Arithmétique — fiche révision

Division euclidienne $a = b \times q + r$ avec $0 \leqslant r < b$. ($q$ = quotient, $r$ = reste.)

Nombres premiers Exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Liste utile : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$.

PGCD Plus grand commun diviseur. Algorithme d'Euclide : on remplace $(a,b)$ par $(b, r)$ jusqu'à $r=0$ ; le PGCD est le dernier reste non nul.

Fraction irréductible Numérateur et dénominateur premiers entre eux ($\text{PGCD} = 1$).

1. Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide — PGCD$(60\,;84)$.

$$84 = 60 \times 1 + \textcolor{#b91c1c}{24}$$
$$60 = 24 \times 2 + \textcolor{#b91c1c}{12}$$
$$24 = 12 \times 2 + \textcolor{#b91c1c}{0}$$

Le dernier reste non nul est $12$, donc $\text{PGCD}(60\,;84) = \mathbf{12}$.

2. Rendre une fraction irréductible — Simplifier $\dfrac{60}{84}$.

On divise numérateur et dénominateur par leur PGCD :
$$\dfrac{60}{84} = \dfrac{60 \div 12}{84 \div 12} = \mathbf{\dfrac{5}{7}}.$$

$5$ et $7$ sont premiers entre eux, la fraction est bien irréductible.

$1$ n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur. Le plus petit nombre premier est $2$ (seul premier pair).
Algorithme d'Euclide : on s'arrête quand le reste vaut $0$ ; le PGCD est le dernier reste non nul, pas le dernier reste.
Diviseur $\neq$ multiple : $12$ est un diviseur de $60$ ; $60$ est un multiple de $12$. Ne pas confondre les deux sens.

À retenir