Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription

Simplifier une fraction à étages

[enonce]
On souhaite calculer l'expression suivante :

$ B = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}}{\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}} $

Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
[/enonce]

[etape]
Commençons par calculer le numérateur de $B$.

$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = $ [[num]]
[math id="num" attendu="\frac{11}{12}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le plus petit dénominateur commun de $3$ et $4$ est $12$.
$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction n'est pas irréductible. La simplifier.[/reponse]
[reponse motif="\frac{3}{7}"]Non.
On n'additionne pas les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Il faut d'abord mettre les fractions au plus petit dénominateur commun.[/reponse]
[reponse motif="\frac{3}{12}"]Non.
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ (pas $\dfrac{2}{12}$) car on multiplie numérateur et dénominateur par $4$.
Recalculer $\dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour additionner ces fractions, chercher le plus petit dénominateur commun de $3$ et $4$, puis convertir chaque fraction.[/reponse]
[aide essai="2"]Le plus petit dénominateur commun de $3$ et $4$ est $12$.
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{?}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{?}{12}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$.
Additionner les numérateurs.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculons maintenant le dénominateur de $B$. Donner le résultat sous forme irréductible.

$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = $ [[den]]
[math id="den" attendu="\frac{1}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le plus petit dénominateur commun est $6$ : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction n'est pas irréductible. La simplifier.[/reponse]
[reponse motif="\frac{3}{6}"]Presque !
$\dfrac{3}{6}$ est correct, mais pas irréductible.
Diviser numérateur et dénominateur par leur facteur commun.[/reponse]
[reponse motif="\frac{4}{3}"]Non.
On n'effectue pas $5-1$ au numérateur et $6-3$ au dénominateur.
Il faut d'abord mettre les fractions au plus petit dénominateur commun.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quel est le plus petit dénominateur commun de $6$ et $3$ ?
Convertir $\dfrac{1}{3}$ à ce dénominateur, puis soustraire.[/reponse]
[aide essai="2"]$6$ est déjà un multiple de $3$, donc le plus petit dénominateur commun est $6$.
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$. Calculer $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6}$, puis simplifier.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a maintenant $B = \dfrac{\dfrac{11}{12}}{\dfrac{1}{2}}$.

Par quelle opération peut-on remplacer cette fraction à étages ?
[qcm]
[option]$\dfrac{11}{12} - \dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{11}{12} \times \dfrac{2}{1}$[/option]
[option]$\dfrac{11}{12} \times \dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{11} \times \dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Diviser par $\dfrac{1}{2}$, c'est multiplier par l'inverse de $\dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $\dfrac{2}{1}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{11}{12} - \dfrac{1}{2}$"]Non.
Une fraction à étages est une division, pas une soustraction.
$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}$ signifie $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{11}{12} \times \dfrac{1}{2}$"]Non.
Diviser par une fraction, ce n'est pas multiplier par cette même fraction.
On multiplie par son inverse : on échange numérateur et dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{11} \times \dfrac{1}{2}$"]Non.
C'est la première fraction $\dfrac{11}{12}$ qui reste inchangée.
C'est la seconde dont on prend l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $B = \dfrac{11}{12} \times 2$ et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

$B = $ [[res]]
[math id="res" attendu="\frac{11}{6}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$B = \dfrac{11 \times 2}{12} = \dfrac{22}{12} = \dfrac{11}{6}$.
$11$ est premier et ne divise pas $6$, donc la fraction est bien irréductible.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction n'est pas irréductible. La simplifier.[/reponse]
[reponse motif="\frac{22}{12}"]Presque !
$\dfrac{22}{12}$ est correct mais pas simplifié.
$22$ et $12$ sont tous les deux pairs : diviser par $2$.[/reponse]
[reponse motif="\frac{11}{24}"]Non.
On multiplie le numérateur par $2$, pas le dénominateur.
$\dfrac{11}{12} \times 2 = \dfrac{11 \times 2}{12}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier le numérateur par $2$, garder le dénominateur, puis simplifier la fraction obtenue.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{22}{12}$. Le numérateur et le dénominateur sont pairs, les diviser par $2$.[/aide]
[/math]
[solution]$B = \dfrac{11}{12} \times 2 = \dfrac{22}{12} = \dfrac{11}{6}$.[/solution]
[/etape]

QCM : Additions et soustractions de fractions

[enonce]
Ce QCM porte sur les additions et soustractions de fractions. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{7}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{11}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On met au même dénominateur ($12$) : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{7}$"]Non.
L'erreur fréquente est d'additionner les numérateurs et les dénominateurs séparément : $\dfrac{2+1}{3+4}$. On ne peut jamais additionner les dénominateurs.
Le calcul correct donne $\dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{12}$"]Non.
$\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$, ce qui correspond à l'une des fractions de départ.
En mettant au dénominateur $12$ : $\dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{12}$"]Non.
L'erreur vient probablement d'un mauvais calcul de numérateur. On a $\dfrac{2 \times 4}{12} + \dfrac{1 \times 3}{12} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{4}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{6}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$6$ est un multiple de $3$, donc on choisit $6$ comme dénominateur commun.
$\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{3}$"]Non.
L'erreur fréquente est de soustraire uniquement les numérateurs sans mettre au même dénominateur : $\dfrac{5-1}{3}$.
Il faut d'abord réécrire $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$, puis $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{6}$"]Non.
$\dfrac{4}{6}$ n'est pas simplifié, et le numérateur est incorrect. On a $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
L'erreur vient peut-être d'un oubli dans la mise au même dénominateur.
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$ et $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{-2}{5} + \dfrac{3}{10}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{-5}{10}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{-1}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$10$ est un multiple de $5$ : $\dfrac{-2}{5} = \dfrac{-4}{10}$.
$\dfrac{-4}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{-4+3}{10} = \dfrac{-1}{10}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{10}$"]Non.
L'erreur fréquente est d'oublier le signe négatif lors du calcul.
$\dfrac{-2}{5} = \dfrac{-4}{10}$ et $\dfrac{-4+3}{10} = \dfrac{-1}{10}$, pas $\dfrac{1}{10}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-5}{10}$"]Non.
L'erreur vient du calcul du numérateur. On a $-4 + 3 = -1$, pas $-5$.
$\dfrac{-4}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{-1}{10}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{5}$"]Non.
$\dfrac{-2}{5} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{-4}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{-1}{10}$, pas $\dfrac{1}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{-2}{5} = \dfrac{-4}{10}$, donc $\dfrac{-4}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{-1}{10}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{12}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{12}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{24}$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$\dfrac{35}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les fractions ont déjà le même dénominateur : $\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{12}{12} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{12}$"]Pas tout à fait.
Le calcul $\dfrac{7+5}{12} = \dfrac{12}{12}$ est correct, mais il faut simplifier : $\dfrac{12}{12} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{24}$"]Non.
L'erreur fréquente est d'additionner aussi les dénominateurs. On ne touche jamais aux dénominateurs quand ils sont déjà identiques.
$\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{12}{12} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{35}{12}$"]Non.
L'erreur vient d'une multiplication des numérateurs au lieu d'une addition.
$\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{7+5}{12} = \dfrac{12}{12} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{7+5}{12} = \dfrac{12}{12} = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{-2}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{-2}{-2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{-1}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le dénominateur commun est $12$ : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$.
$\dfrac{9}{12} - \dfrac{10}{12} = \dfrac{-1}{12}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-2}{2}$"]Non.
L'erreur fréquente est de soustraire numérateurs et dénominateurs séparément : $\dfrac{3-5}{4-6}$.
Le dénominateur commun est $12$ et $\dfrac{9}{12} - \dfrac{10}{12} = \dfrac{-1}{12}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{12}$"]Non.
Le signe est incorrect. $\dfrac{9}{12} - \dfrac{10}{12} = \dfrac{9-10}{12} = \dfrac{-1}{12}$, pas $\dfrac{1}{12}$.
On soustrait un nombre plus grand ($10$) d'un plus petit ($9$), le résultat est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-2}{-2}$"]Non.
On ne soustrait jamais les dénominateurs entre eux.
Le dénominateur commun est $12$ : $\dfrac{9}{12} - \dfrac{10}{12} = \dfrac{-1}{12}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{10}{12} = \dfrac{-1}{12}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{6}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{6}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{19}{12}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{21}{13}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le dénominateur commun de $3$, $4$ et $6$ est $12$.
$\dfrac{8}{12} + \dfrac{15}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{3}$"]Non.
L'erreur vient d'un calcul incorrect. Avec le dénominateur commun $12$ :
$\dfrac{8}{12} + \dfrac{15}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{19}{12}$"]Non.
L'erreur vient probablement d'un mauvais calcul de l'un des numérateurs lors de la mise au même dénominateur.
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$, $\dfrac{5}{4} = \dfrac{15}{12}$, $\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}$.
$\dfrac{8+15-2}{12} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{21}{13}$"]Non.
Le dénominateur commun n'est pas $13$ (qui est $3+4+6$).
Le plus petit multiple commun de $3$, $4$ et $6$ est $12$, et le résultat simplifié est $\dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{15}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Additions et soustractions de fractions

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les additions et soustractions de fractions, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{5}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On ne peut pas additionner les numérateurs et les dénominateurs séparément.
Il faut d'abord réduire au même dénominateur : $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, comme si $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1+1}{3+2}$.
Pour additionner deux fractions, on les met au même dénominateur : $\dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On ne peut pas additionner numérateurs et dénominateurs séparément.
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{6}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{14}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Quand les fractions ont déjà le même dénominateur, on additionne uniquement les numérateurs : $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'additionner aussi les dénominateurs alors qu'ils sont déjà identiques.
Quand deux fractions ont le même dénominateur, on garde ce dénominateur : $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{3+2}{7} = \dfrac{5}{7}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Lorsque les dénominateurs sont identiques, on les conserve et on additionne uniquement les numérateurs : $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On met au même dénominateur : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas simplifier le résultat final.
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$, donc $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On convertit $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$, puis $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 1$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le dénominateur commun est $6$ : $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de se tromper sur le dénominateur commun lorsqu'il y a trois fractions.
On réduit au dénominateur $6$ : $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec le dénominateur commun $6$ : $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $3 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On convertit $3 = \dfrac{9}{3}$, donc $3 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de soustraire le numérateur au nombre entier sans convertir : $3 - 2 = 1$, puis garder le dénominateur.
Il faut écrire $3 = \dfrac{9}{3}$, puis $\dfrac{9}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On écrit $3 = \dfrac{9}{3}$, donc $3 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{4}{15} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{15}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Il faut d'abord convertir $\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15}$, puis $\dfrac{4}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{7}{15}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'additionner les numérateurs sans mettre au même dénominateur : $4 + 1 = 5$, en gardant le dénominateur $15$.
On convertit d'abord : $\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15}$, puis $\dfrac{4}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{7}{15}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On doit d'abord convertir $\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15}$ avant d'additionner : $\dfrac{4}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{7}{15}$.
[/solution]
[/etape]

Simplifications (Brevet 2001)

(Brevet Paris 2001 - À faire sans calculatrice)

Soit :

$ A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3}\times \dfrac{5}{14} $

$ B = \dfrac{5\times 10^{2000}}{20\times 10^{2001}} $

$ C = \dfrac{5{,}1 \times 10^{2} - 270 \times 10^{ - 1}}{4{,}83 \times 10^{2}} $.

  1. Calculer $ A $ et mettre le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
  2. Calculer $ B $ et donner l'écriture scientifique du résultat.
  3. Démontrer que $ C $ est un nombre entier.

Corrigé

  1. On commence par effectuer le produit (qui est prioritaire) en simplifiant par $ 7 $ :

    $ A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3}\times \dfrac{5}{14} =\dfrac{2}{3} - \dfrac{7\times 5}{3\times 14} =\dfrac{2}{3} - \dfrac{7\times 5}{3\times 2\times 7} =\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} $

    Puis on réduit au même dénominateur :

    $ A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6} - \dfrac{5}{6} $, soit $\mathbf{A = -\dfrac{1}{6}}$.

  2. On sépare les coefficients et les puissances de 10 :

    $ B = \dfrac{5\times 10^{2000}}{20\times 10^{2001}} = \dfrac{5}{20} \times \dfrac{10^{2000}}{10^{2001}} = \dfrac{5}{4\times 5}\times 10^{2000 - 2001}=\dfrac{1}{4}\times 10^{ - 1} $

    Or :

    $ \dfrac{1}{4}=0{,}25=2{,}5\times 10^{ - 1} $

    Donc la forme scientifique de $ B $ est :

    $ B=\dfrac{1}{4}\times 10^{ - 1} =2{,}5\times 10^{ - 1}\times 10^{ - 1} $, soit $\mathbf{B = 2{,}5\times 10^{ - 2}}$

  3. On convertit chaque terme en écriture décimale :

    Calculons chaque produit :

    $ 5{,}1 \times 10^{2}=510 $

    $ 270 \times 10^{ - 1}=27 $

    $ 4{,}83 \times 10^{2}=483 $

    Par conséquent :

    $ C = \dfrac{510 - 27}{483}=\dfrac{483}{483} $, soit $\mathbf{C = 1}$

Fractions – Racines carrées (Brevet 2010)

(Brevet Asie 2010)

On donne les nombres suivants :

$ A =\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} $ $\div$ $ \dfrac{8}{15} $ ,
$ B =\dfrac{6\times 10^{ - 2} \times 5 \times 10^{2}}{1{,}5 \times 10^{ - 4}}\quad $
$ C =\sqrt{12} - 5\sqrt{3}+2\sqrt{48} $.

Pour les trois questions suivantes, on écrira au moins une étape de calcul.

  1. Calculer $ A $ et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
  2. Calculer $ B $ et donner le résultat sous forme scientifique.
  3. Écrire $ C $ sous la forme $ a\sqrt{3} $ où $ a $ est un nombre entier.

Corrigé

  1. Simplifions $A$:
    $ A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}\times \dfrac{15}{8} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2\times 3\times 5}{3\times 2\times 4} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4}= - \dfrac{2}{4} = - \dfrac{1}{2} $

    Donc $\mathbf{A = -\dfrac{1}{2}}$.

  2. Pour $B$:
    $ B = \dfrac{6 \times 5 \times 10^{ - 2} \times 10^{2}}{1{,}5 \times 10^{ - 4}} = \dfrac{30}{1{,}5}\times 10^{ - 2+2 - \left( - 4\right)} = 20\times 10^{4} $

    La forme scientifique de $ B $ est :
    $\mathbf{B = 2\times 10^{5}}$

  3. Et enfin :
    $ \sqrt{12} = \sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3} $
    $ \sqrt{48} = \sqrt{16\times 3}=4\sqrt{3} $

    Par conséquent :
    $ C = 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3}+2\times 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3}+8\sqrt{3} =5\sqrt{3} $

    Donc $\mathbf{C = 5\sqrt{3}}$.