Équation trigonométrique (2)
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Remarque
Cet exercice utilise la formule de duplication $ \cos\left(2x\right)=2\cos^{2}\left(x\right) - 1 $, qui n'est pas au programme de Première. Elle est rappelée ici pour pouvoir traiter la question 2 : elle permet d'exprimer $ \cos(2x) $ en fonction de $ \cos(x) $ et de se ramener à l'équation du second degré de la question 1.
- Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'équation $ 2x^{2}+5x - 3=0 $
En déduire les solutions de l'équation $ \cos\left(2x\right)+5\cos\left(x\right) - 2=0 $ sur $ \mathbb{R} $.
Corrigé
$ \Delta = b^{2} - 4ac = 5^{2} - 4\times 2\times\left( - 3\right) = 49 $
Le discriminant est strictement positif donc l'équation possède 2 solutions :
$ x_{1} = \dfrac{ - 5+7}{2\times 2} = \dfrac{1}{2} $
$ x_{2} = \dfrac{ - 5 - 7}{2\times 2} = - 3 $
$ \cos\left(2x\right)=2\cos^{2}\left(x\right) - 1 $L'équation proposée est donc équivalente à :
$ 2\cos^{2}\left(x\right) - 1+5\cos\left(x\right) - 2=0 $
$ 2\cos^{2}\left(x\right)+5\cos\left(x\right) - 3=0 $(1) On pose $ X=\cos\left(x\right) $. L'équation se ramène alors à :
$ 2X^{2}+5X - 3=0 $
dont les solutions sont (d'après la question 1.)
$ X_{1} = \dfrac{1}{2} $ et $ X_{2} = - 3 $
Les solutions de l'équation (1) vérifient donc :
$ \cos\left(x\right)=\dfrac{1}{2} \quad $(2)
ou
$ \cos\left(x\right)= - 3 \quad $(3)Comme $ \dfrac{1}{2}=\cos\left(\dfrac{\pi }{3}\right) $, l'équation (2) donne :
$ \cos\left(x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi }{3}\right) $
$ x=\dfrac{\pi }{3}+2k\pi $ ou $ x= - \dfrac{\pi }{3}+2k\pi $ (voir théorème du cours)
L'équation (3) n'admet pas de solution car $ - 3 \notin \left[ - 1 ; 1\right] $
En conclusion, les solutions de l'équation proposée sont les réels de la forme $ x=\dfrac{\pi }{3}+2k\pi $ ou $ x= - \dfrac{\pi }{3}+2k\pi $ avec $ k \in \mathbb{Z} $