Loi donnée : espérance, variance et écart-type

La somme des probabilités vaut :

$0{,}1 + 0{,}25 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}15 = 1$

Toutes les probabilités sont comprises entre $0$ et $1$ et leur somme vaut $1$ : le tableau définit bien une loi de probabilité.

L'espérance est la somme des produits de chaque valeur par sa probabilité :

$E(X) = (-3) \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}25 + 2 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}2 + 7 \times 0{,}15$

$E(X) = -0{,}3 + 0 + 0{,}6 + 0{,}8 + 1{,}05$

On utilise la formule $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$, avec $E(X^2) = \sum p_i x_i^2$ :

$E(X^2) = (-3)^2 \times 0{,}1 + 0^2 \times 0{,}25 + 2^2 \times 0{,}3 + 4^2 \times 0{,}2 + 7^2 \times 0{,}15$

$E(X^2) = 0{,}9 + 0 + 1{,}2 + 3{,}2 + 7{,}35 = 12{,}65$

On applique alors la formule :

$V(X) = 12{,}65 - 2{,}15^2 = 12{,}65 - 4{,}6225$

L'écart-type est la racine carrée de la variance :

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{8{,}0275}$