reponse]
[reponse motif="le nombre se termine par $9$"]Non.
Cette règle ne fonctionne pas : par exemple $19$ se termine par $9$ mais n'est pas divisible par $9$. Le critère par $9$ utilise la somme des chiffres.[/reponse]
[reponse motif="le nombre se termine par $0$ ou $9$"]Non.
Cette règle ne s'applique à aucun critère étudié. Le critère par $9$ porte sur la somme des chiffres.[/reponse]
[reponse motif="le nombre est aussi divisible par $3$"]Non.
Cette implication est en sens contraire : tout nombre divisible par $9$ l'est aussi par $3$, mais ce n'est pas un critère pour reconnaître la divisibilité par $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les critères par $3$ et par $9$ utilisent tous deux la somme des chiffres du nombre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le plus petit chiffre $a$ tel que le nombre $\overline{5a4}$ soit divisible par $3$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$3$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La somme des chiffres vaut $5 + a + 4 = 9 + a$. Pour qu'elle soit divisible par $3$, il faut que $a$ vaille $0$, $3$, $6$ ou $9$. Le plus petit est $0$, et $504 = 3 \times 168$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Avec $a = 1$, la somme des chiffres vaut $5 + 1 + 4 = 10$, qui n'est pas divisible par $3$. Tester d'autres valeurs.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
La valeur $a = 3$ rend bien le nombre divisible par $3$ (somme $= 12$), mais ce n'est pas le plus petit chiffre possible.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
Avec $a = 6$, le nombre $564$ est divisible par $3$ (somme $= 15$), mais ce n'est pas le plus petit chiffre possible. Essayer des valeurs plus petites.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la somme des chiffres et la rendre divisible par $3$ avec la plus petite valeur possible de $a$ (entre $0$ et $9$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $7\,280$ est divisible :
[qcm]
[option]par $2$, $5$ et $9$[/option]
[option]par $2$, $4$ et $9$[/option]
[option]par $2$, $3$ et $5$[/option]
[option correct="true"]par $2$, $4$, $5$ et $10$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$7\,280$ se termine par $0$ donc est divisible par $2$, $5$ et $10$. Les deux derniers chiffres forment $80 = 4 \times 20$, donc divisible par $4$. La somme $7 + 2 + 8 + 0 = 17$ n'est pas divisible par $3$ (ni par $9$).[/reponse]
[reponse motif="par $2$, $5$ et $9$"]Non.
La somme des chiffres vaut $7 + 2 + 8 + 0 = 17$, qui n'est pas divisible par $9$. Donc $7\,280$ n'est pas divisible par $9$.[/reponse]
[reponse motif="par $2$, $4$ et $9$"]Non.
La somme des chiffres ($17$) n'est pas divisible par $9$. Vérifier aussi ce critère avant de conclure.[/reponse]
[reponse motif="par $2$, $3$ et $5$"]Non.
La somme des chiffres vaut $17$, qui n'est pas divisible par $3$. Donc $7\,280$ n'est pas divisible par $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester chaque critère séparément : le chiffre des unités, les deux derniers chiffres pour $4$, et la somme des chiffres pour $3$ et $9$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si un entier naturel est divisible par $9$, alors il est nécessairement aussi divisible par :
[qcm]
[option]$6$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$18$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Comme $9 = 3 \times 3$, tout multiple de $9$ est aussi multiple de $3$. En particulier, si la somme des chiffres est divisible par $9$, elle est aussi divisible par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
Contre-exemple : $9$ est divisible par $9$ mais pas par $6$. Pour être divisible par $6$, il faudrait aussi être divisible par $2$, ce qui n'est pas garanti.[/reponse]
[reponse motif="$18$"]Non.
Contre-exemple : $9$ est divisible par $9$ mais pas par $18$. Un multiple de $9$ n'est pas forcément un multiple de $18$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Contre-exemple : $9$ est divisible par $9$ mais pas par $2$ (il est impair). Un multiple de $9$ n'est pas nécessairement pair.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Chercher un diviseur de $9$ parmi les options : si $a$ divise $9$ et $9$ divise $n$, alors $a$ divise $n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]