Pythagore — fiche révision

Théorème Si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $\textcolor{#b91c1c}{BC}^2 = \textcolor{#1d4ed8}{AB}^2 + \textcolor{#1d4ed8}{AC}^2$.

Réciproque Si $\textcolor{#b91c1c}{BC}^2 = \textcolor{#1d4ed8}{AB}^2 + \textcolor{#1d4ed8}{AC}^2$, alors $ABC$ est rectangle en $A$.

Contraposée Si $\textcolor{#b91c1c}{BC}^2 \neq \textcolor{#1d4ed8}{AB}^2 + \textcolor{#1d4ed8}{AC}^2$, alors $ABC$ n'est pas rectangle en $A$.

Calcul Connaissant deux côtés :

hypoténuse : $\textcolor{#b91c1c}{BC} = \sqrt{\textcolor{#1d4ed8}{AB}^2 + \textcolor{#1d4ed8}{AC}^2}$
côté de l'angle droit : $\textcolor{#1d4ed8}{AB} = \sqrt{\textcolor{#b91c1c}{BC}^2 - \textcolor{#1d4ed8}{AC}^2}$

Soit $ABC$ rectangle en $A$ avec $\textcolor{#1d4ed8}{AB} = 6$ cm et $\textcolor{#1d4ed8}{AC} = 8$ cm. Calculer $\textcolor{#b91c1c}{BC}$.

D'après le théorème de Pythagore :
$$\textcolor{#b91c1c}{BC}^2 = \textcolor{#1d4ed8}{AB}^2 + \textcolor{#1d4ed8}{AC}^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$

Donc $\textcolor{#b91c1c}{BC} = \sqrt{100} = 10$ cm.

Réciproque Soit $DEF$ tel que $DE = 5$, $DF = 12$, $EF = 13$.

$EF^2 = 169$ et $DE^2 + DF^2 = 25 + 144 = 169$.

Les deux sont égaux, donc d'après la réciproque, $DEF$ est rectangle en $D$.

L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit — c'est aussi le plus long. La repérer avant d'écrire la formule.
Toujours élever chaque longueur au carré avant d'additionner : $3^2 + 4^2 = 25$, pas $(3+4)^2 = 49$.
Pour la réciproque, comparer $(\text{plus long côté})^2$ et la somme des carrés des deux autres : ne pas se tromper d'égalité à tester.

À retenir