[ROC] Équation cartésienne – Vecteur directeur
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Le but de cet exercice est de démontrer le résultat suivant :
Si $ d $ est une droite d'équation $ ax+by+c=0 $, le vecteur $ \vec{u} $ de coordonnées $ \left(-b ; a\right) $ est un vecteur directeur de la droite $ d $.
Dans le plan, muni d'un repère $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $, on considère la droite $ d $ d'équation $ ax+by+c=0 $ et $ A\left(x_{A} ; y_{A}\right) $ un point de $ d $.
- Montrer que le point $ B $ de coordonnées $ \left(x_{A} - b ; y_{A}+a\right) $ appartient à la droite $ d $.
- En déduire que le vecteur $ \vec{u}\left( - b ; a\right) $ est un vecteur directeur de $ d $.
Corrigé
Le point $ A $ appartient à la droite $ d $ donc ses coordonnées vérifient l'équation de $ d $, c'est-à-dire que $ ax_{A}+by_{A}+c=0 $.
Posons $ x_{B}=x_{A} - b $ et $ y_{B} = y_{A}+a $. Alors :
$ ax_{B}+by_{B}+c=a\left(x_{A} - b\right)+b\left(y_{A}+a\right)+c=ax_{A} - ab+by_{A}+ab+c=ax_{A}+by_{A}+c=0 $
Par conséquent, le point $ B $ appartient également à la droite $ d $.
Comme $ A $ et $ B $ appartiennent à la droite $ d $, le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ est un vecteur directeur de $ d $.
Or les coordonnées de $ \overrightarrow{AB} $ sont $ \left(x_{B} - x_{A} ; y_{B} - y_{A}\right)=\left(-b ; a\right) $, ce qui prouve le résultat demandé : $ \vec{u}\left(-b ; a\right) $ est un vecteur directeur de $ d $.
Pour réviser : Trouver un vecteur directeur d'une droite donnée par une équation cartésienne