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Trigonométrie Exercices

Cosinus et sinus d’angles associés

Durée estimée
5 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

Calculer la valeur exacte du cosinus et du sinus de chacun des réels suivants en se ramenant à une valeur remarquable.

  1. $ \dfrac{2\pi}{3} $

    $ -\dfrac{\pi}{4} $

    $ \dfrac{7\pi}{6} $

    $ \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6} $

    $ \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3} $

Corrigé

On utilise les formules des angles associés, qui ramènent chaque calcul à une valeur remarquable du tableau ($ \dfrac{\pi}{6} $, $ \dfrac{\pi}{4} $, $ \dfrac{\pi}{3} $).

  1. On écrit l'angle sous la forme $ \pi-a $ :

    $ \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{3\pi-\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3} $

    Avec les formules $ \cos(\pi-x)=-\cos(x) $ et $ \sin(\pi-x)=\sin(x) $ appliquées à $ a=\dfrac{\pi}{3} $ :

    $ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2} $

    $ \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

    D'où $\mathbf{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}}$ et $\mathbf{\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$.

    L'angle $ -\dfrac{\pi}{4} $ est de la forme $ -a $ avec $ a=\dfrac{\pi}{4} $.

    Avec les formules $ \cos(-x)=\cos(x) $ et $ \sin(-x)=-\sin(x) $ :

    $ \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

    $ \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

    D'où $\mathbf{\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$ et $\mathbf{\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$.

    On écrit l'angle sous la forme $ \pi+a $ :

    $ \dfrac{7\pi}{6}=\dfrac{6\pi+\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6} $

    Avec les formules $ \cos(\pi+x)=-\cos(x) $ et $ \sin(\pi+x)=-\sin(x) $ appliquées à $ a=\dfrac{\pi}{6} $ :

    $ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

    $ \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2} $

    D'où $\mathbf{\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$ et $\mathbf{\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}}$.

    L'angle est de la forme $ \dfrac{\pi}{2}-a $ avec $ a=\dfrac{\pi}{6} $.

    Avec les formules $ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x) $ et $ \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x) $ :

    $ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2} $

    $ \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

    D'où $\mathbf{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}}$ et $\mathbf{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$.

    L'angle est de la forme $ \dfrac{\pi}{2}+a $ avec $ a=\dfrac{\pi}{3} $.

    Avec les formules $ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x) $ et $ \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x) $ :

    $ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

    $ \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} $

    D'où $\mathbf{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$ et $\mathbf{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}$.

Remarque

Plutôt que de mémoriser toutes les formules, on peut placer le point image sur le cercle trigonométrique : l'abscisse donne le cosinus et l'ordonnée donne le sinus. Le cadran indique alors directement les signes, et la symétrie avec un angle remarquable du premier cadran donne la valeur absolue. La méthode des angles associés détaille cette démarche.