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Fonctions affines Exercices

Comparaison de tarifs

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20 minutes
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Objectifs travaillés

Sylvie souhaite s'inscrire à un club d'aquagym pour une année.
Le club propose trois formules tarifaires différentes :

  • Formule « à la séance » : 12 € la séance
  • Formule « carte » : 90 € par carte de 10 séances
  • Formule « abonnement » : cotisation de 50 € puis 5 € par séance.

  1. Montrer que le coût total pour 8 séances est :

    • 96 € avec la formule « à la séance »
    • 90 € avec la formule « carte »
    • 90 € avec la formule « abonnement ».
  2. Sylvie souhaite participer à 30 séances sur l'année. Quelle formule est la plus avantageuse ?
  3. Angélique s'inscrit également à ce club mais elle ne sait pas à l'avance à combien de séances elle va participer.
    Elle souhaite cependant comparer les formules « à la séance » et « abonnement ».
    Soit $ x $ le nombre de séances auxquelles Angélique participera.
    Exprimer en fonction de $ x $ le coût total si elle choisit la formule « à la séance » puis le coût total si elle choisit la formule « abonnement ».
  4. À partir de combien de séances la formule « abonnement » est-elle plus avantageuse que la formule « à la séance » ?
  5. On note $ f $ la fonction qui à $ x $ associe $ 12x $ et $ g $ la fonction qui a $ x $ associe $ 5x +50 $.
    La fonction $ f $ est-elle une linéaire ? affine ?
    Mêmes questions pour la fonction $ g $.
  6. Représenter les fonctions $ f $ et $ g $ dans un repère orthogonal en prenant pour unités 1 cm en abscisses et 1 mm en ordonnées.
    Retrouver le résultat de la question 5 à l'aide de ce graphique.

Corrigé

  1. Calculons le coût total pour 8 séances :

    • Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera 12 euros par séance donc au total :
      $ 8\times 12=96 $ euros.
    • Avec la formule « carte », Sylvie devra acheter une carte qui lui coûtera $ 90 $ euros (et il lui restera deux séances inutilisées).
    • Avec la formule « abonnement », Sylvie paiera une cotisation de 50 euros puis 5 euros par séance soit au total :
      $ 50+8\times 5=50+40=90 $ euros.

  2. Le calcul est similaire pour 30 séances :

    • Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera au total :
      $ 30\times 12=360 $ euros.
    • Avec la formule « carte », Sylvie devra acheter trois cartes qui lui coûteront $ 3\times 90=270 $ euros.
    • Avec la formule « abonnement », Sylvie paiera au total :
      $ 50+30\times 5=50+150=200 $ euros.

    Pour 30 séances, la formule « abonnement » est la plus avantageuse.

  3. Pour $ x $ séances :

    • Avec la formule « à la séance » : Angélique paiera au total :
      $ 12\times x=12x $ euros.
    • Avec la formule « abonnement », Angélique paiera au total :
      $ 50+x\times 5=50+5x $ euros.
  4. La formule « abonnement » est plus avantageuse que la formule « à la séance » dès lors que :
    $ 50+5x \lt 12x $
    On soustrait $ 5x $ à chaque membre de l'inéquation :
    $ 50 \lt 7x $
    On divise chaque membre par 7 :
    $ \dfrac{50}{7} \lt x $
    Comme $ \dfrac{50}{7} \approx 7{,}1 $, la formule « abonnement » sera plus intéressante à partir de 8 séances.
  5. La fonction $ f $ est : $ x \longmapsto 12x $.
    Elle est de la forme :$ x \longmapsto ax $ ; c'est donc une fonction linéaire et également une fonction affine (puisque les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières).
    La fonction $ g $ est : $ x \longmapsto 5x +50 $.
    Elle est de la forme :$ x \longmapsto ax+b $ mais n'est pas de la forme : $ x \longmapsto ax $; c'est donc une fonction affine mais non linéaire.

  6. La fonction $ f $ est linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Il suffit d'un second point pour tracer cette droite ; par exemple le point de coordonnées $ (1;12) $ puisque $ f(1)=12 $.
    La fonction $ g $ est affine et non linéaire. Sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine. Il suffit de deux points pour tracer cette droite ; par exemple les points de coordonnées $ (0;50) $ et $ (1;55) $ puisque $ g(0)=50 $ et $ g(1)=55 $.
    On obtient le graphique suivant :

    Comparaison de tarifs

    La fonction $ f $ représente le coût de la formule « à la séance » et la fonction $ g $ représente le coût de la formule « abonnement ». La droite de $ f $ passe par l'origine : c'est une fonction linéaire. La droite de $ g $ ne passe pas par l'origine : c'est une fonction affine non linéaire. On retrouve bien graphiquement les résultats de la question 5. De plus, les deux droites se croisent pour $ x = 8 $ séances environ, ce qui confirme le résultat de la question 4.