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Sujet brevet · 2026

Brevet 2026 — Polynésie

Polynésie
Session Polynésie
120 min
20 pts

À propos de ce sujet

Depuis la session 2026, l'épreuve de mathématiques du brevet est organisée en deux parties sur 2 heures :

  • Partie 1 — Automatismes : 6 points, 20 minutes, sans calculatrice. Questions courtes (réponse directe, QCM) sans justification attendue. Les copies sont ramassées à l'issue de cette partie.
  • Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 14 points, 1 h 40, avec calculatrice. Réponses justifiées, rédaction et clarté évaluées sur 2 points.

L'épreuve totale est notée sur 20 points.

Cette fiche présente le sujet tombé en Polynésie le 26 juin 2026.

Durée : 2 heures · Total : 20 points

  • Partie 1 — Automatismes : 6 points · 20 min · calculatrice interdite
  • Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 14 points · 1 h 40 · calculatrice autorisée

Partie 1 — Automatismes — 6 points — 20 minutes

Remarque

Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse correspondante. Pour cette partie, aucune justification n'est demandée. Pour les questions à choix multiple, une seule réponse est exacte.

Question 1


Déterminer la médiane de la série : $ 12 ~;~ 9 ~;~ 7 ~;~ 23 ~;~ 9 ~;~ 25 ~;~ 7 $.

Question 2


Donner la notation scientifique de $ 0{,}000\,457 $.

Question 3


Calculer l'aire, en cm², du triangle ci-contre.
Triangle ABC rectangle en B. A est en haut à gauche, B au centre-bas (angle droit), C à droite. AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 10 cm (hypoténuse). La figure n'est pas en vraie grandeur.

Question 4


Une boîte opaque contient des beignets tous identiques, garnis de confitures différentes :
  • 6 beignets sont à l'abricot ;
  • 5 beignets sont à la pomme ;
  • 4 beignets sont à la framboise.

Déterminer la probabilité de piocher au hasard un beignet à la framboise.

Question 5


Un article coûte $ 800 $ €. Son prix baisse de $ 10 $ %.
Calculer le prix, en euro, de l'article après réduction.

Question 6


Développer et réduire l'expression $ B = 4y(3y - 1) $.

Question 7


Recopier la réponse permettant de compléter l'égalité $ 3{,}57 ~\text{L} = \ldots ~\text{cm}^3 $.

Question 8


Recopier sur la copie l'image de $ 4 $ par la fonction affine $ f $ définie par $ f(x) = 3x - 5 $.
Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D
$ 3 $ $ 7 $ $ 12 $ $ 29 $

Question 9


Le quadrilatère $ ABCD $ ci-contre est tracé à main levée.
À partir des codages donnés, en déduire sa nature parmi les quatre réponses proposées et la recopier sur la copie.
Parallélogramme ABCD à main levée : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. Les deux diagonales de longueurs inégales et non perpendiculaires se coupent en leur milieu O. Les demi-diagonales AO et OC portent chacune un trait, les demi-diagonales BO et OD portent chacune deux traits (codage différent pour souligner que les diagonales ne sont pas égales).
Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D
Un losange Un rectangle Un carré Un parallélogramme

Remarque

Restitution de la copie du candidat à l'issue de la partie 1

Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes — 14 points — 1 h 40

Remarque

Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur 2 points.

Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; les essais et les démarches engagées, même non aboutis, seront pris en compte dans la notation.

Exercice 1 — 4 points

Dans cet exercice, $ x $ représente un nombre supérieur ou égal à $ 5 $.
Voici, ci-dessous, deux figures géométriques : un rectangle $ ABCD $ et un triangle isocèle $ IJK $.

À gauche : rectangle ABCD avec AB = 3x+1 (côté horizontal haut, flèche de droite à gauche) et AD = x-2 (côté vertical gauche, flèche vers le bas). À droite : triangle isocèle IJK avec IK = 2x (côté gauche, marque de codage), KJ = 2x (côté droit, marque de codage) et IJ = 2x+9 (base horizontale).

Partie A

  1. Calculer la longueur $ AB $ pour $ x = 10 $. Justifier que le périmètre du rectangle $ ABCD $ vaut $ 78 $ pour $ x = 10 $.
  2. Montrer que le périmètre du rectangle $ ABCD $, en fonction de $ x $, est $ 8x - 2 $.

Partie B

Nour a exprimé, en fonction de $ x $, le périmètre du triangle isocèle $ IJK $ et a obtenu $ 6x + 9 $.
Nour souhaite trouver pour quelle valeur de $ x $ le périmètre du rectangle $ ABCD $ et le périmètre du triangle $ IJK $ sont égaux.
Pour cela, Nour a créé le programme Scratch ci-contre qui permet de tester, pour une valeur donnée de $ x $, si les périmètres sont égaux :

Programme Scratch : quand le drapeau vert est cliqué ; demander 'Combien vaut x ?' et attendre ; mettre Périmètre ABCD à 8 * réponse - 2 ; mettre Périmètre IJK à 6 * réponse + 9 ; si Périmètre ABCD = Périmètre IJK alors dire 'Les deux périmètres sont égaux' pendant 2 secondes, sinon dire 'Les deux périmètres ne sont pas égaux' pendant 2 secondes.
  1. Question algorithmique — Que renvoie le programme si Nour saisit $ 7 $ ?

  2. Avec le programme précédent, Nour n'a pas réussi à trouver une valeur exacte de $ x $ pour laquelle le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle sont égaux. Nour décide d'utiliser un tableur et les formules trouvées précédemment :

    • $ 8x - 2 $ pour le périmètre du rectangle $ ABCD $ ;
    • $ 6x + 9 $ pour le périmètre du triangle isocèle $ IJK $.

    Voici ci-dessous un extrait de la feuille de calcul dans laquelle Nour a fait afficher le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle pour différentes valeurs de $ x $.

      A B C
    1 $ x $ Périmètre de ABCD Périmètre de IJK
    2 $ 5 $ $ 38 $ $ 39 $
    3 $ 6 $ $ 46 $ $ 45 $
    4 $ 7 $ $ 54 $ $ 51 $
    5 $ 8 $ $ 62 $ $ 57 $
    6 $ 9 $ $ 70 $ $ 63 $
    7 $ 10 $ $ 78 $ $ 69 $
    8 $ 11 $ $ 86 $ $ 75 $
    9 $ 12 $ $ 94 $ $ 81 $
    10 $ 13 $ $ 102 $ $ 87 $

    1. Recopier sur la copie la formule que Nour a saisie dans la cellule $ B2 $ avant de l'étirer vers le bas pour obtenir les résultats affichés.

      $ = 8 * 5 - 2 $ $ = 8 * A2 - 2 $ $ = 8 * B2 - 2 $ $ = 8 * A1 - 2 $
    2. En observant sa feuille de calcul, Nour affirme : « S'il existe une valeur de $ x $ pour laquelle le périmètre du rectangle $ ABCD $ et le périmètre du triangle $ IJK $ sont égaux, elle est comprise entre $ 5 $ et $ 6 $. »
      Expliquer le raisonnement de Nour. Argumenter la réponse en précisant la démarche.
  3. Comme elle n'a pas obtenu la solution exacte avec les méthodes précédentes, Nour propose de résoudre algébriquement l'équation $ 8x - 2 = 6x + 9 $. Résoudre cette équation afin de déterminer la valeur exacte de $ x $ pour laquelle le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle sont égaux.

Exercice 2 — 4 points

On donne la figure ci-contre.
$ BGF $ est un triangle rectangle en $ G $.
Voici les informations dont on dispose :

  • $ AC = 5 $ cm, $ BC = 4 $ cm
  • $ AB = 3 $ cm, $ BG = 2 $ cm
  • $ BF = 4 $ cm
  • $ \widehat{BCF} = 74°$
Figure géométrique : A, B, G alignés en bas (AB = 3 cm, BG = 2 cm). C est au-dessus de B (BC = 4 cm, AC = 5 cm). F est au-dessus de G. Le triangle BGF est rectangle en G, BF = 4 cm. L'angle BCF mesure 74°. La figure n'est pas en vraie grandeur.

La figure n'est pas représentée en vraie grandeur.

Le but de cet exercice est de déterminer si les points $ A $, $ B $ et $ G $ sont alignés ou non.

  1. On se place dans le triangle $ CBF $.

    1. Justifier que l'angle $ \widehat{CFB} $ mesure $ 74° $.
    2. Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{CBF} $.
  2. Démontrer que le triangle $ ABC $ est un triangle rectangle.
  3. Dans le triangle rectangle $ BGF $, calculer la mesure de l'angle $ \widehat{FBG} $.
  4. Les points $ A $, $ B $ et $ G $ sont-ils alignés ? Justifier la réponse. Argumenter la réponse en précisant la démarche.

Exercice 3 — 4 points

Les Jeux Olympiques d'été 2024 se sont déroulés en France. Toutes les épreuves ont eu lieu en métropole sauf l'épreuve de surf qui a eu lieu à Tahiti, en Polynésie française.
Camille, qui aime le surf, a eu la chance de se rendre à Tahiti pour assister aux épreuves.
L'organisation du voyage lui a permis de mieux connaître les caractéristiques de cette destination lointaine.

  1. Sur la carte ci-dessous, les coordonnées géographiques approximatives de Los Angeles sont $ (118°\text{O} ~;~ 35°\text{N}) $.
    Écrire sur la copie, de la même façon et avec la précision permise par la carte, les coordonnées géographiques approximatives de Tahiti.
Planisphère montrant Los Angeles (118°O ; 35°N), Paris et Tahiti (avec une croix ×). Rose des vents en haut à droite. Méridiens de 180° à 180° et parallèles visibles.

  1. Camille s'est rendu à Tahiti en avion. Son trajet s'est déroulé en trois étapes :

    • Vol n° 1 : Paris – Los Angeles.
    • Un temps d'attente dans l'aéroport.
    • Vol n° 2 : Los Angeles – Tahiti.

    La totalité du trajet a duré $ 22 $ h $ 10 $ min en comptant le temps d'attente de $ 2 $ h $ 20 $ min à Los Angeles.
    Calculer la durée, en heure et minute, nécessaire pour effectuer les deux vols, sans prendre en compte le temps d'attente à Los Angeles.

  2. Le surfeur australien Jack ROBINSON a gagné la médaille d'argent aux Jeux Olympiques de 2024. Camille s'interroge sur la masse d'argent contenue dans la médaille.
    Voici, ci-dessous, des informations récoltées au sujet de la conception des médailles olympiques.
Document 1 : Une médaille olympique peut être modélisée par un cylindre de hauteur $ 0{,}92 $ cm et de diamètre $ 8{,}5 $ cm. Document 2 : L'argent est un métal qui a une masse volumique de $ 10{,}5 $ g/cm³. Document 3 : Volume d'un cylindre : $ \pi \times R^2 \times h $ où $ R $ est le rayon du cylindre et $ h $ est la hauteur du cylindre.
Schéma d'un cylindre aplati (médaille) : ellipse du dessus, flancs verticaux, ellipse inférieure en pointillés. Flèche double indiquant le diamètre 8,5 cm en bas et flèche double indiquant la hauteur 0,92 cm à droite.
  1. Montrer que le volume de la médaille, arrondi au dixième, est d'environ $ 52{,}2 $ cm³.
  2. Calculer la masse d'argent, en gramme (g), de la médaille de Jack ROBINSON aux Jeux Olympiques 2024. Donner l'arrondi à l'unité.

Corrigé

Partie 1 — Automatismes

Question 1. On range la série dans l'ordre croissant : $ 7 ~;~ 7 ~;~ 9 ~;~ 9 ~;~ 12 ~;~ 23 ~;~ 25 $. La série compte $ 7 $ valeurs, donc la médiane est la $ 4^{\text{e}} $ valeur : la médiane est $ 9 $.

Question 2. On a $ 0{,}000\,457 = 4{,}57 \times 10^{-4} $.

Question 3. Le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $, donc les deux côtés de l'angle droit sont $ AB = 8 $ cm et $ BC = 6 $ cm.
$ \text{Aire} = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = \dfrac{48}{2} = $ $ 24 $ cm².

(Vérification : $ AB^2 + BC^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2 = AC^2 $. ✓ L'angle droit est bien en $ B $.)

Question 4. La boîte contient $ 6 + 5 + 4 = 15 $ beignets en tout. La probabilité de piocher un beignet à la framboise est $ \mathbf{\dfrac{4}{15}} $.

Question 5. Une baisse de $ 10\% $ revient à multiplier par $ 0{,}9 $ : $ 800 \times 0{,}9 = $ $ 720 $ €.

Question 6. $ B = 4y(3y - 1) = 4y \times 3y - 4y \times 1 = $ $ \mathbf{12y^2 - 4y} $.

Question 7. $ 1 $ L $ = 1000 $ cm³, donc $ 3{,}57 $ L $ = 3{,}57 \times 1000 = $ $ 3\,570 $ cm³.

Question 8. $ f(4) = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7 $. Réponse B.

Question 9. Le seul codage donné indique que les diagonales se coupent en leur milieu. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Les diagonales n'ont pas nécessairement la même longueur (ce n'est pas forcément un rectangle) et ne sont pas nécessairement perpendiculaires (ce n'est pas forcément un losange). Réponse D — Un parallélogramme.

Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes

Exercice 1.

Partie A

  1. Pour $ x = 10 $ : $ AB = 3 \times 10 + 1 = 31 $ cm et $ AD = 10 - 2 = 8 $ cm.
    Le périmètre du rectangle $ ABCD $ vaut $ 2 \times AB + 2 \times AD = 2 \times 31 + 2 \times 8 = 62 + 16 = \mathbf{78} $.
  2. Le périmètre du rectangle $ ABCD $ en fonction de $ x $ est :
    $ 2 \times AB + 2 \times AD = 2(3x+1) + 2(x-2) = 6x + 2 + 2x - 4 = \mathbf{8x - 2} $.

Partie B

  1. Pour $ x = 7 $ : le périmètre $ ABCD = 8 \times 7 - 2 = 54 $ et le périmètre $ IJK = 6 \times 7 + 9 = 51 $. Comme $ 54 \neq 51 $, le programme affiche « Les deux périmètres ne sont pas égaux ».
    1. La cellule $ A2 $ contient la valeur de $ x $. Pour calculer le périmètre $ ABCD = 8x - 2 $, on saisit en $ B2 $ la formule = 8 * A2 - 2.
    2. D'après le tableau, pour $ x = 5 $ : $ ABCD = 38 < 39 = IJK $ (le périmètre du triangle est plus grand). Pour $ x = 6 $ : $ ABCD = 46 > 45 = IJK $ (le périmètre du rectangle est désormais plus grand). Les périmètres ont échangé leur ordre entre $ x = 5 $ et $ x = 6 $. Si une valeur de $ x $ les rend égaux, elle se trouve donc bien entre $ 5 $ et $ 6 $.
  3. On résout $ 8x - 2 = 6x + 9 $ :
    $ 8x - 6x = 9 + 2 $, soit $ 2x = 11 $, d'où $ \mathbf{x = \dfrac{11}{2} = 5{,}5} $.
    On vérifie : $ 5 < 5{,}5 < 6 $, ce qui est cohérent avec l'observation du tableur. ✓

Exercice 2.

    1. Dans le triangle $ CBF $, on a $ BC = BF = 4 $ cm (lisible sur la figure). Ce triangle est donc isocèle en $ B $. Les angles à la base sont égaux : $ \widehat{BCF} = \widehat{BFC} $. Comme $ \widehat{BCF} = 74° $, on conclut $ \mathbf{\widehat{CFB} = 74°} $.
    2. La somme des angles d'un triangle vaut $ 180° $ : $ \widehat{CBF} = 180° - 74° - 74° = \mathbf{32°} $.
  2. On calcule $ AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $ et $ AC^2 = 5^2 = 25 $. Comme $ AB^2 + BC^2 = AC^2 $, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $.
  3. Dans le triangle $ BGF $ rectangle en $ G $, le côté $ BF $ est l'hypoténuse. On a : $ \cos(\widehat{FBG}) = \dfrac{BG}{BF} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} $. Donc $ \mathbf{\widehat{FBG} = 60°} $.
  4. Si $ A $, $ B $ et $ G $ étaient alignés (avec $ B $ entre $ A $ et $ G $), l'angle formé des deux côtés de $ B $ devrait valoir $ 180° $. Or :
    $ \widehat{ABC} + \widehat{CBF} + \widehat{FBG} = 90° + 32° + 60° = 182° \neq 180°. $
    Comme cette somme est différente de $ 180° $, les points $ A $, $ B $ et $ G $ ne sont pas alignés.

Exercice 3.

  1. Sur le planisphère, Los Angeles est à $ 118° $ à l'ouest du méridien de Greenwich et à $ 35° $ au nord de l'équateur. En lisant les coordonnées de Tahiti sur la carte, Tahiti se situe à environ $ 149° $ à l'ouest et à environ $ 17° $ au sud de l'équateur. Les coordonnées géographiques approximatives de Tahiti sont $ \mathbf{(149°\text{O} ~;~ 17°\text{S})} $.
  2. La durée totale est de $ 22 $ h $ 10 $ min. Le temps d'attente est de $ 2 $ h $ 20 $ min.
    Durée des deux vols : $ 22 $ h $ 10 $ min $ - $ $ 2 $ h $ 20 $ min $ = 22 $ h $ 10 $ min $ - $ $ 2 $ h $ 20 $ min.
    On convertit : $ 22 $ h $ 10 $ min $ = 21 $ h $ 70 $ min.
    $ 21 $ h $ 70 $ min $ - $ $ 2 $ h $ 20 $ min $ = 19 $ h $ 50 $ min.
    La durée nécessaire pour effectuer les deux vols est $ 19 $ heures et $ 50 $ minutes.
    1. Le rayon de la médaille est $ R = \dfrac{8{,}5}{2} = 4{,}25 $ cm et la hauteur est $ h = 0{,}92 $ cm.
      $ V = \pi \times R^2 \times h = \pi \times 4{,}25^2 \times 0{,}92 = \pi \times 18{,}0625 \times 0{,}92 \approx \pi \times 16{,}617 \approx 52{,}18 $ cm³.
      Arrondi au dixième : $ V \approx 52{,}2 $ cm³. ✓
    2. La masse d'argent est : $ m = V \times \text{masse volumique} = 52{,}2 \times 10{,}5 \approx 548{,}1 $ g.
      La masse d'argent de la médaille de Jack ROBINSON est $ \approx 548 $ g.
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