Scratch – Losange et motif – Brevet Amérique du Sud 2024

On considère le bloc « Losange » suivant ainsi que le losange obtenu en l'exécutant :

$À gauche : bloc Scratch Losange — stylo en position d'écriture, répéter 2 fois (avancer de 20, tourner droite de 60 degrés, avancer de a, tourner droite de b degrés), relever le stylo. À droite : losange (rhombe) avec deux angles aigus de 60^{\circ} et deux angles obtus de 120^{\circ}, côté 20 pas, le point de départ étant un sommet d'angle aigu.$

Dans le bloc « Losange », par quelles valeurs faut-il remplacer $ a $ et $ b $ pour obtenir le losange ci-dessus ?
On définit ensuite un nouveau bloc nommé « Motif A » :

Parmi les figures suivantes, quelle est celle qui est obtenue en exécutant le bloc « Motif A » ?
- Figure 1 : trois losanges identiques disposés autour d'un sommet commun, chacun tourné de 60° par rapport au précédent (rosace incomplète à 3 branches sur 180°).
- Figure 2 : trois losanges identiques alignés horizontalement et séparés.
- Figure 3 : trois losanges concentriques de tailles différentes.
On a défini un nouveau bloc nommé « Motif B ». En l'exécutant, on a obtenu la figure ci-dessous (rosace complète formée de 6 losanges identiques disposés autour d'un sommet commun).

$Rosace formée de 6 losanges identiques disposés autour d'un sommet commun, chacun tourné de 60^{\circ} par rapport au précédent$

Écrire un script du bloc « Motif B ».

Corrigé

Un losange a quatre côtés égaux. Comme deux côtés mesurent 20 pas, on doit avoir $ a = 20 $.

Pour la valeur de $ b $ : à chaque sommet, le lutin tourne d'un angle extérieur. Pour fermer la figure (faire un tour complet), la somme des angles extérieurs doit valoir 360°. Dans une exécution complète du bloc, le lutin tourne 4 fois : deux fois de 60° et deux fois de $ b° $. On a donc :

$ 2 \times 60 + 2 \times b = 360 $

$ 120 + 2b = 360 $

$ 2b = 240 $

$ b = 120 $

Il faut prendre $ a = 20 $ et $ b = 120 $.

(On vérifie : aux sommets « aigus » du losange, l'angle extérieur de 120° correspond à un angle intérieur de 60° ; aux sommets « obtus », l'angle extérieur de 60° correspond à un angle intérieur de 120°. C'est bien la structure du losange dessiné.)
Le bloc « Motif A » trace 3 losanges en pivotant de 60° entre chacun, tous à partir du point initial. Comme $ 3 \times 60° = 180° $, on n'effectue que la moitié du tour complet : on obtient une demi-rosace.

C'est la Figure 1 (trois losanges autour d'un même sommet, tournés de 60° l'un par rapport à l'autre).
La rosace complète comporte 6 losanges identiques, chacun tourné de 60° par rapport au précédent ($ 6 \times 60° = 360° $). On reprend la structure de « Motif A » en remplaçant 3 par 6 :

Scratch – Motif de deux triangles équilatéraux et variable côté – Brevet Asie 2024

On donne le programme suivant.

Remarque

Rappel. L'instruction « s'orienter à 90 » signifie que le lutin se dirige vers la droite.

Script principal :

Définition du bloc Motif :

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue.

À quelles coordonnées le lutin se positionne-t-il juste après avoir cliqué sur le drapeau vert ?
En prenant 1 cm pour 20 pas, dessiner en vraie grandeur la figure obtenue en exécutant le script principal.
On modifie le script principal de trois façons différentes. Associer chaque script à la figure qui lui correspond.

Script n°1 :

Script n°2 :

Script n°3 :

Les trois figures à associer aux scripts sont les suivantes :

Figure A :

$Trois losanges identiques alignés horizontalement, espacés régulièrement, chacun ayant ses angles aigus de 60^{\circ} au sommet et à la base et ses angles obtus de 120^{\circ} à gauche et à droite$

Figure B :

Figure C :

$Trois losanges identiques disposés autour d'un sommet commun en formant une rosace, chacun tourné de 120^{\circ} par rapport au précédent ; l'union des trois forme un hexagone régulier$
Dans cette question on s'intéresse au script n°2 (celui où l'on multiplie la variable « côté » par 1,2 à chaque tour).
1. Combien de fois le bloc « Motif » est-il exécuté ?
2. Quelle est la valeur de la variable « côté » à la fin de ce script ?

Corrigé

L'instruction « aller à x : $ -100 $ y : 0 » place le lutin au point de coordonnées $ (-100\,;\,0) $.
Le bloc « Motif » trace deux triangles équilatéraux successifs partageant un même côté horizontal :
- la première boucle « répéter 3 fois (avancer + tourner droite 120°) » trace un triangle équilatéral pointant vers le bas ;
- la seconde boucle « répéter 3 fois (avancer + tourner gauche 120°) » repart du même point de départ et trace un triangle équilatéral pointant vers le haut.
L'assemblage des deux triangles forme un losange (rhombe régulier) dont les angles sont 60° et 120° et dont les côtés mesurent 80 pas, soit $ 80 \div 20 = 4 $ cm sur le dessin.

$Losange formé par deux triangles équilatéraux assemblés sur leur base horizontale, côté 4 cm, angles aigus 60^{\circ} à gauche et à droite, angles obtus 120^{\circ} en haut et en bas$
Script 1 (« avancer de 100 pas » entre chaque Motif) : entre deux losanges, le lutin se déplace en ligne droite de 100 pas, sans tourner. Il trace donc trois losanges identiques alignés horizontalement et séparés. C'est la Figure A.

Script 2 (« mettre côté à côté × 1,2 ») : la taille du losange est multipliée par 1,2 à chaque tour. On obtient trois losanges concentriques de tailles croissantes. C'est la Figure B.

Script 3 (« tourner droite de 120 degrés ») : entre chaque losange, le lutin pivote de 120° autour du point de départ, puis trace un nouveau losange à partir de ce point. On obtient trois losanges disposés autour d'un sommet commun (rosace). C'est la Figure C.

Remarque

La numérotation A/B/C peut différer dans le sujet original ; ce qui compte est de relier la modification du script à l'effet géométrique produit.
1. Le bloc « répéter 3 fois » du script principal exécute la boucle 3 fois ; à chaque tour, on appelle « Motif » exactement une fois.
  
  Le bloc « Motif » est donc exécuté 3 fois.
2. La variable « côté » est mise à jour après le tracé de chaque Motif, dans la boucle. On obtient successivement :
  - au départ : $ \text{côté} = 80 $ ;
  - après le 1ᵉʳ tour : $ \text{côté} = 80 \times 1{,}2 = 96 $ ;
  - après le 2ᵉ tour : $ \text{côté} = 96 \times 1{,}2 = 115{,}2 $ ;
  - après le 3ᵉ tour : $ \text{côté} = 115{,}2 \times 1{,}2 = 138{,}24 $.
  À la fin du script, la variable « côté » vaut 138,24.

Scratch – Hexagone et triangles équilatéraux – Brevet Asie 2025

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue.

Remarque

Rappel. L'instruction « s'orienter à 90 » signifie que le lutin se dirige vers la droite.

Partie A

Un élève souhaite tracer un hexagone à partir de 6 triangles équilatéraux comme sur la figure ci-dessous.

Hexagone régulier décomposé en 6 triangles équilatéraux assemblés autour de son centre

Pour cela, il commence par écrire le script ci-dessous du motif « triangle équilatéral » :

Bloc Scratch incomplet définissant triangle équilatéral : ligne 1 définir triangle équilatéral, ligne 2 répéter ... fois (à compléter), ligne 3 avancer de ... pas (à compléter), ligne 4 tourner de ... degrés (à compléter)

Compléter et recopier sur la copie les lignes 2, 3 et 4 du script pour que le lutin dessine un triangle équilatéral de côté 50 pas.
Cet élève teste les deux programmes A et B. Il obtient les deux dessins ci-dessous. Quel programme permet de tracer l'hexagone souhaité ?

Programme A :

Programme B :

Partie B

Un autre élève souhaite tracer un hexagone régulier de 50 pas de côté.

Informations sur les hexagones réguliers : tous les côtés ont la même longueur ; les six angles intérieurs sont égaux et mesurent 120°.

Il a écrit le programme suivant :

Script Scratch incomplet : quand drapeau cliqué, aller à 0;0, s'orienter à 90, stylo en position d'écriture, effacer tout, répéter A fois (deux instructions à compléter)

Sur la copie, recopier le bloc « répéter » en remplaçant A par sa valeur et en le complétant avec 2 instructions choisies parmi les 6 instructions proposées ci-dessous :

avancer de 50 pas
tourner droite de 120 degrés
tourner droite de 60 degrés
avancer de 5 pas
tourner gauche de 120 degrés
tourner gauche de 60 degrés

Corrigé

Partie A

Pour tracer un triangle équilatéral, le lutin doit avancer trois fois de la longueur du côté et tourner d'un angle extérieur de $ 180° - 60° = 120° $ entre deux côtés.

Avec un côté de 50 pas, le bloc devient :
Pour assembler 6 triangles équilatéraux autour d'un même sommet et obtenir un hexagone, il faut que les 6 triangles se suivent angulairement de 60° (soit l'angle au sommet d'un triangle équilatéral). En effet, $ 6 \times 60° = 360° $, ce qui referme bien la figure.

C'est donc le programme A (avec « tourner de 60 degrés ») qui permet de tracer l'hexagone souhaité.

(Le programme B, qui tourne de 120° entre chaque triangle, ne permet de placer que 3 triangles distincts puisque $ 3 \times 120° = 360° $ : on revient au point de départ après seulement 3 itérations.)

Partie B

L'hexagone régulier de côté 50 pas a six côtés identiques. À chaque sommet, le lutin doit tourner d'un angle extérieur égal à $ 180° - 120° = 60° $.

On répète donc 6 fois la séquence « avancer de 50 pas, tourner droite de 60 degrés ».

Script Scratch complété : répéter 6 fois (avancer de 50 pas, tourner droite de 60 degrés)

A = 6 ; les deux instructions à insérer sont « avancer de 50 pas » et « tourner droite de 60 degrés ».

Vrai/Faux : Boucles et programmes de calcul dans Scratch

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, lire attentivement le programme Scratch proposé puis indiquer si l'affirmation est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère le programme Scratch suivant :

Programme Scratch A : boucle répéter pour calculer une somme

Affirmation : Ce programme affiche 15.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La boucle ajoute 3 à $s$ cinq fois : $s = 5 \times 3 = 15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La variable $s$ part de 0 et la boucle ajoute 3 à chaque passage.
Après 5 tours : $s = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La boucle ajoute 3 cinq fois à $s = 0$, donc $s = 15$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère le programme Scratch suivant :

Programme Scratch B : boucle répéter pour tracer un triangle

Affirmation : Ce programme trace un triangle équilatéral.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La boucle répète 3 fois : avancer de 80 pas, tourner de 120 degrés. Trois côtés égaux et trois angles de 120 degrés (angle extérieur d'un triangle équilatéral) forment bien un triangle équilatéral.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans Scratch, l'angle de rotation est l'angle extérieur du polygone.
Pour un triangle équilatéral, l'angle extérieur vaut $\dfrac{360}{3} = 120$ degrés. Avec 3 répétitions de « avancer + tourner de 120° », on trace bien un triangle équilatéral.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. 3 côtés de 80 pas avec un angle de $120° = \dfrac{360°}{3}$ forment un triangle équilatéral.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère le même programme que précédemment, mais on remplace 120 par 90 :

Programme Scratch B modifié : boucle répéter 3 fois avec angle de 90 degrés

Affirmation : Ce programme modifié trace un carré.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Un carré a 4 côtés, mais la boucle ne répète que 3 fois. Ce programme ne trace que trois côtés d'un carré : la figure n'est pas fermée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'angle de 90° est correct pour un carré ($\dfrac{360}{4} = 90$), mais la boucle ne fait que 3 tours.
Pour tracer un carré complet, il faudrait « répéter 4 fois ». Ici, il manque un côté.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'angle est correct pour un carré, mais la boucle ne répète que 3 fois au lieu de 4 : la figure n'est pas fermée.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère le programme Scratch suivant :

Programme Scratch C : programme de calcul x² - 2x + 1

Affirmation : Ce programme calcule l'expression $2x^2 - x + 1$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Suivons le programme : résultat $= x \times x = x^2$, puis on ajoute $-2 \times x$, puis on ajoute 1.
L'expression calculée est $x^2 - 2x + 1$, pas $2x^2 - x + 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut lire attentivement chaque bloc.
Le premier calcul donne $x \times x = x^2$ (pas $2x^2$). Ensuite on ajoute $-2 \times x$ (pas $-x$). L'expression complète est $x^2 - 2x + 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le programme calcule $x^2 - 2x + 1$ (et non $2x^2 - x + 1$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère le programme Scratch suivant :

Programme Scratch D : boucle répéter jusqu'à pour calculer une factorielle

Affirmation : Ce programme affiche le résultat de $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La boucle multiplie produit successivement par $n = 1, 2, 3, 4, 5$, ce qui donne $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Déroulons la boucle pas à pas.
$n = 1$ : produit $= 1 \times 1 = 1$, $n$ passe à 2.
$n = 2$ : produit $= 1 \times 2 = 2$, $n$ passe à 3.
$n = 3$ : produit $= 2 \times 3 = 6$, $n$ passe à 4.
$n = 4$ : produit $= 6 \times 4 = 24$, $n$ passe à 5.
$n = 5$ : produit $= 24 \times 5 = 120$, $n$ passe à 6 ($> 5$, on s'arrête).
Le programme affiche bien $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La boucle calcule $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère le même programme que précédemment.

Affirmation : Si on oublie le bloc « mettre produit à 1 » au début, le programme affiche le même résultat.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Sans l'initialisation, la variable produit conserve sa valeur précédente (qui peut être n'importe quoi). Le résultat dépend alors de l'exécution précédente et sera généralement faux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'initialisation des variables est indispensable avant une boucle.
Sans « mettre produit à 1 », la variable garde sa valeur de l'exécution précédente. Si on avait lancé le programme avant, produit vaudrait 120 et le résultat serait $120 \times 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 14400$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Sans initialisation, la variable produit garde son ancienne valeur et le résultat est imprévisible.
[/solution]
[/etape]

Triangles équilatéraux et variable – Brevet Amérique du Sud 2025

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue

Une élève utilise un logiciel de programmation pour réaliser des dessins à partir d'un triangle équilatéral. Elle crée le bloc « triangle » ci-contre.

Bloc triangle : définir triangle, stylo en position d'écriture, répéter ... fois, avancer de côté pas, tourner droite de ... degrés

Sur la copie, recopier et compléter les lignes 3 et 5 du bloc « triangle » afin qu'il dessine un triangle équilatéral.

Elle utilise maintenant le bloc « triangle » pour l'intégrer dans différents programmes.
Associer chaque programme au dessin qu'il permet de réaliser.
On indiquera sur la copie le numéro du dessin et la lettre du programme associé.

On rappelle que l'instruction

permet de s'orienter vers la droite.
On s'intéresse maintenant au programme ci-dessous. En prenant 1 cm pour 10 pas, construire sur la copie le dessin obtenu lorsque le programme s'exécute.

Corrigé

Un triangle équilatéral a 3 côtés, donc la boucle se répète 3 fois (ligne 3).

L'angle extérieur d'un triangle équilatéral vaut $ 120° $, donc le lutin tourne de 120 degrés (ligne 5).

Le bloc complété :
Analysons chaque programme :

Programme A : le lutin trace un triangle, puis tourne de $ 90° $ à droite, trace un nouveau triangle orienté différemment, et ainsi de suite 4 fois. Les 4 triangles sont tracés depuis le même point de départ avec des orientations à $ 90° $ l'une de l'autre. Cela forme une étoile à 4 branches.
Le programme A correspond au dessin 2.

Programme B : le lutin trace un triangle, puis avance de « côté » pas (soit 20 pas) vers la droite, trace un nouveau triangle, avance encore, etc. Les 4 triangles sont alignés côte à côte, mais séparés d'un espace car le lutin avance d'un côté entier après chaque triangle. Comme le bloc « triangle » ramène le lutin au point de départ du triangle (car $ 3 \times 120° = 360° $), l'avance de 20 pas décale le départ du triangle suivant.
Le programme B correspond au dessin 1.
Le programme trace 4 triangles équilatéraux depuis le même point de départ (le lutin revient à sa position initiale après chaque triangle). A chaque itération, la variable « côté » est multipliée par 2 :
- 1er triangle : côté = 20 pas, soit 2 cm
- 2e triangle : côté = $ 20 \times 2 = 40 $ pas, soit 4 cm
- 3e triangle : côté = $ 40 \times 2 = 80 $ pas, soit 8 cm
- 4e triangle : côté = $ 80 \times 2 = 160 $ pas, soit 16 cm
On obtient 4 triangles équilatéraux imbriqués, tous partant du même sommet, de côtés 2 cm, 4 cm, 8 cm et 16 cm.

Scripts et spirale de rectangles – Brevet Nouvelle-Calédonie 2025

Associer à chaque script ci-dessous la figure qui lui correspond.
Sur la copie, indiquer le numéro du script et la figure correspondante.

Le script ci-dessous commande la construction de la figure D.
Compléter le script sur l'annexe 2 qui commande la construction de la figure E.

Corrigé

Analysons chaque script. Les trois scripts répètent 3 fois « avancer de 100 pas » puis « tourner à gauche ». Seul l'angle de rotation change.

Script 1 : l'angle de rotation est $ 60° $. Tourner à gauche de $ 60° $ trois fois donne un angle total de $ 3 \times 60° = 180° $. Le lutin trace 3 segments en tournant peu à chaque fois : il dessine un tracé ouvert en forme de chevron. Le script 1 correspond à la figure C.

Script 2 : l'angle de rotation est $ 90° $. Tourner à gauche de $ 90° $ trois fois donne $ 3 \times 90° = 270° $. Le lutin trace 3 côtés d'un carré (il manque le 4e côté). Le script 2 correspond à la figure A.

Script 3 : l'angle de rotation est $ 120° $. Comme $ 3 \times 120° = 360° $, le lutin fait un tour complet et trace un triangle équilatéral fermé. Le script 3 correspond à la figure B.
En observant la figure D, la spirale est tracée avec des segments dont la longueur augmente de 20 pas à chaque étape : 20, 40, 60, 80...

Le lutin tourne toujours de $ 90° $ à gauche et la longueur augmente de 20 à chaque segment.

Pour la figure E, on observe 8 segments (la spirale fait deux tours complets, soit $ 2 \times 4 = 8 $ segments).

Le script complété :

Les valeurs à compléter sont :
- mettre longueur à 20 (valeur initiale du premier segment)
- répéter 8 fois (nombre de segments de la spirale E)
- ajouter 20 à longueur (incrément constant entre chaque segment)

Motifs géométriques et probabilité – Brevet Amérique du Nord 2025

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue

Partie 1 : les motifs

On définit trois scripts :

Script 1 : définir Motif 1, stylo en position d'écriture, répéter 3 fois avancer de 30 pas tourner droite de 120 degrés, relever le stylo

Script 2 : définir Motif 2, stylo en position d'écriture, répéter 6 fois avancer de 30 pas tourner droite de 60 degrés, relever le stylo

Script 3 : définir Motif 3, stylo en position d'écriture, répéter 2 fois avancer de 30 pas puis partie effacée, relever le stylo

Les scripts 1 et 2 permettent chacun d'obtenir un des dessins ci-dessous. Associer chacun des scripts à son dessin.
Le script 3 permet d'obtenir le losange ci-dessous.
La partie du script effacée contient les 3 instructions A, B et C ci-dessous.
Sur votre copie, recopier dans le bon ordre les instructions cachées. Chaque instruction ne doit être utilisée qu'une seule fois.

Partie 2 : le script principal

Script principal : quand drapeau cliqué, aller à x:-200 y:0, effacer tout, s'orienter à 90, mettre Motif à nombre aléatoire entre 1 et 3, si Motif=3 alors répéter 6 fois Motif 3 avancer de 60 pas, dire Voici le dessin, sinon dire Perdu

Rappels :

« nombre aléatoire entre 1 et 3 » donne un nombre entier au hasard parmi 1 ; 2 et 3.
« s'orienter à 90 » oriente le lutin horizontalement vers la droite.

Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ?

Parmi les 5 captures d'écran proposées ci-dessous, seules deux sont possibles. Lesquelles ?

Capture d'écran	Résultat
Capture n°1	Voici le dessin ! (6 losanges en frise, accolés, inclinés)
Capture n°2	Voici le dessin ! (7 losanges séparés régulièrement)
Capture n°3	Perdu !
Capture n°4	Voici le dessin ! (3 losanges séparés)
Capture n°5	Voici le dessin ! (hexagone formé de 6 losanges)

On clique sur le drapeau vert, et on observe le message affiché.
Quelle est la probabilité que le message affiché soit « Voici le dessin ! » ?
On lance de nouveau le programme 100 fois et on regroupe les résultats obtenus dans le tableau suivant :

Message du lutin « Voici le dessin ! » « Perdu ! »

Effectif 40 60
1. Calculer la fréquence de l'affichage « Voici le dessin ! ».
2. Pourquoi ce résultat est-il différent de celui obtenu à la question 5 ?

Message du lutin	« Voici le dessin ! »	« Perdu ! »
Effectif	40	60

Corrigé

Partie 1 : les motifs

Le script 1 répète 3 fois « avancer de 30 pas » et « tourner de 120° ». Comme l'angle extérieur d'un triangle équilatéral vaut $ 120° $, le script 1 trace un triangle équilatéral.

Le script 2 répète 6 fois « avancer de 30 pas » et « tourner de 60° ». Comme l'angle extérieur d'un hexagone régulier vaut $ 60° $, le script 2 trace un hexagone régulier.

Donc : le script 1 correspond au dessin 2 (triangle) et le script 2 correspond au dessin 1 (hexagone).
Le losange a deux angles de $ 120° $ et deux angles de $ 60° $.

Le lutin part vers la droite (orientation 90°). Il avance de 30 pas (premier côté horizontal). Ensuite, il doit tourner pour tracer le côté qui monte : l'angle extérieur est $ 180° - 120° = 60° $, donc il tourne à droite de $ 60° $. Puis il avance de 30 pas. Ensuite, il tourne de $ 120° $ pour le côté qui redescend, puis avance de 30 pas, et enfin tourne de $ 60° $ pour revenir à l'horizontale.

La boucle « répéter 2 fois » contient déjà « avancer de 30 pas » en première instruction. Les 3 instructions cachées complètent chaque itération.

L'ordre est : Instruction A (tourner de 60°), Instruction C (avancer de 30 pas), Instruction B (tourner de 120°).

Le script 3 complet :

Partie 2 : le script principal

Le bloc « aller à x : -200 y : 0 » indique les coordonnées du point de départ.

Les coordonnées du point de départ sont $\mathbf{(-200\,;\,0)}$.
Le programme tire un nombre aléatoire entre 1 et 3 :
- Si Motif = 3 : le programme trace 6 losanges (Motif 3) en avançant de 60 pas entre chaque losange, et affiche « Voici le dessin ! »
- Sinon (Motif = 1 ou Motif = 2) : le programme affiche « Perdu ! » sans rien dessiner
Quand Motif = 3, les 6 losanges sont tracés côte à côte en avançant de 60 pas (soit 2 fois la longueur du côté horizontal du losange, $ 30 \times 2 = 60 $). Cela produit une frise de 6 losanges accolés (capture n°1).

Quand Motif = 1 ou 2, le programme affiche seulement « Perdu ! » (capture n°3).

Les deux captures possibles sont la capture n°1 et la capture n°3.
Le nombre aléatoire est tiré parmi 1, 2 et 3 avec la même probabilité pour chaque valeur. Le message « Voici le dessin ! » s'affiche uniquement quand Motif = 3, soit dans 1 cas sur 3.

La probabilité est $\mathbf{\dfrac{1}{3}}$.
1. Sur 100 lancers, le message « Voici le dessin ! » est apparu 40 fois.
  
  La fréquence est :
  $ \dfrac{40}{100} = 0{,}4 $
  
  La fréquence d'affichage de « Voici le dessin ! » est $\mathbf{0{,}4}$ (soit $ 40\,\% $).
2. La probabilité théorique est $ \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 $ alors que la fréquence observée est $ 0{,}4 $. Ces deux valeurs sont différentes car la fréquence est un résultat expérimental : elle dépend du hasard et fluctue d'une série d'expériences à l'autre. Plus le nombre de lancers augmente, plus la fréquence tend à se rapprocher de la probabilité théorique.

Tracer une spirale carrée

On souhaite tracer une spirale carrée dans Scratch. Le principe est le suivant : le lutin trace un segment, tourne de $ 90° $, puis trace un segment un peu plus long, et ainsi de suite.

Voici le programme proposé :

Programme Scratch : spirale carrée avec variable longueur croissante

Voici le début de la spirale obtenue avec ce programme (les nombres indiquent la longueur de chaque segment en pas) :

Début de la spirale carrée : 8 segments de longueur croissante formant deux tours

Recopier et compléter le tableau suivant pour les 6 premiers passages dans la boucle :

Passage	Longueur du segment tracé	Longueur après ajout
1	...	...
2	...	...
3	...	...
4	...	...
5	...	...
6	...	...

Exprimer la longueur du segment tracé au $ k $-ième passage dans la boucle, en fonction de $ k $.
Quelle est la longueur du dernier segment tracé (au 12e passage) ?
Calculer la longueur totale parcourue par le lutin (somme de tous les segments tracés).
Modifier le programme pour obtenir une spirale triangulaire. Préciser la valeur de l'angle de rotation et dessiner l'allure de la figure obtenue sur les 6 premiers segments.

Corrigé

À chaque passage, le lutin avance de la longueur courante, puis la longueur augmente de 10.

Passage	Longueur du segment tracé	Longueur après ajout
1	20	30
2	30	40
3	40	50
4	50	60
5	60	70
6	70	80

Au premier passage, la longueur est 20. À chaque passage suivant, elle augmente de 10. Au $ k $-ième passage, la longueur est :

$\mathbf{\ell_k = 20 + (k - 1) \times 10 = 10k + 10}$

On vérifie : pour $ k = 1 $, $ \ell_1 = 10 + 10 = 20 $. Pour $ k = 2 $, $ \ell_2 = 20 + 10 = 30 $. Les valeurs correspondent au tableau.
Au 12e passage :
$ \ell_{12} = 10 \times 12 + 10 = 130 $
Le dernier segment mesure 130 pas.
La longueur totale est la somme de tous les segments :
$ S = 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 100 + 110 + 120 + 130 $

On regroupe les termes par paires symétriques :
$ S = (20 + 130) + (30 + 120) + (40 + 110) + (50 + 100) + (60 + 90) + (70 + 80) $
$ S = 150 \times 6 = 900 $

La longueur totale parcourue est de 900 pas.
Une spirale triangulaire s'enroule autour d'un triangle. Comme pour les polygones réguliers, l'angle de rotation est :
$ 360 \div 3 = 120 $
On remplace donc « tourner de 90 degrés » par « tourner de 120 degrés ».

Voici l'allure de la figure obtenue sur les 6 premiers segments :

Pour réviser : Dessiner une figure géométrique avec Scratch

Tracer des polygones réguliers avec Scratch

On souhaite tracer un triangle équilatéral de 120 pas de côté à l'aide de Scratch.

Un triangle équilatéral possède trois côtés égaux. À chaque sommet, le lutin doit tourner d'un certain angle. Sachant que les angles de rotation doivent permettre au lutin de faire un tour complet ($ 360° $), calculer la valeur de cet angle.
Compléter le programme Scratch ci-dessous en remplaçant les pointillés par les valeurs correctes :
Modifier ce programme pour tracer un hexagone régulier de 80 pas de côté. Préciser les nouvelles valeurs.

Corrigé

Le lutin doit effectuer un tour complet, soit $ 360° $, réparti en 3 rotations égales :
$ 360 \div 3 = 120 $
L'angle de rotation à chaque sommet est de $\mathbf{120°}$.
Le programme complété :

On répète 3 fois (un triangle a 3 côtés), on avance de 120 pas (longueur du côté) et on tourne de $\mathbf{120°}$.
Un hexagone régulier possède 6 côtés. L'angle de rotation est :
$ 360 \div 6 = 60 $

On modifie le programme : répéter 6 fois, avancer de 80 pas, tourner de $\mathbf{60°}$.

Pour réviser : Dessiner une figure géométrique avec Scratch