Arbre – Lancers successifs

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

On lance plusieurs fois un dé à six faces (numérotées de 1 à 6) bien équilibré.

On s'arrête :

Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir le chiffre 6 au cours des 4 lancés.
$ X $ est la variable aléatoire qui comptabilise le nombre total de lancer avant l'arrêt.

Quelles sont les différentes valeurs possibles pour $ X $?

Donner la loi de probabilité de $ X $.

Corrigé

$ S $ est l'évènement : « on obtient le chiffre 6 » ;
$ \overline{S} $ est l'évènement contraire.
La probabilité de ne jamais obtenir de « 6 » au cours de cette expérience est :

$ p=\dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6}=\dfrac{625}{1296} $
$ X $ peut prendre les valeurs : 1, 2, 3, 4

$ X=1 $ si on obtient un 6 lors du premier lancer.

$ p\left(X=1\right)=\dfrac{1}{6} $

$ X=2 $ si on n'obtient pas de 6 lors du premier lancer et si l'on en obtient un lors du second lancer.

$ p\left(X=2\right)=\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{36} $

De même :

$ p\left(X=3\right)=\dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{25}{216} $

La somme des probabilité de toutes les issues étant égale à 1 :

$ p\left(X=1\right)+p\left(X=2\right)+p\left(X=3\right)+p\left(X=4\right)=1 $

Par conséquent :

$ p\left(X=4\right)=1 - \dfrac{1}{6} - \dfrac{5}{36} - \dfrac{25}{216}=\dfrac{125}{216} $

On obtient donc le tableau suivant :

$ x_{i} $ 1 2 3 4

$ p\left(X=x_{i}\right) $ $ \dfrac{1}{6} $ $ \dfrac{5}{36} $ $ \dfrac{25}{216} $ $ \dfrac{125}{216} $

$ x_{i} $	1	2	3	4
$ p\left(X=x_{i}\right) $	$ \dfrac{1}{6} $	$ \dfrac{5}{36} $	$ \dfrac{25}{216} $	$ \dfrac{125}{216} $