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Nombre dérivé - Fonction dérivée Exercices

Coût marginal

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

Une entreprise fabrique des objets dont le coût de production s'exprime en fonction de la quantité $ q $ par :

$ C\left(q\right)=q^{3} - 450q^{2}+3000q+10000 $

Le coût marginal pour une quantité $ q $ produite est égal au coût de fabrication d'une unité supplémentaire : $ C_{m}\left(q\right)=C\left(q+1\right) - C\left(q\right) $

  1. Calculer le coût marginal $ C_{m}\left(q\right) $.
  2. Calculer $ C^{\prime}\left(q\right) $.
    1. Calculer $ E\left(q\right)=C^{\prime}\left(q\right) - C_{m}\left(q\right) $.

      $ E\left(q\right) $ représente l'erreur commise lorsqu'on assimile le coût marginal $ C_{m}\left(q\right) $ à $ C^{\prime}\left(q\right) $.
    2. A partir de combien d'unités produites cette erreur est-elle inférieure à 0,01 ?

  Indication Pour calculer $ \left(q+1\right)^{3} $, calculer $ \left(q+1\right)^{2} $ puis $ \left(q+1\right)^{2}\times \left(q+1\right) $

Corrigé

  1. Le coût marginal pour une quantité $q$ produite est :

    $ C_{m}\left(q\right)=C\left(q+1\right) - C\left(q\right) $

    D'après l'énoncé :

    $ C\left(q\right)=q^{3} - 450q^{2}+3000q+10000 $

    On calcule $C(q+1)$ :
    $ C(q+1) = (q+1)^{3} - 450(q+1)^{2}+3000(q+1)+10000 $
    $ C(q+1) = (q^3 + 3q^2 + 3q + 1) - 450(q^2 + 2q + 1) + 3000q + 3000 + 10000 $
    $ C(q+1) = q^3 + 3q^2 + 3q + 1 - 450q^2 - 900q - 450 + 3000q + 3000 + 10000 $
    $ C(q+1) = q^3 - 447q^2 + 2103q + 12551 $

    Ainsi :
    $ C_m(q) = (q^3 - 447q^2 + 2103q + 12551) - (q^3 - 450q^2 + 3000q + 10000) $
    $ C_m(q) = q^3 - 447q^2 + 2103q + 12551 - q^3 + 450q^2 - 3000q - 10000 $

    $ C_m(q) = 3q^2 - 897q + 2551 $

  2. $C(q)$ est une fonction polynôme, elle est dérivable sur $[0;+\infty[$.
    $ C^{\prime}(q) = 3q^2 - 450 \times 2q + 3000 $

    $ C^{\prime}(q) = 3q^2 - 900q + 3000 $

    1. On calcule $E(q) = C^{\prime}(q) - C_m(q)$ :
      $ E(q) = (3q^2 - 900q + 3000) - (3q^2 - 897q + 2551) $
      $ E(q) = 3q^2 - 900q + 3000 - 3q^2 + 897q - 2551 $

      $ E(q) = -3q + 449 $

    2. On cherche $q$ tel que $E(q) < 0,01$ :
      $ -3q + 449 < 0,01 $
      $ 449 - 0,01 < 3q $
      $ 448,99 < 3q $
      $ q > \dfrac{448,99}{3} \approx 149,66 $

      L'erreur est inférieure à $0{,}01$ à partir de 150 unités produites.