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Théorème de Thalès Exercices

Réciproque du théorème de Thalès (Brevet 2013)

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

(D'après Brevet Pondichéry 2013)

On considère la figure ci-dessous :

Figure pour la réciproque du théorème de Thalès : points A, B sur une droite horizontale en haut, D, C sur une droite horizontale en bas, O point d'intersection des diagonales AC et BD
  1. On donne :

    $ OA=2{,}8 $cm
    $ OB=2 $cm
    $ OC=5 $cm
    $ OD=3{,}5 $cm.

    Les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont-elles parallèles ?
  2. On donne :

    $ OA=4 $cm
    $ OB=2{,}8 $cm
    $ OC=6 $cm
    $ OD=4{,}2 $cm.

    Les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont-elles parallèles ?

Corrigé

Méthode

Pour savoir si les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont parallèles, on calcule séparément les rapports $ \dfrac{OA}{OC} $ et $ \dfrac{OB}{OD} $.

Si ces deux rapports sont égaux, les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès. Sinon, les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ ne sont pas parallèles.

  1. Pour la question 1. :

    $ \dfrac{OA}{OC}=\dfrac{2{,}8}{5}=0{,}56 $

    $ \dfrac{OB}{OD}=\dfrac{2}{3{,}5}=\dfrac{4}{7} \approx 0{,}571 $

    $ \dfrac{OA}{OC} \neq \dfrac{OB}{OD} $ donc les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ ne sont pas parallèles.
  2. Pour la question 2. :

    $ \dfrac{OA}{OC}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $

    $ \dfrac{OB}{OD}=\dfrac{2{,}8}{4{,}2}=\dfrac{28}{42}=\dfrac{2}{3} $

    $ \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} $ donc les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.

Pour réviser : Déterminer si deux droites sont parallèles (Thalès)

Attention

Ne pas calculer de valeur approchée (par exemple $ 0{,}67 $) pour cette question ! On veut montrer que les rapports sont exactement égaux (et pas seulement qu'ils sont à peu près égaux).