Un musée possède une pyramide à base carrée dont la base mesure $12$ m de côté et la hauteur $9$ m. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule :

où $c$ est le côté de la base et $h$ la hauteur.

Pour la boutique du musée, on réalise une maquette de la pyramide à l'échelle $\dfrac{1}{30}$ : c'est une réduction de la pyramide de coefficient $k = \dfrac{1}{30}$.

1. Calculer le volume de la pyramide réelle, en m$^3$.
2. Déterminer les dimensions de la maquette : côté de la base et hauteur. Donner les résultats en centimètres.
3. Calculer le volume de la maquette, en cm$^3$.
4. Vérifier que le volume de la maquette est égal à $k^3$ fois le volume de la pyramide réelle (on rappelle que $1$ m$^3 = 1\,000\,000$ cm$^3$).

Une photographie rectangulaire mesure $10$ cm sur $15$ cm.

On l'agrandit pour réaliser un poster dont la longueur mesure $24$ cm.

1. Calculer le coefficient $k$ d'agrandissement.
2. En déduire la largeur du poster.
3. Calculer l'aire de la photographie d'origine, puis l'aire du poster.
4. Vérifier que l'aire du poster est égale à $k^2$ fois l'aire de la photographie d'origine.

Une affiche rectangulaire mesure $30$ cm de large et $45$ cm de long.

Pour la coller sur un panneau publicitaire, on l'agrandit avec un coefficient $k = 1{,}4$.

1. Calculer la largeur et la longueur de l'affiche agrandie.
2. Calculer l'aire de l'affiche d'origine.
3. En déduire l'aire de l'affiche agrandie de deux manières différentes.

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'agrandissement et la réduction, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Un agrandissement de coefficient $4$ multiplie toutes les longueurs par $4$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par définition, un agrandissement (ou une réduction) de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs par $k$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est la définition même du coefficient d'agrandissement : il s'applique directement aux longueurs.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le coefficient $k$ multiplie chaque longueur par $k$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un agrandissement de coefficient $4$ multiplie les aires par $4$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour les aires, le coefficient apparaît au carré : un agrandissement de coefficient $4$ multiplie les aires par $4^2 = 16$, et non par $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : pour les aires, on multiplie par $k^2$, pas par $k$. Avec $k = 4$, le facteur est $16$, pas $4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les aires sont multipliées par $k^2 = 16$, pas par $4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un agrandissement de coefficient $3$ multiplie les volumes par $27$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour les volumes, le coefficient apparaît au cube : $k^3 = 3^3 = 27$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour les volumes, on multiplie par $k^3$. Avec $k = 3$, on a $3^3 = 27$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les volumes sont multipliés par $k^3 = 27$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un rectangle subit une réduction de coefficient $\dfrac{1}{2}$. Son aire est divisée par $2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour les aires, le coefficient apparaît au carré : l'aire est multipliée par $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$, donc divisée par $4$, et non par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour une aire, on multiplie par $k^2$, pas par $k$. L'aire est divisée par $4$ ($= 2^2$), pas par $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'aire est divisée par $4$ (par $k^2 = 4$), pas par $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un cube d'arête $5$ cm subit un agrandissement de coefficient $2$. Son volume passe de $125$ cm³ à $1\,000$ cm³.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Volume initial : $5^3 = 125$ cm³. Le volume est multiplié par $k^3 = 2^3 = 8$.
Volume final : $125 \times 8 = 1\,000$ cm³.
On peut vérifier : la nouvelle arête vaut $5 \times 2 = 10$ cm, et $10^3 = 1\,000$ cm³.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour un volume, on multiplie par $k^3 = 8$. À partir de $125$ cm³, on obtient $125 \times 8 = 1\,000$ cm³.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le volume passe de $125$ cm³ à $1\,000$ cm³, en accord avec $k^3 = 8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un agrandissement multiplie les aires par $16$, alors il multiplie les longueurs par $8$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Si les aires sont multipliées par $16$, alors $k^2 = 16$, donc $k = 4$ : les longueurs sont multipliées par $4$, et non par $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$k^2 = 16$ donne $k = 4$ (pas $8$). Le piège est de prendre la moitié de $16$ au lieu de la racine carrée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $k^2 = 16$, alors $k = 4$ : les longueurs sont multipliées par $4$, pas par $8$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur l'agrandissement et la réduction et leurs effets sur les longueurs, les aires et les volumes. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Lors d'un agrandissement de coefficient $5$, les longueurs sont multipliées par :

[qcm]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$25$[/option]
[option]$125$[/option]
[option]$\dfrac{1}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par définition, un agrandissement (ou une réduction) de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs par $k$.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25 = 5^2$ correspond à l'effet sur les aires, pas sur les longueurs.
Pour les longueurs, on multiplie simplement par $k$.[/reponse]
[reponse motif="$125$"]Non.
$125 = 5^3$ correspond à l'effet sur les volumes, pas sur les longueurs.
Pour les longueurs, on multiplie simplement par $k$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{5}$"]Non.
Tu as confondu agrandissement et réduction. Comme $k = 5 > 1$, il s'agit d'un agrandissement, donc les longueurs augmentent (elles sont multipliées par $5$, pas divisées).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lors d'un agrandissement (ou d'une réduction) de coefficient $k$, les longueurs sont multipliées par $k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Lors d'un agrandissement de coefficient $5$, les aires sont multipliées par :

[qcm]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$25$[/option]
[option]$125$[/option]
[option]$10$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Lors d'un agrandissement de coefficient $k$, les aires sont multipliées par $k^2$.
Ici $k = 5$, donc les aires sont multipliées par $5^2 = 25$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ correspond à l'effet sur les longueurs, pas sur les aires.
Une aire est une surface : on multiplie deux longueurs entre elles, donc le coefficient apparaît au carré.[/reponse]
[reponse motif="$125$"]Non.
$125 = 5^3$ correspond à l'effet sur les volumes.
Une aire est une surface (deux dimensions) : le coefficient apparaît au carré, pas au cube.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
Tu as calculé $5 \times 2 = 10$ comme si on multipliait par le double du coefficient.
La règle est de multiplier par $k^2$, c'est-à-dire $k \times k$, pas $k \times 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lors d'un agrandissement de coefficient $k$, les aires sont multipliées par $k^2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Lors d'un agrandissement de coefficient $3$, les volumes sont multipliés par :

[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$9$[/option]
[option correct="true"]$27$[/option]
[option]$81$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Lors d'un agrandissement de coefficient $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$.
Ici $k = 3$, donc les volumes sont multipliés par $3^3 = 27$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3$ correspond à l'effet sur les longueurs.
Un volume est tridimensionnel : le coefficient apparaît au cube, pas à la puissance $1$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9 = 3^2$ correspond à l'effet sur les aires.
Un volume est tridimensionnel : le coefficient apparaît au cube, pas au carré.[/reponse]
[reponse motif="$81$"]Non.
$81 = 3^4$ correspond à une puissance trop élevée. Un volume est en trois dimensions, donc le coefficient apparaît au cube : $3^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lors d'un agrandissement de coefficient $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un rectangle de $4$ cm sur $6$ cm subit un agrandissement de coefficient $2{,}5$. Quelles sont les dimensions du nouveau rectangle ?

[qcm]
[option]$4$ cm sur $6$ cm.[/option]
[option]$6{,}5$ cm sur $8{,}5$ cm.[/option]
[option correct="true"]$10$ cm sur $15$ cm.[/option]
[option]$16$ cm sur $36$ cm.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour un agrandissement de coefficient $k = 2{,}5$, on multiplie chaque longueur par $2{,}5$ :
$4 \times 2{,}5 = 10$ cm et $6 \times 2{,}5 = 15$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$4$ cm sur $6$ cm."]Non.
Un agrandissement modifie les longueurs. Si elles restaient identiques, le coefficient vaudrait $1$, pas $2{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$6{,}5$ cm sur $8{,}5$ cm."]Non.
Tu as ajouté $2{,}5$ à chaque longueur ($4 + 2{,}5 = 6{,}5$). L'agrandissement multiplie les longueurs par $k$, il ne les augmente pas par addition.[/reponse]
[reponse motif="$16$ cm sur $36$ cm."]Non.
Tu as multiplié par $4$ et $6$ comme si on appliquait $k^2$ à chaque dimension. C'est l'aire qui est multipliée par $k^2$, pas chaque longueur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier chaque longueur par $k = 2{,}5$ : $4 \times 2{,}5$ et $6 \times 2{,}5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cube de $6$ cm d'arête subit une réduction de coefficient $\dfrac{1}{3}$. Quel est le volume du cube réduit ?

[qcm]
[option]$72$ cm³[/option]
[option]$24$ cm³[/option]
[option correct="true"]$8$ cm³[/option]
[option]$2$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le volume initial est $6^3 = 216$ cm³.
Lors d'une réduction de coefficient $\dfrac{1}{3}$, le volume est multiplié par $\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}$.
Volume réduit $= 216 \times \dfrac{1}{27} = 8$ cm³.
On peut vérifier : la nouvelle arête est $6 \times \dfrac{1}{3} = 2$ cm, et $2^3 = 8$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$72$ cm³"]Non.
Tu as divisé le volume initial $216$ par $3$ ($216 \div 3 = 72$). Or, pour un volume, le coefficient apparaît au cube : on divise par $3^3 = 27$, pas par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$24$ cm³"]Non.
Tu as divisé par $9 = 3^2$, ce qui correspond à l'effet sur les aires, pas sur les volumes.
Pour un volume, le coefficient apparaît au cube.[/reponse]
[reponse motif="$2$ cm³"]Non.
$2$ cm est la nouvelle arête, pas le nouveau volume. Pour le volume, il faut élever cette arête au cube : $2^3 = 8$ cm³.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le volume initial est $6^3 = 216$ cm³ et il est multiplié par $\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un disque a une aire de $60$ cm². On l'agrandit avec un coefficient $k = 4$. Quelle est l'aire du disque agrandi ?

[qcm]
[option]$240$ cm²[/option]
[option correct="true"]$960$ cm²[/option]
[option]$3\,840$ cm²[/option]
[option]$60$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Lors d'un agrandissement de coefficient $k = 4$, l'aire est multipliée par $k^2 = 16$.
Aire agrandie $= 60 \times 16 = 960$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$240$ cm²"]Non.
Tu as multiplié l'aire par $k = 4$. Or, pour les aires, le coefficient apparaît au carré : on multiplie par $k^2 = 16$, pas par $4$.[/reponse]
[reponse motif="$3\,840$ cm²"]Non.
Tu as multiplié l'aire par $k^3 = 64$, ce qui correspond à l'effet sur les volumes, pas sur les aires.
Pour les aires, le coefficient apparaît au carré.[/reponse]
[reponse motif="$60$ cm²"]Non.
Si l'aire restait inchangée, il n'y aurait pas eu d'agrandissement. Avec $k = 4$, l'aire est multipliée par $k^2 = 16$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'aire est multipliée par $k^2$ : ici, $k^2 = 16$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]