Volumes & agrandissement-réduction — fiche révision

Quatre solides usuels (pavé, cylindre, cône, boule) avec leurs formules de volume et un agrandissement de rapport k indiqué

Volumes usuels
Pavé : $L \times \ell \times h$ · Cube : $a^{3}$ · Cylindre : $\pi r^{2} h$
Cône / Pyramide : $\dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ · Boule : $\dfrac{4}{3} \pi r^{3}$

Agrandissement-réduction Si on multiplie les longueurs par $\textcolor{#b91c1c}{k}$ :
longueurs $\times \textcolor{#b91c1c}{k}$ · aires $\times \textcolor{#b91c1c}{k^{2}}$ · volumes $\times \textcolor{#b91c1c}{k^{3}}$.

Section Section d'un cône ou d'une pyramide par un plan parallèle à la base : c'est une réduction de la base (même forme).

1. Volume d'un cylindre — Rayon $r = 3$ cm, hauteur $h = 10$ cm.
$$V = \pi r^{2} h = \pi \times 3^{2} \times 10 = 90\pi \approx \mathbf{282{,}7 \text{ cm}^{3}}.$$

2. Agrandissement — Une maquette de volume $V_0 = 50\text{ cm}^{3}$ est agrandie : toutes ses dimensions sont multipliées par $\textcolor{#b91c1c}{k = 4}$. Nouveau volume ?

$$V = V_0 \times k^{3} = 50 \times 4^{3} = 50 \times 64 = \mathbf{3\,200 \text{ cm}^{3}}.$$

Cône et pyramide : ne pas oublier le facteur $\tfrac{1}{3}$ — c'est la différence cruciale avec le cylindre et le prisme.
Agrandissement de rapport $k$ : longueurs $\times k$, mais aires $\times k^{2}$ et volumes $\times k^{3}$. Ne pas appliquer $k$ partout.
Unités : $1\text{ dm}^{3} = 1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^{3}$. Une aire est en cm$^{2}$, un volume en cm$^{3}$ — vérifier la cohérence des unités.

Volumes & agrandissement-réduction — fiche révision

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À retenir

Exemple type

Pièges classiques