Théorème Si $M \in (AB)$, $N \in (AC)$ et $(MN) \,//\, (BC)$, alors : Réciproque Si $\dfrac{\textcolor{#1d4ed8}{AM}}{\textcolor{#b91c1c}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#1d4ed8}{AN}}{\textcolor{#b91c1c}{AC}}$ et si les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans le même ordre que $A$, $N$, $C$, alors $(MN) \,//\, (BC)$. Contraposée Si les deux rapports ne sont pas égaux, alors $(MN)$ n'est pas parallèle à $(BC)$. Calcul Pour isoler une longueur, utiliser le produit en croix sur deux rapports.À retenir
![Triangle ABC avec M sur [AB], N sur [AC] et (MN) parallèle à (BC) — petit triangle AMN en bleu, grand triangle ABC en rouge](/assets/svg/thales-graph-bb-1.svg?v=1778587063)
$$\dfrac{\textcolor{#1d4ed8}{AM}}{\textcolor{#b91c1c}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#1d4ed8}{AN}}{\textcolor{#b91c1c}{AC}} = \dfrac{\textcolor{#1d4ed8}{MN}}{\textcolor{#b91c1c}{BC}}$$
Soit $ABC$ tel que $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN) \,//\, (BC)$, avec $\textcolor{#1d4ed8}{AM} = 2$ cm, $\textcolor{#b91c1c}{AB} = 6$ cm et $\textcolor{#1d4ed8}{AN} = 3$ cm. Calculer $\textcolor{#b91c1c}{AC}$. Les conditions du théorème de Thalès sont réunies, donc : Par produit en croix : $\textcolor{#b91c1c}{AC} = \dfrac{6 \times 3}{2} = 9$ cm.Exemple type
$$\dfrac{\textcolor{#1d4ed8}{AM}}{\textcolor{#b91c1c}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#1d4ed8}{AN}}{\textcolor{#b91c1c}{AC}} \quad \text{soit} \quad \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{\textcolor{#b91c1c}{AC}}$$
Pièges classiques