[ROC] Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

D'après les prérequis, la dérivée de la fonction $ x\mapsto \text{exp}\left(x+a\right) $ est la fonction $ x\mapsto \text{exp}\left(x+a\right) $ (c'est à dire elle-même).

Par conséquent :

$ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{\text{exp}\left(x+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=f\left(x\right) $

(Remarque : pas besoin d'utiliser la formule $ \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^{2}} $ car le dénominateur est une constante)

$ f\left(0\right)=\dfrac{\text{exp}\left(0+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=1 $

La fonction $ f $ est égale à sa dérivée et vérifie $ f\left(0\right)=1 $. Or, d'après le prérequis a., la fonction exponentielle est la seule à vérifier ces deux conditions. Donc pour tout $ x \in \mathbb{R} $ :

$ f\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) $

En posant $ x=b $ on obtient :

$ f\left(b\right)=\dfrac{\text{exp}\left(b+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=\text{exp}\left(b\right) $

Par conséquent : $ \text{exp}\left(a+b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(b\right) $

Remarque

La formule précédente est vraie pour tous réels $ a $ et $ b $. Cela signifie qu'on va pouvoir remplacer $ a $ et$ b $ par n'importe quel nombre réel (opération que l'on fera souvent dans les questions qui suivent...)

En faisant $ b= - a $ dans l'égalité précédente on obtient :

$ \text{exp}\left(a - a\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - a\right) $

$ \text{exp}\left(0\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - a\right) $

$ 1=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - a\right) $

$ \dfrac{1}{\text{exp}\left(a\right)}=\text{exp}\left( - a\right) $

En remplaçant cette fois $ b $ par $ - b $ dans le résultat de la question 2. on obtient :

$ \text{exp}\left(a - b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - b\right) $

et d'après le résultat précédent : $ \text{exp}\left( - b\right)=\dfrac{1}{\text{exp}\left(b\right)} $

par conséquent :

$ \text{exp}\left(a - b\right)=\dfrac{\text{exp}\left(a\right)}{\text{exp}\left(b\right)} $

Initialisation : La propriété que l'on souhaite démontrer est vraie pour $ n=0 $ car :

$ \text{exp}\left(0a\right) = \text{exp}\left(0\right) = 1 $

$ \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{0} = 1 $ (n'importe quel réel non nul à la puissance zéro donne $ 1 $)

donc : $ \text{exp}\left(0a\right) =\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{0} $

Hérédité Supposons que pour un certain entier $ n $, $ \text{exp}\left(na\right) =\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $ («hypothèse de récurrence »)

Alors :

$ \text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\text{exp}\left(na+a\right)=\text{exp}\left(na\right)\times \text{exp}\left(a\right) $ d'après 2. $ \text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}\times \text{exp}\left(a\right) $ (d'après l'hypothèse de récurrence)

$ \text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n+1} $ (propriété des puissances)

Ceci montre par récurrence que pour tout $ n \in \mathbb{N} $ :

$ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $

$ \text{exp}\left( - na\right) = \dfrac{1}{\text{exp}\left(na\right)} $ (d'après 3.)

$ \text{exp}\left( - na\right) = \dfrac{1}{\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}} $ (d'après 4.)

$ \text{exp}\left( - na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{ - n} $ (propriété des puissances)

Soit $ n \in \mathbb{Z} $.

Si $ n\geqslant 0 $, $ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $ d'après 4. Si $ n < 0 $, on pose $ n= - n^{\prime} $ :

$ \text{exp}\left(na\right) = \text{exp}\left( - n^{\prime}a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{ - n^{\prime}} $ (d'après le calcul ci-dessus)

$ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $

Par conséquent, l'égalité $ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $ est vraie pour tout $ n \in \mathbb{Z} $