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Trigonométrie Exercices

Fonctions cosinus et sinus : parité et périodicité

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

  1. Déterminer la valeur exacte de chacun des réels suivants.

    1. $ \cos\left( - \dfrac{\pi }{4}\right) $
    2. $ \sin\left( - \dfrac{\pi }{3}\right) $
    3. $ \cos\left(\dfrac{13\pi }{6}\right) $
    4. $ \sin\left( - \dfrac{13\pi }{6}\right) $

  2. Soit $ \alpha $ un réel tel que $ \sin\left(\alpha \right)=\dfrac{1}{4} $ et $ \cos\left(\alpha \right)=\dfrac{\sqrt{15}}{4} $. Exprimer chacun des réels suivants en fonction des données.

    1. $ \sin\left( - \alpha \right) $
    2. $ \cos\left( - \alpha \right) $
    3. $ \sin\left(\alpha +2\pi \right) $
    4. $ \cos\left(\alpha - 2\pi \right) $

  3. Le repère ci-dessous représente les fonctions cosinus et sinus. L'une des courbes est notée $ \mathcal{C}_{1} $, l'autre $ \mathcal{C}_{2} $.

    Courbes des fonctions cosinus et sinus dans un repère
    1. Indiquer quelle courbe représente la fonction cosinus et laquelle représente la fonction sinus.
    2. Justifier la réponse à l'aide de deux propriétés des fonctions cosinus et sinus.

Corrigé

    1. La fonction cosinus est paire, donc $ \cos\left( - x\right)=\cos\left(x\right) $ pour tout réel $ x $.

      $ \cos\left( - \dfrac{\pi }{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi }{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

      D'où $ \cos\left( - \dfrac{\pi }{4}\right)=\mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} $.

    2. La fonction sinus est impaire, donc $ \sin\left( - x\right)= - \sin\left(x\right) $ pour tout réel $ x $.

      $ \sin\left( - \dfrac{\pi }{3}\right)= - \sin\left(\dfrac{\pi }{3}\right)= - \dfrac{\sqrt{3}}{2} $

      D'où $ \sin\left( - \dfrac{\pi }{3}\right)=\mathbf{ - \dfrac{\sqrt{3}}{2}} $.

    3. On utilise la périodicité de la fonction cosinus, de période $ 2\pi $ : $ \cos\left(x+2\pi \right)=\cos\left(x\right) $.

      Comme $ \dfrac{13\pi }{6}=\dfrac{\pi }{6}+2\pi $, on a :

      $ \cos\left(\dfrac{13\pi }{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi }{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

      D'où $ \cos\left(\dfrac{13\pi }{6}\right)=\mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} $.

    4. La fonction sinus est impaire, puis on utilise sa périodicité.

      $ \sin\left( - \dfrac{13\pi }{6}\right)= - \sin\left(\dfrac{13\pi }{6}\right)= - \sin\left(\dfrac{\pi }{6}+2\pi \right)= - \sin\left(\dfrac{\pi }{6}\right)= - \dfrac{1}{2} $

      D'où $ \sin\left( - \dfrac{13\pi }{6}\right)=\mathbf{ - \dfrac{1}{2}} $.

    1. La fonction sinus est impaire : $ \sin\left( - \alpha \right)= - \sin\left(\alpha \right) $.

      $ \sin\left( - \alpha \right)=\mathbf{ - \dfrac{1}{4}} $

    2. La fonction cosinus est paire : $ \cos\left( - \alpha \right)=\cos\left(\alpha \right) $.

      $ \cos\left( - \alpha \right)=\mathbf{\dfrac{\sqrt{15}}{4}} $

    3. Par périodicité de la fonction sinus : $ \sin\left(\alpha +2\pi \right)=\sin\left(\alpha \right) $.

      $ \sin\left(\alpha +2\pi \right)=\mathbf{\dfrac{1}{4}} $

    4. Par périodicité de la fonction cosinus : $ \cos\left(\alpha - 2\pi \right)=\cos\left(\alpha \right) $.

      $ \cos\left(\alpha - 2\pi \right)=\mathbf{\dfrac{\sqrt{15}}{4}} $

    1. La courbe $ \mathcal{C}_{1} $ représente la fonction cosinus et la courbe $ \mathcal{C}_{2} $ représente la fonction sinus.

    2. Première propriété : pour tout réel $ x $, $ \cos\left( - x\right)=\cos\left(x\right) $ (fonction paire) alors que $ \sin\left( - x\right)= - \sin\left(x\right) $ (fonction impaire). La courbe $ \mathcal{C}_{1} $ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui correspond à une fonction paire : c'est donc la courbe de la fonction cosinus. La courbe $ \mathcal{C}_{2} $ est symétrique par rapport à l'origine, ce qui correspond à une fonction impaire : c'est donc la courbe de la fonction sinus.

      Deuxième propriété : $ \cos\left(0\right)=1 $ tandis que $ \sin\left(0\right)=0 $. La courbe $ \mathcal{C}_{1} $ passe par le point de coordonnées $ \left(0 ; 1\right) $, c'est bien la courbe de la fonction cosinus ; la courbe $ \mathcal{C}_{2} $ passe par l'origine, c'est bien la courbe de la fonction sinus.