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Suite et calculatrice

Soit la suite numérique $ \left(u_{n}\right) $ définie pour tout $ n \in \mathbb{N} $ par :

$ \left\{ \begin{matrix} u_{0}=100 \\ u_{n+1} =1{,}1\times u_{n} - 5\end{matrix}\right. $

  1. A l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, calculer les 10 premiers termes de la suite. Conjecturer le sens de variation de la suite $ \left(u_{n}\right) $.
  2. Déterminer (toujours à l'aide de la calculatrice ou du tableur) le plus petit entier $ n $ tel que $ u_{n} > 300 $

Corrigé

Un tableur donne les résultats suivants pour les 20 premiers termes de la suite $ \left(u_{n}\right) $

Résultats tableur
  1. La suite semble croissante.
  2. Le plus petit entier $ n $ tel que $ u_{n} > 300 $ est $ n=17 $

Pour réviser : Calculer les premiers termes d'une suite

[Bac] Suite et algorithme

[D'après bac ES Polynésie 2014]

La suite $ \left(u_{n}\right) $ est définie pour tout nombre entier naturel $ n $ par :

$ \left\{ \begin{matrix} u_{0} = 5 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n}+1\end{matrix}\right. $

Partie A

  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $ n $ non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang $ n $.

    Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.

    Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.

    Algorithme 1 :

    Variables $ U $ est un nombre réel
      $ i $ et $ N $ sont des nombres entiers
    Début Saisir une valeur pour $ N $
      $ U $ prend la valeur 5
      Pour $ i $ de $ 0 $ à $ N $ faire
      Affecter à $ U $ la valeur $ \dfrac{1}{2}\times U+1 $
      Fin Pour
      Afficher $ U $
    Fin  

    Algorithme 2 :

    Variables $ U $ est un nombre réel
      $ i $ et $ N $ sont des nombres entiers
    Début Saisir une valeur pour $ N $
      Pour $ i $ de $ 0 $ à $ N $ faire
      $ U $ prend la valeur 5
      Afficher $ U $
      Affecter à $ U $ la valeur $ \dfrac{1}{2}\times U+1 $
      Fin Pour
    Fin  

    Algorithme 3 :

    Variables $ U $ est un nombre réel
      $ i $ et $ N $ sont des nombres entiers
    Début Saisir une valeur pour $ N $
      $ U $ prend la valeur 5
      Pour $ i $ de $ 0 $ à $ N $ faire
      Afficher $ U $
      Affecter à $ U $ la valeur $ \dfrac{1}{2}\times U+1 $
      Fin Pour
    Fin  

  2. On saisit la valeur 9 pour $ N $, l'affichage est le suivant :

    $5$ $3{,}5$ $2{,}75$ $2{,}375$ $2{,}1875$ $2{,}0938$ $2{,}0469$ $2{,}0234$ $2{,}0117$ $2{,}0059$

    Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?

Corrigé

  1. L'algorithme qui convient est l'algorithme 3.

    Justifications pour les algorithmes qui ne conviennent pas :

    • Algorithme 1 : L'instruction « Afficher $U$ » est placée après la boucle « Pour ». Cet algorithme n'affichera donc que la valeur finale calculée et non tous les termes de la suite du rang 0 au rang $n$.
    • Algorithme 2 : L'instruction « $U$ prend la valeur 5 » est placée à l'intérieur de la boucle. À chaque étape, la valeur de $U$ est réinitialisée à 5. L'algorithme affichera donc $n+1$ fois la valeur 5.

    Justification pour l'algorithme 3 :
    L'algorithme 3 initialise bien $U$ à 5 (valeur de $u_0$) avant la boucle.

    À chaque itération de la boucle (pour $i$ allant de 0 à $n$), il affiche la valeur courante de $U$ puis calcule le terme suivant.

    On obtient ainsi l'affichage de tous les termes de $u_0$ à $u_n$.

  2. En observant les valeurs affichées pour $N=9$, on constate que :

    $ 5 > 3{,}5 > 2{,}75 > 2{,}375 > \dots $

    Chaque terme semble être inférieur au précédent.

    On peut donc conjecturer que la suite $ (u_n) $ est décroissante.

Placements financiers (calculatrice)

  1. Une banque A propose un placement (à intérêts composés) au taux de 8% par an. Des frais de gestion de 20 euros sont par ailleurs prélevés tous les ans sur le capital placé. On note $ u_{n} $ le capital en euros obtenu la $ n $-ième année.

    1. Un client veut placer 1 000 euros (c'est à dire que $ u_{0}=1\,000 $).
      Calculer $ u_{1} $, $ u_{2} $.
    2. Montrer que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}=1{,}08u_{n} - 20 $

  2. Une banque B propose un placement (à intérêts composés) au taux de 6,5% par an sans frais de gestion.On note $ v_{n} $ le capital en euros obtenu la $ n $-ième année avec ce placement.

    1. Le client souhaite toujours placer 1 000 euros. Calculer $ v_{1} $, $ v_{2} $.
    2. A l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, déterminer, en fonction du nombre d'années (pour $ 1\leqslant n\leqslant 20 $), le placement le plus intéressant entre celui de la banque A et celui de la banque B (pour une somme placée de 1 000 euros)
  • Un capital est placé à intérêts composés lorsque les intérêts de chaque période sont incorporés au capital pour l'augmenter progressivement et porter intérêts à leur tour. (source : Wikipedia)

Corrigé

    1. Capital + intérêts après un an = $ 1000 + \dfrac{8}{100}\times 1000 $

      Capital + intérêts après un an = $ 1000\times \left(1+\dfrac{8}{100}\right)=1000\times 1{,}08=1080 $

      Capital + intérêts - frais après un an =$ 1080 - 20 = 1060 $

      Donc $ u_{1}=1060 $.

      De même : $ u_{2}=1{,}08\times u_{1} - 20 = 1{,}08\times 1060 - 20 = 1144{,}80 - 20 = 1124{,}80 $
    2. Pour trouver le capital $ u_{n+1} $, on multiplie le capital de l'année précédente, $ u_{n} $, par $ 1{,}08 $ pour adjoindre les intérêts et on soustrait les frais de gestion de $ 20 $ euros. On a donc bien :

      $ u_{n+1}=1{,}08u_{n} - 20 $
    1. $ v_{1}=1000\times \left(1+\dfrac{6{,}5}{100}\right)=1000\times 1{,}065=1065 $

      $ v_{2}=1065\times \left(1+\dfrac{6{,}5}{100}\right)=1065\times 1{,}065=1134{,}225 $

    2. Sur tableur, on obtient les résultats suivants pour $ u_{n} $ et $ v_{n} $ :

      Tableur

      Le placement de la banque B est plus intéressant pour un placement d'une durée inférieure ou égale à 11 ans, et celui de la banque A pour un placement d'une durée supérieure ou égale à 12 ans.